上海交通大学流体力学第三章
流体力学第三章课件
第三章 流体运动的基本概念和基本方程
的函数。 流体质点的其它物理量也都是 a,b,c,t 的函数。例如流体 质点（ 质点（a,b,c）的温度可表为 ）的温度可表为T(a,b,c,t) 二、欧拉法（空间点法，流场法） 欧拉法（空间点法，流场法） 欧拉法只着眼于流体经过流场（ 欧拉法只着眼于流体经过流场（即充满运动流体质点 的空间）中各空间点时的运动情况， 的空间）中各空间点时的运动情况，而不过问这些运动情 况是由哪些质点表现出来的，也不管那些质点的来龙去脉， 况是由哪些质点表现出来的，也不管那些质点的来龙去脉， 然后通过综合流场中所有被研究空间点上各质点的运动要 即表征流体运动状态的物理量如速度、加速度、压强、 素（即表征流体运动状态的物理量如速度、加速度、压强、 密度等）及其变化规律，来获得整个流场的运动特征。 密度等）及其变化规律，来获得整个流场的运动特征。 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化， 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无 法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。 法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
ρ = ρ ( x, y , z , t , )
T = T ( x, y , z , t ) 加速度应该是速度的全导数。注意上速度表达式中x 加速度应该是速度的全导数。注意上速度表达式中 ，y，z 是流体质点在t时刻的运动坐标 时刻的运动坐标， 是流体质点在 时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独 立变量，而是时间变量t的函数 因此， 的函数。 立变量，而是时间变量 的函数。因此，根据复合函数求导法 则，并考虑到 dx dy dz =u x , =u y , =u z dt dt dt
一个速度场 8
第三章 流体运动的基本概念和基本方程
一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外， 一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外， 还有压强场。在高速流动时， 还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有 变化，那就还有一个密度场和温度场。 变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概 念之内。 念之内。 p = p ( x, y, z , t ),
上海交大版大学物理第三章参考答案
版权归原著所有 本答案仅供参考习题33-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆， 有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）3-2．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：A F r =⋅∆，题意：250.5r t i j =+24(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d rF m i i d t==⋅=∴560300A i i J =⋅=。
3-3．劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。
今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，则：F k x =，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：max mg k x =，有：max mgx k=， 由做功的定义可知：max222122mg x k m g A k xd x k x k===⎰。
3-4．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B 点的速度：2v N G m R -=，可得：R G N mv )(21212-= 由动能定理： 2102f mgR A mv +=-∴11()(3)22f A N G R mgR N mg R =--=-3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)F x x i =--，其中F 和x 单位分别为N 和m 。
