人教A版必修四全套教案之1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

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高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学案新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学

第一章三角函数三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：周期性和值域．2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的对称轴、对称中心及周期等．3．利用正弦函数、余弦函数的单调性求与弦函数有关的单调区间．基础梳理一、正、余弦函数的周期1．周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．对周期函数的理解要注意以下几个方面：(1)f(x＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，x＋T仍在定义域内，且等式成立；(2)周期T是非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加值；(3)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么nT，n∈Z，n≠0也一定是函数f(x)的周期；(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无界集，至少是一方无界；(5)周期函数并不仅仅局限于三角函数，如函数y＝x－k，(k<x<k＋1，k∈Z)就是一个以1为周期的周期函数．3．一个函数如果是周期函数，必定有无穷多个不同的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．4．正弦函数和余弦函数都是周期函数.2k π(k ∈Z，k ≠0)是周期，最小正周期是2π．思考应用1．求出下列函数的最小正周期：(1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3. 体会这些函数的周期与解析式中哪些量有关．解析： (1)2π3； (2)π.通过计算可知与x 前面的系数有关，进而可总结为对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期为T ＝2π|ω|. 二、正弦函数和余弦函数的最值正弦函数y ＝sin x 当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时取最大值1，当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时取最小值－1；余弦函数y ＝cos x 当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时取最大值1，当且仅当x ＝2k π＋π(k ∈Z)时取最小值－1．思考应用2．函数y ＝sin x ，x ∈[0，π]的值域还是[－1，1]吗？解析：正弦函数在整个定义域R 上的值域为[－1，1]，在确定函数的值域时，要注意函数的定义域区间，事实上，y ＝sin x ，x ∈[0，π]的值域是[0，1]．自测自评1．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为(C ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是(A ) A ．周期为2π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 为偶函数，T ＝2π|ω|＝2π，故选A. 3．下列说法不正确的是(D )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1，1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z)上都是减函数4．f (x ＋3)＝f (x )对x ∈R 都成立，且f (1)＝5，则f (16)＝5．解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期为3的周期函数，f (16)＝f (5×3＋1)＝f (1)＝5.基础提升1．函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤7π6的最小、最大值分别为(D ) A ．0，1 B ．－1，1C ．－32，1D ．－1，32解析：由y ＝cos x ，π6≤x ≤7π6的图象(如下图)知：当x ＝π6时，y ＝cos x 有最大值32. 当x ＝π时，y ＝cos x 有最小值－1，故选D.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x 是(D ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：由诱导公式得，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，所以该函数为周期为2π的偶函数． 3．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π5的周期是(C ) A ．2π B ．π C.π3 D.π64．函数y ＝1＋sin x 最大值为(C)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：当x ＝π2时，y ＝1＋sin x 有最大值2，故选C. 5．函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＋1的最小正周期为(B) A.π2B ．πC ．2πD ．3π 解析：y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＋1的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π.故选B. 6．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为2π3，则ω的值为(C ) A ．1 B ．±3 C ．3 D.32解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，故选C. 7．函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为(B )A ．2B ．0C ．－14D ．6 巩固提高8．如果|x |≤π4，则函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值是(D ) A.2－12 B.－（1＋2）2C ．－1 D.1－229．若f (x )＝cos π4x ，x ∈N *，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＝________．解析：f (x )＝cos π4x ∵T ＝2ππ4＝8， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＝cos π4＋cos 2π4＋cos 3π4＋cos 4π4＋cos 5π4＋cos 6π4＋cos 7π4＋cos 8π4＋…＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×2 011 ＝251⎣⎢⎡22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋（－1）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋0＋ ⎦⎥⎤22＋1＋ 22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝0. 答案：010．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |. (1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＜x ＜2k π＋3π2， (k ∈Z)．其图象如图所示：(2)由图象知，函数的最小正周期是2π.1．求三角函数的值域，主要是利用三角函数的有界性并结合二次函数等特定函数的单调性求解，换元法是常用的手段之一．2．若T 是函数f (x )的周期时，则kT (k ∈Z，k ≠0)也是f (x )的周期．若未特别说明，一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集．。

教学设计：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、教学目标知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题. 能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力.情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦. 二、教材分析本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。

