流体力学7.1-连续性方程的推导
6流体流动微分方程基本内容掌握连续性方程与其推导熟悉
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx vy 0 x y
) dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
((vx ) (vy ) (vz ))dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温
度连续
T Tw
30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
流体力学 连续性方程
第3章流体动力学基础教学要点一、教学目的和任务1、本章目的1）使学生掌握研究流体运动的方法2）了解流体流动的基本概念3）通过分析得到理想流体运动的基本规律4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础2、本章任务1）了解描述流体运动的两种方法；2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平均流速等；3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用二、重点、难点1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。
2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应用。
三、教学方法本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。
所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。
流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。
研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。
3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法一、流体运动要素表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。
研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。
（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。
流场：将充满运动的连续流体的空间。
在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。
二、研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
（1，质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。
用于研究流体的波动和震荡等（2）欧拉法（“站岗”的方法）欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别质点。
其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学动量方程的积分推导_理论说明
流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。
流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。
而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。
1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。
首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。
然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。
接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。
最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。
1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。
通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。
通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。
最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。
通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。
2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。
根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。
该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。
其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。
其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
简单介绍流体的连续性方程
简单介绍流体的连续性方程
流体的连续性方程是流体力学中的一种基本方程，也可称为流体
守恒方程，它可以用来描述流体运行时的总量不变。
这个方程是由著
名斯特古特定律推导出来，其本质是描述流体受速度、密度等性质变
化所受到的作用和守恒相关的质量，可以表示成称为流体的压力的
函数。
该方程式的积分可以用来确定流体的特殊性质，如流量、温度、密度等。
将连续性方程作为子方程与动量方程以及能量守恒方程配合，可以构成流体力学的完整的解析解。
流体的连续性方程的研究始于十九世纪，在当时是用来解释热液
体流动规律，主要是推出了牛顿流体力学。
牛顿流体力学发展成为具
有机构形式的流体力学学科，其子物理概念包括特殊状态、 sound speed 、 entropy 、 viscosity 、 thermal expansion 。