流体力学复习提纲及答案 交大
切向应力与流体的角变形率成正比 应力张量 σ xx τ xy τ xz
τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz
九个应力分量中只有六个是独立的
二、计算
1、积分形式的动量方程、连续方程同伯努利方程的综合应用； （注意坐标系、控制体的选取、 受力分析时尤其要注意表压力是否存在）
1、牛顿内摩擦定律的应用－间隙很小的无限大平板或圆筒之间的流动。的特点； 方向垂直于作用面，并指向流体内部 静止流体任意点处静压强的大小与其作用面方位无关，只是作用点位置的函数 理想流体压强的特点（无论运动还是静止） ；
p = f (x , y ,z ) 静压强的大小与其作用面方位无关，只是作用点位置的函数
DN ∂N ∂N ∂N ∂N = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
DN 流体质点的物理量 N 随时间的变化率 Dt ∂N 空间点上的 N 随时间的变化率，由物理量场的非定常性引起 局部导数或当地导数 ∂t u ∂N ∂N ∂N +v +w 由物理量场的非均匀性引起的 N 的变化率 位变导数或对流导数 ∂x ∂y ∂z
/
µ 反应流体真实粘性的大小 ν 不能真实反应流体粘性的大小
µ ρ
理想流体的定义及数学表达 粘性系数为零的流体
µ = 0
牛顿内摩擦定律（两个表达式及其物理意义）
τ = µ du dy
粘性切应力与层间速度梯度成正比，而不由速度决定
τ =µ
dα dt 粘性切应力与角变形率成正比，而不由变形量决定
粘性产生的机理，粘性、粘性系数同温度的关系 液体：分子间内聚力 温度上升，粘性系数增大 气体：分子热运动 温度上升，粘性系数减小 牛顿流体的定义 符合牛顿内摩擦定律的流体 3、可压缩性的定义 压强变化引起流体体积或密度变化的属性 体积弹性模量的定义、物理意义及公式 =−
流体力学水利学第三章水动力学复习资料课件PPT
t = t0 ＝ 给定时刻， （x，y，z）＝ 变数
（x，y，z）＝ 给定 点，t ＝ 变数
同一时刻，不同空间 点上液体质点的流速 分布，即流场。
不同液体质点通过给 定空间点的流速变化
2.液体质点运动描述 1）质点运动速度
u=ux+uy+uz
z
ux= ux( x,y,z,t )
uy= uy( x,y,z,t ) uz
F pdA p dpdA gdAdz
2、 微分流段质量与加速度的乘积 Ma dAds du
dt
F Ma 即pdA p dpdA gdAdz dAds du dt
对于恒定元流，u us
du dt
du ds ds dt
u du ds
d u2
ds
2
pdA p dpdA gdAdz dAds du
3、流动稳定性演示
恒定流—运动要素不随时间变化
v=v(x,y,z,), p=p(x,y,z)
3、流动稳定性演示
非恒定流—运动要素随时间变化
v=v(x,y,z,t), p=p(x,y,z,t)
三、均匀流与非均匀流
1、均匀流（Uniform flow）
（1）定义：流线为相互平行直线的水流 或流线上的速度矢量都相同。
二、恒定流与非恒定流
1、恒定流（Steady flow）
所有运动要素≠f(t)-----不随时间变化 u=u(x,y,z), p=p(x,y,z)
ux/t= uy/t= uz/t=p/t=0
2、非恒定流（Unsteady flow）
任一运动要素=f(t)-----随时间变化 u=u(x,y,z,t)或 p=p(x,y,z,t)
因此，该方法在工程上很少采用, 但这个 方法在波浪运动中、PIV水流量测等问题研究中 多用这个方法。
流体力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
流体力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.定常流动中，流体质点的加速度（第二章）答案:与时间无关；2.欧拉法描述流体质点的运动（第二章）答案:间接；3.粘性切应力与流体微元的无关。
（第三章）答案:变形量大小；4.下列各力中，属于表面力的是（）（第三章）答案:浮力；5.某一扩张管的入口和出口直径分别为d1=0.2m,d2=0.3m。