该内容共两课时，这里讲的是第二课时。

正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。

通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础.三、教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值.教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用. 四、教学过程复习引入：（1）单调性：正弦曲线下面是正弦函数sin ()=∈y x x R 图象的一部分：sin ()=∈y x x R 在ππ2π2π22[-,]()++∈k k k Z 上单调增，函数值从-1增加到1，在π3π2π2π22[,]()++∈k k k Z 上单调减，函数值从1减小到-1.余弦曲线cos ()=∈y x x R cos ()=∈y x x R 在π2π2π[-+,]()∈k k k Z 上单调增，函数值从-1增加到1，在2ππ2π[,]()+∈k k k Z 上单调减，函数值从1减小到-1.（2）最值：正弦函数sin ()=∈y x x R ①当且仅当x =π2π2+k ,∈k Z 时,取得最大值； ②当且仅当x =π2π2-+k ,∈k Z 时,取得最小值.余弦函数cos ()=∈y x x R ，①当且仅当x =2πk ,∈k Z 时,取得最大值； ②当且仅当x =2ππ+k ,∈k Z 时,取得最小值. 应用一：利用单调性比大小例1 不通过求值，比较sin()sin()1810与ππ--的大小. 分析：比较大小，一般可通过做差法比较，做商法比较，或者利用函数单调性比较（其中三角函数的大小，还可以通过三角函数线来进行比较）.如果用单调性比较同名三角函数值的大小，关键是考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。

高考数学第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计新人教A版必修4 教案

福建省光泽县第二中学高中数学必修4第一章教学设计：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质[教学重点、难点、疑点]重点：会求函数y=Asin(ϕω+x )，x ∈R 及函数y=Acos (ϕω+x )，x ∈R 的周期；难点：周期定义的理解；疑点：周期性是整个定义域内的函数的一个性质． [教学过程] （一）新课引入自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等，数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sin α,cos α的值也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种周而复始的变化规律，今天我们来学习一个新的数学概念—函数的周期性．（二）新课 1、周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线 x-2π-23π-π2π 02π π23π 2πsin x 0 1 0 -10 1-1y =sin x ,x ∈Ry-27π -25π -23π -2π 2π 23π 25π 27π x-4π -3π -2π -π -1 π 2π 3π 4π正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．联想诱导公式sin(x +2k π)=sin x (k ∈Z)若令f (x )=sin x ，则f (x +2k π)=f (x )，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如2π，4π及-2π，-4π都是正弦函数的周期．注：周期函数定义中，一是T 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．师：请同学们思考下列问题： 1）对于函数y =sin x ，x ∈R 有sin(4π+2π)=sin 4π能否说2π是正弦函数y =sin x 的周期．生：不能说2π是正弦函数y =sin x 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的第一个值都使等式sin(x +2π)=sin x 成立，所以不合周期函数的定义． 2）f (x )=x 2是周期函数吗？为什么？生：若是周期函数，则有非零常数T ，使f (x +T )=f (x )，即(x +T )2=x 2，化简，得T (2x +T )＝０，∴T =0（不非零），或T =-2x ，（不是常数），故满足非零常数T 不存在，因而f (x )不是周期函数．思考题：若T 为f (x )的周期，则对于非零整数k ，kT 也是f (x )的周期．2、最小正周期的定义师：我们知道，-4π，-2π，2π，4π都是正弦函数的周期，可以证明2k π (k ≠0且k ∈Z) 是f(x)=sinx 的周期，其中2π是f(x)=sinx 的最小正周期．一般地，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．今后若涉及到的周期，如果不另特别说明，一般都是指函数的最小正周期．依据定义，y=sinx 和y=cosx 的最小正周期为2π． 3、例题：例1 求下例函数的周期： 1）y=3cosx ,x ∈R ； 2）y=sin2x, x ∈R ； 3）y=2sin(21x-6π),x ∈R ．分析：由周期函数的定义，即找非零常数T ，使f(x+T)=f(x)．解：（1）因为余弦函数的周期是2π，所以自变量x 只要并且至少要增加到x+2π，余弦函数的值才能重复取得，函数y=3cosx, x ∈R 的值也能重复取得，从而函数y=3cosx ，x ∈R 的周期是2π．即f(x)=3cosx=3cos(x+2π)=f(x+2π)，∴T=2π(2)令z=2x ，那么x ∈R 必须并且只需z ∈R ，且函数y=sinz ，z ∈R 的周期是2π，就是说，z 变量只要并且至少要增加到z+2π函数y=sinz ，z ∈R 的值才能重复取得，而z+2π=2x+2π=2(x+π)所以自变量x 只要并且至少要增加到x+π，函数值就能重复取得，从而函数y=sin2x ，x ∈R 的周期是π．即f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π) ∴T=π (3)令z=21x-6π，那么x ∈R 必须并且只需z ∈R ，且函数y=2sinz ，z ∈R 的周期是2π，由于 z+2π=(21x-6π)+2π=(x+4π)-6π，所以自变量x 只要并且至少要增加到x+4π，函数值才能重复取得，即T=4π是能使等式2sin[(x+T)-6π]=2sin(21x-6π)成立的最小正数，从而函数y=2sin(21x-6π)，x ∈R 的周期是4π．而f(x)=2sin(21x-6π)=2sin(21x-6π+2π)=2sin[(x+4π)-6π]=f(x+4π)，∴T=4π 师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关，其规律如何？你能否求出函数y=Asin(ϕω+x )，x ∈R 及函数y=Acos (ϕω+x )，x ∈R （其中A ，ω，ϕ，为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期？生：f(x)=Asin(ϕω+x )=Asin(ϕω+x +2π)=Asin[ω(x+ωπ2)+ϕ]=f(x+ωπ2)∴T=ωπ2同理可求得y=Acos(ϕω+x )的周期T=ωπ2．例2 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π；（2）y=sin 4x+cos 4x 的周期为2π；（3）y=|sinx|+|cosx|的周期为2π．分析：依据周期函数定义f(x+T)=f(T)证明．证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2x+2π)+sin(2x+2π) =cos2x+sin2x=f(x)∴f(x)的周期为π．（2）f(x+2π)=sin 4(x+2π)+cos 4(x+2π) =cos 4x+sin 4π=f(x)∴f(x)的周期为2π．（3）f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)| =|cosx|+|sinx|=f(x) ∴f(x)的周期为2π．例3先化简，再求函数的周期 ①x x y cos sin +=②x x x x y 22sin sin cos 32cos -+=③证明函数|cos ||sin |)(x x x f +=的一个周期为2π，并求函数的值域；例4求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π)解：1︒ 令z= x+3π而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) f [(x+2)π+3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π 2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π3︒令z=2x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x )=f (x +4π) ∴T=4π 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期T=ωπ2y=Acos(ωx+φ)也可同法求之4、小结：（1）周期函数定义及最小正周期的定义．（1）ϕ函数y=Asin(ϕω+x )，x ∈R 及函数y=Acos (ϕω+x )，x ∈R 的周期都为T=ωπ2课堂练习：P 40 2、3，课后作业：P 52 3 同步练习：求下列函数的周期： 1。

