高一数学下学期开学收心考试试题

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黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，那么集合（）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误；对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。

湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案)

衡阳市八中2022级高一第二学期开学考试数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（）A ．{}12x x -<3．若a,b,c,d ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．若a >b,c >d ，则ac >bd B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若a >b ，则a −c >b −c D ．若a <b <0，则1a<1b4．下列各组函数表示同一个函数的是（） A ．x y x=与1y =B ．321x x y x +=+与y x= C ．211x y x -=-与1y x =+D ．221y x x =-+1y x =-5．把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（）A ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6．已知a =1log 832，b =π0.01，c =sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c 1，函数()y f x a =-有四个不同的的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4，则（） A ．a 的取值范围是(0,12) B ．21x x -的取值范围是(0,1)C ．342x x +=D ．12342212x x x x +=+ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（）A ．偶函数f(x)的定义域为[2a −1,a ]，则a =13B ．一次函数f(x)满足f(f(x))=4x +3，则函数f(x)的解析式为f(x)=x +1C ．奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，则2f(−4)+f(−2)=−15D ．若集合A ={x|−ax 2+4x +2=0}中至多有一个元素，则a ≤−2 10．已知函数()sin cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的图像关于原点对称 B ．函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在[]0,π上的值域为91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 在[],ππ-上有且仅有3个零点11．已知a,b 为正实数，且ab +2a +b =16，则（） A ．ab 的最大值为8 B ．2a +b 的最小值为8 C ．a +b 的最小值为6√2−3 D ．1a+1+1b+2的最小值为√2212．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（） A ．函数()f x 关于直线1x =对称 B ．4是函数()f x 的周期 C ．()()202220230f f += D ．方程ln f xx 恰有4个不同的根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知θ∈(π2，π),且sin θ=35,则tanθ=______.14．已知幂函数f(x)经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．15．已知函数f(x)=cos(2x −π3)在(0，m)上的值域为(12，1]，则m 的取值范围是_________． 16．已知函数f(x)=3x 3x +1+x 3，且f(m)+f(m +1)>1，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题p ：∀x ∈R,ax 2+2x +3≥0；q ：∃x ∈[1,2],使x 2+2x +a ≥0. (1)若命题p 是假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 是假命题，命题q 是真命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()1ln1x f x x +=-． (1)判断函数()f x 在()1+∞，上的单调性，并利用定义证明； (2)解不等式()()2232470f x x f x x +++-+->．19．（本小题满分12分）已知函数2()23cos 2cos 1f x x x x a =-++，a ∈R ，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求a 的值及函数()f x 的单调递增区间； (2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．20.（本小题满分12分） (1)已知tan (π4+α)=12，求sin 2a−cos 2α1+cos2a的值.(2)求sin40∘(tan10∘−√3)的值.21．（本小题满分12分）2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x 千部手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)试写出2023年利润L （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式； (2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．22．（本小题满分12分）已知函数()f x 22x x k -=+⨯，其中 k 为常数．若函数()f x 在区间 I 上()()f x f x -=-，则称函数()f x 为 I 上的“局部奇函数”；若函数()f x 在区间 I 上满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为 I 上的“局部偶函数”．(1)若()f x 为[]22-,上的“局部奇函数”，当[]2,2x ∈-时，解不等式()2f x >； (2)已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[)(]2,11,2--上是“局部偶函数”，()()[]()[)(],1,1,2,11,2f x x F x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈--⋃⎪⎩，对于[]22-,上任意实数123x x x ，，，不等式()()()123F x F x m F x +>+恒成立，求实数m 的取值范围．衡阳市八中2022级高一第二学期开学考试参考答案：1．B【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B. 2．B【详解】命题“()0,0x ∃∈-∞，002sin 0xx +<”的否定是：对(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x +≥.故选：B 3．C【详解】对于A ，若a =2,b =1,c =−1,d =−2，则ac =bd =−2，所以A 错误；对于B ，若c =0，则ac 2=bc 2=0，所以B 错误；对于C ，因为a >b ，所以由不等式的性质可得a −c >b −c ，所以C 正确；对于D ，因为a 0，所以a ab ++，故B 正确；选项C 函数211x y x -=-的定义域为{}|1x x ≠，而1y x =+的定义域为R ，故C 错误；选项D 函数221y x x -+R ，而1y x =-的定义域为R ，但是2211y x x x =-+-，故解析式不一样，所以D 错误；故选：B. 5．B【详解】将πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象先向左平移π3个单位长度得到πππsin +=sin +4312y x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到πsin +212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()πsin +212x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：B ． 6．D【详解】∵sin π4<sin1<sin π3,∴√22<c <√32；又a =1log 832=log 328=log 2523=35,b =π0.01>π0=1，.∵√22=5√210>610=35，√32<1，∴a <c ，故排除D 选项； ()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==，当2x >时，0f x，即()f x 在()2+∞，上单调递增，故排除C 选项. 故选：B. 8．D【详解】()y f x a =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，即()f x a =有四个不同的解．()f x 的图象如下图示，由图知：1201,01a x x <<<<<，所以210x x ->，即21x x -的取值范围是(0,＋∞)．由二次函数的对称性得：344x x +=，因为121221x x -=-，即12222x x +=，故12342212x x x x +=+．故选：D 9．AC【详解】对A ，∵偶函数f(x)的定义域为[2a −1,a ],∴2a −1=−a,解得a =13，A 对；对B ，设一次函数f(x)=kx +b(k ≠0)，则f(f(x))=f(kx +b)=k(kx +b)+b =k 2x +kb +b,∵f(f(x))=4x +3,∴{k 2=4kb +b =3，解得{k =2b =1,或{k =−2b =−3,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x +1或f(x)=−2x −3,B 错；对C,∵奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，∴f(2)=−1，f(4)=8，∴f(−2)=−f(2)=1，f(−4)=−f(4)=−8, 2f(−4)+f(−2)=2×（−8）+1=−15,C 对；对D ，∵集合A ={x |−ax 2+4x +2=0}中至多有一个元素，∴方程−ax 2+4x +2=0至多有一个解，当a =0时，方程4x +2=0只有一个解−12，符合题意；当a ≠0,由−ax 2+4x +2=0至多有一个解，可得∆=16+8a ≤0，解得a ≤−2，∴a =0或a ≤−2,D 错.故选AC 10．BD【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ．因为()()()sin cos 2sin cos2f x x x x x -=-+-=-+，所以()()f x f x -≠-，则函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 错误．对于B ，()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，sin y x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，即[]sin 1,0x ∈-，令sin x t =，[]1,0t ∈-时，函数221y t t =-++在[]1,0-上单调递增，根据复合函数单调性，故B 正确．对于C ，当[]0,x π∈，即[]sin 0,1∈x 时，[]0,1t ∈，则问题转化为函数221y t t =-++在[]0,1上的值域，二次函数对称轴方程为14t =，故函数221y t t =-++在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当14x =时，取得最大值为98，当1x =时，取得最小值为0，故值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误．对于D ，令()sin cos20f x x x =+=，即22sin sin 10x x -++=，解得sin 1x =或1sin 2x =-，当[],x ππ∈-时，2x π=或6x π=-或65x π=-，故函数()f x 在[],ππ-上有3个零点，故D 正确．故选：BD ． 11．ABC【详解】因为16=ab +2a +b ≥ab +2√2ab ，当且仅当2a =b 时取等号，解不等式得 −4√2≤√ab ≤2√2，即ab ≤8，故ab 的最大值为8，A 正确；由16=ab +2a +b 得b =16−2a a+1=18a+1−2，所以2a +b =2a +16−2a a+1=2(a +1)+18a+1−4≥2√2(a +1)∙18a+1−4=8，当且仅当2(a +1)=18a+1，即a =2时取等号，此时取得最小值8，B 正确；a +b =a +18a+1−2=a +1+18a+1−3≥6√2−3,当且仅当a +1=18a+1，即a =3√2−1时取等号，C 正确；1a+1+1b+1≥2√1a+1∙1b+1=2√1ab+2a+b+2=√23，当且仅当a +1=b +2时取等号，此时1a+1+1b+1取得最小值√23，D 错误. 故选ABC. 12．ABD【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数，所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+ 所以()f x 关于1x =对称，故A 正确. 对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=- 所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象，又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确. 故选： ABD 13．−34【详解】θ∈(π2，π),且sin θ=35∴cos θ=√1−sin 2θ=−45，则tan θ=sinθcosθ=−34故答案为:−34.14．{01}xx <<∣ 【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =，则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<，解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<，故答案为：{}1|0x x <<. 15．(π6,π3]【详解】因为x ∈(0,m),所以−π3<2x −π3<2m −π3,因为f(x)在(0，m)上的值域为(12,1]，f(0)=cos(−π3)=12，所以0<2m −π3≤π3，解得π6<m ≤π316．m >−12 【详解】由3x 3x +1联想到构造3x −13x +1,因为f(0)=12，所以考虑f(x)−12=12∙3x −13x +1+x 3,令g(x)=f(x)−12,可知函数g(x)为奇函数且单调递增。

贵州高一下学期开学考试数学试题(解析版)

高一年级数学试卷一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合，集合，则（） {}1A x x =>{}03B x x =<<A B = A.B. C. D. (0,1)(1,3)(1,)+∞(0,3)【答案】B【解析】【分析】直接计算交集即可.【详解】集合，集合，.{}1A x x =>{}03B x x =<<{}13A B x x ⋂=<<故选：B2. 已知为奇函数，当时，，则（） ()f x 0x >()1f x =()2f -=A.B. 1-1+C. D.1-1--【答案】C【解析】【分析】先由题设条件得到，再利用的奇偶性求得即可. ()21f =-()f x ()2f -【详解】因为当时，， 0x >()1f x =-所以，()21f =-又因为为奇函数，()f x所以. ()())2211f f -=-=--=-故选：C.3. 已知函数，则（） ()()3log 3,022,0x x x f x x -⎧+>=⎨+≤⎩()()2f f -=A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再求得的值即可.(2)f -()()2f f -【详解】由题意，所以， ()()3log 3,022,0x x x f x x -⎧+>=⎨+≤⎩(2)(2)226f ---=+=故，()()32(6)log (63)2f f f -==+=故选：B .4. 若幂函数y =f （x ）的图象经过点（16，4），则幂函数f （x ）是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数【答案】C【解析】【分析】求出的解析式，分别研究的奇偶性、单调性可得结果.()f x ()f x 【详解】设，则，解得：， ()f x x α=416α=12α=∴，则的定义域为，12()f x x ==()f x [0,)+∞∴非奇非偶，在上单调递增.()f x ()f x [0,)+∞故选：C.5. 设，，，则（） 21log 3a =131()2b =121(3c =A.B. C. D. c b a <0c >312b =3321()3c ===12>，得.b c ∴>b c a >>故选：D6. 函数的部分图象大致是（）()sin f x x x =⋅A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. ()f x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】函数的定义域为，，()sin f x x x =⋅R ()()()sin sin f x x x x x f x -=--==函数为偶函数，排除BD 选项，()f x 当时，，则，排除C 选项.02x π<<sin 0x >()sin 0f x x x =⋅>故选：A.7. 若不等式的解集为，则的取值范围是（）2210ax ax +-<R a A.B. 10a -<<10a -≤<C.D.10a -≤≤10a -<≤【答案】D【解析】【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.a 【详解】①当时，成立0a =10-<②当时，若不等式的解集为，0a ≠2210ax ax +-<R 则不等式在恒成立， 2210ax ax +-<R 则， ()()220Δ241440a a a a a <⎧⎪⎨=-⨯⨯-=+<⎪⎩解得：10a -<<综上，实数的取值范围是a 10a -<≤故选：D.8. 把函数的图象向右平移个单位，所得的图象正好关于轴对称，则的最小正值为4cos(3y x π=+ϕy ϕ（）A. B. C. D.6π56π43π3π【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换得到，再结合三角函数的图象与性质，即可求解. 4cos()3y x πϕ=-+【详解】把函数的图象向右平移个单位， 4cos()3y x π=+ϕ所得的图象对应的函数解析式为， 4cos()3y x πϕ=-+再根据所得函数的图象正好关于轴对称，可得， y 4,3k k πϕπ-+=∈Z 即，所以的最小正值为. 4,3k k πϕπ=-∈Z ϕ3π故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. 下列命题为假命题的是（）A. 若,则a b >22ac bc >B. 若,,则23a -<<12b <<42a b -<-<C. 若,,则 0b a <<0m <m m a b>D. 若,,则a b >c d >ac bd >【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质对照选项一一进行判断即可得出结果。