设入口水流流速V1=2m/s，则出口流速 V2 ?（第五章）答案:0.89m/s6.狂风天气，屋顶被掀翻，其原因是：（第六章）答案:屋顶外侧气流速度高，压强降低，屋顶内外两侧产生压差；7.在弯曲流道中，流速沿曲率半径方向的变化为：（第六章）答案:在径向压强梯度恒定的情况下，随当地曲率半径增加而增加;8.大水箱通过管道放水，管道中间装有阀门，根据托里拆利公式，出流速度由水箱自由液面与出口高差决定。
半开中间阀门，说法正确的是：（第六章）答案:阀门关闭增加了局部能量损失，出流速度降低；9.答案:0.11m10.水流过一个模型比尺为1：4的溢流堰模型的顶部，在其上一个特定的点测得流速为V. 这个速度对应在原型上是 ( ) （第7章）答案:2V11.在相似流场中，惯性力项和重力项量级之比的无量纲数是（）(第七章)答案:Fr12.对于圆管内流动，实际管道直径为10m，液体流速为1m/s, 若实验时使用相同的液体，模型管道直径为0.5m，，考虑雷诺数相似，则模型管道内的流速应为（）（第七章）答案:20m/s13.有一个 1:100 的船模，以速度 1m/s 在水中行驶，波阻力为 0.02N. 则对应的原型的速度和波阻分别为（）（第 7 章）答案:10 m/s，20 kN答案:5195 N 15.答案:7705 N答案:0 N17.圆管中的沿程损失因子是摩擦阻力系数的。
（第十一章）答案:4倍18.答案:19.在以下各种流动中，存在流动边界层的包括。
（第十二章）答案:湍急河流的河床附近；正常行驶中汽车的绕流；20.关于边界层层流流动，以下观点错误的有。
吴望一《流体力学》第三章习题参考答案
吴望一《流体力学》第三章习题参考答案1．解：CV CS d V s dt tτϕϕδτδτϕδ∂=+⋅∂⎰⎰⎰ 由于t 时刻该物质系统为流管，因而侧面上ϕ的通量＝0，于是（1）定常流动0t ϕ∂=∂，222111dV d V d dt τϕδτϕσϕσ=-⎰，设流速正方向从1端指向2端。
（2）非定常流动222111CV d V d V d dt t τϕϕδτδτϕσϕσ∂=+-∂⎰⎰ 2．解：取一流体微团，设其运动方程为(,,,)(,,,)(,,,)x x a b c t y y a b c t z z a b c t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，由质量守恒得，在0t =和t 时刻()(),,,0,,,a b c dadbdc a b c t dxdydz ρρ=利用积分变换可知()(),,,,x y z dxdydz J dadbdc a b c ∂==∂（雅可比行列式），于是()(),,(,,,0)(,,,),,x y z a b c dadbdc a b c t dadbdc a b c ρρ∂=∂()()()(),,,,,0,,,,,x y z a b c a b c t a b c ρρ∂=∂3．（控制体内流体质量的增加率）＝－（其表面上的质量通量）（2）球坐标系下选取空间体元（控制体）2sin r r δτθδδθδϕ=。
单位时间内该空间内流体质量的增量为2sin r r t tρρδτθδδθδϕ∂∂=∂∂ 该控制体表面上的质量通量：以 r e 和－r e 为法向的两个面元上的质量通量为()2sin |sin |sin r r r r r r v r v r r v r r r rδρρδθθδϕρδθθδϕδδθδϕθ+∂-+=∂以 e θ和－e θ为法向的两个面元上的质量通量为()sin sin |sin |v v rr v rr r r θθθθθδθρθρδθδϕρδθδϕδδθδϕθ+∂-+=∂以e ϕ 和－e ϕ为法向的两个面元上的质量通量为()||v v r r v r r r r ϕϕϕϕϕδϕρρδθδρδθδδδθδϕϕ+∂-+=∂ 所以()()()22sin sin sin 0r v r v vr r r t rϕθρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂即()()()22sin 110sin sin r v r v v tr r r rϕθρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （3）柱坐标系下选取空间体元（控制体）r r z δτδθδδ= 单位时间内该空间内流体质量的增量为 ()r r z r r z t tρδδθδρδδθδ∂∂=∂∂该控制体表面上的质量通量为()()()r z rv v v r z r z r r z r zθρρρδδθδδδθδδδθδθ∂∂∂++∂∂∂ 所以()()()0r z rv v v r r t r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 即()()()0r z v r v v t r r r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （4）极坐标系下选取面元（控制体）s r r δδθδ=，可认为该面元对应以该面元为底面的单位高度的柱体。