高中数学 1.4.2正弦函数,余弦函数的性质教案新人教A版必修4(1)

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 1.4.2正弦函数，余弦函数的性质教案新人教A 版必修4【教学目标】1、通过创设情境,如单摆运动、四季变化等,让学生感知周期现象;2、理解周期函数的概念;3、能熟练地求出简单三角函数的周期。

4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域和值域);【教学难点】正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.【教学过程】一、复习巩固1、画出正弦函数和余弦函数图象。

2、观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：3、下列各等式是否成立？为什么？（1）2 cosx=3，（2）sin 2x=0.54、求下列函数的定义域:(1)y=xsin 11; (2)y=cosx .二、预习提案（阅读教材第34—35页内容，完成以下问题：）2、什么是最小正周期？3、正弦函数和余弦函数的周期和最小正周期：<注>,一般都是指最小正周期.三、探究新课例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x ∈R ;(2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6),x ∈R .练习：求下列函数的周期:（1）x y 43sin =，x ∈R （2）x y 4cos =，x ∈R （3）x y cos 21=，x ∈R （4）)431sin(π+=x y ，x ∈R四、规律总结一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ), (其中A 、ω、φ为常数,A ≠0,ω≠0,x ∈R)的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2。

数学必修四人教A版 1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

§正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】.会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数的值域.在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．.在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】．学案导学：见后面的学案。

．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

（一）问题情境复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标——定义域与值域（二）探索研究给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或)..值域()值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.()最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是..奇偶性。

高中数学必修四教案-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(14)-人教A版

正弦函数、余弦函数的图象和性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期及求法。

【教学重点】正、余弦函数的性质【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0) (2π，1) (π，0) (23π，-1) (2π，0) 余弦函数y=cosx x ∈[0，2π]的五个点关键是(0，1) (2π，0) (π，-1) (23π，0) (2π，1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sinx ，x ∈R y ＝cosx ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。

