流体力学 连续性方程
流体的连续性方程
流体的连续性方程
流体的连续性方程是描述流体运动的基本方程之一，它揭示了流体
在运动过程中质量守恒的原理。
下面将从理论基础、连续性方程的推
导以及应用等方面进行讨论。
一、理论基础
连续性方程是基于流体的连续性假设而推导得出的。
连续性假设认为，在流体运动过程中，流体的体积虽然不断变化，但质量保持不变。
流体在某个截面上的质量密度乘以截面积等于流体通过该截面的质量
流量。
二、连续性方程的推导
设流体通过某个平面截面的质量流量为Q，截面的面积为A，流体
的密度为ρ，流体在通过截面进入和流出的速度分别为v1和v2。
根据
质量守恒的原理，流入流出的质量应该相等，则有：
ρA * v1 = ρA * v2
接着，我们可以对上式进行化简，得到：
v1 = v2
这就是连续性方程，它表明了流体在运动过程中速度的连续性。
三、连续性方程的应用
连续性方程在流体力学中具有广泛的应用。
例如，在管道流动中，
通过管道的流体密度是保持不变的，因此可以利用连续性方程来描述
流体在管道中的速度变化。
在自然界中，例如河流流动、空气运动等，也可以应用连续性方程来研究非定常流体运动的规律。
此外，连续性方程还与其他流体方程相互配合，如欧拉方程、伯努
利方程等，共同构成了解决流体力学问题的重要工具。
综上所述，流体的连续性方程是一种描述流体运动的基本方程，它
是基于流体的连续性假设进行推导的。
连续性方程揭示了流体在运动
过程中质量守恒的原理，具有重要的理论和应用价值。
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
流体力学中的连续性方程
流体力学中的连续性方程在流体力学中，连续性方程是描述流体运动过程中质量守恒的基本方程之一。
它阐述了流体在运动中质量的守恒原理，即在密度不变的条件下，流体在某一给定截面上的流量必须与该截面的流体入口和出口的流量相等。
本文将详细介绍连续性方程的含义、数学表达形式以及其在流体力学中的应用。
1. 连续性方程的含义连续性方程是基于质量守恒原理推导出来的，在没有外界质量输入或输出的情况下，流体质量在运动中必须保持不变。
该方程依赖于流体的不可压缩性，即密度在流场中不发生变化。
连续性方程描述了在任意给定截面上的流体运动情况，它表明流动的流体在同一截面上的进出量必须相等。
2. 连续性方程的数学表达形式连续性方程可以用数学形式来表示，通常使用流体的质量流率来描述流体在给定截面上的流动情况。
流体的质量流率定义为单位时间内通过给定截面的质量。
设流体通过某一截面的面积为A，流速为v，流体的密度为ρ，则流体的质量流率为ρAv。
根据质量守恒原理，流体在进入和离开给定截面时，质量流率必须相等，即:ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂其中，ρ₁和ρ₂分别为流体在截面一和截面二处的密度，A₁和A₂为截面一和截面二的面积，v₁和v₂为截面一和截面二处的流速。
3. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
首先，它用于解决流体力学问题中的流量分布和速度分布计算。
通过应用连续性方程，我们可以根据流量和密度的已知值，求解出流体的流速。
这对于通常需要研究流体的流动速度分布的问题非常有用。
其次，连续性方程也可用于设计流体力学实验。
通过选定不同的截面，我们可以实验测量流速和相应的流量，验证连续性方程是否成立。
实验结果与连续性方程的理论计算相符则证明了实验的准确性。
此外，连续性方程在物理建模和工程计算中也发挥着重要的作用。
根据流体的运动规律和边界条件，我们可以通过连续性方程建立数学模型，并通过求解连续性方程来预测和分析流体运动的行为。
综上所述，连续性方程在流体力学中具有重要的地位和作用。
流体力学中的连续性方程
流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体运动规律的学科，而连续性方程则是流体力学中重要的基础方程之一。
连续性方程描述了流体质点的质量守恒规律，揭示了流体在运动过程中物质的连续性变化。
连续性方程的基本原理可以通过质量守恒定律推导得到。
在流体运动过程中，考虑一个固定的控制体，其边界与流体相接触。
流体在进入和离开控制体的过程中质量不会发生变化，这是因为流体是连续的，不存在断裂。
根据质量守恒定律，流体质量的变化率等于流体质量通过控制体边界的净流量。
假设控制体体积为V，流体质量为m。
则在某个时刻t下，流体质量的变化量dm可以表示为：dm = ρ(t)·dV其中，ρ(t)表示流体在时刻t下的密度，dV为控制体体积的微元。
连续性方程的基本思想就是要求流体质量的变化量等于流体质量通过边界的净流量。
因此，对于控制体内部的任意体积元，质量的变化量应等于通过表面流出的质量。
考虑流体进入和离开控制体的过程，总的质量流入率减去总的质量流出率等于质量变化率。
即，d/dt ∫ρ(t)·dV = - ∫ρ(t)·(v·n)·dA其中，d/dt表示对时间的导数，∫表示对整个控制体体积的积分，∫表示对控制体表面的积分，v表示流体速度，n表示控制体边界的外法向量。
将等式两边进行整理，可得连续性方程的一般表达式：∂ρ(t)/∂t + ∇·(ρ(t)·v) = 0其中，∂ρ(t)/∂t表示流体密度随时间的变化率，∇·(ρ(t)·v)表示速度矢量与流体密度梯度的散度。
连续性方程可以进一步简化为Euler连续性方程和Lagrangian连续性方程两种形式。