高一数学下学期开学考试试题含解析

卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若全集均为二次函数，，则不等式组的解集可用、表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由，则，，所以不等式组的解集为.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、补运算，理解集合的交、补概念，属于基础题.2. 如图所示，已知灯塔A在观察站C北偏东20°，距离为，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为，则灯塔A 与灯塔B的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，，，,所以.故选：D【点睛】本题考查余弦定理在生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.3. 若变量满足不等式组，则的最大值为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合即可得到最大值.【详解】不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由可得，平移直线，则由图像可知：当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时.故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，考查了数形结合的思想，属于基础题.4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.5. 若三个正实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出的关系以及范围，再利用不等式的性质以及指数函数、对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】三个正实数满足，可得或，对于A，当时，不成立；对于B，当时，不成立；对于C，当或时，均成立；对于D，，显然当时，则，，即不成立.故选：C【点睛】本题考查了不等式性质、指数函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题.6. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质7. 已知数列的前项和为，且满足：，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由递推关系式构造为等比数列，再根据与的关系求出的通项公式，利用对数的运算性质即可求解.【详解】由，则，即，所以，且所以是以为首项，为公比的等比数列，所以（1），当时，（2），（1）（2）相减可得：，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了递推关系式研究数列的性质、构造数列求数列的通项公式，与的关系，属于中档题.8. 函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用基本不等式求出，换元可得，再根据二次函数的图象与性质即可求解.【详解】，令，由，则，当且仅当时取等号，所以，二次函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，所以.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式，属于中档题.9. 已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A. 2019B. 2021C. 2022D. 2023【答案】D【解析】【分析】根据递推关系式可得数列是以为周期的数列，由，从而可得，即可求解.【详解】由，，所以，，，所以数列是以为周期的数列，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了数列的递推关系求数列的性质、数列周期性的应用，属于基础题.10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移，所得的函数是，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的伸缩平移变换求出，然后再利用正切函数的单调性即可比较出大小.【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，则，然后向右平移，所以，函数在上单调递增，由，则，即，又，所以.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换、正切函数的单调性比较大小，属于基础题.11. 设函数，则方程的解的个数是（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据的解析式作出函数的图像，再将的图像向右平移一个单位得到的图像，由的图像与的图像关于对称，根据数形结合即可求解.【详解】作出函数的图像，将的图像向右平移一个单位得到的图像，因为的图像与的图像关于对称，根据对称性做出的图像：由图可知，方程的解的个数个.故选：A【点睛】本题考查了求方程根的个数，考查了数形结合的思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.12. 已知函数时的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，则求出的范围，再由函数的值域可得，解不等式即可求解.【详解】由，则，函数的值域为，则，解得.故选：B【点睛】本题考查了正弦函数的性质、根据函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于__________．【答案】201【解析】【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值．【详解】由，，，1，得，、、的取值有以下情况：当时，、或、，此时不满足题意；当时，、或、，此时不满足题意；当时，、，此时不满足题意；当时，、，此时满足题意；综上得，、、，代入，故答案为：201．【点睛】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．14. 已知都是非零向量，，，则的夹角为________.【答案】【解析】分析】根据向量垂直，数量积等于零可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由，则，即，所以，又，所以，所以的夹角为.故答案为：【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量垂直时的数量积关系，考查了基本运算能力，属于基础题.15. 若函数恰有2个零点，则的取值范围是______.【答案】，．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，如图：若函数恰有2个零点，即函数图象与轴有且仅有2个交点，则或，即的取值范围是：，故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.16. 在中，角的平分线交边于点，且，又，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用边角互化可得，根据角平分线定理可得，在与中，由，利用余弦定理即可求解.【详解】由，根据正弦定理可得：，角的平分线交边于点，，，即，解得，在与中，，则，由，，余弦定理可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，掌握定理是解题的关键，属于基础题.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可求解.（2）利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后再切化弦即可求解.【详解】（1）；（2），所以或（舍）.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题.18. 已知函数（1）若，证明：；（2）若，且，求的取值范围；（3）若，且方程有个不同的根，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由，可得，将等式两边分别代入解析式即可证明.（2）根据题意可得函数为增函数，只需在恒成立，分离参数即可求解.（3）利用导数确定函数的单调区间，作出函数的大致图像，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，则，所以左边，右边，即证.（2）由，，则函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，只需，设，由，所以，所以.（3）当时，则，令，解得或；令，解得，所以函数的单调递增区间为，，函数单调递减区间为，且，，在同一坐标系中作出与的图像如图所示：方程有个不同的根，由图像可知：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据单调性求参数的取值范围、由方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.19. 在中，角所对边分别为，且.（1）求角；（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（2）由余弦定理得，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出的面积最大值，由等面积法即可求解.【详解】（1）由得，，由正弦定理得，，所以，又，，所以，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，所以，当且仅当时取等号.所以，，所以当且仅当时，时的面积的最大值为.设的内切圆半径为，则，所以.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题. 20. 如图，点在圆心为原点.半径分别为和的圆周上运动，其中逆时针，顺时针.角的始边都是轴的正半轴.终边分别为和为坐标原点），且，.（1）若，且，求的值；（2）设，且，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由可得，从而可得，求出，根据的取值范围即可求解.（2）将与利用坐标表示，再根据向量数量积的坐标表示可得，再由，根据三角函数的性质即可的值域.【详解】（1）由有，即，所以，因为，所以，，故（2）由题设，，所以，即，因为，所以，从而和时取等），故的值域是【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、求三角函数的值域，属于基础题.21. 已知等差数列的前项和为，且成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及前项和的公式求出，代入通项公式即可.（2）判断出数列从第六项为负，分类讨论：当时或当时，利用等差数列前项和公式即可求解.（3）利用裂项求和法求出数列的前项和，恒成立，转化为，利用单调性求出的最大值即可.【详解】（1）令等差数列的公差为.由于成等比数列，所以，又，所以，所以.（2）记数列的前项和为，令，得，当时，，当时，所以（3）由于，所以，由于对于任意的，都有恒成立，所以，当时，单调递增，所以当时，，当时，，所以所以，所以的取值范围为.【点睛】本题考查等差数列的前项和的公式、通项公式、裂项求和法、数列不等式，考查了分类讨论的思想，属于中档题.22. 已知函数的定义域为，满足.（1）若，求的值；（2）若时，.①求时的表达式；②若对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，将代入表达式根据等式即可求解.（2）利用，当时，，代入表达式即可求解.（3）根据题意可得在每一段区间上，函数都有最大值点，从而可得当时，恒成立；当时，可解得两个根或，数形结合即可求解.【详解】（1）由，则解得：（2）函数的定义域为，满足，且当时，，又当时，，则有，当时，则有，当时，，则有.（3）如图所示：函数在每一段区间上，图像为以为对称轴的抛物线的一部分，在每一段区间上，函数都有最大值点，当时，即时，恒成立；当时，解得或，将这两个值标注在图中，对任意，都有，必有，即实数的取值范围为.【点睛】本题是压轴题，考查了函数的平移伸缩、恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决，属于难题.学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若全集均为二次函数，，则不等式组的解集可用、表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由，则，，所以不等式组的解集为.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、补运算，理解集合的交、补概念，属于基础题.2. 如图所示，已知灯塔A在观察站C北偏东20°，距离为，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，，，,所以.故选：D【点睛】本题考查余弦定理在生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.3. 若变量满足不等式组，则的最大值为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合即可得到最大值.【详解】不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由可得，平移直线，则由图像可知：当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时.故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，考查了数形结合的思想，属于基础题.4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.5. 若三个正实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出的关系以及范围，再利用不等式的性质以及指数函数、对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】三个正实数满足，可得或，对于A，当时，不成立；对于B，当时，不成立；对于C，当或时，均成立；对于D，，显然当时，则，，即不成立.故选：C【点睛】本题考查了不等式性质、指数函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题. 6. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质7. 已知数列的前项和为，且满足：，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由递推关系式构造为等比数列，再根据与的关系求出的通项公式，利用对数的运算性质即可求解.【详解】由，则，即，所以，且所以是以为首项，为公比的等比数列，所以（1），当时，（2），（1）（2）相减可得：，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了递推关系式研究数列的性质、构造数列求数列的通项公式，与的关系，属于中档题.8. 函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用基本不等式求出，换元可得，再根据二次函数的图象与性质即可求解.【详解】，令，由，则，当且仅当时取等号，所以，二次函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，所以.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式，属于中档题.9. 已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A. 2019B. 2021C. 2022D. 2023【答案】D【解析】【分析】根据递推关系式可得数列是以为周期的数列，由，从而可得，即可求解.【详解】由，，所以，，，所以数列是以为周期的数列，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了数列的递推关系求数列的性质、数列周期性的应用，属于基础题. 10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移，所得的函数是，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的伸缩平移变换求出，然后再利用正切函数的单调性即可比较出大小.【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，则，然后向右平移，所以，函数在上单调递增，由，则，即，又，所以.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换、正切函数的单调性比较大小，属于基础题.11. 设函数，则方程的解的个数是（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据的解析式作出函数的图像，再将的图像向右平移一个单位得到的图像，由的图像与的图像关于对称，根据数形结合即可求解.【详解】作出函数的图像，将的图像向右平移一个单位得到的图像，因为的图像与的图像关于对称，根据对称性做出的图像：由图可知，方程的解的个数个.故选：A【点睛】本题考查了求方程根的个数，考查了数形结合的思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.12. 已知函数时的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，则求出的范围，再由函数的值域可得，解不等式即可求解.【详解】由，则，函数的值域为，则，解得.故选：B【点睛】本题考查了正弦函数的性质、根据函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于__________．【答案】201【解析】【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值．【详解】由，，，1，得，、、的取值有以下情况：当时，、或、，此时不满足题意；当时，、或、，此时不满足题意；当时，、，此时不满足题意；当时，、，此时满足题意；综上得，、、，代入，故答案为：201．【点睛】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．14. 已知都是非零向量，，，则的夹角为________.【答案】【解析】分析】根据向量垂直，数量积等于零可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由，则，即，所以，又，所以，所以的夹角为.故答案为：【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量垂直时的数量积关系，考查了基本运算能力，属于基础题.15. 若函数恰有2个零点，则的取值范围是______.【答案】，．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，如图：若函数恰有2个零点，即函数图象与轴有且仅有2个交点，则或，即的取值范围是：，故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.16. 在中，角的平分线交边于点，且，又，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用边角互化可得，根据角平分线定理可得，在与中，由，利用余弦定理即可求解.【详解】由，根据正弦定理可得：，角的平分线交边于点，，，即，解得，在与中，，则，由，，余弦定理可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，掌握定理是解题的关键，属于基础题.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可求解.（2）利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后再切化弦即可求解.【详解】（1）；（2），所以或（舍）.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题.18. 已知函数（1）若，证明：；（2）若，且，求的取值范围；（3）若，且方程有个不同的根，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由，可得，将等式两边分别代入解析式即可证明.（2）根据题意可得函数为增函数，只需在恒成立，分离参数即可求解. （3）利用导数确定函数的单调区间，作出函数的大致图像，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，则，所以左边，右边，即证.（2）由，，则函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，只需，设，由，所以，所以.（3）当时，则，令，解得或；令，解得，所以函数的单调递增区间为，，函数单调递减区间为，且，，在同一坐标系中作出与的图像如图所示：方程有个不同的根，由图像可知：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据单调性求参数的取值范围、由方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.19. 在中，角所对边分别为，且.（1）求角；（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（2）由余弦定理得，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出的面积最大值，由等面积法即可求解.【详解】（1）由得，，由正弦定理得，，所以，又，，所以，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，所以，当且仅当时取等号.所以，，所以当且仅当时，时的面积的最大值为.设的内切圆半径为，则，所以.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.20. 如图，点在圆心为原点.半径分别为和的圆周上运动，其中逆时针，顺时针.角的始边都是轴的正半轴.终边分别为和为坐标原点），且，.（1）若，且，求的值；（2）设，且，求函数的值域.【答案】（1）；（2）（1）由可得，从而可得，求出，根据的取值范围即可求解.（2）将与利用坐标表示，再根据向量数量积的坐标表示可得，再由，根据三角函数的性质即可的值域.【详解】（1）由有，即，所以，因为，所以，，故（2）由题设，，所以，即，因为，所以，从而和时取等），故的值域是【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、求三角函数的值域，属于基础题.21. 已知等差数列的前项和为，且成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及前项和的公式求出，代入通项公式即可.（2）判断出数列从第六项为负，分类讨论：当时或当时，利用等差数列前项和公式即可求解.（3）利用裂项求和法求出数列的前项和，恒成立，转化为，利用单调性求出的最大值即可.【详解】（1）令等差数列的公差为.由于成等比数列，所以，又，所以，所以.（2）记数列的前项和为，令，得，当时，，当时，所以（3）由于，所以，由于对于任意的，都有恒成立，所以，当时，单调递增，所以当时，，当时，，所以所以，所以的取值范围为.【点睛】本题考查等差数列的前项和的公式、通项公式、裂项求和法、数列不等式，考查了分类讨论的思想，属于中档题.22. 已知函数的定义域为，满足.（1）若，求的值；（2）若时，.①求时的表达式；②若对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，将代入表达式根据等式即可求解.（2）利用，当时，，代入表达式即可求解.（3）根据题意可得在每一段区间上，函数都有最大值点，从而可得当时，恒成立；当时，可解得两个根或，数形结合即可求解.【详解】（1）由，则解得：（2）函数的定义域为，满足，且当时，，又当时，，则有，当时，则有，当时，，则有.（3）如图所示：函数在每一段区间上，图像为以为对称轴的抛物线的一部分，在每一段区间上，函数都有最大值点，当时，即时，恒成立；当时，解得或，将这两个值标注在图中，对任意，都有，必有，即实数的取值范围为.【点睛】本题是压轴题，考查了函数的平移伸缩、恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决，属于难题.。

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)_4

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算．【详解】由已知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D.【答案】D【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3. 已知.若与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（）A. B. C. D.【答案】A试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) A. 10海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得．综上所述，．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9. 已知函数，下面结论错误的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10. 若函数最大值是8，则（）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．16. 设，则________.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，，，.（1）若，求实数的值；（2）若.①求向量和夹角的余弦值；②当时，求实数的值．【答案】（1）；（2）①，②【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且.令，即，又，不共线，所以，所以.（2）①设与夹角为，又，②，，又，，..【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．夹角公式：.向量垂直：.20. 在中，，，分别是，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以．（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，，，令整理得，，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算．【详解】由已知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3. 已知.若与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得．综上所述，．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9. 已知函数，下面结论错误的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10. 若函数最大值是8，则（）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．16. 设，则________.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，，，.（1）若，求实数的值；（2）若.①求向量和夹角的余弦值；②当时，求实数的值．【答案】（1）；（2）①，②【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且.令，即，又，不共线，所以，所以.（2）①设与夹角为，又，②，，又，，..【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．夹角公式：.向量垂直：.20. 在中，，，分别是，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以．（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，，，令整理得，，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.。