其中正弦函数y=sinx ，x ∈R（1）当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1。

而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R（1）当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1。

5．周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M ，且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2．“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)≠f (x0)）3．T 往往是多值的（如y=sinx 2π，4π，…，-2π，-4π，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案新人教A版必修4

二．探究与发现
【探究点一】正、余弦函数的定义域、值域正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲
线很
容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集
R，值域都是
．
对于正弦函数 y＝ sin x ，x∈Ｒ有：
当且仅当 x＝
时，取得最大值
对于余弦函数 y＝ cos x ，x∈Ｒ有：
1；当且仅当 x＝
时，取得最小值－ 1.
(即
同则增，异则减 ) 求解．
余弦函数 y＝ Acos( ω x＋φ ) 的单调区间类似可求．
请同学们根据上面介绍的方法，写出求函数
1π y＝ sin －2x＋ 3 单调递增区间的求法．
例 1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin
－π18 与 sin
－
π 10
；
(2)sin 196 °与 cos 156 °；
(2)cos 870 °与 sin 980 °．
1π 例 2．求函数 y＝ 1＋ sin － 2x＋ 4 ，x∈[ － 4π ， 4π] 的单调减区间．
小结
确定函数 y＝ Asin( ω x＋ φ) 或 y＝ Acos( ω x＋φ ) 单调区间的基本思想是整体换元思想，即将 ω x＋ φ 视为一个整体．若 x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， 1；
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐下降，是减函数，
sin x 的值由－ 1 增大到 sin x 的值由 1 减小到－
1.
推广到整个定义域可得：当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是增函数，函数值由－ 1 增大到 1；当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是减函数，＝ cos x ，x∈[ － π ， π ] 的图象如图所示：观察图象可知：当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， cos x 的值由－ 1 增大到 1；

人教a版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)(含答案)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)自主学习知识梳理自主探究正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．对点讲练知识点一求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．变式训练1 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2的单调增区间．知识点二比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．变式训练2 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6，sin 49π3.知识点三正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cosbx 的最值和最小正周期．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.课时作业一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54二、填空题6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 12(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．三、解答题9．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x2＋sin x.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案(1)x ＝k π＋π2(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )(2)x ＝k π (k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 对点讲练例1 解由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π (k ∈Z )，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π (k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π (k ∈Z )．变式训练1 解 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4.由2k π－π≤x 2－π4≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π4，k ∈Z .即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的单调增区间是⎣⎡⎤4k π－3π2，4k π＋π2 (k ∈Z )．例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12.由⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )有最小值－1.当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2.]4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．则φ＝k π＋π2，∴当k ＝0时，φ＝π2.]5．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1.] 6.⎣⎡⎦⎤π2，π 7．±3解析由题意，1＋λcos x 的最大值为4，当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3. ∴λ＝±3.8.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析 y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. 9．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 10．解 (1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ＝2sin 2x ＋2sin x －1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－32 当sin x ＝－12时，y min ＝－32；当sin x ＝1时，y max ＝3.∴函数y ＝1－2cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)方法一 y ＝4－(2＋sin x )2＋sin x ＝42＋sin x－1∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1，∴43≤42＋sin x ≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 方法二由y ＝2－sin x 2＋sin x ，解得sin x ＝2－2yy ＋1，由|sin x |≤1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2y y ＋1≤1，∴(2－2y )2≤(y ＋1)2，整理得3y 2－10y ＋3≤0，解得13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3.。