上海交通大学流体力学第三章
F
p x
dx
r2
2
rdx
0
dp 2
dx r
p仅与x 有关, τ与x 无关. 只有均为常数才相等. 令比压降为 G p dp 常数 l dx
1 dp r G r
2 dx 2 上式称为斯托克斯公式，说明切应力沿径向线性分布。
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-2)
4. 平均速度
V
Q b
b2
12
dp dx
2 3
um
C3.3.2 平板库埃特流(2-1)
C3.3.2 平板库埃特流动
在平板泊肃叶流上再增加上板以U 运动条件，方程不变。
1. 速度分布
u
1
2
dp dx
y2
C1y
C2
y 0,u 0, C2 0
U b dp
yb,
u U
,
C1
b
2
dx
u U y 1 dp ( y2 by)
b 2 dx
平板剪切流
泊肃叶流
上式表示流场为平板剪切流与泊肃叶流叠加的结果。
无量纲形式为
u U
y b
B 1
y b
y b
,
B b2 dp
2U dx
C3.3.2 平板库埃特流(2-2)
平板库埃特流流场取决于U 和 dp（或B)的大小和方向。设U> 0 dx
C3.2 管道入口段流动(2-1)
C3.1 引言(工程背景) C3.2 管道入口段流动 1. 入口段流动
x=0
上海交通大流体力学课件(全)-精品文档
第五章 管中流动
§5-1 雷诺实验 §5-2 圆管中的层流 §5-3 圆管中的湍流 § 5-4 管道中的局部阻力
第六章 孔口和缝隙流动
第七章 气体的一元流动
§8−1 声速和马赫数 §8–2 一元气流的基本方程和流动特性 §8–3 理想气体一元等熵流动的特征
§8–4 收缩喷管与拉伐尔喷管的计算
第一章 绪 论
dv dy
代表了粘性的大小
µ 的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流 层在单位面积上所作用的内摩擦力（切应力）的 大小。
常用粘度表示方法有三种：
<1>动力粘度 µ 单位 ： Pa s （帕 • 秒） 1 Pa s = 1 N/m2 s
<2>运动粘度：
单位：m2 / s
工程上常用：10 – 6 m2 / s (厘斯) mm2 / s 油液的牌号：摄氏 40ºC 时油液运动粘度的 平均厘斯( mm2 /s )值。
应重点理解和掌握的主要概念有：流体质点、流体的连续介质模型、 粘性、粘度、粘温关系、理想流体。流体区别于固体的特性。 还应熟练掌握牛顿内摩擦定律及其应用。
第二章 流体静力学
平衡（静止）
绝对平衡 —— 流体整体 对于地球无相对运动。
相对平衡 —— 流体整体 对于地球有相对运动，但 流体质点间无相对运动。
第三章 流体动力学
§3-1 描述流体运动的两种方法 §3-2 流体运动中的一些基本概念 §3-3 连 续 方 程 式 §3-4 理想流体的运动微分方程 §3-5 伯 努 利 方 程 及 其 应 用 §3-6 动 量 方 程 及 其 应 用
第四章 相似和量纲分析
§4 – 1 相 似 原 理
§4 -2 定 理 和 量 纲 分 析 的 应 用
实验流体力学-第三章流体力学实验设备简介
• 主要应用方向：
702所
深水拖曳水池
• 常规试验项目： 阻力试验(含高速滑行艇、气垫船、 水翼艇、水上飞机、地效翼船、水 下模型); • 自航试验（单桨及多桨船）; 敞水试验（常规及导管组合桨）; 流场测量; 三维流场测试; 船体波形阻力测量; 顶浪状态的波浪试验和外载荷实验 ; 海洋工程、水下机器人潜水训练以 及基础水动力学试验研究; • 精密测速仪及测压传感器的标 定.
18
深水拖曳水池
• 主要性能指标： 水池主尺度：474(L) ,14(W)，7m(H) 拖车车速范围：0.01～20m/s 造波机：频率0.3～1.2Hz， • • 波高250mm 深水拖曳水池实验室主要从事舰 船等各类水中运动体水动力特性理论 研究及实验测试，广泛开展流场分析、 船舶性能预测、水中运动体型线优化 等工作。
49
低速风洞