19世纪末，在维护物理准则范畴内，费米、洛伦兹等人提出了另一种基本概念，
即物质守恒定律，提出了流体的连续性方程来描述流体的守恒。
20世纪，斯托克的定律得到普遍的认可，这为研究流体的流动建立了
基本的模型，流体的连续性方程及其拓展就成为了流体力学的重要组
成部分。
在传热、流体的传质等工程实践中，这一守恒方程经常利用
积分性质求解流体的流动特性，其直接影响着数值模拟和计算机模拟
及工程设计。
总之，流体的连续性方程是流体力学守恒方程，用来描述流体质
量变化，它以斯特古特定律为基础，守恒关系的积分可以用来求解流
体的流动特性。
这是利用工程数学方法模拟流体运动的重要依据，也
是流体力学重要的技术要素。
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式能量守恒定律（EnergyConservationLaw）是一个重要的物理定律，其原理是：总能量是定值，可以在系统内部流动，但不可以消失或者出现。
由于能量守恒定律的存在，在流体力学中有一种被称为“连续性方程”的表达形式，它描述了流体的性质和流动状态。
连续性方程的基本原理是：给定区域内的流体的质量、能量和动量都是保持不变的，因此流体的流动速度和性质随时间和空间变化受到限制。
这种性质称为“连续性”。
换言之，在特定空间和时间尺度内，流体质量、能量和动量的流动速度是恒定的。
理论上，连续性方程可以用来描述流体力学中众多类型的流体种类，例如热流体、冷流体、工艺流体、原子量流体等等。
它可以用来分析水力学、气力学、热力学、动力学中的绕流、湍流和振荡流等态势的发展和利用，为有效的流体控制和处理提供了重要的理论基础。
另外，连续性方程也可以用来描述流体的速度变化，用来研究流动的湍流和涡态等特性。
其中，湍流就是流体动力学中的一种不稳定流动状态，因为涡旋、分层、分支等不均匀性，而涡态则是一种稳定性流动状态，涡旋、分层、分支等不均匀性会导致流体边界处的局部流动状态发生变化。
连续性方程的另一个重要用途就是可以用来描述流体的流动效率。
在实践中，连续性方程可以帮助科学家计算准确的流体流动效率，帮助他们计算流动流体所承受的力学损失，以及在某种流体中，在特定时间和特定空间尺度内，物质的变化和物质流速的变化。
此外，连续性方程也可以用来研究流体动力学中的涡态现象，比如流体在升腾过程中是如何变化、流体的流动情况是如何受到空气的影响等等。
总之，连续性方程在流体力学的研究中是一种非常重要的表达形式，它可以用来描述流体动力学中的流动状态，涡旋、分层、分支等不均匀性，以及可以用来计算流体流动效率、流速变化和涡态现象等。
此外，连续性方程也由于其受能量守恒定律的支撑，使得它的理论基础更加稳固，从而得到了广泛的应用。
流体力学三大方程的推导
微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。
设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。
先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。
在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。
流体力学7[1].1 连续性方程的推导
![流体力学7[1].1 连续性方程的推导](https://img.taocdn.com/s3/m/a7a350ee172ded630b1cb66f.png)
流体质量守恒微分方程一般形式
∂ρ ∂(ρvx ) ∂(ρvy ) ∂(ρvz ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体。 可压缩流体。
2. 微元控制体分析法（比较常用的方法） 微元控制体分析法（比较常用的方法） 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量。 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量。 概念引深---通量 通量： 概念引深 通量：单位时间通过单位截面积的物理量
ρvxdydz
根据质量守恒定律： 根据质量守恒定律： [单位时间流出微元体质量 单位时间流入微元体质量 单位时间流出微元体质量]-[ 单位时间流出微元体质量 单位时间流入微元体质量] 单位时间微元体内质量增量]＝ ＋[ 单位时间微元体内质量增量 ＝0 ⑴分析x方向： 分析 方向： 方向 单位时间从左侧面流入的质量为： 单位时间从左侧面流入的质量为： ρvxdydz
∂(ρvx ) M right − M left = ρvx + dxdydz − [ρvx ]dydz ∂x ∂(ρvx ) dxdydz = ∂x
同理 y方向： 方向： 方向
∂(ρvy ) ∂y
dxdydz
∂(ρvz ) dxdydz z方向： 方向： 方向 ∂z ∂ρ 时间内因密度变化而增加的质量为： 在dt时间内因密度变化而增加的质量为： dxdydz 时间内因密度变化而增加的质量为 ∂t
v ∇ ⋅ V = 0 ( ρ = const )
流体力学中的三大基本方程资料
d x 1 p fx dt x
同理可得y,z方向上的：
d x x x x x 1 p x y z fx dt t x y z x d y y y y y 1 p x y z fy dt t x y z y d z z z z z 1 p x y z fz dt t x y z z
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0 t
（x） （y） （z） 0 x y z div( ) 0
⑷二维平面流动： x
x
y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程
理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
p dx pN p x 2
X方向上质点所受表面力合力： p （pM pN）dydz dxdydz x
流体力学中的分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x，y，z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体力学中的三大基本方程讲解
推导过程：
⑴取微小六面控制体
⑵推导依据：
牛顿第二定律or动量定理：
d d（m ） F ma m dt dt