在Euler连续性方程中，选择空间坐标系为参考系，通过对流体质点的观测来研究流体运动。
在此情况下，控制体的体积保持不变，即dV = 0。
连续性方程变为：∂ρ(t)/∂t + ∇·(ρ(t)·v) = 0在Lagrangian连续性方程中，选择质点坐标系为参考系，通过跟踪某一特定质点的运动来研究流体运动。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学 质量守恒方程(连续性方程)
三、总流的连续性方程
恒定、均匀、不可压缩流体
方程的推导依据是： 质量守恒及恒定流的特性。
1、方程：
连续性方程 是不涉及任 何作用力的
方程。
取控制体，考虑到条件 1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变； 2）不可能有流体经流管侧面流进或流出； 3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙； 4）忽略质量转换成能量的可能。 根据质量守恒原理
所涉及的两种概念： （1）系统；（2）控制体。
一、系统、控制体 1、系统 ——由确定的流体质点组成的流体团。
即一团确定的流体质点的集合。 系统边界
——把系统和外界分开的真实或假想的界面。
（1）系统边界的特点： 1> 系统的体积边界面形状、大小随时间改变； 2> 边界上受外力作用； 3> 在系统边界面上无质量交换； 4> 边界上可以有能量交换。
（1）有固定边界域的总流连续方程式
物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于 密度变化在单位时间里所增加的质量相等。 适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、 理想流体、实际流体。
（2）恒定流的总流连续性方程
对于恒定流，有 ，则上式为 适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可 压缩流体、理想流体、实际流体。
t x y z
（2）恒定不可压缩流体运动微分方程：
u x u y u z 0
x
y
z
2、简单分析：
M y
u y dxdzdt (u y
u y
y
dy)dxdzdt
u y
流体的连续性方程
流体的连续性方程流体力学是关于流体力学与流动的规律和性质的科学。
在流体的运动过程中，流体的密度和速度都会发生变化。
为了描述这种变化，我们引入了连续性方程，它是流体力学中的重要基本方程之一。
连续性方程是描述流体质量守恒的方程。
它基于以下几个假设：假设流体是连续均匀的，假设流体是非可压缩的，假设流体在稳态流动过程中质量不会减少或增加。
基于这些假设，我们可以得到流体的连续性方程。
在流体力学中，流体的连续性方程可以表示为以下形式：∇·ρv+A=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∇·是散度运算符，A 是质量流量。
连续性方程的物理意义是流体的质量在单位时间内的净流入或流出量等于单位时间内质量积累的速率。
在实际应用中，根据具体问题的不同，连续性方程可以具体表达为不同的形式。
下面将介绍几个常见的连续性方程的应用。
1. 理想流体的连续性方程理想流体是指当流体受到外力作用时不发生黏性耗散的流体。
在理想流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在理想流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
2. 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体是指密度在流动过程中可以忽略变化的流体。
在不可压缩流体中，连续性方程可以写作以下形式：∇·v=0这个方程表示了在不可压缩流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
不过需要注意的是，不可压缩流体的连续性方程只能描述速度场的分布，而不能描述流体密度的变化。
3. 积分形式的连续性方程连续性方程还可以表示为积分形式。
在空间中的一个任意闭合曲面S上，流体质量的净流出量等于质量积累的速率，即可以表示为以下积分形式：∮S ρv·n dS = -d/dt ∭V ρ dV其中，S是曲面的边界，n是法向量，V是曲面所包围的体积，∮和∭分别表示曲面和体积的积分。
简单介绍流体的连续性方程
简单介绍流体的连续性方程
流体的连续性方程是流体力学中的一种基本方程，也可称为流体
守恒方程，它可以用来描述流体运行时的总量不变。
这个方程是由著
名斯特古特定律推导出来，其本质是描述流体受速度、密度等性质变
化所受到的作用和守恒相关的质量，可以表示成称为流体的压力的
函数。
该方程式的积分可以用来确定流体的特殊性质，如流量、温度、密度等。
将连续性方程作为子方程与动量方程以及能量守恒方程配合，可以构成流体力学的完整的解析解。
流体的连续性方程的研究始于十九世纪，在当时是用来解释热液
体流动规律，主要是推出了牛顿流体力学。
牛顿流体力学发展成为具
有机构形式的流体力学学科，其子物理概念包括特殊状态、 sound speed 、 entropy 、 viscosity 、 thermal expansion 。
19世纪末，在维护物理准则范畴内，费米、洛伦兹等人提出了另一种基本概念，
即物质守恒定律，提出了流体的连续性方程来描述流体的守恒。