• 主要性能指标： 试验段：截面为3.0m×3.0m去八角 形，长8.5 m 风速范围：3~93m/s连续可调 • 常规试验项目： 水动力/气动力测力试验 舵铰链力矩试验 三维流场特性测试 表面流态显示试验 表面压力/动态压力试验 风/流载荷测试试验 风/流致振动测试
702所
50
低速风洞
28
水下工程结构实验室
• 主要性能指标： 最大工作压力 90兆帕 最大筒径 3.2m 最大筒深 8m • 主要应用方向： 主要从事潜艇、潜器等各类水下 建/构造物水下结构强度、刚度、 稳定性、密封性等方面的理论研 究、结构模型和实体试验测试及 优化工作。 702所
29
水下工程结构实验室
• 常规试验项目： 结构件耐压静压力试验 结构件极限载荷测试 结构件刚度试验 结构件动载荷试验 结构件密封性试验 结构件疲劳试验 702所
流体力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
流体力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在原静止流体中高速航行体周围绕流中，在近壁面形成有旋的边界层流动，在边界层外则可看做无旋流动，适用势流理论。
参考答案:正确2.对于平行流动，压强分布满足：参考答案:沿速度垂直方向梯度为常数;_与速度无关；3.连续性方程体现流体的质量守恒定律。
参考答案:正确4.下列关于湍流特征描述正确的有（）参考答案:相比层流流动，湍流流动具有较大的动量、热量和物质扩散速度_湍流是时空连续的随机运动5.湍流运动涡粘系数νt的量纲为（）参考答案:m2⁄s6.势流的基本解被用于求解速度场，基本解的强度和空间分布通过满足：求得。
参考答案:库塔条件_速度边界条件；_壁面流线条件；7.有环量的圆柱绕流流场由哪些基本解叠加而成：（）参考答案:均流；_偶极子；_点涡；8.理想流体的固壁边界条件是一个简化的数学模型，其速度条件满足：（）参考答案:有滑移_无渗透9.法国数学家达朗贝尔证明，物体在原静止的不可压缩和无黏流体中，以恒定速度运动，所受的阻力为零。
这被称为达朗贝尔佯谬或悖论，其错误的根源在于：。
参考答案:实际流体有黏性；10.存在速度势函数的充要条件是：（）参考答案:无旋流动11.对在有势力场中的无旋流动，求解流动速度场和压强场解耦，先通过速度势函数求解速度场，速度势函数满足（）拉普拉斯方程；12.狂风天气，屋顶被掀翻，其原因是：参考答案:屋顶外侧气流速度高，压强降低，屋顶内外两侧产生压差；13.拉瓦尔喷管（入口为亚声速流动）中可能发生激波的部位在。
（填A.收缩段；B.喉部；C. 扩张段）参考答案:C14.流线无论什么情况下都不可以相交。
参考答案:错误15.对于圆管内流动，实际管道直径为10m，液体流速为1m/s, 若实验时使用相同的液体，模型管道直径为0.5m，考虑雷诺数相似，则模型管道内的流速应为（）参考答案:20m/s16.拉瓦尔喷管（按一维定常绝热无粘流动计算）入口为亚声速流动，喉部为临界状态。
上海交通大学精品课程流体力学课件 共325页
归纳两点：
1、平衡流体内不存在切向应力，表面力即为 法向应力（即静压强）；
2、绝对平衡流体所受质量力只有重力，相对 平衡流体可能受各种质量力的作用。
三、 流体静压强的两个重要特性。 1、流体静压强的方向总是沿着作用面的内法线 方向。
2、平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作 用面的方向无关，它只是该点空间坐标的函数。
温度内聚力 粘度 温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视。
4、理想流体的概念 理想流体——假想的没有粘性的流体。
µ= 0 = 0
实际流体——事实上具有粘性的流体。
小
结
1、流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律。
2、引入流体质点和流体的连续介质模型假设，把流体看成没有间隙 的连续介质，则流体的一切物理量都可看作时空的连续函数，可 采用连续函数理论作为分析工具。
质量 dxdydz
得：
fx
1
p x
0
同理：f y
1
p y
0
1 p
fz z 0
静止流体的平衡微分方程 (欧拉平衡微分方程）
方程的物理意义 : 在静止流体中，作用在单位质
量流体上的质量力与作用在该流体表面上的压力 相平衡。
四、综合表达式 将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx、dy、dz 然后相加