高一数学下学期开学考试试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校云天化二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕第I 卷一、选择题〔本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分.每一小题只有一个．．．．选项符合题意.〕 1.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,假设cos cos sin b C c B a A +=,那么ABC ∆的形状为〔〕A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，属于根底题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径. 2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么A.25n a n =-B.310n a n =-C.228nS n n=-D.2122nS n n =- 【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．此题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，应选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，应选A ．【点睛】此题主要考察等差数列通项公式与前n 项和公式，浸透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 3.在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，BC =AC =〔〕A.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】解：在ABC ∆中，可得sin sin BC ACA B=, 260sin 45AC，即22AC ，解得AC =应选C.【点睛】此题考察了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是纯熟运用正弦定理公式.4.在ABC ∆中，cos25C =,BC=1,AC=5，那么AB=A. D.【答案】A 【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为223cos 2cos 121,25C C=-=⨯-=-所以22232cos 125215()325ca b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.5.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC 的面积为2224a b c +-，那么C =A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C 【解析】分析：利用面积公式12ABCSabsinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进展计算可得．详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC = 应选C.点睛：此题主要考察解三角形，考察了三角形的面积公式和余弦定理． 6.如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，那么sin C的值是〔〕B.【答案】D 【解析】【分析】在ABD ∆中，利用余弦定理可求cos A ，根据同角的三角函数的根本关系式求出sin A 后在ABC ∆中利用正弦定理可求sin C .【详解】设ABa ，∴AD a =，BD =，2BC BD ==在ABD ∆中，2222224213cos 223a a AB AD BD A AB AD a -+-===⋅，因为A 为三角形的内角，∴sin 3==A . 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin 436AB C A BC =⋅==. 应选：D.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或者角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．7.如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，那么此山的高度CD =()m .A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设此山高h 〔m 〕，在BCD ∆中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC ∆中利用正弦定理求得h ．【详解】设此山高h 〔m 〕，那么BC =，在ABC ∆中，30BAC︒∠=，105CBA ︒∠=，45BCA ︒∠=，600AB =，根据正弦定理得6003045sin sin ︒︒=，解得h =m 〕，应选：B .【点睛】此题考察正弦定理在实际中的应用，考察识图才能，属于常考题.第二卷二、填空题〔本大题一一共3小题，每一小题5分，一共15分〕 8.在等差数列{}n a 中，假设3456725a a a a a ++++=，那么28aa +=__________.【答案】10 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故答案为10．9.ABC ∆中，120A ︒=，4AC =，5AB =，那么ABC ∆的面积为____.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，易得ABC ∆的面积为1sin 2S AC AB A =⨯⨯∠，然后代入相关数据计算可得答案. 【详解】在ABC ∆中，120A ︒=，4AC =，5AB =，∴ABC ∆的面积为11sin 45222S AC AB A =⨯⨯∠=⨯⨯⨯=∴ABC ∆的面积为【点睛】此题考察正弦定理的应用，解题关键是纯熟掌握三角形面积公式，属于常考题.10.在ABC 中，60,B AC ==，那么AB BC +的最大值为___________．【答案】【解析】由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，即：221322a c ac+-=，整理可得：()2233332a c a c ac +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，解得：a c +≤当且仅当a c ==那么AB BC +，即a+c 的最大值为三、解答题〔本大题4小题，第11--12小题每一小题12分；第13-14小题，每一小题13分，一共50分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．〕 11.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，17a =-，315S =-．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求n S ，并求n S 的最小值．【答案】〔1〕a n =2n –9，〔2〕S n =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】分析：〔1〕根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，〔2〕根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解：〔1〕设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．〔2〕由〔1〕得S n =n 2–8n =〔n –4〕2–16．所以当n =4时，S n 获得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.12.在ABC ∆中，60A ∠=，3.7ca =()1求sin C 的值；()2假设7a =，求ABC ∆的面积．【答案】〔1〔2〕【解析】【分析】()1由37c a =，根据正弦定理可得3sin sin 7C A =，从而可求出答案；()2根据同角的三角函数的关系求出cos C ，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sin B ，利用三角形面积公式计算即可．【详解】〔1〕60A ∠=，37ca =，由正弦定理可得33sin sin 77C A ===〔2〕假设7a =，那么3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由()1可得13cos 14C =，()131sin sin sin cos cos sin 142B A C A C A C ∴=+=+=+=11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯= 【点睛】此题考察了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于根底题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.13.a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．〔1〕求A ．〔2〕假设2a =，ABC ，求b ，c ．【答案】(1)60A =︒；(2)2b c ==.【解析】试题分析：〔1〕由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，那么60A =︒．〔2〕由题意结合三角形面积公式可得12Sbc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，那么2b c ==．试题解析：〔1〕∵在ABC 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得31sinA cosA -=，即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．〔2〕假设2a=，ABC 的面积为3，那么13324S bc sinA bc =⋅==， ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=，∴4b c +=，故2b c ==．14.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin B C； (2)假设AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【答案】〔1〕12；〔2〕1 【解析】试题分析：〔1〕借助题设条件运用三角形的面积公式求解；〔2〕借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析：〔1〕，1sin 2ACDS AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABDACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.〔2〕∵::2:1ABD ACD BD DCS S ∆∆==，DC =，∴BD =．设AC x =，那么2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅22223cos 2xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，223x-=1x =，即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。

高一数学下学期开学考试试题含解析试题1

智才艺州攀枝花市创界学校官渡区第一二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.假设集合{}2|60M x x x =--<，{}2|log 2N x x =<，那么M N ⋃=〔〕A.(]2,4- B.()0,3C.()2,4-D.[)2,4-【答案】C 【解析】【分析】解不等式确定集合,M N ，再由并集定义计算．【详解】由{}2|60{|23}M x x x x x =--<=-<<，{}2|log 2{|04}N x x x x =<=<<，∴{|24}MN x x =-<<．应选：C ．【点睛】此题考察集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质． 2.假设a ，b 是任意实数，且a >b ，那么以下不等式成立的是() A.a 2>b 2B.1b a< C.lg(a －b )>0D.11()()33a b < 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 中1,2ab ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的 3.()()()1,2,2,3,3,4a b c ===.假设ka b +与c 一共线，那么实数k 的值是〔〕A.12-B.1710-C.1811-D.1-【答案】A 【解析】【分析】先由()()1,2,2,3,ab ==求出ka b +的坐标表示,再由ka b +与c 一共线,即可求出结果.【详解】因为()()1,2,2,3,a b ==所以()=2,23ka b k k +++,又()3,4c =,ka b +与c 一共线,所以()()242330k k +⨯-+⨯=,解得12k =-. 应选:A .【点睛】此题主要考察向量的坐标运算,熟记一共线向量定理即可,属于根底题型,难度较易. 4.假设11tan ,tan()32ααβ=+=,那么tan =β〔〕 A.17B.16C.57D.56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，应选A. 考点：两角和与差的正切公式．5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了〔〕A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】A 【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q =的等比数列,设该数列为{}n a ,其前n 项和为n S那么有6161(1())2378112a S -==-,解得1192a =, 故2196a a q ==,应选:A.【点睛】此题考察了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6.cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么sin 2α=〔〕A.45B.25C.45±D.25±【答案】A 【解析】【分析】由cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,由于cos 2=sin 22παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭即可解得所求.【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-,所以4sin 25α=. 应选:A .【点睛】此题考察了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考察了学生的计算才能,难度较易. 7.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座，海轮在A 处观察，其方向是南偏东70°，在B 处观察，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的间隔是()海里海里【答案】B 【解析】根据条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120BC ⨯=应选B. 8.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(,2]-∞B.(,2)-∞-C.(2,2]-D.(2,2)-【答案】C 【解析】当20a -=即2a =时，()40f x =-<恒成立，所以2a =符合题意；当20a -≠即2a≠时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和x 轴没交点，所以2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩，解得22a -<<．综上所述，22a -<≤．所以选C ．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与x 轴的位置关系解决此题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9.函数()3()sin 42f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的选项是〔〕A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D.函数()f x 是偶函数【答案】B 【解析】【分析】函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A 、C 、D 都正确．【详解】对于函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，它的周期等于242ππ=，故A 正确．令4x π=，那么()cos 14f ππ==-，那么4x π=是()f x 的对称轴，故C 正确．由于()cos(4)cos 4()f x x x f x -=-==，故函数()f x 是偶函数，故D 正确．利用排除法可得B 错误；应选：B ．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题． 10.假设函数()|3sin 4cos |f x x x m =++的最大值是8，那么m =〔〕A.3B.13C.3或者3-D.3-或者13【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可. 【详解】()|3sin 4cos |f x x x m =++()|5sin()|f x x m ϕ∴=++， 55sin()5x ϕ-≤+≤,∴当0m >时，max ()|5|8f x m =+=,解得3m =，当0m <时，max ()|5|8f x m =-+=，解得3m =-，应选：C【点睛】此题主要考察了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11.函数()a f x x 的图象过点()4,2，令*1,(1)()n a n f n f n =∈++N .记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2021S =〔〕11【答案】D 【解析】【分析】由条件推导出n a =*n N ∈．由此利用裂项求和法能求出2021S ．【详解】解：由()42f =，可得42a=，解得12a =，那么12()f x x =.∴1(1)()na f n f n ===-++，【点睛】此题考察了函数的性质、数列的“裂项求和〞，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，那么a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]0,1【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用别离变量法可得31a xx -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是可以利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用别离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.向量(0,2a =-，()1,3b =，那么向量a 在b 方向上的投影为_______．【答案】-3 【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为(0,2a =-，()1,3b =，所以23a =，(212b =+=，(1+06a b ⋅=⨯-=-，所以向量a 在b 方向上的投影为632a b b⋅-==-，故答案为：-3.【点睛】此题考察向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于根底题. 14.等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，那么使n S 获得最大值的n 为_______.【答案】6 【解析】【分析】由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 到达最大值时对应的项数n 的值是6．故答案为：6【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题．15.0,0,lg 2lg8lg 2,x y xy >>+=那么113x y+的最小值是. 【答案】4 【解析】lg2x＋lg8y＝x lg2＋3y lg2＝lg2，∴x ＋3y ＝1，∴113x y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16.设4()42xxf x =+，那么1231920202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】192【解析】【分析】根据()(1)f x f x +-为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】1144()(1)4242x xx xf x f x --+-=+++ 444214242442x x x x x +=+==++⋅+， 1231919202020202f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：192【点睛】此题主要考察了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分． 17.{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b=，39b =，11a b =，144a b =．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设nn n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2312n n -+【解析】【分析】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；〔2〕由〔1〕求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=，又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．〔2〕由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，那么数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-．【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 18.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.()06f π=.〔Ⅰ〕求ω；〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】(Ⅰ)2ω=. (Ⅱ)32-. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=- 由题设知()06f π=及03ω<<可得.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=-- 由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈. 故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=- 因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 获得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是无视设定角的范围.难度不大，能较好的考察考生的根本运算求解才能及复杂式子的变形才能等.19.向量a ，b 不一共线，且满足2a =，1b =，32c a b =-，2d a kb =+. 〔1〕假设c d ，务实数k 的值；〔2〕假设2a b -=. ①求向量a 和b 夹角的余弦值；②当c d ⊥时，务实数k 的值．【答案】〔1〕43k=-；〔2〕①14，②44 【解析】【分析】〔1〕两向量平行即一共线，利用一共线向量定理可求.〔2〕①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】〔1〕c d ∥，且0c ≠. 令d c λ=，即2(32)a kba b λ+=-，又a ，b 不一共线，所以232k λλ=⎧⎨=-⎩，所以43k =-. 〔2〕①设a 与b 夹角为θ，又，1b = ②c d ⊥，0c d ∴⋅=，又，1b =，12a b ∴⋅=. 44k ∴=.【点睛】考察向量的一共线，垂直和夹角公式.一共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b ，存在实数λ使λa b ．夹角公式：cos =||||a b a b θ. 向量垂直：0ab a b ⊥⇔=. 20.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且1cos 2a cb C =+．〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC S =b =，求a c +的值．【答案】〔1〕3π；〔2〕5．【解析】【分析】〔1〕由结合正弦定理可得，1sin sin sin cos 2A CBC =+，而()A B C π=-+，代入后利用两角和的正弦公式展开可求cos B ，进而可求B〔2〕由结合三角形的面积公式可求ac ，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：〔1〕由正弦定理，得1sinsin sin cos 2A C B C =+，又因为()A B C π=-+，所以()sin sin A B C =+，可得1sin cos cos sin sin sin cos 2B C B CC B C +=+，即1cos 2B=，又()0,B π∈，所以3B π=．〔2〕因为ABC S =所以1sin 23ac π= 所以4ac =，由余弦定理可知222b a c ac =+-，所以22()3131225a c b ac +=+=+=，即5a c +=．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是纯熟掌握根本公式，属于根底题.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式；(2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】〔1〕21nb n =-；〔2〕(45)25n n T n =-+ 【解析】试题分析：〔1〕求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；〔2〕整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和试题解析：〔1〕∵2*2,nS n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈. 又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.〔2〕∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯① 12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯② 由①-②得：1213424242(41)2n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈.【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或者等比数列，这一思想方法往往通过通项分解〔即分组求和〕或者错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，此题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和22.函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数()2y f x =-是偶函数. 〔1〕求()g x 的解析式；〔2〕假设函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.【答案】〔1〕()64gx x x =-+；〔2〕6k =，零点为2,0,2-. 【解析】【分析】〔1〕由函数()2y f x =-是偶函数,得出()y f x =关于直线2x =-对称，求出m ，即可求出()g x 的解析式；〔2〕()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+为偶函数，恰好有三个零点，可得0x =为其零点，代入求出k 的值，令()22log 4,2tx t =+≥进而求出该函数的零点. 【详解】〔1〕函数()2y f x =-是偶函数，所以()(2)2f x f x --=-()y f x ∴=关于关于直线2x =-对称，222,6()462m m f x x x -∴-=-∴=∴=+-， ()64g x x x ∴=-+；〔2〕设()()()22222()log 49log 4y h x g x k x ==++⋅-+ ()(),()h x h x h x -=∴为偶函数，()()()22222()log 49log 4h x g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，故必有一个零点为0，(0)(2)960h g k k ∴=+-=-=，6k =，令()22log 4,2t x t =+≥126()950y g t t t t=+-=+-=整理得， 2560t t -+=，解得2t =或者3t =，2t =得，0x =；3t =，即()222log 43,48,2x x x +=+=∴=±，∴所求函数的零点为2,0,2-.【点睛】此题考察函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考察计算才能，是一道较为综合的题.。