20世纪，斯托克的定律得到普遍的认可，这为研究流体的流动建立了
基本的模型，流体的连续性方程及其拓展就成为了流体力学的重要组
成部分。
在传热、流体的传质等工程实践中，这一守恒方程经常利用
积分性质求解流体的流动特性，其直接影响着数值模拟和计算机模拟
及工程设计。
总之，流体的连续性方程是流体力学守恒方程，用来描述流体质
量变化，它以斯特古特定律为基础，守恒关系的积分可以用来求解流
体的流动特性。
这是利用工程数学方法模拟流体运动的重要依据，也
是流体力学重要的技术要素。
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第3章流体动力学基础
教学要点
一、教学目的和任务
1、本章目的
1）使学生掌握研究流体运动的方法
2）了解流体流动的基本概念
3）通过分析得到理想流体运动的基本规律
4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础
2、本章任务
1）了解描述流体运动的两种方法；
2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平
均流速等；
3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用
二、重点、难点
1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利
方程及其应用，动量方程及其应用。
2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应
用。
三、教学方法
本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。
所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。
流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。
研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体
流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。
3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法
一、流体运动要素
表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。
研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。
（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。
流场：将充满运动的连续流体的空间。
在流场中，每个流体质点
均有确定的运动要素。
二、研究流体运动的两种方法
研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
（1，质点的运动
要素是初始点坐标和时间的函数。
用于研究流体的波动和震荡等
（2）欧拉法（“站岗”的方法）
欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别
质点。
其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的
变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动
要素随位置的变化规律。
表征流体运动特征的速度、加速度、压强、密度等物理量均是
时间和空间坐标的连续函数。
在研究工程流体力学时主要采用欧拉法。
3.2 流体流动的一些基本概念
一、 定常流动和非定常流动
（据“流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随
时间而变”这一条件分）
1、定常流动
在流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间改变而只是坐标的函数，这种流动为定常流动。
表示为0=∂∂=∂∂=∂∂t t p
t u
ρ
，流体运动与
时间无关。
即p = p (x,y,z) u = u (x,y,z )
当经过流场中的A 点的流体质点具有不变的p 和u 时，则为定常
流动。
对离心式水泵，如果其转速一定，则吸水管中流体的运动就
是定常流动。
图 3..2.1 定常流动
图3.2..2 非定常流动
2、非定常流动
运动要素是时间和坐标的函数，即 p = p (x,y,z,t ) u =
u (x,y,z,t )
二、流线与迹线
1、流线
流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间
在该曲线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点和切线方向重合。
如图3.2.3中曲线CD 所示，
流线仅仅表示了某一瞬时（如0
t ），许多处在这一流线上的流体质
点的运动情况。
z y x u dz u dy u dx
u dl
=== 或z y x u dz u dy u dx ==
——流线的微分方程。
如果已知速度分布时，根据流线微分方程
可以求出具体流线形状。
③特性：流线不能相交，也不能折转。
气流绕尖头直尾的物体流动时，物体的前缘点就是一个实际存在