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
⑶分析受力：
① 质量力：
单位质量力： f f i f j f k x y z
X方向上所受质量力为：
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
流体质点加速度
d x x x x x ax x y z dt t x y z d y y y y y ay x y z dt t x y z d z z z z z az x y z dt t x y z
推导得：
d
gdz 1
1
dp gdz
Or
dp d 0
——伯努方向流线流动时的能量平衡关 系式。
①适用范围：理想流体、稳定流体、质量 力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内 沿某一根流线； ②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
向量形式：
d 1 f gradp dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
p p p gradp i j k x y Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用 这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例： 连续性方程：
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达式
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达式
蒲福连续性方程是流体力学中最重要的基本方程之一。
它是以斯特劳斯·蒲福(Stroesser)为基础的质量守恒定律的表达式，旨在对连续性，守恒以及恒定性方面的流体变化有一定的把握和预测。
简单来说，蒲福连续性方程可以用来描述不同41力学问题。
蒲福连续性方程的式子如下：
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \rho \mathbf{v}=0$$
其中ρ是流体的密度，t是时间，$\mathbf{v}$是流体的流速向量，函数
n⃗abla表示微元流出，即每一单位体积的流体部分流入或者流出。
如果ρ固定不变，蒲福连续性方程将变为守恒定律。
根据蒲福连续性方程，建立模型时，得出的结果可以帮助我们向流体学家提供有关流体运动和变化的重要信息，包括密度变化，流速和流动轨迹等。
因此，它被用于如气体动力学，波动和稳定性，动量积分和自由边界，流固耦合等气体运动的控制。
蒲福连续性方程也在高等教育领域得到了广泛的应用。
当我们需要解决流体学问题和分析流体性能时，可以利用该方程对流体运动和变化有精确的了解。
此外，蒲福连续性方程也常常被大学气动学和流体力学课程等介绍上用以加深学生重视流体动态变化及应用研究方及来自实验和分析等方面获得体会。
综上所述，蒲福连续性方程在流体力学中发挥着至关重要的作用，高校和高等教育也多次引用它来加强课题的讨论。
因此，在流体力学课题的研究中，理解这一基本方程的含义及其应用意义是十分必要的。
流体的连续性方程和伯努利定律
流体的连续性方程和伯努利定律在流体力学中，流体的连续性方程和伯努利定律是两个重要而广泛应用的理论。
本文将对这两个概念进行探讨和解释，并说明它们在实际应用中的重要性。
流体的连续性方程是描述流体运动的基本定律之一。
它表明，在稳定流动的过程中，对于一个给定的流体，在任何两个相距很近的点上，流体的质量流量要保持恒定。
这个原理可以通过一根管道中的水流来说明。
假设在管道中有一段长度为Δx的小段，且取小段起点位置为x 处。
根据连续性方程，流经这段小段的质量流量与小段末端的质量流量应相等。
质量流量可以用流体的密度ρ乘以流速v来表示，即质量流量=ρv。
在小段起点，质量流量为ρ₁v₁，而在小段末端，质量流量为ρ₂v₂。
因此，根据连续性方程，ρ₁v₁=ρ₂v₂。
这个原理可以进一步解释为：在管道中，由于流体是连续的，所以小段的体积必须等于小段的起点和末端之间的体积变化。
这是根据流体的连续性原理成立的。
所以，如果管道中小段的面积为A，根据小段的体积公式V=AΔx，可以得出A₁v₁Δx=A₂v₂Δx，即A₁v₁=A₂v₂，进一步简化为ρ₁v₁=ρ₂v₂。
这就是流体的连续性方程的一个重要应用。
伯努利定律是另一个与流体力学密切相关的原理。
它描述了在稳定流动中，沿着流体的流线，流体的动能、压力能和势能是保持恒定的。
这个定律可以通过理解飞机飞行中的气流和翼面之间的关系来解释。
当气流通过翼面时，气流速度增加，而气压下降。
这是因为根据伯努利定律，气流的动能增加，而压力能减小。
这种原理使得飞机能够产生升力，从而维持飞行。
伯努利定律的应用范围非常广泛，不仅仅在飞行原理中有所体现，在水流、液体管道、空调系统等领域也有广泛的应用。
流体的连续性方程和伯努利定律在实际应用中具有重要意义。
通过这两个原理，我们能够更好地理解和分析流体力学问题，并能够设计出更高效、更安全的流体系统。
例如，在液体输送管道的设计中，通过控制管道直径和速度，可以确保流体输送的均匀性和稳定性。
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式能量守恒定律是物理学中一条至关重要的定律，它认为在一定物理空间内，物质的数量不变，系统的能量总量也不变。
然而，实际上，如果一个系统中有流动物质，那么能量守恒定律就不能完全与实际情况相一致。
这是因为流体可以在空间内转移，从而改变系统内物质的数量。
为了解决这个问题，流体力学中有一种表达形式就是“连续性方程”，也称为“质量守恒定律”，它与能量守恒定律相似，但在实际描述中有一些不同。
连续性方程通俗的说就是描述流体来源和流动过程中物质的守恒，即物质的流出等于物质的流入。
这一方程的推导基于质量守恒的原理，它可以用向量写成：$$frac{partialrho}{partial t}+ablacdotleft(rho {bf u}right)=0$$其中，ρ表示密度，t表示时间，u表示速度向量。
该方程可以用来描述流体动态特性，如流体速度，流体密度，流体压力等。
此外，连续性方程还可以用来推导流体动量守恒方程，这是因为流体动量守恒方程可以由连续性方程和物理守恒定律来推导而来。
例如，流体动量守恒方程可以描述流体受到外力作用的情况，它的数学表达式为：$$rho left(frac{partial {bf u}}{partial t}+{bf u}cdot abla {bf u}right)=-abla p+muabla^2 {bf u}+{bf f}$$其中，p表示压力，μ表示粘度，f表示外力。
