人教A版必修四全套教案之1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质

【教材分析】

《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】

1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数

c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域

2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．

3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．

【教学重点难点】

教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域

【学情分析】

知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】

1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

【课前准备】

1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境

复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等

提出本节课学习目标——定义域与值域

（二）探索研究

给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或),(+∞-∞). 2.值域 (1)值域

因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以1|cos |,1|sin |≤≤x x , 即1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x

也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是]1,1[-. (2)最值

正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=

,22

ππ

时,取得最大值1

②当且仅当Z k k x ∈+-

=,22

ππ

时,取得最小值1- 余弦函数R x x y ∈=,cos

①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1

②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 3.周期性

由)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.

定义：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时, 都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知,)0,(2,,4,2,,4,2≠∈--k Z k k πππππ 都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.

根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2.

4.奇偶性

由x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-

可知:x y sin =(R x ∈)为奇函数,其图象关于原点O 对称

x y cos =(R x ∈)为偶函数,其图象关于y 轴对称

5.对称性

正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2

x k k Z π

π=+

∈;

余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z π

π⎛⎫

+∈ ⎪⎝

⎭

, 对称轴是直线()x k k Z π=∈

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与

x 轴(中轴线)的交点).

6.单调性 从]2

,2[,sin ππ3

-∈=x x y 的图象上可看出:

当]2,2[π

π-

∈x 时,曲线逐渐上升,x sin 的值由1-增大到1 当]2

,2[ππ3

∈x 时,曲线逐渐下降,x sin 的值由1减小到1-

结合上述周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间)](22

,

22[Z k k k ∈++-ππ

ππ

上都是增函数,其值从1-增大

到1;在每一个闭区间)](22

,22[Z k k k ∈+3

+ππππ上都是减函数,其值从1减小到1-.

余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ上都是增函数,其值从1-增加到1;余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ上都是减函数,其值从1减小到1-.

三、例题分析

例1、求函数y=sin(2x+3

π)的单调增区间．

解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．

解：令z=2x+

3

π，函数y=sinz 的单调增区间为[2π-2k π+，22k π

π+]．

由 2π-2k π+≤2x+3

π≤22k ππ+得 512k ππ-

+≤x ≤12k π

π+ 故函数y=sinz 的单调增区间为 [512k ππ-+， 12

k ππ+ ]（ｋ∈Ｚ） 点评：“整体思想”解题 变式训练1. 求函数y=sin(-2x+3

π

)的单调增区间 解：令z=-2x+

3π

，函数y=sinz 的单调减区间为[2

π2k π+，

322

k π

π+]