高一数学下学期收心考试试题A 试题

大悟一中2021年春季高一年级收心考试数学试卷一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 集合=⋂==B A B A 则},6,4,2{},5,4,3,2,1{A ．}2{B ．}4,2{C ．}6,4,2{D ．}6,4,3,2,1{ 〔〕①()f x =()g x =()f x x =与()g x =③0()f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A.①② B.①③ C.③④ D.①④3.函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是〔〕 A.),31(+∞- B.)1,31(- C.)31,31(- D.)31,(--∞ 4. 54)sin(-=-απ，那么=+)sin(απ A ．54 B ．54- C ． 53 D ．53- 5. 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，那么m 、n 、p 的大小关系〔〕A.n m p <<B.n p m <<C. p n m << D ．m n p <<6. 设e 1与e 2是两个不一共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，假设A 、B 、D 三点一共线，那么k 的值是( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在 sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像〔〕4π4π个长度单位2π2π个长度单位8．函数||2x y =的大致图象是〔〕9. 假设0x 是方程式 lg 2x x +=的解，那么0x 属于区间〔〕A.〔0，1〕B.〔1，1.25〕C.〔1.25，1.75〕D.〔1.75，2〕 ()f x ,满足(2)()f x f x +=,且()f x 在[]3,2--上是减函数,又,αβ是锐角三角形的两个内角,那么〔〕A. (sin )(cos )f f αβ>B.(cos )(cos )f f αβ<C.(sin )(cos )f f αβ<D.(sin )(sin )f f αβ<二、填空题：〔本大题一一共5小题，每一小题5分，满分是25分.〕 11.假设2510a b ==，那么11a b+=________. 12.一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是________.13．函数()2log 232a y x =-的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x 的图象上，那么()9f = ．14．正方形ABCD 的边长为1，设,,,c AC b BC a AB===那么2a b c -+的模为 .15．关于函数)42sin()(π-=x x f 有以下命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ； ②直线8π-=x 是)(x f 图象的一条对称轴；③)(x f 的图象可由x x g 2sin )(=的图象向右平移4π个单位长度得到；④存在),0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 恒成立．其中正确的选项是〔填写上正确的序号〕．三、解答题〔本大题一一共6小题，满分是75分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.〕16．(本小题满分是12分)假设集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，务实数a 的值．17．(本小题满分是12分)非零向量a 、b 满足1=a ，且1()()2-=a b a +b ⋅.〔1〕求b ；〔2〕当12a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值.18． (本小题满分是12分)534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，131245sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,4ππα，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πβ，求()βα+sin 的值．19．(本小题满分是12分)如图，某城的电视发射塔CD 建在郊的小山上，小山的高BC 为30m ，在地面上有一点A ，测得A 、C 间的间隔为50米，从点A 观测电视发射塔的视角为45°〔∠CAD=45°〕，求这座电视发射塔的高度．20．(本小题满分是13分))cos (sin sin 2)(x x x x f +=．〔Ⅰ〕求()f x 最小正周期；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合；〔Ⅲ〕求函数()f x 的单调区间．21．(本小题满分是14分) 函数)10(11log )(≠>++=a a xmx x f a 且在其定义域上是奇函数．〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕解不等式)32()(2+>x f x f ；〔Ⅲ〕假设2=a ，判断1)(+=x x f 是否有根？假如有根0x ，求出一个长度为41的区间),b c （，使),(x 0c b ∈。

高一数学下学期开学考试试题含解析 9

7.如图，点在圆上，那么的值〔〕
A.只与圆的半径有关
B.只与弦的长度有关
C.既与圆的半径有关，又与弦的长度有关
D.与圆的半径和弦的长度均无关
【答案】B
【解析】
【分析】
过作出弦的垂直平分线，然后利用数量积模的运算，结合解直角三角形，求得的值的表达式，由此确定正确选项.
【详解】过作交于，图像如以下图所示.故，故只与弦的长度有关.应选B.
【点睛】本小题主要考察指数式和对数式互化，考察指数函数的性质，考察比拟大小的方法，属于中档题.
和的图像如下图，假设关于的方程和的实数根的个数分别为和，那么〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求得和的实数根的个数，相加后得出正确选项.
【详解】根据函数的图像，由，得或者 .当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.故有个根，即 .由，结合图像可知，有三个零点 .当时，由图像知此时有个零点；当时，由图知此时有个零点；当时，由的图像知此时有个零点.故有个根.故，所以此题选A.
【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，考察式子的变形，考察函数的最大值与最小值，属于根底题.
为正数，且，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将题目所给指数式转化为对数式的形式，求得的表达式，进而求得的表达式，由此比拟出三者的大小关系.
【详解】设，故，所以，，，由于，，故，故； .故，故 .综上所述，应选D.
的图像，只要将的图像上所有点〔〕

高一数学下学期开学考试试题含解析 6

HY 中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题 1.cos1050︒=〔〕 A.32B. 32-C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】改写()cos1050cos 336030︒=⨯︒-︒，根据诱导公式化简求值. 【详解】()()cos1050cos 336030cos 30cos3320︒=⨯︒-︒=-︒=︒=. 应选：A【点睛】此题考察求特殊角的三角函数值，结合诱导公式化简变形，需要熟记常见特殊角的三角函数值，可以快速得解.的面积为，扇形圆心角的弧度数是，那么扇形的周长为〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】设扇形的半径为，弧长为，那么由扇形面积公式可得：，解得，所以扇形的周长为，应选C.考点：扇形的弧长公式和面积公式. 3.()1sin cos 05αααπ+=<<，那么tan α=〔〕 A. 34-B. 43- C. 43D. 43-或者34- 【答案】B 【解析】【分析】联立221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,求出sin ,cos αα,再根据0απ<<,确定sin ,cos αα的正负,得出详细结果,从而求出tan α.【详解】2241sin sin cos 553sin cos 1cos 5αααααα⎧=⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎪⎩或者3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,0απ<<,sin 0α∴>, 43sin cos 55αα∴==-，,sin 4tan cos 3∴==-ααα, 应选:B.【点睛】此题考察了同角三角函数之间的关系,需要学生纯熟掌握函数关系式,属于简单题. 4.在锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是〔〕 A. sin cos A B = B. sin cos A B <C. sin cos A B >D. 不能确定【答案】C 【解析】【分析】根据ABC 为锐角三角形，可推出90A B +>，从而正弦函数的单调性，即可得解. 【详解】在锐角三角形ABC ,90A B +>，所以90A B >-，所以()sin sin 90A B >-cos B =.应选C.【点睛】此题考察了正弦定理，诱导公式，以及三角函数的单调性，根据题意得出90A B >-是解题的关键．2cos sin 1y x x =+-的值域为〔〕A. 11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据条件2211sin sin sin 24y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．【详解】222111sin sin 1sin sin sin 24y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，[]sin 1,1x ∈-，当1sin 2x =时，函数y 获得最大值为14，当sin 1x =-时，函数y 获得最大值为2-，所以函数的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，应选C【点睛】此题考察函数的值域，解题的关键是通过三角恒等式将函数变形为2211sin sin sin 24y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，属于一般题．6.如图，假设OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，那么以下等式成立的是〔〕A. 2136c b a =-B. 4133c b a =+C. 4133c b a =-D.2136c b a =+【答案】C 【解析】【分析】可选定,a c 为基底向量，将b 表示成两基底向量相加减的形式，即可求解【详解】()33134444OB OA AB OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+，即1344b ac =+，同乘43可得4133c b a =-应选：C【点睛】此题考察平面向量的线性运算，利用基底向量表示任意向量，属于根底题()()[]cos sin ,,f x x x x x πππ=++∈-的大致图象为〔〕A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用函数为奇函数和π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的符号，利用排除法，即可得答案. 【详解】∵[],x ππ∈-关于原点对称，且()cos sin(π)cos sin f x x x x x x x =++=-， ∴()cos sin (cos sin )f x x x x x x x -=-+=--=()f x -， ∴函数()f x 是奇函数，排除A ，C ；3cos s ππππi π3πn 033333626f -⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，排除B .应选：D.【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数的图象，考察数形结合思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，求解时注意从图形中提取信息.()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，那么以下ω的值中满足条件的是〔〕 A. 136ω=B. 116ω=C. 74ω=D. 34ω=【答案】A【解析】【分析】设t x ωϕ=+，那么2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，那么2t ϕπωϕ+，所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<，所以52222ϕϕωππ-<-，所以5342222ππωππ-<-，即15783ω<，满足的只有A.应选：A .【点睛】此题考察根据三角函数的零点个数求参数值，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，求解时注意换元法的应用.()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，假设()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()()2f f ππ>，那么()f x 的单调递增区间是 A. ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C. 2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D. ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】先由三角函数的最值得π2π6k ϕ=+或者()7π2π6k k Z ϕ=+∈，再由()()2f f ππ>得()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可得单调增区间.【详解】因为对任意(),6x f x f π⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭R 恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么π2π6k ϕ=+或者()7π2π6k k Z ϕ=+∈，当π2π6k ϕ=+时，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么()11222f f ππ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭〔舍去〕，当7π2π6k ϕ=+时，()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么()11222f f ππ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，符合题意，即()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令375222262k x k πππππ+≤+≤+，解得263k x k ππππ-≤≤+，即()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；应选C. 【点睛】此题主要考察了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，假设EB xAB y AC =+，那么〔〕A. 2y x =B. 2y x =-C. 2x y =D. 2x y =-【答案】D 【解析】【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-应选：D【点睛】此题考察平面向量的根本定理，属于根底题y x =的图象,只需将函数)4y x π=-的图象上所有的点〔〕A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行挪动8π个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行挪动4π个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行挪动4π个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行挪动8π个单位长度【答案】B 【解析】【详解】))424y x x πππ=-=+-，即)4y x π=+，所以要得到函数y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的2，变为)4y x π=+；再向右平移4π个单位即可得到y x =，应选答案B ． sin 2x y =的图象向右平移2πϕϕπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图象，假设函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间45,34ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，那么ϕ的取值范围是〔〕 A. 2,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦B. 23,34ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】先根据图象的变换得出()1sin(2)f x x ϕ=-，根据函数的单调性确定20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)1(22x πϕ≤-，()f x 的最大负零点在区间45,34ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上只需由1(2)x ϕπ-=-解得45,423x πϕππ⎛⎫∈--= ⎝-⎪⎭,求ϕ的交集即可. 【详解】将函数sin 2x y =的图象向右平移2πϕϕπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度, 可得()1sin(2)f x x ϕ=-， ()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()f x 的最大负零点在区间45,34ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，12()232ππϕ∴-≤，即3πϕ-≤，①令1(2)x ϕπ-=-，得2x ϕπ=-，又()f x 的最大负零点在区间45,34ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，所以只需2ϕπ-∈45,34ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 解得23,34ππϕ∈⎛⎫⎪⎝⎭② 由①②及条件可知23,34ππϕ∈⎛⎫⎪⎝⎭，应选：B【点睛】此题主要考察了正弦型函数的图象变换，单调性，零点，属于中档题. 二、填空题13.()tan 32πα+=，那么()()sin 3cos sin 2cos 22ππαππααα⎛⎫⎛⎫-+-+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______【答案】【解析】【分析】将()tan 32πα+=化简得tan 2α=，再结合诱导公式将表达式化简求值即可【详解】()tan 32tan 2παα+=⇒=，又()()sin 3cos sin 2cos sin cos cos 2sin 22ππαππααααααα⎛⎫⎛⎫-+-+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin α=-，由tan 2sin αα=⇒=3sin α-=故答案为：【点睛】此题考察利用三角函数的诱导公式化简求值，属于根底题a 和b 是两个不一共线的向量，假设4AB a kb =+，CB a b =+，32CD a b =-，且A ，B ，D三点一共线，那么实数k 的值等于_________. 【答案】-6 【解析】【分析】由,,A B D 三点一共线可知，AB BD λ=，又BD CD CB =-，联立即可求解【详解】由,,A B D 三点一共线可得AB BD λ=，23BD CD CB a b =-=-，()4223,6a kb AB BD b k a λλλ+=⇒=⇔==--故答案为：-6【点睛】此题考察向量的加法与减法公式运用，由两向量平行求参数，属于根底题 15.0>ω，函数()sin f x x ω=在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有9个零点，那么ω的取值范围是________. 【答案】[)16,20 【解析】【分析】由奇偶性可得()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有4个零点,那么24224T T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,进而求得ω的范围即可【详解】()sin f x x ω=在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有9个零点,等价于()f x 在0,4π⎛⎤⎥⎝⎦上恰有4个零点,设()f x 的周期为T ,那么24224T T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,即810T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以28210ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,那么1620ωω≥⎧⎨<⎩,故ω的取值范围为1620ω≤<, 故答案为：[)16,20【点睛】此题考察三角函数周期性的应用,考察求ω的范围()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，假设关于x 的方程()f x a =恰好有三个根()123123,,x x x x x x <<，那么12323x x x ++=______.【答案】78π 【解析】【分析】根据90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到54,442t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，如下图，根据对称性得到 128x x π+=，2358x x π+=，代入计算得到答案. 【详解】90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么54,442t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，如下图：那么12t t π+=，233t t π+=即121244,448x x x x ππππ+++=∴+=；23235443,448x x x x ππππ+++=∴+=()()123122372328x x x x x x x π++=+++=故答案为：78π【点睛】此题考察了函数零点问题，三角形函数对称性，意在考察学生的综合应用才能. 三、解答题〔17题10分，其余各题每一小题12分，一共70分〕 17.,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且满足2tan 3tan 20θθ-+=. 〔1〕求sin cos sin cos θθθθ-+的值；〔2〕2sin sin cos 2θθθ++的值. 【答案】〔1〕13〔2〕165【解析】【分析】〔1〕先求出tan 2θ=，再分子、分母同时除以cos θ，即可得解；〔2〕将2sin sin cos θθθ+除以22sin cos θθ+，再结合tan 2θ=即可得解. 【详解】解：〔1〕因为2tan 3tan 20θθ-+=，所以tan 2θ=或者tan 1θ=，又,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()tan 1,θ∈+∞，即tan 2θ=，那么sin cos tan 1211sin cos tan 1213θθθθθ---===+++；〔2〕222222sin sin cos tan tan 4216sin sin cos 2222sin cos tan 1415θθθθθθθθθθθ+++++=+=+=+=+++. 【点睛】此题考察了构造齐次式求值问题，重点考察了运算才能，属中档题.()1242f x ax b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭〔0a >，0b >〕的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的间隔为2π. 〔1〕求a ，b 的值；〔2〕求()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值和最小值.【答案】〔1〕12,2a b ==〔2〕()max f x =()min 1f x =【解析】【分析】〔1〕由相邻两最高点确定为一个周期，即222a ππ=可求出a ，由0b >，图像与x 轴相切可知，函数最小值为0，即可求出b ；〔2〕由〔1〕知，函数表达式为()44f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由整体代入法求最值即可；【详解】〔1〕由题可知2222a a ππ=⇒=，又0b >，图像与x 轴相切，故()min11022f x b b =+=⇒=；〔2〕函数表达式为()44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭54,44,440x x ππππ⎡⎤+⎥⎡⎤∈⇒⎢⎥⎣⎢⎣⎦∈⎦，故()max1f x =，()min 12f x ⎛=-= ⎝⎭，【点睛】此题考察由函数的周期求参数，整体代入法求解函数最值，属于中档题()()sin f x x b ωϕ=+-〔0>ω，0ϕπ<<〕的图象的两相邻对称轴之间的间隔2π，假设将()f x的图象先向右平移6π.〔1〕求()f x 的解析式并写出单增区间；〔2〕当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22f x m +-<恒成立，求m 取值范围.【答案】〔1〕()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕3m < 【解析】【分析】〔1〕由两相邻对称轴之间的间隔2π求出2ω=，()()sin 2f x x b ϕ=+-，函数平移之后的表达式为：()sin 26f x x b πϕ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由函数为奇函数可知,3k k Z πϕπ-=∈，b =0ϕπ<<即可求解原函数表达式，再采用整体代入法求解增区间；〔2〕要使0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22f x m +-<恒成立，可等价转化为()4m f x <-对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求出()min 4f x -⎡⎤⎣⎦，即可求解【详解】〔1〕由题可知2222T T πππωω=⇒==⇒=，函数平移之后的表达式为：()sin 26f x x b πϕ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，平移后函数为奇函数可得：,3k k Z πϕπ-=∈，b =,3k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，3πϕ=，那么()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令522,2,,,3221212x k k k Z x k k k Z πππππππππ⎡⎤⎡⎤+∈-++∈⇒∈-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； ∴()f x 的单调递增区间为：5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22f x m +-<恒成立可等价转化为()4m f x <-对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2f x ⎡∈--⎢⎣，()1,2f x -∈⎦，()434f x ⎡⎤-∈+⎢⎥⎣⎦，所以3m <+【点睛】此题考察由平移前后表达式的性质求解函数解析式，由在某区间恒成立问题求解参数取值范围，属于中档题()2sin 2cos 3f x x a x =+-.〔1〕当1a =时，求该函数的最大值；〔2〕是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？假设存在，求出对应a 的值；假设不存在，试说明理由.【答案】〔1〕1-；〔2〕存在，且2a =. 【解析】【分析】〔1〕将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的根本性质可得出该函数的最大值；〔2〕换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的根本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】〔1〕当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数获得最大值，即()max 1f x =-；〔2〕()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0t =时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减，∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意.【点睛】此题考察二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进展分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考察分类讨论思想的应用，属于中等题.()()sin f x x b ωϕ=++0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭相邻两对称轴间的间隔为2π，假设将()f x 的图象先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数()g x 为奇函数.〔1〕求()f x 的解析式，并求()f x 的对称中心；〔2〕假设关于x 的方程()()2320g x m g x +⋅+=⎡⎤⎣⎦在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；对称中心为：,1122k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈〔2〕5m <-或者m =-【解析】【分析】〔1〕由周期求得ω，由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得()sin 216g x x b πϕ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，再根据()g x 的为奇函数求得ϕ和b 的值，可得()f x 和()g x 的解析式以及()f x 的对称中心．〔2〕由〔1〕可得()sin 2g x x =，由题意可得可得关于t 的方程2320t m t ++=在区间(0,1)上有唯一解．再利用二次函数的性质求得m 的范围．【详解】解：〔1〕由条件得：22T π=，T π∴=即2ππω=，2ω∴=那么()()sin 2f x x b ϕ=+-，又()sin 2112g x x b πϕ⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，那么1b =，()0sin 06g πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，6πϕ∴=-，()sin 216f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭令26x k ππ-=，k Z ∈，解得1122x k ππ=+，k Z ∈，故函数()f x 的对称中心为：,1122k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k Z ∈ 〔2〕0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又有〔1〕知()sin 2g x x =，那么[]20,x π∈，sin 2x ∴的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令()t x g =，那么[]0,1t ∈∴由原命题得：2320t mt ++=在[)0,1t ∈上仅有一个实根.令()232H t t mt =++，那么需()1320H m =++<或者2240016m m⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩，解得：5m <-或者m =-【点睛】此题主要考察由函数sin()y A x ωϕ=+的局部图象求解析式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，二次函数的性质，表达了转化的数学思想，属于根底题．()()sin f x A x ωϕ=+〔其中0,0,2A πωϕ>><〕的局部图象如下图，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像．〔1〕当11,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，假设方程()0g x m -=恰好有两个不同的根12,x x ，求m 的取值范围及12x x +的值；〔2〕令()()3F x f x =-，假设对任意x 都有()()()2220F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值【答案】〔1310m -≤<时，1223x x π+=；321m -<≤-时，1253x x π+= 〔2〕265- 【解析】【分析】〔1〕根据给出的图像求出()f x 解析式，再根据平移得到()g x 解析式由x 的范围求出()g x 的单调区间和值域，结合图像，分析出m 的范围及12x x +的值.〔2〕令t = ()F x ，得到()()222h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.【详解】〔1〕根据图像可知171,4123A T ππ==- 2,2T Tππω∴=∴==，()()sin 2f x x ϕ=+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈， ,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()g x ∴在,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在511,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，且514122g g ππ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭3111412g g ππ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，526g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程()0g x m -=恰好有两个不同的根12,x x ，m ∴的取值范围1,02,1⎫⎛⎤-⋃-⎪ ⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦令262x k πππ-=+∴ ()g x 对称轴为23k x ππ=+，k Z ∈ 11,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0,3k x π∴==或者51,6k x π==∴10m ≤<时，1223x x π+=；21m -<≤--时，1253x x π+=.〔2〕由〔1〕可知()[]sin 21,13f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3F x f x =- []4,2∈--对任意x 都有()()()2220Fx m F x m -+++≤恒成立令()[]4,2t F x =∈-- ()()222h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上那么()max 0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或者2t =-时取到最大值那么()()2040hh⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩，()()()()42220162420m mm m⎧-+-++≤⎪⎨-+-++≤⎪⎩解得103265mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m≤-，那么m的最大值为265-.【点睛】此题考察利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比拟综合，属于难题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期收心考试试题 2