第一章 绪论 第二章 流体静力学 第三章 流体动力学 第四章 相似和量纲分析 第五章 管 中 流 动 第六章 孔口和缝隙流动 第七章 气体的一元流动
第一章 绪论
§1-1 流体力学研究的内容和方法 §1-2 流体的概念及其模型化 §1-3 流体的主要物理性质
第二章 流体静力学
上海交通大学精品课程流体力学课件 325页PPT文档
§1-2 流体的概念及其模型化
一、流体的物质属性
1、流体与固体 流体：可承受压力，几乎不可承受拉力，承受剪 切力的能力极弱。
易流性 —— 在极小剪切力的作用下，流体就将产 生无休止的（连续的）剪切变形（流动），直到 剪切力消失为止。
流体没有一定的形状。固体具有一定的形状。
固体：既可承受压力，又可承受拉力和剪切力，在 一定范围内变形将随外力的消失而消失。
温度内聚力 粘度 温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视。
4、理想流体的概念 理想流体——假想的没有粘性的流体。
µ= 0 = 0
实际流体——事实上具有粘性的流体。
小
结
1、流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律。
2、引入流体质点和流体的连续介质模型假设，把流体看成没有间隙 的连续介质，则流体的一切物理量都可看作时空的连续函数，可 采用连续函数理论作为分析工具。
dv dy
代表了粘性的大小
µ 的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流 层在单位面积上所作用的内摩擦力（切应力）的 大小。
常用粘度表示方法有三种：
<1>动力粘度 µ 单位 ： Pa s （帕 • 秒） 1 Pa s = 1 N/m2 s
<2>运动粘度：
单位：m2 / s
工程上常用：10 – 6 m2 / s (厘斯) mm2 / s 油液的牌号：摄氏 40ºC 时油液运动粘度的 平均厘斯( mm2 /s )值。
体积: dVdxdydz
分析微小正平行六面体微团受力：
一、质量力
dFmx = dxdydz fx dFmy = dxdydz fy dFmz = dxdydz fz
二、表面力
上海交通大学流体力学
∑
=
关于流体中的表面力我们会在下一节课中进一步讨论。
今天我们对流体中的长程力，也就是体积力或质量力进行进一步的探讨，
体积力与质量力；重力；体积力的势
长程力直接作用在每一个物体单元（无论是流体还是固体）以及它所占据的空间体积元上，
我们称之为质量力或体积力。我们定义单位质量上的作用力为 f，那么单位体积上的作用力
若质量力有势，许多计算可以简化。例如我们在质量力场中将一个质量为 m 的物体单元沿
一条路线 s 从 移至 ，那么质量力对这个物体所做的功为
2
2
2
∫ ∙ = ∫ ∙ = − ∫ ∙ = −[( ) − ( )]
1
1
1
即质量力做的功与路径无关，只与起点和终点的质量力势有关。
达式是 3x3 的矩阵，由理论力学知识可以得知，这个矩阵必须是对称的。
: (
)
一个微元面是两个物体分隔面的一部分，它的外法向方向从受力体垂直于微元面指向施力
体。一个面积大小为，外法向方向为 n 的微元面所受到的表面力为 为
= ∙ = ∙
= 被称为微元面的矢量面积。这个微元面上单位面积表面力 为
=
= ∙ → = ∑
=
这里下标指微元面的朝向， 并不一定与平行。单位面积表面力也称为应力。
我们观察一个占据空间体积τ的流体单元：其表面为 A。A 由无数微元面 = 构成。那
短程力的主要形式作用在物体与物体间的接触面上（也包括物体内部的切面）
，被称为表面
力，我们这里用 表示；单位面积上的表面力被称为应力。一般情况下，应力（物体内部切
流体力学第3章中文版课件
说明：
V V V V a u v w t x y z
前述的加速度表达式给出的是在观察者所处的参考系中，相对于 流体质点相对 观察者来说的流体加速度。 科里奥利加 流体质点相对于 法向加速度
流体质点的位 于加速参考系 速度 观察者所处参 流体质点的速 固定参考系的加 然而在一定的条件下，观察者所处的参考系可能做加速运动，那 臵矢量 的加速度。 考系的角速度 度矢量 速度。
2013-11-25
Chapter 3: Introduction to fluids in motion
12
3.2 流体运动的描述 (3) 流线
流线：
流动中的流线是流场中一条假想线，它具有以下性质： 流线上每一质点的速度矢量与流线相切。
流线的数学表达式为： V dr 0
2013-11-25
•
2013-11-25
Chapter 3: Introduction to fluids in motion