该方程描述了流体受到外力作用时，其速度、压力和粘度等物理量的变化，为继而研究流体力学提供了基础。
从上述内容可以看出，连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式，它既可以描述物质的守恒，也可以推导出流体动量守恒方程，用于研究流体的动力学特性。
另外，连续性方程的数学描述也很容易理解，它的应用非常广泛，例如气体动力学、热力学、蒸发等领域都有着重要的作用。
因此，连续性方程是物理学和流体力学中一种十分重要的方程，在许多领域都有着广泛的应用。
曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导
一、曲线坐标系下连续性方程的推导曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导一、曲线坐标系下连续性方程的推导首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。
在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则m τρδτ=⎰()1.1为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。
根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立()0dm ddt dtτρδτ==⎰()1.2根据公式：()()d div dttττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.3，得 ()()0dm ddiv dt dtt ττρρδτρδτ∂⎛⎫==+= ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.4因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：()0div tρρ∂+=∂v()1.5()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。
下面将写出它在曲线坐标下的形式。
因为()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a()1.6所以()()()()1232313121231231v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦v()1.7将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：()()()12323131212312310v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦()1.8二、曲线坐标系下N S -方程的推导首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。
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P
V
d
CS
CS
CV
特点：将面积分中的n，在体积分中用 替代，然后
作用在被积函数上。高斯公式可适用标量、矢量和张
量。
(2) 微元体积控制体的分析方法。
采用该方法的前题是：流场中流体物理量时时处处 连续可微，且需在特定坐标系下取相应的微元控制 体的形状，如要得到直角坐标系下运动微分方程， 则应选择六面体形式的微元体。
第7章 理想流体多维流动基础
推导微分形式的方程常用的方法：
有限体积控制体的分析方法；微元体积控制体的分析 方法。
（1）有限体积控制体的分析方法；
利用已有的积分形式的方程导出微分形式的方程.
方法：利用高斯公式实现面积分和体积分之间的转
化，如： V ndA Vd
CS
pn
VdA
CV
n
P
VdA
vxdydz
根据质量守恒定律： [单位时间流出微元体质量]-[ 单位时间流入微元体质量] ＋[ 单位时间微元体内质量增量]＝0 ⑴分析x方向：
单位时间从左侧面流入的质量为： vxdydz
vxdydz
vx
vx
x
dx
dydz
单位时间从右侧面流出的质量如何求?
vx
vx
x
dx
dydz
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量差：
t x
y
z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体。
对于柱坐标和球坐标，如何使用微元控制体积分析方 法推导连续性方程？
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
(2 x
y)
(3x) y
0
0
0
符合不可压缩流体的连续性方程。
∴是不可压缩流体。
（2）
vx x
v y y
vz z
(0) x
(3xy) y
0 3x 0
不符合不可压缩流体的连续性方程。 ∴不是不可压缩流体。
2. 微元控制体分析法（比较常用的方法） 质量通量：单位时间通过单位截面积的质量。 概念引深---通量：单位时间通过单位截面积的物理量
M right
M left
vx
vx
x
dxdydz
vx dydz
vx dxdydz
x
同理
y方向： vy dxdydz y
z方向： vz dxdydz
z
在dt时间内因密度变化而增加的质量为： dxdydz
t
t
dxdydz
vx
x
vy
y
vz
z
dxdydz
0
流体质量守恒微分方程一般形式
vx vy vz 0
t
V 0 ( t 0)
V 0 ( const)
不可压流动连续方程：速度场的散度为0
—— 体积膨胀速率为0。
例：有两种二元流体，其流速可表示为： （1）vx= 2y, vy=3x；（2） vx =0, vy=3xy。试问这两种流体是 不可压缩流体吗？
解: (1)
vx x
vy y
vz z
7.1 微分形式的连续方程
1.有限体积控制体法
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CV
d
CS
V
n
dA
Gauss公式
0
CV
t
V d
0
连续流场中空间任意点上速度和密 度必须满足的微分（连续）方程。
vx vy vz 0
t x
y
z
vr 1 v vz 0
t r r
z
V
0 （流场中）