智才艺州攀枝花市创界学校柳江二零二零—二零二壹高一数学下学期收心考试试题注意：1．请把答案填写上在答题卡上，否那么答题无效.2．选择题，请需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的信息涂黑。

非选择题，请用0.5mm 黑色签字笔在答题卡上规定的正确位置答题.第I 卷〔选择题，一共60分)一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕1．假设点(3,4)P -在角α的终边上，那么sin α=〔〕A ．45-B ．45 C ．35D ．352．sin 0θ<，tan 0θ>，那么θ是〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．将三进制数()32120转化为十进制数，以下选项里面正确的选项是〔〕 A ．68B ．69C ．70D ．714．某校有男生450人，女生500人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为95的样本，那么抽出的男生人数是〔〕 A ．45B ．50C ．55D ．605．某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，假设采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47的学生在样本中，那么样本中还有一个学生的编号为〔〕 A ．26B ．23C ．17D ．136．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，那么甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为〔〕A ．13B ．23C ．14D ．347．扇形的圆心角为2，周长为8，那么扇形的面积为〔〕 A ．2B ．4C ．8D ．168．执行如下列图的程序框图，那么输出的n =() A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．用秦九韶算法求多项式5432()531f x x x x x x =-++-+当2x =时的值时，3v =()A ．3-B ．5-C ．9-D ．21-10．下表是某单位1~4月份用水量〔单位：百吨〕的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 3.05y x =+，那么表中a 的值是〔〕 A ．5.55B ．6C ．6.2D ．6.511．两同心圆的半径之比为1:3，假设在大圆内任取一点M ，那么点M 在小圆内的概率为() A ．13B ．16C ．18D ．1912．同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是〔〕 A ．“至少有1枚正面朝上〞与“2枚都是反面朝上〞 B ．“至少有1枚正面朝上〞与“至少有1枚反面朝上〞 C ．“恰有1枚正面朝上〞与“2枚都是正面朝上〞 D ．“至少有1枚反面朝上〞与“2枚都是反面朝上〞第II 卷〔非选择题，一共90分)二．填空题〔一共20分，每一小题5分〕13．72和168的最大公约数是______. 14．1sin cos 5θθ-=，那么sin cos θθ的值是__________. 15．2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于______. 16．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 三．解答题〔一共70分〕 17．〔10分〕求以下各式的值： (1)()()sin1395cos1110cos 1020sin750-︒︒+-︒︒；(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭． 18〔12分〕．3sin 5θ=，02πθ<<. 〔1〕求tan θ的值；〔2〕求2sin cos sin 2cos θθθθ-+的值.19．〔12分〕某赛季，甲、乙两名篮球运发动都参加了7 甲：15,17,14,23,22,24,32；乙：12,13,11,23,27,31,30. (2)20．〔12分〕某校某班在一次数学测验中，全班N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，分数在110～120的学生有14人.(1)求总人数N 和分数在120～125的人数n ；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？21．〔12分〕随着我国经济的开展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款〔年底余额〕如下表：〔1〕求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+；〔2〕用所求回归方程预测该地区2021年()7t =的人民币储蓄存款.〔附：()()()1122211====---==--∑∑∑∑nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx =-a y bx ，其中x ，y 为样本平均值〕22．〔12分〕从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球.〔1〕用球的标号列出所有可能的取出结果；〔2〕求取出的2个球都是红球的概率.参考答案1．B2．C3．B4．A5．C6．B7．B设该扇形的半径为r ，弧长为l ，那么2lr =，且28l r +=，所以有42l r =⎧⎨=⎩，所以，该扇形的面积为142S lr ==. 8．C 9．C 由题意得，()()()()()51131f x x x x x x =-++-+，那么当2x =时，有1253v =-=-，23215v =-⨯+=-，35219v =-⨯+=-.应选C.10．C 由样本中心点(),x y 满足线性回归方程求解即可.解：由图表数据可得1234542x +++==，4571644a ay ++++==，又用水量y 与月份x 之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 3.05y x =+，那么1653.0542a +=+，那么a 6.2=，11．D 设小圆的半径为r ，那么大圆的半径为3r ，所以小圆的面积为：21S r π=，大圆的面积为：()22239S r r ππ=⋅=.所以点M 在小圆内的概率为：2122199S r P S r ππ===. 12．C在A 中，“至少有1枚正面朝上〞与“2枚都是反面朝上〞不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上〞不发生时，“2枚都是反面朝上〞一定发生，故A 中的两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上〞与“至少有1枚反面朝上〞能同时发生，故B 中的两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1枚正面朝上〞与“2枚都是正面朝上〞不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立事件；在D 中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上〞“2枚都是反面朝上〞能同时发生，故D 中的两个事件不是互斥事件. 13．2414．1225 由1sin cos 5θθ-=，平方可得221cos 2sin cos 12sin cos 25sin θθθθθθ+-=-=. 解得12sin cos 25θθ=.15．23cos 424sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos 33πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故答案为23.16．解：〔1〕原式111sin 45cos30cos 60sin 30224=︒︒+︒︒=⨯==；〔2〕原式221sin 2cos 2tan(40)sin cos 065652πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++++=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18．〔1〕02πθ<<，4cos 5θ∴===，因此，sin 353tan cos 544θθθ==⋅=；〔2〕原式2sin cos 31212tan 1142cos cos 42sin 2cos 311tan 2211112cos cos 44θθθθθθθθθθ-⨯--=====⨯=+++. 19．(1)甲中位数是22，乙中位数是23；(2)21x =甲，21x =乙，22367S =甲，24667S =乙，甲运发动的成绩更稳定．〔1〔2比较甲、乙两名运发动的成绩即可. 【详解】〔132,24,23,22,17,15,14.31,30,27,23,13,12,11.∴2223.〔2〕1(15171423222432)217x ==甲＋＋＋＋＋＋， 1(12131123273130)217x ==乙＋＋＋＋＋＋，22221236[(2115)(2117)(2132)]77S =⋯=甲－＋－＋＋－， 22221466[(2112)(2113)(2130)]77S =⋯=乙－＋－＋－， ∴22S S <甲乙， ∴甲运发动的成绩更稳定．【点睛】此题考察中位数、平均数、方差的定义及应用，属于根底题. 20．〔1〕40,4Nn ==；〔2〕众数107.5，中位数110.解：〔1〕分数在110~120内的学生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，所以该班总人数14400.35N==. 分数在120~125内的学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.10P =-+++++⨯=，分数在120~125内的人数400.104⨯=.〔2〕由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105110107.52+=. 设中位数为a ，∵0.0150.0450.0550.50⨯+⨯+⨯=， ∴110a =.∴众数和中位数分别是10，110. 21．〔1〕 1.2 3.6y t =+〔2〕12〔1〕根据题意得：1234535t ++++==，5678107.25++++==y ，5115263748510120==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑i ii t y，22222211234555==++++=∑nii t，152211201081.255455==--===--∑∑ni ii i i t y nt yb t t，7.2 1.23 3.6=-=-⨯=a y bt ，所以y 关于t 的线性回归方程 1.2 3.6y t =+〔2〕当t =7时，y=×7+=12〔千亿元〕． 22．解：〔1〕随机取出2个球的可能的结果有：11213112223212132312,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A A A A A A B B ；〔2〕取出的2个球都是红球的结果有121323,,A A A A A A ，那么取出的2个球都是红球的概率310P =. .。