5
3.2 流体运动的描述 1. 运动的拉格朗日描述和欧拉描述 (1) 流体质点
流体质点：
流体质点定义为包含有大量的流体分子而又具有很 小体积的随流体流动的小质量的流体。
如果流体是不可压缩的，则流体质点的体积不变， 但可以变形。而如果流体是可压缩的，则流体质点 的体积不仅可以变形，体积大小也会发生变化。 在可压缩和不可压缩情况下，流体质点都可以认为 作为一个实体通过流场。
第三章：
流体流动
2013-11-25
Chapter 3: Introduction to fluids in motion
1
本章主要内容
3.1 引言 3.2 流体运动的描述
3.3 流体流动的分类
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vz
G 4
(R2
r
2)
(f)
讨论：（1）速度分布式(f)与用动量方程求得的(C3.4.6a)式相同；
（2）若考虑更一般的情况，沿斜直管（水平夹角为α）的流动， 并仍取管轴为z 轴，重力在z 方向也有分量：ρg sinα=常数， 重力在z 方向的分量的作用与压强梯度的作用相似。
C3.4.2 泊肃叶定律(2-1)
u G (R2 r2)
4
轴线最大速度为
um
G
4
R2
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-1) 已知: 粘度为μ的不可压缩流体在半径为R的水平直圆管中作定常流动。 求: 用柱坐标形式的N-S方程推导速度分布式。
解： 设轴向坐标为z ，建立柱坐标系(r,θ, z )如图
所示。设vr = vθ= 0，由连续性方程可得
1. 速度分布
u
1
2
dp dx
y2
C1y
C2
y 0,u 0, C2 0
yb,
u U
,
C1
U b
b
2
dp dx
u U y 1 dp ( y2 by)
b 2 dx
平板剪切流
泊肃叶流
上式表示流场为平板剪切流与泊肃叶流叠加的结果。
无量纲形式为
u U
y b
B 1
y y b b
,
B b2 dp
2u x2
2u y 2
)
0 00
0
00
( v
t
u
v x
v
v y
)
fy
p y
( 2v
x2
2v y2
)
简化得：
p x
d2u dy2
,
p 0 y
第二式表明压强与y无关（截面上均布），仅是x的函数。 第一式左边与y无关，右边与x无关，只能均为常数。
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-3)
可得
d2u dy2
轴承固定, 而轴以线速度U=ωd /2运动, 带动润滑油作纯剪切流动, 即简单 库埃特流动。间隙内速度分布为
uU y b
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-2) (1) 作用在轴表面的粘性切应力为
w
du dy
U b
2 n 60
d 2
1 b
nd 60b
0.12 36000.08 60 0.03103
C3.4.2 泊肃叶流动
1. 圆管流量
Q
R
u2rdr
G
R (R2 r2 )rdr
0
2 0
泊肃叶定律
Q dp R4 GR4
8 dx 8
泊肃叶定律适用条件:不可压缩、牛顿流体、圆管、定常、层流
2. 平均速度
V
Q
R 2
G
8
R2
1 2
u
max
速度分布
r2
u
2V
1
R2
3. 沿程损失
上式中f 为任意函数，将上式代入(b)式得
0
g
cos
gcos
1 r
f
,
f
0
可见 f 仅是z 的函数，取截面平均压强，其梯度可写成 。ddpz由(c)式
1 r
r
(
r
vz r
)
1
dp dz
(d)
(d)式左边仅是r 的函数，右边仅是z 的函数，只有均等于常数才能相等,
dp/dz保持常数。(d)式积分两次可得
vz 0 z
解得vz = vz (r)；重力在z轴方向分量为零，N-S方程在柱坐标系中的分量式
为附录中C所列，化简后可得
r:
0
gsin
p r
(a)
θ:
0
gcos1 rFra bibliotekp(b)
z:
0
p z
[1r
r
(r
vz r
)]
(c)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-2)
由(a)式积分得
p g rsin f ( ,z)
dx
b 2 dx
沿y 方向线性分布
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-1)