人教版高中数学A版必修4学案 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)明目标、知重点 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ] (k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减最值在x＝π2＋2kπ (k∈Z)时，y max＝1；在x＝－π2＋2kπ (k∈Z)时，y min＝－1在x＝2kπ (k∈Z)时，y max＝1；在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，y min＝－1[情境导学]周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质，此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将对此作进一步探究．探究点一正弦、余弦函数的定义域、值域导引正弦曲线：余弦曲线：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R .思考1 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，正弦函数y ＝sin x 取得最大值1和最小值－1? 答对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.思考3 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1? 答对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 探究点二正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域． (1)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 探究点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A >0)的单调性思考1 怎样确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调性？答当ω>0时，把ωx ＋φ看成一个整体，视为X .若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调增区间，则得到2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间．若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调减区间，则得到2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的减区间．当ω<0时，先利用诱导公式把x 的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解．余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间类似可求．思考2 请同学们根据上面介绍的方法，写出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3单调递增区间．答 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z .∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z .例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°， ∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练1 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin 493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.例2 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π；令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为[－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．反思与感悟确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx ＋φ视为一个整体．若x 的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还应兼顾函数的定义域．跟踪训练2 求函数y ＝log 12(cos 2x )的单调递增区间．解由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只需满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 例3 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．解设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1，∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3；当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.反思与感悟形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g (t )＝at 2＋bt ＋c 在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正弦、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1对值域的影响．跟踪训练3 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解 y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5.∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }；y min ＝－4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }．1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π 答案 D解析由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6， ∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．解设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， ∴g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，∴开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间(－1,1)内， ∴g (t )在(－1,1)上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]． [呈重点、现规律]1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础过关1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D ．－5答案 C解析由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sinωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升8．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( ) A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A解析函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．答案 sin 3<sin 1<sin 2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.10．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]．从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π；若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－56π(k ∈Z ) ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－56π，又∵f (π2)>f (π)，∴φ＝－56π，由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2(k ∈Z )．得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋23π](k ∈Z )．三、探究与拓展13．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理，函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)(精讲精析)-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识④自主预习新知初探⍓知识点1. 函数的周期性【思考】观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？【答案】具有“周而复始”的变换规律。

（1）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．（3）记f(x)＝sin x，则由sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π．知识点2.正、余弦函数的性质【思考】（1）正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？（2）诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，体现了正弦函数y＝sin x和余弦函数y ＝cos x的什么性质？【答案】（1）正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．（2）正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．R R自我测评⍓1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) （2）函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) （3）函数y ＝2cos3x 是偶函数.（）【答案】(1)√ (2)√ (3)√2．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.【答案】B3．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π【解析】∵sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π. 【答案】C4．函数＝1＋cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称【解析】 y ＝1＋cos x ＝1＋cos(－x )，∴y ＝1＋cos x 是偶函数，即该函数的图象关于y 轴对称．【答案】B5．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性为________．【解析】因为1＋sin x ≠0，故其定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．【答案】非奇非偶函数【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！题型1正、余函数的周期性【例1】求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .【解】 (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π. (3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13（x ＋6π）－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π.【方法总结】求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．【变式训练1】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.【解】(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4.(2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图象一样，因此最小正周期相同，为2π. 题型2正、余函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin |x |；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【解】(1)显然x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin |x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin |x |是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以x ＝2k π(k ∈Z )，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．【方法总结】判断奇偶性的方法判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．【变式训练2】判断函数f （x ）＝lg （sin x ＋1＋sin 2x ）的奇偶性。

人教版高中数学版必修四教案 1.4.2 正弦、余弦函数的性质(二)

正弦、余弦函数的性质(二)教学目标：1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函数的性质．2、过程与能力目标通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。

教学过程：一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

2.单调性从y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1.当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z练习1。