高一数学下学期开学考试试题含解析 2

卜人入州八九几市潮王学校第十八二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕本卷须知：①本套试卷一共4页，答题卡2页.考试时间是是120分钟，总分值是150分； .第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}|12A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，那么AB =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.1,0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合{}|12A x x =-<<,{}2,0,1,2B =-,故{}0,1A B =.应选：A【点睛】此题主要考察了交集的根本运算,属于根底题. 2.tan 690=〔〕B.-D.【答案】B 【解析】【分析】将大角化小角，那么69072030=-，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.【详解】由69072030=-，所以()tan 690tan 72030=-那么3tan 690tan 303=-=-应选：B【点睛】此题考察正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属根底题. 3.过()1,2A -，()2,8B 两点的直线斜率为〔〕A-10 B.17C.5D.2【答案】D 【解析】【分析】根据两点的斜率公式计算即可.【详解】过()1,2A -,()2,8B 两点的直线斜率()82221k -==--.应选：D【点睛】此题主要考察了两点间的斜率公式,属于根底题.4.设函数()122,01log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，那么()()1f f -=〔〕A.-1B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】根据自变量的范围代入对应区间的解析式求解即可. 【详解】()()()()()1121241log 41f f f f ---===-=-.应选：A【点睛】此题主要考察了分段函数以及指对数的运算,属于根底题.5.弧长为50〔单位：m 〕的弧所对圆心角为300︒，那么弧所在圆半径R 〔单位：m 〕为〔〕 A.10πB.30πC.10πD.30π【答案】B 【解析】【分析】根据弧度制的定义求解即可. 【详解】圆心角对应的弧度数为30051803ππ︒=︒,根据弧度制的定义有505303R R ππ=⇒=. 应选：B【点睛】此题主要考察了弧度制的定义与运用,属于根底题.6.将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的函数是〔〕A.cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数平移“左加右减〞求解即可.【详解】将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后,所得图象对应的函数是()cos 2cos 2463f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.应选：C【点睛】此题主要考察了求三角函数图像平移后的解析式,属于根底题. 7.函数()sin lg f x x x =-的零点个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如下列图：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，一共有3个交点.当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点.应选：D .【点睛】此题考察了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键. 8.假设角α的终边过点()sin30,cos30︒-︒，那么sin α等于〔〕A.12C.12-D. 【答案】D 【解析】【分析】先化简点()sin30,cos30︒-︒,再根据sin α的定义求解即可.【详解】由题角α的终边过点1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,故2sin α--=. 应选：D【点睛】此题主要考察了三角函数值的求解以及正弦函数的定义,属于根底题. 9.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕 A.16B.12C.23D.13【答案】D 【解析】三视图复原是四棱锥，AC AD ⊥，PD ⊥面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积11(11)133V=⨯⨯=，选D.10.函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，假设()f x 的最小正周期为π，那么ω=〔〕A.1B.2C.12D.14【答案】A 【解析】【分析】根据最小正周期的公式求解即可. 【详解】由题,212ππωω=⇒=. 应选：A【点睛】此题主要考察了正弦型函数的最小正周期,属于根底题. 11.圆C ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：1x y -=上动点，过P 引C 的切线，切点分别为A ，B ，那么AB的最小值为〔〕A.2B.2【答案】D 【解析】【分析】画图分析,由2sin AB AC ACP =⋅∠可知当PC 与l ：1x y -=垂直时AB取最小值,再求出点C 到l的间隔,进而求得sin ACP ∠得出AB 即可.【详解】如图,因为,PA PB与圆C相切,故,AC AP BC BP⊥⊥.故ACP BCP ≅,故,AC BC ACP BCP =∠=∠.所以AB CP ⊥.故2sin AB AC ACP =⋅∠,故当sin ACP ∠取最小值时AB 取最小.因为ACP ∠为锐角,故此时ACP ∠取最小值,cos AC ACPPC∠=取最大值.故此时PC 取最小值.即当PC 与l ：1x y -=垂直时AB取最小值.此时PC ==.2AP ==.故2sin 23AB AC ACP =⋅∠==.应选：D【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解线段长度的最值问题,需要根据题意表达出AB的解析式,分析可得当AB取最小值时的情况计算即可.属于中档题.12.函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔0>ω〕，假设63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，那么ω的值是〔〕 A.383 B.143C.143或者383D.143或者283【答案】B 【解析】【分析】计算得到148,3k k Z ω=+∈且12ω<，确定0k =时满足条件，得到答案. 【详解】63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么6324πππ+=，故32432k πππωπ+=+，即148,3k k Z ω=+∈. 且2366ππππω-=<，故12ω<，故当0k =时满足条件，143ω=. 应选：B .【点睛】此题考察了根据三角函数的最值点求参数，意在考察学生的计算才能.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填写上在答题卡相对应位置上. 13.()0,απ∈，且1cos 3α=-，那么tan ______.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式化简()tanπα-,再根据1cos 3α=-求出sin α继而代入计算即可. 【详解】因为()0,απ∈,故sin 3α==.故sintan tanc2232213os故答案为：【点睛】此题主要考察了同角三角函数公式的运用以及正切的诱导公式,属于根底题.14.正方体的棱长均为2，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为______.【答案】12π【解析】【分析】根据正方体的体对角线等于外接球的直径求解球的直径,再求外表积即可.【详解】因为正方体的体对角线等于外接球的直径,且正方体的棱长均为2,故球O的直径2R==所以R.故球O的外表积2412S Rππ==.故答案为：12π【点睛】此题主要考察了正方体外接球的计算,属于根底题.15.函数()sin6f x A xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭〔其中0A>，2πϕ<〕的图象如下列图，那么()f x在[]0,9上的最大值与最小值的和为______.【答案】2【解析】【分析】将(()0,,2,0代入()sin6f x A xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭计算可得,Aϕ,再求得()f x在[]0,9上的最大值与最小值即可.【详解】因为图像过()2,0,故sin03Aπϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,即sin03πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,又2πϕ<,故3πϕ=-.又图像过(0,,故sin23A Aπ⎛⎫-=⇒=⎪⎝⎭.故()2sin63f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭.故当[]0,9x ∈时,7,6336x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故()2sin 63f x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭.所以()f x 在[]0,9上的最大值与最小值的和为2.故答案为：2【点睛】此题主要考察了根据三角函数图像求解析式的问题,同时也考察了三角函数在区间上的最值问题,属于中档题.16.直线l ：y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=交于A 、B 两点，假设ABC 是正三角形，那么a 的值是______.【答案】【解析】【分析】根据正三角形的性质可知,当ABC 是正三角形时,圆心到直线l 的间隔d 与半径r 满足sin 60dr=︒,再利用点到线的间隔公式求解即可. 【详解】圆C ：222220x y ax y +--+=即()()22211x a y a -+-=-,其中210a ->.因为ABC 是正三角形,故圆心到直线l 的间隔d 与半径r 满足sin 60dr=︒.又d =,r =,2=.()()2241312a a =⇒-=+,解得27a =,满足210a ->.故a =故答案为：【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解参数的问题.需要根据题意建立线段长度与半径之间的关系,继而列式求解参数.属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.点()3,0P和圆C ：222210xy x y +--+=.〔1〕写出圆C 的HY 方程，并指出圆心C 的坐标和半径r ；〔2〕设Q 为C 上的点，求PQ 的最小值.【答案】〔1〕()()22111x y -+-=，圆心C 坐标()1,1，半径r 为1.〔21.【解析】【分析】(1)将圆C 的方程配方化简为HY 方程,再得出圆心与半径即可. (2)根据圆的性质可知min PQ CP r =-,再求解即可.【详解】解：〔1〕由题可知圆C 的HY 方程为()()22111x y -+-=,圆心C 坐标()1,1,半径r 为1.〔2〕由题知min PQ CP r =-,而CP ==所以min PQ 1.【点睛】此题主要考察了圆的HY 方程以及定点到圆上点的间隔的最小值问题.属于根底题.18.()1tan2πα+=，求以下各式的值. 〔1〕cos()cos 24cos sin()ππαααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-；〔2〕2sin sin cos ααα+.【答案】〔1〕17-〔2〕35【解析】【分析】(1)利用诱导公式可得1tan 2α=,再利用诱导公式以及同角三角函数的关系化简原式代入1tan 2α=计算即可.(2)根据2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+再分子分母同时除以2cos α,代入1tan 2α=计算即可.【详解】解：〔1〕由得1tan 2α=,cos()cos cos sin 24cos sin()4cos sin ππαααααααα⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭=+--111tan 1214tan 742αα-+-+===---. 〔2〕2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+2211tan tan 34211tan 514ααα++===++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式以及同角三角函数的关系求解化简的问题.属于根底题. 19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，3AB =，2PA =，PD =60PAB ∠=︒.〔1〕证明：AD ⊥面PAB ；〔2〕求二面角P CD A --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕30. 【解析】【分析】(1)根据勾股定理证明AD PA ⊥,再结合AD AB ⊥证明即可.(2)过点P 作PHAB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,再证明PEH ∠是二面角P CD A --的平面角,再计算得tan PH PEH HE ∠==即可求出PEH ∠的大小.【详解】解：〔1〕证明：在PAD △中,由题设,2PA =,3AD =,PD =可得222PA AD PD +=,所以AD PA ⊥,在正方形ABCD 中,AD AB ⊥, 又PA AB A =,又因为,AB PA ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PAB .〔2〕过点P 作PH AB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,∵AD ⊥平面PAB ,PH ⊂平面PAB ,∴AD PH ⊥,又AB AD A ⋂=,∴PH ⊥平面ABCD ,又CD ⊂平面ABCD ,∴PH CD ⊥, 又HEPH H =,∴CD ⊥平面PHE ,PE ⊂平面PHE ,∴CD PE ⊥,∴PEH ∠是二面角P CD A --的平面角.由题可得,sin 60PHPA =⋅︒=3HE AD ==,Rt PHE 中,tan PH PEH HE ∠==,∴30PEH∠=︒,故二面角P CD A --的大小为30.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2020/4/30/2452887117914112/2453859651313664/EXPLANATION/5ee163ab191742ff9ebf6fa427e52c26.png]【点睛】此题主要考察了线面垂直的证明以及二面角的求法,需要根据题意找到二面角的平面角,再计算其三角函数求解.属于中档题. 20.直线l ：y x b =+与圆C ：22231x y 交于不同的两点M ，N .〔1〕求b 的取值范围；〔2〕假设MN =0b >，求过点M ，N 且与y 轴相切的圆的方程.【答案】〔1〕11b <<+2〕()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【解析】【分析】(1)根据圆心到直线的间隔小于半径,列出对应的不等式求解即可. (2)根据垂径定理求解可得2b =,再联立直线l 与圆的方程,求得()1,3M ,()2,4N ,再设所求圆的方程,再代入()1,3M,()2,4N 求解即可.【详解】解：〔1〕圆心C 到直线l 的间隔d==∵直线l 与圆C 交于不同的两点M ,N ,1<,解得11b -<<〔2〕假设MN =那么221+=⎝⎭,解得2b =或者0b =〔舍〕,直线l 方程为：20x y -+=,()()2220231x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得13x y =⎧⎨=⎩或者24x y =⎧⎨=⎩, 不妨设()1,3M,()2,4N ,由题可设所求圆方程为()()222x a y b a -+-=,∴()()()()2222221324a b a a b a⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,解得50a b =⎧⎨=⎩或者14a b =⎧⎨=⎩. 故所求圆方程为()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【点睛】此题主要考察了垂径定理的运用以及圆方程的求解,需要根据题意联立直线与圆的方程求所过点的坐标,再设所求圆的方程,代入坐标进展计算.属于中档题.21.函数()sin 3f x A x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，0A >，02πφ<<，()y f x =的局部图象如下列图，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()1,A .点R 的坐标为()1,0，34PRQ π∠=. 〔1〕求()f x 的最小正周期以及解析式；〔2〕求()f x 增区间.【答案】〔1〕6，()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕()62,61k k -+，k Z ∈.【解析】【分析】(1)根据周期的公式求解周期,再根据P 的坐标为()1,A 计算可得sin()13πφ+=,进而求得6πφ=.再过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,根据三角函数的周期与34PRQ π∠=可求得3A =即可得解析式.(2)由(1)得()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入计算222362k x k ππππππ-<+<+即可.【详解】解：〔1〕由题意得：()f x 的最小正周期263T ππ==,因为()1,P A 在()sin()3f x A x πφ=+的图像上,所以sin()13πφ+=, 所以2 ()32k k Z ππφπ+=+∈,即2 ()6k k Z πφπ=+∈,又因为02πφ<<,因此,6πφ=.过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,由周期为6可知,3RD =,由于34PRQπ∠=,所以4DRQ π∠=,于是3QDRD ==,所以3A =,∴()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕∵sin y x =的增区间为2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭,k Z ∈, 由222362k x k ππππππ-<+<+,k Z ∈,得6261k x k -<<+,k Z ∈,∴()f x 的增区间为()62,61k k -+,k Z ∈.【点睛】此题主要考察了三角函数的图像性质运用,需要根据题意三角函数的性质代点进展计算求解,属于中档题.22.函数()2()2x xaf x a R =-∈为偶函数. 〔1〕求a 的值；〔2〕设4()()23x g x f x m m =-⋅+，假设函数()g x 有且只有一个零点，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1a =-〔2〕(){}1,3+∞-【解析】【分析】(1)根据偶函数满足对任意实数x ,都有()()f x f x -=化简计算即可.(2)化简可得方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根,再换元根据零点存在性定理列式求解即可.【详解】解：〔1〕由得：对任意实数x ,都有()()f x f x -=,∴2222xxx xa a ---=-, ∴()1140x a a +-+⋅=,1a =-.〔2〕由题知方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根, 令20x t =>,那么关于t 的方程24(1)10(*)3m t mt ---=有且只有一个正根.假设1m =,那么34t =-,不符合题意,舍去；假设1m ≠,那么方程()*两根异号或者有两个相等的正根.令函数24()(1)13g t m t mt =---显然()g t 过点()0,1-, 方程()*两根异号等价于10m ->,即1m；方程()*有两个相等的正根等价于()10043021m mm ⎧⎪⎪-<⎪⎪∆=⎨⎪⎪⎪>⎪-⎩,解得3m =-,综上所述,实数a 的取值范围为(){}1,3+∞-.【点睛】此题主要考察了根据偶函数求解参数值的问题,同时也考察了关于指数函数的二次复合函数的零点问题,属于中档题.。