的驻点驻点上流线是相交的，因为驻点速度为零。
在定常流动流线不变，且所有处于流线上的质点只能沿流线运动。
图 3.2.3 流线图3.2.4 迹线
2、迹线
迹线——流场中，流体质点在某一段时间间隔内的运动轨迹。
如图示曲线AB就是质点M的迹线。
——迹线的微分方程，表示流体质点运动的轨迹。
二者区别：流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况；而迹线则是一个质点在一段时间内运动的轨迹。
（类比：波和振动图象）
在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。
在非定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。
三、流管、流束与总流
1、流管
在流场中画一封闭曲线(不是流线)，它所包围的面积很小，经过该封闭曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，称为流管。
图 3.2.5流管图3.2.6 微小流束
2、流束
充满在流管中的全部流体，称为流束。
断面为无穷小的流束——微小流束。
微小流束的断面面积→0时，微小流束变为流线。
3、总流
无数微小流束的总和称为总流。
水管中水流的总体，风管中气流的总体均为总流。
总流四周全部被固体边界限制，有压流。
如自来水管、矿井排
水管、液压管道。
按周界性质：总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触——无压流。
如河流、明渠
总流四周不与固体接触——射流。
如孔口、管嘴出流
图 3.2.7 总流
图3.2.8 过水断面
四、过水断面、流量及断面平均流速
1、过水断面
与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总流的过水断面(又称有效断面)，如图3—8所示。
过水断面——平面或曲面；
2、流量
流量可分为体积流量Q （m 3
/s ）和质量流量M （kg/s ）两类。
体积流量与质量流量的关系为 ρM
Q =
总流的流量等于同一过水断面上所有微小流束的流量之和，即
⎰⎰==A A
udA dQ Q
如果知道流速u 在过水断面的分布，则可通过上式积分求得通过该过水断面的流量。
3、断面平均流速
根据流量相等原则确定的均匀速度v ——断面平均流速（假想的流速）， A udA v A
⎰=
其实质是同一过水断面上各点流速u 对A 的算术平均值。
工程上常说的管道中流体的流速即是v 。
（可进而理解：就是体积流量被过水断面面积除得的商。
）
3.3 流体流动的连续性方程
在管路和明渠等流体力学计算中都得到极为广泛的应用。
根据流体运动时应遵循质量守恒定律， 对不可压缩流体，由于ρ为常数，其定常流动和非定常流动的连续性方程为
0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z
y
x
方程给出了通过一固定空间点流体的流速在x 、y 、z 轴方向的分量u x 、u y 、u z 沿其轴向的变化率是互相约束的，它表明对于不可压缩流体其体积是守恒的。
对于流体的二维流动，不可压缩流体二维定常流动的连续性方程为
0)
()
(=∂∂+∂∂y u x u y x
1、微小流束和总流的连续
性方程
（1）微小流束的连续性方程
如图所示，
=dM 111dA u ρ-222dA u ρ 由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得
111dA u ρ=2
22dA u ρ 图3.3.1 微小流束和总流的连续性
——可压缩流体微小流束的连续性方程。
对不可压缩流体的定常流动，ρ1=ρ2=ρ ⎭⎬⎫==22112
1dA u dA u dQ dQ ——不可压缩流体微小流束定常流动的连续性方程。
其物理意义是：在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相
等。
或者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变。
2、总流的连续性方程
将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A 1及A 2 进行积分可得
2
2211121dA u dA u A A ⎰⎰=ρρ 上式整理后可写成 ⎭
⎬⎫
==2211222111Q Q A v A v m m m m ρρρρ ——总流的連续性方程，它说明可压缩流体做定常流动时，总流的质量流量保持不变。
对不可压缩流体，ρ为常数，则 21Q Q =，2211A v A v =
——不可压缩流体定常流动总流连续性方程，其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过水断面面积↑处，流速↓；而过水断面面积处↓，流速↑。
选矿工业的中心传动浓密机、倾斜浓密箱、采矿用的水枪喷嘴及救火用的水龙喷嘴均是应用这一原理制成的。
小结：1、研究工程流体力学时主要采用欧拉法
2、流线、迹线等流体运动的一些基本概念
3、连续性方程的建立，微小流束→总流，实质是质量守衡。
思考题：3—1 定常流和非定常流的判别？
3—2 研究流体运动的两种方法；
3—3 流体流动的基本概念及其含义；为何提出“平均流速”的概念？定常流和非定常流的判别？
3—4 举例说明连续性方程的应用。
作业：习题3—1。