流体力学7.1-连续性方程的推导

7.1 微分形式的连续方程
1.有限体积控制体法
t
CV
d
CS
V
n
dA
Gauss公式
0
CV
t
V d
0
连续流场中空间任意点上速度和密 度必须满足的微分（连续）方程。
vx vy vz 0
t x
y
z
vr 1 v vz 0
t r r
z
V
0 （流场中）
第7章 理想流体多维流动基础
推导微分形式的方程常用的方法：
有限体积控制体的分析方法；微元体积控制体的分析 方法。
（1）有限体积控制体的分析方法；
利用已有的积分形式的方程导出微分形式的方程.
方法：利用高斯公式实现面积分和体积分之间的转
化，如： V ndA Vd
CS
pn
VdA
CV
n
P
VdA
(2 x
y)
(3x) y
0
0
0
符合不可压缩流体的连续性方程。
∴是不可压缩流体。
（2）
vx x
Baidu Nhomakorabeav y y
vz z
(0) x
(3xy) y
0 3x 0
不符合不可压缩流体的连续性方程。 ∴不是不可压缩流体。
2. 微元控制体分析法（比较常用的方法） 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量。 概念引深---通量：单位时间通过单位截面积的物理量
vxdydz
根据质量守恒定律： [单位时间流出微元体质量]-[ 单位时间流入微元体质量] ＋[ 单位时间微元体内质量增量]＝0 ⑴分析x方向：
单位时间从左侧面流入的质量为： vxdydz
vxdydz
vx
vx
x
dx
dydz
单位时间从右侧面流出的质量如何求?
vx
vx
x
dx
dydz
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量差：
P
V
d
CS
CS
CV
特点：将面积分中的n，在体积分中用 替代，然后
作用在被积函数上。高斯公式可适用标量、矢量和张
量。
(2) 微元体积控制体的分析方法。
采用该方法的前题是：流场中流体物理量时时处处 连续可微，且需在特定坐标系下取相应的微元控制 体的形状，如要得到直角坐标系下运动微分方程， 则应选择六面体形式的微元体。
M right
M left
vx
vx
x
dxdydz
vx dydz
vx dxdydz
x
同理
y方向： vy dxdydz y
z方向： vz dxdydz
z
在dt时间内因密度变化而增加的质量为： dxdydz
t
t
dxdydz
vx
x
vy
y
vz
z
dxdydz
0
流体质量守恒微分方程一般形式
vx vy vz 0
t
V 0 ( t 0)
V 0 ( const)
不可压流动连续方程：速度场的散度为0
—— 体积膨胀速率为0。
例：有两种二元流体，其流速可表示为： （1）vx= 2y, vy=3x；（2） vx =0, vy=3xy。试问这两种流体是 不可压缩流体吗？
解: (1)
vx x
vy y
vz z
t x
y
z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体。
对于柱坐标和球坐标，如何使用微元控制体积分析方 法推导连续性方程？
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