已知: 中轴的直径为d = 80 mm，b = 0.06 mm，l = 30 mm，n = 3600转/分
润滑油的粘度系数为μ= 0.12 Pa·s 求: 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩Ts ；
(2) 轴功率。 解： (1)由于b << d 可将轴承间隙内的周向流动 简化为无限大平行平板间的流动。
不可压牛顿流体在半径为R的圆管中沿x 方向作定常层流流动。
1. 切应力分布
沿轴取半径为r的圆柱形控制体, 净流出流量为零, 忽略体积力
F
p x
dx
r2
2
rdx
0
dp 2
dx r
p仅与x 有关, τ与x 无关. 只有均为常数才相等. 令比压降为 G p dp 常数 l dx
1 dp r G r
2 dx 2 上式称为斯托克斯公式，说明切应力沿径向线性分布。
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-2)
在轴线上τ＝0 ，在壁面上最大值
w
G 2
R
2. 速度分布
由牛顿粘性定律和斯托克斯公式
du G r dr 2
u G r2 C
4
由边界条件r＝R时，u＝0
，得
C
G
4
R2
速度分布式为
达西(H.Darcy)曾用铸铁、熟铁、玻璃管等各种管子作实验
测得 与Red和 的关系。
C3.6.1 达西公式(2-2)
C3.6.1 达西公式
达西公式
hf
=
λ
l d
V2
2g
粘性底层δ
流态
湍流 层流
水力光滑 δ>ε 水力粗糙 δ<ε
粗糙过渡区
达西摩擦因子
λ= f Re,ε
粗糙度
绝对粗糙度ε 相对粗糙度ε/d
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u 2u x x2 0
,
u u( y )
(4) 忽略重力:
fx 0 fy 0
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-2)
连续性方程
u v 0 x y
u v 0 v 0 x y
N-S方程
00
0
0
0
( u
t
u
u x
v
u y
)
f x
p x
(
hf
p
g
Gl
g
8 l
V
gR 2
C3.4.2 泊肃叶定律(2-2)
4. 泊肃叶定律的意义
Q GR4
8
(1) 泊肃叶定律解析式由哈根巴赫和纽曼（1859）分别用N-S方 程推出。哈根（1839）和泊肃叶（1840）分别用实验测得 Q
与G、R4成正比关系;
(2) 理论与实验结果一致肯定了牛顿粘性假设、N-S方程斯托克 斯假设和壁面不滑移假设。(分别称为牛顿粘性定律、壁面不 滑移条件);
vz
1 4
dp dz
r2
C1lnr
C2
(e)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-3)
当r =0时，管轴上的速度为有限值，由物理上可判断C1=0；当r =R时，
vz=0；可得
C2
1 4
dp dz
R2
代入(e)式可得速度分布式为
vz
1 4
dp dz
(r2
R2
)
令 G =－dp / dx,
u 2.5ln yu* 5.5
u*
式中 u w 称为壁面摩擦速度，y是离壁面的垂直距离.
2. 湍流幂次律
根据 Re 105左右的实验数据导出的
幂次形式分布律为
u
(1
r
1
)7
um
R
式中 um 为轴心最大速度。
C3.6.1 达西公式(2-1)
C3.6 圆管流动沿程损失 C3.6.1 达西公式
dy dx 2
切应力沿y方向为线性分布，
在壁面达最大值
w
b 2
dp dx
3. 流量
Q
b
b
udy
1
dp
y2 by
dy
b3
dp
0
0 2 dx
12 dx
4. 平均速度
Q b2 dp 2
V
b
12
dx
3 um
C3.3.2 平板库埃特流(2-1)
C3.3.2 平板库埃特流动
在平板泊肃叶流上再增加上板以U 运动条件，方程不变。
0 0
yxx
p zx
xy y zy
xz yz
uu vu
z wu
uv vv wv
uw
vw ww
压强
粘性应力
雷诺应力
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-3)
3. 圆管湍流切应力 圆管定常湍流满足斯托克斯公式
G τ τl τt 2 r
du uv
dy 上式中τl为粘性切应力，τt为雷诺应力。
1
dp dx
常数
积分得
u
1
2
dp dx
y2
C1 y
C2
边界条件： 1．速度分布
y = 0，u = 0，C2= 0
y
=
b，u
=
0，C1
1
2
dp dx
b