高一数学下学期开学考试试题含解析 3

智才艺州攀枝花市创界学校历城第二二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.设211z i=++〔i 是虚数单位〕，那么z =〔〕A.2 D.【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法那么将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()212112111i z i i i i -=+=+=-++-，因此，z == 应选：C.【点睛】此题考察复数模长的计算，涉及复数的四那么运算法那么的应用，考察计算才能，属于根底题. 2.“幸福感指数〞是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.那么这组数据的75%分位数是〔〕 A.7 B.7.5C.8D.8.5【答案】C 【解析】【分析】先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%107.5⨯=，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.应选：C【点睛】此题主要考察分位数的概念和计算，属于根底题. 3.向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，假设()//2c a b+，那么λ=〔〕A.2-B.1-C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =，()2,2b =-()24,2a b ∴+=()//2c a b +24λ∴=-，解得：2λ=-应选：A【点睛】此题考察根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确假设两向量平行，那么12210x y x y -=.4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么以下对立的两个事件是〔〕 A.“至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞 B.恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞 C.“至少1名男生〞与“全是男生〞 D.“至少1名男生〞与“全是女生〞【答案】D 【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛， “至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞不互斥； “恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞是互斥不对立事件； “至少1名男生〞与“全是男生〞不互斥； “至少1名男生〞与“全是女生〞是对立事件；应选D5.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .那么蚂蚁爬行的最短路程长为〔〕A.8cmB. C.10cm D.5πcm【答案】B 【解析】【分析】采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果. 【详解】由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，爬行的最短路程长为1AA如图作1OCAA ⊥，由圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ，所以1510233lAA ππ===cm 由l OA α=，所以23πα=即123AOA πα∠==，所以3AOC π∠=故sin AC OA AOC =∠=所以12A A C A ==cm应选：B【点睛】此题考察圆锥的展开图，还考察了弧长公式，考验空间想象才能以及思维才能，属中档题. 6.如图，电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相HY 的，灯亮的概率为〔〕 A.316B.34C.1316D.14【答案】C 【解析】【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY 的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，此题是一个互相HY 事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY 的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=，应选：C ．【点睛】此题结合物理的电路考察了有关概率的知识，考察对立事件的概率和项和对立事件的概率，此题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题． 7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，那么ED =〔〕A.1233AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.1233AD AB + 【答案】C 【解析】【分析】画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进展分解后可得结果．【详解】画出图形，如以下列图．选取,?AB AD 为基底，那么()211333AE AO AC AB AD ===+，∴()121333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-．应选C ．【点睛】应用平面向量根本定理应注意的问题〔1〕只要两个向量不一共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决详细问题时，合理选择基底会给解题带来方便．〔2〕利用向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么或者三角形法那么进展向量的加减运算或者数乘运算．8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 在边AB 上，且13AM AB =，2b =，CM =，2sin sin sin 2A B cB b-=，那么ABC S ∆=〔〕C. 【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出C 的值，根据平面向量的线性表示求出CM ，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值.【详解】解：ABC ∆中，2sin sin sin 2A B cB b-=，∴2sin sin sin sin 2sin A B C B B-=， ∴2sin cos 2sin sin C B A B =-， ∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-，∴1cos 2C =，又()0,C π∈，∴60C =︒；又13AM AB =， ∴()1133CMCA AM CA AB CA CB CA =+=+=+-2133CA CB =+，∴32CM CA CB =+，∴222944CMCA CB CA CB =++⋅；∴228164a a =++，解得2a=或者6a =-〔不合题意，舍去〕，∴ABC ∆的面积为122sin 602ABC S ∆=⨯⨯︒= 应选：B.【点睛】此题考察理解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量根本定理应用问题，属于根底题. 二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9.如图是我国2021年1月至12月石油进口量统计图〔其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比〕，那么以下说法错误的选项是〔〕A.2021年下半年我国原油进口总量高于2021年上半年B.2021年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C.2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量D.2021年1月—5月各月与2021年同期相比较，我国原油进口量有增有减【答案】D 【解析】【分析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.【详解】由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量，C 正确；2021年1月至5月的同比数据均为正数，故2021年1月—5月各月与2021年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 应选：D【点睛】此题主要考察统计图表的识别和判断，考察学生抽象概括才能和推理论证才能，属于根底题. 10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据以下条件解三角形，其中有两解的是〔〕A.10,45,70b A C ==︒=︒B.45,48,60b c B ===︒C.14,16,45ab A ===︒ D.7,5,80ab A ===︒【答案】BC 【解析】【分析】根据题设条件和三角形解的个数的断定方法，逐项断定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 应选：BC .【点睛】此题主要考察了三角形解得个数的断定，其中解答中熟记三角形解得个数的断定方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下结论中正确的选项是〔〕A.四面体11ACB D 的体积等于312a B.1BD ⊥平面1ACBC.11//B D 平面EFGD.异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为【答案】BD 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ，11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为2，故D 正确；四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A不正确．应选：BD 【点睛】12.点O 在ABC ∆所在的平面内,那么以下说法正确的有() A.假设0OA OB OC++=,那么点O 为ABC ∆的重心B.假设0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么点O 为ABC ∆的垂心 C.假设()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,那么点O 为ABC ∆的外心D.假设OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,那么点O 为ABC ∆的内心【答案】AC 【解析】【分析】逐项进展分析即可.【详解】解：选项A ，设D 为BC 的中点，由于()2OA OB OC OD =-+=-，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为ABC ∆的重心；选项B ，向量,||||AC ABAC AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC '和AB '，那么它们的差是向量B C ''，那么当0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心；选项C ，OA OB +是以,OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB ｜｜是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O为ABC ∆的外心；选项D ，由OA OBOB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=，∴()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，∴OBCA ⊥．同理可证,OA CB OC AB ⊥⊥，∴OB CA ⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC ∆的垂心；应选：AC ．【点睛】此题主要考察平面向量在三角形中的应用，考察向量的数量积，考察三角形的“五心〞，属于中档题．三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进展问卷调查，假设从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．【答案】9 【解析】130⨯=10，故答案为10. 考点：本试题主要是考察了分层抽样的方法的运用．点评：对于抽样方法，常考察的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于根底题． 14.假设复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的一共轭复数，那么z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】四【解析】【分析】利用待定系数法求出复数z ，再进展断定. 【详解】设za bi =+，那么z a bi =-，代入可得3i =3i ab +-，由复数相等的定义可得1,1a b ==-，即1z i =-，故z 在复平面内对应的在第四象限.【点睛】此题主要考察一共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.15.圆台的上、下底面都是球O 的截面，假设圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，那么球O 的外表积为__________．【答案】80π 【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．【详解】设球半径为R ，球心O 到上外表间隔为x ，那么球心到下外表间隔为6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+=因此外表积2480SR ππ==【点睛】本道题考察了球外表积计算方法，难度中等． 16.O 是ABC ∆外接圆的圆心，假设4560OA OB OC++=，那么cosC =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC++=，所以456OA OB OC +=-，那么2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos C =. 四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17.复数()()2zm 5m 6m 2i =-++-〔m R ∈〕．〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；〔2〕假设复数z 在复平面内对应的点在第二象限，务实数m 的取值范围．【答案】〔1〕3m =〔2〕〔2，3〕【解析】【分析】〔1〕由纯虚数的概念列方程组求解即可；〔2〕由复数的几何意义得2560{20m m m -+<->，解不等式即可得解. 【详解】〔1〕因为复数z 为纯虚数，所以2560{20m m m -+=-≠，解之得，3m =．〔2〕因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以2560{ 20m m m -+<->，解之得23{ 2m m <<>，得23m <<．所以实数m 的取值范围为〔2，3〕．【点睛】此题主要考察了复数的概念及复数的几何意义，属于根底题.18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：〔1〕直线DE 平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析【解析】试题分析：〔1〕利用线面平行断定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；〔2〕利用面面垂直断定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要屡次利用线面垂直性质定理与断定定理.试题解析：证明：〔1〕在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .〔2〕在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE平面11.A C F ⊥平面【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：〔1〕证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；〔2〕证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；〔3〕证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；〔4〕证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos cos )cos 0(C A A B +=．〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设1a c +=，求b 的取值范围．【答案】〔1〕3B π=；〔2〕1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；〔2〕根据余弦定理，由根本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围. 【详解】〔1〕∵cos cos )cos 0(C A A B +-=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=，即cos cos sinsin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=， ∵sin 0A ≠，∴tan B= ∴3B π=．〔2〕由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a c==时取等号，∴12b≥，又1b a c<+=，∴b的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题考察了三角恒等变形的应用，由余弦定理及根本不等式求边的范围，属于中档题.20.对某校高三年级学生参加社区效劳次数进展统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15) 10[15,20) 24 n[20,25) m p[25,30] 2合计M 1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)假设该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区效劳的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数、中位数以及平均数．【答案】见解析【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数是＝1.因为n ＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈1，估计这次学生参加社区效劳人数的中位数是1.样本平均人数是1×0.25＋1×0.6＋2×0.1＋2×0.05＝15，估计这次学生参加社区效劳人数的平均数是15.考点：中位数、众数、平均数.21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，〔1020x ≤≤，单位：公斤〕，其频率分布直方图如下列图，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；假设供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；假设供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元. 〔1〕求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；〔2〕假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 【答案】(1)30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩ 【解析】【分析】〔1〕根据不同的需求量，整理出函数解析式；〔2〕①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】〔1〕商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩〔2〕①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=；海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=；海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=〔元〕 ②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =；76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：【点睛】此题考察利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于可以纯熟掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.22.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．〔1〕证明：DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2．【解析】【分析】〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的断定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，根据〔1〕可知，DE ⊥平面1BCB ，那么D 到平面1BCB 间隔2DE =，设1B 到面BCD 间隔为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得d =1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =，结合线面垂直的断定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BCB --的余弦值．【详解】解：〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴1BB AF ⊥，而BC⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =， ∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥．∴DE ⊥平面11BCC B ．〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，那么BC =2AF =，BD DC ==，∴DF ==∴122BDC S BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 间隔2DE =，设1B 到面BCD 间隔为d ，由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即1133d =，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ===，解得2a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BCB --的平面角，而2DA AF ==，可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，那么cos cos452EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为2．【点睛】此题考察线面垂直的断定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求间隔、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考察推理证明才能和计算才能.。

高一数学下学期开学收心考2月试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年春季学期2021级高一开学收心考试数学试卷一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．与角23π终边一样的角是〔〕 A ．113πB ．()223k k Z ππ-∈C ．()223k k Z ππ+∈D ．()()2213k k Z ππ++∈ 2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．43．假设cos 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩，那么θ是〔〕4．设()lg f x x =，那么()10f f ⎡⎤=⎣⎦〔〕A ．0B ．1C ．5．函数()25f x x =-的零点所在的区间为() A ．()1,2B ．()23，C ．()34，D ．()45，6．集合{}(){}2|,|log 1 M x y N x y x ====-，那么M N ⋂=〔〕 A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[]0,1D ．()[),02,-∞⋃+∞ 7．一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的侧面积为()A ．．．4D ．88．tan 2α=-，2παπ<<，那么sin cos αα+=〔〕A ．15B ．15-C ．5D ．5- 9．设实数,,a b c 满足：21log 32a -=，2323b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln 3c =，那么,,a b c 的关系〔〕A ．a c b <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．在正三棱柱111ABC A B C -中，假设1AB BB =，D 是1CC 的中点，那么1CA 与BD 所成角的大小是〔〕A ．30B ．45C ．60D ．9011．正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，那么该球的外表积为〔〕A ．274πB ．814πC ．9πD ．16π12．假设实数x ，y 满足21x y =-，那么+2y x 的取值范围为〔〕 A ．)3+⎡∞⎣，B ．3333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．3+3⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭，D ．3,3⎡⎤-⎣⎦ 二．填空题：本大题一一共4小题；每一小题5分，一共20分．13．的值是_______. 14．函数()2x f x =在[]1,3-上的最小值是__________．15．幂函数y=f 〔x 〕的图象过点〔2，〕，那么f 〔9〕=3． 16．函数()()11,1 221,1x x f x a x x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩为R 上的单调减函数,那么实数a 的取值范围是___．三．解答题：本大题一一共6小题，一共70分．17〔10分〕．计算：〔1〕74log 2327log lg25lg473+++〔2〕()()()()()3sin 2sin cos 23cos 2cos ·sin sin παπαπαπααππααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-⋅-⋅⎛⎫-+ ⎪⎝⎭------ 18〔12分〕．角α的终边经过点〔2，-1〕，求sin α，cos ,tan αα的值19〔12分〕．函数()b f x ax x =+〔其中,a b 为常数〕的图象经过()51,2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.〔1〕判断并证明函数()f x 的奇偶性；〔2〕证明函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.20．〔12分〕如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.〔1〕求证：//EF 平面PCD ；〔2〕求证：平面⊥PBD 平面PAC .21〔12分〕．直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. 〔1〕求圆C 的方程；〔2〕假设直线AB 过点()1,0M ，且与圆C 交于,A B 两点〔A 在x 轴上方，B 在x 轴下方〕，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？假设存在，求出点N 的坐标；假设不存在，请说明理由.22〔12分〕．二次函数()y f x =的图象经过原点，函数()1f x +是偶函数，方程()10f x +=有两相等实根.〔1〕求()y f x =的解析式；〔2〕假设对任意1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22log 0f x m +≥恒成立，务实数m 的取值范围；2021年春季学期2021级高一开学收心考试数学参考答案1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.D解:由题意可得：()21log 3220,123a ==∈，23213b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，2ln 03c =<， 10.D 解:如下列图，取AC 的中点E ，连结,BE DE ，ABC 为等边三角形，那么BE AC ⊥，由正棱柱的性质可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理可得：BE ⊥平面11ACC A ，1BE A C ∴⊥，正方形11ACC A 中，11,,CD C D AE CE DE AC ==∴⊥，又DE BE E ⋂=，由线面垂直的判断定理可得：1A C⊥平面BDE ，那么1A C BD ⊥，即1CA 与BD 所成角的大小是90.11.B 【解析】如图，正四棱锥P ABCD -中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接AE AF ，，由球的性质可知PAF 为直角三角形且AE PF ⊥，根据平面几何中的射影定理可得：2PA PF PE =⋅，解：由题意可得,+2y x 表示右半个圆x 2+y 2=1上的点(x ,y )与原点(0,−2)连线的斜率，设k =+2y x，故此圆的切线方程为y =kx −2，再根据圆心(0,0)到切线的间隔等于半径,可得r =221k -+=1，平方得k 2=3求得k =±3,故+2y x 的取值范围是)3+⎡∞⎣， 13.解:sin150°•cos240°＝sin30°•〔﹣cos60°〕•〔〕，14.12解:()2x f x =在[]13-，上单调递增∴最小值为()11122f --== 1．解：由题意令y=f 〔x 〕=x a ，由于图象过点〔2，〕，得=2a ，a=∴y=f 〔x 〕=∴f 〔9〕=3． 16.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭解：当1x <时，一次函数单调递减，那么：20,2a a -<∴<，且当1x =时，应满足：()1121112a ⎛⎫-⨯+≥- ⎪⎝⎭，解得：12a ≥，实数a 的取值范围是122a ≤< 17．解析:〔每一小题5分〕〔1〕原式=143log 3lg2542-+⨯+=1152244-++= 〔2〕原式=cos sin cos sin cos cos αααααα--=--18〔每对一个给3分〕解：sin ,cos y x r rαα==由，知 ()225sin 521α===+-，25cos 5α==sin 1tan cos 2ααα==- 19〔第1问5分，第2问7分〕．〔1〕解：∵函数()b f x ax x =+的图象经过()51,2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点∴25222a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,{ 1.a b ==∴()1f x x x =+. 判断：函数()1f x x x =+是奇函数证明：函数()f x 的定义域{}0x x ≠，∵对于任意0x ≠，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，∴函数()1f x x x =+是奇函数. 〔2〕证明：任取121x x ≤<，那么 ∵121x x ≤<，∴1212120,10,0x x x x x x -->， ∴()()12f x f x <.∴()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.20〔每小问6分〕解：〔1〕如图,连结BD ，那么E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //.又∵⊄EF平面PCD ，⊂PD 面PCD ∴//EF 平面PCD . 〔2〕∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵⊥PA 平面ABC ，∴BD PA ⊥, 又A AC PA = ，∴⊥BD 面PAC .又⊂BD 平面PBD ，故平面PBD ⊥平面PAC .21．解：〔1〕设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，那么410205a a +=⇒=或者5a =-. 当圆心为()5,0-时，圆心在直线l 的左下方，所以0a =.所以圆22:4C x y +=.〔2〕当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ,()22,B x y ，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=.∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+. 假设x 轴平分ANB ∠，那么12120AN BN y y k k x t x t=-⇒+=--. ()()1212110k x k x x t x t--⇒+=--()()12122120x x t x x t ⇒-+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得4t =. 所以存在定点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.22〔12分〕解析：〔1〕设()()20f x ax bx c a =++≠.由题意，得()00f c ==. ∴()2f x ax bx =+，()()212f x ax a b x b a +=++++∵()1f x +是偶函数，∴202a b a +-=即20a b +=.① ∵()10f x +=有两相等实根，∴0a ≠且240b a ∆=-=②由①②，解得1,2ab ==-，∴()22f x x x =-. 〔2〕假设对任意12,8x -⎡⎤∈⎣⎦，()22log 0f x m +≥恒成立，只须()2222log 4log m x x ≥-+在12,8x -⎡⎤∈⎣⎦恒成立. 令()()2222log 4log x x x ϕ=-+，12,8x -⎡⎤∈⎣⎦，那么()()max 22x φφ==.假设对任意12,8x -⎡⎤∈⎣⎦，()22log 0f x m +≥恒成立，只须满足()max 2m x ϕ≥=. ∴2m ≥.。