人教版高中数学A版必修4学案 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)明目标、知重点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R，定义域关于原点对称．(2)由sin(－x)＝－sin_x知正弦函数y＝sin x是R上的奇函数，它的图象关于原点对称．(3)由cos(－x)＝cos_x知余弦函数y＝cos x是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称．[情境导学]自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性．探究点一周期函数的定义思考1观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？答诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．思考2设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？答 f (x ＋2k π)＝f (x )(k ∈Z )这就是说：当自变量x 的值增加到x ＋2k π时，函数值重复出现．一般地，对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．小结为了突出函数的这个特性，我们把函数f (x )＝sin x 称为周期函数，2k π为这个函数的周期 (其中k ∈Z 且k ≠0)．思考3 正弦函数y ＝sin x 的周期是否唯一？正弦函数y ＝sin x 的周期有哪些？答正弦函数y ＝sin x 的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期．探究点二最小正周期导引如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做f (x )的最小正周期. 周期函数不一定都有最小正周期．如：f (x )＝C (C 为常数，x ∈R )，对于非零实数T 都是它的周期，而最小正周期不存在．思考我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y ＝sin x 的周期，那么函数y ＝sin x 有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T 等于多少？答正弦函数y ＝sin x 有最小正周期，且最小正周期T ＝2π.小结如果非零常数T 是函数y ＝f (x )的一个周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)都是函数y ＝f (x )的周期．例如，正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的最小正周期都是2π，它们的所有周期可以表示为2k π(k ∈Z 且k ≠0)．探究点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A ·cos(ωx ＋φ))(A >0，ω≠0)的周期思考求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期？答由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎡⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)也是周期函数，最小正周期也是2π|ω|.探究点四正弦、余弦函数的奇偶性导引正弦曲线余弦曲线思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称．思考2 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．例1 求下列三角函数的周期．(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin 2x ，x ∈R ； (3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R . 解 (1)∵3cos(x ＋2π)＝3cos x ，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋2π，函数y ＝3cos x ，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π. (2)∵sin(2x ＋2π)＝sin2(x ＋π)＝sin 2x ， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋π，函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的周期是π. (3)∵2sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)－π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R 的周期是4π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解．跟踪训练1 求下列函数的周期：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(3)y ＝|cos x |. 解 (1)T ＝2π2＝π；(2)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－12＝4π；(3)T ＝2π×12＝π.例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. 反思与感悟解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内．跟踪训练2 已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12，则f (2 014)等于( ) A.12B ．2C ．2 013D ．2 014 答案 B解析因为f (x ＋6)＝1f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为6，故f (2 014)＝f (4)＝1f (1)＝2.例3 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg [1－sin(－x )]－lg [1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．反思与感悟判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系．跟踪训练3 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数．1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案 B解析最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos(－4x )答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2.3．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 答案－2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )． ∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解 ∵当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x >0，又∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )] ＝lg(1＋sin 2x －sin x )＝lg(1＋sin 2x )－sin 2x1＋sin 2x ＋sin x＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1 ＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． [呈重点、现规律]1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．一、基础过关1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 答案 D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 答案 B3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．4．已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π8)＝－3，则实数m的值等于( ) A ．－1 B ．±5C ．－5或－1D ．5或1 答案 C解析由f (π8＋t )＝f (π8－t )知，函数f (x )关于x ＝π8对称，故sin(ω×π8＋φ)＝1或sin(ω×π8＋φ)＝－1.当sin(ω×π8＋φ)＝1时，由f (π8)＝－3知2＋m ＝－3，得m ＝－5；当sin(ω×π8＋φ)＝－1时，由f (π8)＝－3知－2＋m ＝－3，得m ＝－1.5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32. 6．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．答案 π 解析 T ＝2π2＝π.7．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e－sin x .解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )．∴该函数是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0. ∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R .∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴该函数是偶函数．(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0， ∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z . ∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x )e sin (－x )－e －sin (－x )＝e －sin x ＋e sin xe －sin x －e sin x ＝－f (x )，∴该函数是奇函数．二、能力提升8．下列函数中的奇函数的是( ) A ．y ＝－|sin x | B ．y ＝sin(－|x |) C ．y ＝sin |x | D ．y ＝x sin |x | 答案 D解析利用定义，显然y ＝x sin |x |是奇函数．9．若函数f (x )＝sin(12x －φ)是偶函数，则φ的一个取值为( )A ．2 010πB ．－π8C ．－π4D ．－π2答案 D解析当φ＝－π2时，f (x )＝sin(12x ＋π2)＝cos 12x 为偶函数，故选D.10．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________.答案3解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝335⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3) ＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝sin π3＋sin 23π＋sin π＝ 3.11．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π.12．已知函数f (x )＝log 12|sin x |. (1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．解 (1)∵|sin x |>0，∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }．∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0， ∴函数的值域为{y |y ≥0}．(2)函数的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log 12|sin(－x )| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π.三、探究与拓展13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数．(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解 ∵4是f (x )的一个周期．∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。

高中数学 (1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)教案新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数?活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ,它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念.如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值,都有:f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;f(x+T)=f(x),其中T是非零常数,那么f(x)叫做周期函数.从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映.讨论结果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.②略.定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?活动:对问题①,学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调:(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x 有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如,分别取x 1=2k π+4π(k∈Z ),x 2=6π,则由sin(2k π+4π+2π)≠sin(2k π+4π),sin(6π+2π)≠sin 6π,可知2π不是正弦函数的周期.又如sin(30°+120°)=sin30°,但不是对所有x 都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2k π(k∈Z ,k≠0)都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代数上给以证明:设T 是函数f(x)的周期,那么对于任意的k∈Z ,k≠0,kT 也是函数f(x)的周期.(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数f(x)=c(c 为常数,x∈R),所有非零实数T 都是它的周期,由于T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无穷多,2π是最小的一个,在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:若T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…呢?怎样求?实际上,由于T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…也是它的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会明白,数学中的周期函数,其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.讨论结果:①略.②定义法、公式法和图象法.应用示例思路1例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R ;(2)y=sin2x,x∈R ; (3)y=2sin(2x -6π),x∈R . 活动:教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π). 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识到,f(x+T)=f(x)中,T 是相对于自变量x 而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R )的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2.例如,在第(3)小题,y=2sin(21x-6π),x∈R 中,ω=21,所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx 的周期为2π.根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=ωπ2=4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R 上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R 上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T 的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+π)=2sin 2(x+π)+｜cos(x+π)｜=2sin 2x+｜cosx ｜=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是π.点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4π,2π带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x 以x+π代替后看看函数值变不变.为此需将π, 2π等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin31(π-x)的周期. 解:因为y=2sin 31(π-x)=-2sin(31x-3π), 所以周期T=6π.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.由于2π是它的一个周期,所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.假设T 是正弦函数的周期,且0<T<2π,那么根据周期函数的定义,当x 取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=2π, 代入上式,得sin(2π+T)=sin 2π=1, 但sin(2π+T)=cosT,于是有cosT=1. 根据余弦函数的定义,当T∈(0,2π)时,cosT<1.这说明上述cosT=1是不可能的.于是T 必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.知能训练课本本节练习解答:1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x 的一切值都成立. 例如sin(20°+120°)≠sin20°.点评:理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义. 2.(1)38π; (2)2π; (3)2π; (4)6π. 点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x 的系数有关.3.可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质,再利用函数的周期性,将所研究的性质扩展到整个定义域.点评:了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论,然后归纳总结.课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的定义,正弦、余弦函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期〕.并思考总结本节都用了哪些数学方法?(观察与归纳,特殊到一般,定义法,数形结合,辩证的观点)作业1.课本习题 A 组3,B 组3.2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.设计感想1.本节课的设计思想是:在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难做.通过探究让学生找出周期这个规律性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度.2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?(1)(2)图2活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),(1)当且仅当x=2π+2k π,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π+2k π,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cosx(x∈R ),(1)当且仅当x=2k π,k∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来: x-2π … 0 … 2π … π … 23π sinx -1↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 就是说,函数y=sin x,x∈［-2π,23π］.当x∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5引导学生列出下表: x-π … -2π … 0 … 2π … π cosx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2k π,2π+2k π］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2k π,23π+2k π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2k π］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2k π,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明?由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,余弦曲线还关于点(2π,0)对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.讨论结果:①略.②定义域为R .③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④单调性(略).⑤奇偶性(略).当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,所以它们的定义域相同,都为R ,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现,也是由于y 轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同,也使奇偶性发生了改变.应用示例思路1例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R ;(2)y=-3sin2x,x∈R .活动:通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R 取得最大值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最大值的x 的集合{x|x=2k π,k∈Z };使函数y=cosx+1,x∈R 取得最小值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最小值的x 的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z }.函数y=cosx+1,x∈R 的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z =2x,使函数y=-3sin Z ,Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是{Z |Z =-2π+2k π,k∈Z }, 由2x=Z =-2π+2k π,得x=-4π+k π. 因此使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+k π,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+k π,k∈Z }. 函数y=-3sin2x,x∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设Z =ωx+φ化归为y=Asin Z +B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)sin(-18π)与sin(-10π);(2)cos(523π-)与cos(417π-). 活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较,充分利用学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内,然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去操作,教师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:(1)因为2π-<10π-<18π-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π. 因为0<4π<53π<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos 4π>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-). 点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π>0,cos 53π<0,显然大小立判. 例3 函数y=sin(21x+3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成Z ,这样问题就转化为求y=sin Z 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令Z =21x+3π.函数y=sin Z 的单调递增区间是［2π-+2k π,2π+2k π］. 由-2π+2k π≤21x+3π≤2π+2k π,得35π-+4k π≤x≤3π+4k π,k∈Z . 由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4k π且3π+4k π≤2π,于是121-≤k≤125,由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］, 因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］. 点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.思路2例1 求下列函数的定义域: (1)y=xsin 11+;(2)y=cosx . 活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图象,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2k π(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x ｜x≠23π+2k π,k∈Z }. (2)由cosx≥0,得2π-+2k π≤x≤2π+2k π(k∈Z ). ∴原函数的定义域为［2π-+2k π,2π+2k π］(k∈Z ). 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果.本例分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.例2 在下列区间中,函数y=sin(x+4π4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的. 解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在[2k π-2π,2k π+2π](k∈Z )上是递增的,故令2k π-2π≤x+4π≤2k π+2π. ∴2k π-43π≤x≤2k π+4π. ∴y=sin(x+4π)的递增区间是[2k π-43π,2k π+4π]. 取k=-1、0、1分别得[411π-,47π]、[43π-,4π]、[45π,49π], 对照选择肢,可知应选B.答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出.解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2π B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2π 解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sin θ,要使上式取得最大值,可取θ=2π. 答案:A。