高一数学下学期开学考试试题PDF

2021-2021届高一下学期入学考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日科目：数学(答案解析)一、单项选择题〔每一小题5分，一共计60分〕答案解析：1．A 1111311131333222222224(())(())()()a a a a a a a a a =⋅⋅=⋅=⋅==.2．C 【解析】当0x >时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是单调减函数，又()01f =. 3．A 【解析】由α为第二象限角，那么22,2k k k Z ππαππ+<<+∈那么,422k k k Z παπππ+<<+∈当2,k n n =∈Z 时，22,422k k k Z παπππ+<<+∈，此时2α在第一象限. 当21,k n n Z =+∈时,5722,422k k k Z παπππ+<<+∈，此时2α在第三象限. 4．D 【解析】在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=可得sin sin sin 13b B A a π===，又因为0B π<<，所以B =2π. 5．C 【解析】根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=；∴解得，或者1-〔舍去〕．6.A【解析】由sin 5θ=，cos 5θ=，所以4sin 22sin cos 25θθθ=== ，223cos 22cos 12155θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，那么4sin 245tan 23cos 235θθθ=== . 7．D 【解析】正切函数在每个区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈ 上是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数; 函数tan 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期22ππ= ;tan1384237tan143tan tan ︒=-<-=︒.8．B 【解析】找中间值：0.530.531,00.51,log 30a b c =><=<=<，可知c b a <<.9．D 【解析】由图象可知，1A =，函数()f x 周期为74=123πππ⎛⎫-⨯⎪⎝⎭，所以2ω=；将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入点()sin(2)f x x ϕ=+，得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以73262k k Z ππϕπ+=+∈，，又0ϕπ<< 所以3πϕ=，所以()sin 2=sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到()sin 2g x x =只需将()f x 向右平移6π个长度单位. 10．B 【解析】解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小，因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得：1233x <<.11．B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.12．C 【解析】由题意()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xF x f x g x x x x ≤⎧=⊗=⎨>⎩，由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π，故只须在一个周期[0,2]π上考虑函数的值域即可，分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如下图，观察图象可得：()F x 的值域为2[-. 二、填空题〔每一小题5分，一共计20分〕13．2-【解析】∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，解得2m =-或者3，当2m =-时，11+=-m ，1()f x x -=是奇函数，符合题意；当3m =时，14m +=，4()f x x =是偶函数，不符合题意，∴2m =-.14．4【解析】由余弦定理得：2222212cos 23223164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，那么4c =.15．3【解析】分别作出x y 2=与2x y =的图像，在y 轴左边一个交点，y 轴右边两个交点.113cos(),cos()255sin sin 1cos cos ,sin sin ,tan tan .55cos 221cos αβαβαβαβαβαβαβ+=-=====16.【解析】将分别展开，再将两式进行加和减，可得到则三、解答题(请写出必要的解题过程，本大题一一共计6个小题，总分70分) 17．〔本小题一共10分〕〔1〕(){}26U A C B x x ⋂=≤<;〔2〕3m ≥或者6m ≤-. 【解析】〔1〕当1m =时，{}06A x x =<<，{}|12=-<<B x x{1U C B x x ∴=≤-或者}2x ≥(){}26U A C B x x ∴⋂=≤< ------5分〔2〕{}15A x m x m =-<<+，{}|12=-<<B x xA B =∅12m ∴-≥或者51m +≤-3m ∴≥或者6m ≤-．------10分18．〔本小题一共12分〕〔1〕2,4c或者()2,4c =--；〔2〕π.【解析】〔1〕设向量(),c x y =，因为()1,2a =，25c =，c a ∥，所以2252x y x y⎧⎪+=⎨=⎪⎩24x y =⎧⎨=⎩，或者24x y =-⎧⎨=-⎩所以2,4c或者()2,4c =--； ------6分〔2〕因为2a b +与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-=,而52b =，212a =+= 所以5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，a 与b 的夹角为θ，所以52cos 15a b a bθ-⋅===-⋅⨯，因为[]0,θπ∈，所以θπ=. ------12分19．〔本小题一共12分〕〔1〕()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩；〔2〕证明见解析.【解析】〔1〕令0x >,那么0x -<,所以()()2222f x x x x x-=--+=---, 又由奇函数的性质可知()()f x f x -=-,∴0x >时,()22f x x x =+,故()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩. ------6分〔2〕()f x 在()0,1x ∈上单调递减.证明:任取1201x x ,那么()()2212121222f x f x x x x x -=-+- ()1212122x x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,∵1201x x ,故120x x -<,1202x x <+<,1222x x >, 那么121220x x x x +-<,故()()()1212121220f x f x x x x x x x ⎛⎫-=-+-> ⎪⎝⎭, 即()()12f x f x >,∴()f x 在()0,1x ∈上单调递减. ------12分20．〔本小题一共12分〕〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析【解析】解：〔1〕将a 角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与x 轴的正半轴重合，设a 角终边一点P 〔非原点〕，其坐标为(),P x y.r OP ==∵()2a k k Z ππ≠+∈，∴0x ≠，222222222sin cos 1y x x y a a r r r ++=+==. ------6分〔2〕由于cos sin 2a a π⎛⎫-=⎪⎝⎭，将a 换成2a π-后，就有cos sin 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即sin cos 2a a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin cos 12tan 2sin tan cos 2a a a a a a πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. ------12分 21．〔本小题一共12分〕〔Ⅰ〕20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;〔Ⅱ〕12 .【解析】〔1〕由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . ------6分〔2〕当16x >时，函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以，当工厂消费12百台时，可使利润最大为60万元 . ------12分22．〔本小题一共12分〕〔1〕对称轴23k x ππ=+，k Z ∈，单调减区间5,36k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k Z ∈〔2〕3345- 【解析】〔1〕由题意2()23cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ-=+∈，解得()32k x k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴为()32k x k Z ππ=+∈. 令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭，解得()5,36ππk πk πZ x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+∈+， ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36ππk πk Z k π⎛⎫ ⎪⎝⎭+∈+. ------6分〔2〕由6()5f α=可得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又7312ππα<<，∴226ππαπ<-<，∴24cos 21sin 2665ππαα⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2sin 22sin 21266f πππααα⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2sin 6634122cos 2266552ππαπαπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⨯⨯⨯=⎭. ------12分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

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淄川中学2016-2017学年高一下学期开学收心考试数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）：
1. 已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =
（A ）{}1,3 （B ）{}3,7,9 （C ）{}3,5,9 （D ）{}3,9
2.已知直线3120mx y +-=在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A ．y ＝3－x
B ．y ＝x 2＋1
C ．y ＝1x
D ．y ＝－|x ＋1|
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0x 2，x ＜0，则f (f (－2))的值是( )
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
5.在空间，下列命题正确的是
（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行
（C ）垂直于同一平面两个平面平行（D ）平行于同一平面的两个平面平行
6．若幂函数()()
211m f x m m x -=--是偶函数，则实数m =
A ．1-或2
B ．2
C ．3
D ． 1-
7.函数y ＝lo g a (x ＋2)＋1的图象过定点( )
A ．(1，2)
B ．(2，1)
C ．(－2，1)
D ．(－1，1) 8．正方体的内切球与其外接球的体积之比为
(A)1∶3 (B)1∶3 (C)1∶33 (D)1∶9
9．若三条直线123::260,40,:210l ax y l x y l x y ++=+-=-+=相交于同一点，则实数a =
A ．10
B ．10-
C ．12-
D ．12
10. 右图是正方体的平面展开图．在正方体中，下列结论正确的序号是：
①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．
A ．③④
B ．②④
C ．①②
D ． ①③
二、填空题：（每题4分，共20分）
11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为． 12. 8log 4
log 93＝________.
13. 已知两点()(0,1),4,3A B
，则线段AB 的垂直平分线方程是
14.函数y =232x x --的定义域是 .
15. 54)(2+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数，求m 的范围。

三、解答题：（每题12分，共60分） 16．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出
来；
17. 求满足下列条件的直线方程：
（Ⅰ）求经过直线1:330l x y +-=和2:10l x y -+=的
交点，且平行于直线230x y +-=的直线l 的方程；
（Ⅱ）已知直线1:260l x y +-=和点(1,1)A -，过点A 作直线l 与1l 相交于点B ，且5AB =，求直线l 的方程．
18. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．
（1）证明：PA ∥平面EDB ；
（2）证明：PB ⊥平面EFD ．
19.已知函数f (x )＝2x x ＋1
，x ∈[－3，－2]． (1)求证：f (x )在[－3，－2]上是增函数；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
20. 已知ABC ∆的顶点1)，(5A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为052=--y x ，B ∠的平分线BN 所在直线方程为052=--y x ．求
（Ⅰ）顶点B 的坐标；
（Ⅱ）直线BC 的方程．
淄川中学2016-2017学年高一下学期开学收心考试数学答案
一、选择题 DCBCD DD CCA
二、填空题 12 43 260x y +-= []3,1-
m ≤-16 三、解答题
16. ．解 (1)要使A 为空集，方程应无实根，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0Δ<0，
解得a >98
. (2)当a ＝0时，方程为一次方程，有一解x ＝23
；当a ≠0，方程为一元二次方程，使集合A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a ＝98，x ＝43
. ∴a ＝0时，A ＝{23}；a ＝98时，A ＝{43
}． 17. 解：（Ⅰ）由33010
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为（0，1）
因为直线l 平行于直线230x y +-=，所以直线l 的斜率为2-
所以，直线l 的方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=．
（Ⅱ）方法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x +=-，即直线l 的方程为(1)y kx k =-+
因为直线l 与1l 相交于点B ，联立方程组(1)26
y kx k y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得点B 的坐标为742(,)22k k k k +-++ 又22742(1)(1)522k k AB k k +-=-++=++，解得 34
k =- 所以，直线l 的方程为3410x y ++=；
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时直线l 与1l 的交点为
)1,4（，也满足题意，故直线1x =符合题设．
综上所述，直线l 的方程为3410x y ++=和1x =．
方法二：设点B 的坐标为(,)m n
因为点B 在直线1:260l x y +-=上，所以260m n +-= ① 又因为5AB =，且点(1,1)A -，所以22(1)(1)5m n -++= ② 联立①②，解得B 的坐标为(1,4)和(5,4)-
由此可得直线l 的方程为：3410x y ++=和1x =
18. 解析：证明：（1）连接AC 交BD 与O ，连接EO ．
∵底面ABCD 是矩形，
∴点O 是AC 的中点．
又∵E 是PC 的中点
∴在△PAC 中，EO 为中位线
∴PA ∥EO ，
而EO 平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，
∴PA ∥平面EDB ．
（2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．
∵底面ABCD 是矩形，
∴DC ⊥BC ，
且PD ∩CD=D ，
∴BC ⊥平面PDC ，而DE 平面PDC ，
∴BC ⊥DE ． ①
∵PD=DC ，E 是PC 的中点，
∴△PDC 是等腰三角形，DE ⊥PC ． ②
由①和②及BC ∩PC=C ，∴DE ⊥平面PBC ．
而PB 平面PBC ，
∴DE ⊥PB ．
又EF ⊥PB 且DE ∩EF=E ，
∴PB ⊥平面EFD ．
19. 解：(1)证明：设x 1，x 2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1
＝2x 1（x 2＋1）－2x 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）
＝2（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）
. 由于－3≤x 1<x 2≤－2，
则x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0.
所以f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)．
所以函数f (x )＝2x x ＋1
在[－3，－2]上是增函数． (2)因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，
且f (x )在[－3，－2]上是增函数，
所以函数f (x )的最大值是4，最小值是3.
20. 解：（Ⅰ）设顶点B 的坐标为()m n ,
因为顶点B 在直线BN 上，所以052=--n m ………………2分由顶点B 的坐标为()m n ,和顶点1)，(5A ，得线段AB 的中点M 的坐标为)1，(225++n m ．因为中点M 在直线CM 上，所以052
1252=-+-+⨯n m ，即012=--n m ……………………………………………………………4分
联立方程组⎩
⎨⎧=--=--012052n m n m ，解得B 的坐标为(13)--,． …………6分（Ⅱ）设顶点1)，(5A
关于直线BN 的对称点为(,)A s t ' 由于线段A A '的中点在直线BN 上，得方程052
1225=-+⨯-+t s ，即072=--t s ………………7分
由于直线A A '与直线BN 垂直，得方程15
121-=--⨯s t ，即0112=-+t s ……………………8分
联立方程组⎩⎨
⎧=-+=--0112072t s t s ，解得293()55A '-, ……………………10分显然顶点)，(5
3529-'A 在直线BC 上，又顶点B 的坐标为(1,3)--
所以，直线BC 的方程为617450x y --=． ……………………12分。