高中数学新人教版A版精品教案《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》

高一数学人教A版必修四正弦函数、余弦函数的性质（二）长春汽车经济技术开发区第三中学孙佳欣一、教材分析对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与质因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究学生已经有些经验了其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法这也是数形结合思想方法的应用由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可二、教学目标1基础目标：借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间2提高目标：体会数形结合思想及整体换元思想．三、教学重点通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质四、教学难点整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法五、教学资源微课预习、多媒体教学六、教学过程（一）复习引入，展示目标1、正、余弦函数图象“五点法”作图的过程是什么？2、正、余弦函数的周期是什么？3、一般来说，我们是从哪些方面来研究函数的性质？4、回顾上学期我们学习指、对、幂函数性质的过程，是如何进行研究的？【师】通过观察他们的图象，数形结合，从图像的特征获得了函数的性质那么，对于正、余弦函数的性质，我们仍然采取同样的方法来进行研究（三）新知应用，典例分析例1、求函数x y 2cos 3=的最值，并写出取得最大值、最小值时自变量x 的集合例2、求函数)321sin(π+=x y 的单调递增区间变式1、求函数)321sin(π+=x y ，]2,2[ππ-∈x 的单调递增区间变式2、求函数)321sin(π+-=x y 的单调递增区间【设计意图】通过例题的讲解，使学生感受整体换元的数学思想通过练习巩固学生对知识、方法的掌握，不刻意的增加难度，培养学生的应用意识和举一反三的能力（四）梳理归纳，总结提升数学知识？掌握了哪些数学方法？【师】当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同都为R，值域也相同都是]1,1[-；最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大或最小值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是π2；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象与x轴的交点为对称中心，以过最值点且垂直于轴的直线为对称轴，但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同；它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变【设计意图】学生发言交流自己的收获，其他同学补充通过本环节，培养学生归纳概括的能力，进一步加深对重难点知识的理解，同时提高数学素养（五）拾遗巩固，布置作业A级：教材P46-A组第5题七、教学反思本节课始终是通过观察正、余弦函数的图象，从图象的特征获得它们的性质，反过来根据性质进一步认识三角函数的图象，充分体现了数形结合的思想方法，由形到数，再由数到形，这样设计通俗易学，容易被学生接受存在的问题是由于知识点较多，基础知识生成所用的时间较长，练习较少，课后应加强基础知识的应用练习。

1.4.2正弦、余弦函数的性质一教案人教A版必修4.doc

1.4.2 N耗、会耗因斂幺)傕履(一)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用教学过程：一、复习引入：1.问题：(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2.观察正(余)弦函数的图象总结规律：正弦函数/(x) = sin x性质如下：(观察图象)1°正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2°规律是：每隔2兀重复出现一次(或者说每隔2k7i, keZ重复出现)3°这个规律由诱导公式sin(2kn+x)=sinx可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2乃r ( A; eZ )时，总有/(% + 2k7r) = sin(x + 2k7r) = sinx = /(x).也即：(1)当自变量x增加2炫时，正弦函数的值又重复出现；(2)对于定义域内的任意x, sin(x + 2k7i) = sin x恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：1.周期函数定义：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有: f (对T)=f 3那么函数f 3就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

TT 9 7T TC问题：(1)对于函数y = sinx , XG R有sin(—+——)= sin—,能否说——是它的周期？6 3 6 3(2)正弦函数y = sin x , xeR是不是周期函数，如果是，周期是多少？(2k兀,PwZ且P H O)(3)若函数/(对的周期为卩，贝UT, kwT：也是/(对的周期吗？为什么？ (是，其原因为：/(%) -/(x + T) = /(x + 2T) = ••- = f(x-^-kT))2、说明：1。