不动点的性质与应用(教师版)

不动点的性质与应用
一、不动点：
对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.
例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1
例2：求函数12)(2
-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点12
1
、- 二、稳定点：
对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与
y x =图像交点的横坐标.
很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.
证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.
解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1
【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有 例4：求函数12)(2
-=x x g 的稳定点.
解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(22
4
2
4
2
2
=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21
21=-
=x x
⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x
可得0)124)(12)(1(2
=-++-x x x x ⇒另外两解4
5
14,3±-=
x ， 故函数12)(2
-=x x g 的稳定点是1、2
1
-
、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.
由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.
由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.
证明：（1）ο
1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即0
0)(x x f =
000)())((x x f x f f ==⇒，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点；
ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，
假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠
①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．
（2）ο
1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；
ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无
不动点；
1
21
例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。

把使得f (f (x ))=x 成立的x 称为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }， （1）请证明：A ⊆B ；（2）2
()(,)f x x a a R x R =-∈∈，且A =B ≠∅，数a 的取值围. 解：（1）证明：①若A =∅时，A B ⊆
②若A ≠∅时，对任意的x A ∈，有()[()]()f x x f f x f x x x B A B =⇒==⇒∈⇒⊆ 综上，得A B ⊆
（2）A ≠∅Q 2
0x a x ∴-==有解11404
a a ⇒∆=+≥⇒≥-
B ≠∅Q ∴（x 2-a ）2-a=x 有解⇒x 4-2ax 2-x+a 2-a=0 Q A ⊆B ∴即x 4-2ax 2-x+a 2-a=0的左边有因式x 2-x-a ；
∴(x 2
-x-a)(x 2
+x-a+1)=0；
又A=B ∴x 2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x 2
-x-a=0的根； ∴①若x 2
+x-a+1=0无实数根，则△=1-4（-a+1）<034
a ⇒<
②若x 2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x 2
-x-a=0的根；
作差，得2x+1=01324x a ⇒=-⇒= 综上，a 的取值围为13
[,]44
-
例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈，使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点；若存在0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).
①1
12
-、是函数2
()21f x x =-的两个不动点；
②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2
()21f x x =-共有三个稳定点；
⑤()f x = 考点：[命题的真假判断与应用]
解：①解2
21x x -=得：121,12
x x =-=
故112
-、
是函数2
()21f x x =-有两个不动点，即①正确； ②若0x 为函数y =f (x )的不动点，则00()f x x =， 此时[()]()f f x f x x ==，
则0x 必为函数y =f (x )的稳定点，故②正确；
③若0x 为函数y =f (x )的稳定点，则0x 不一定为函数y =f (x )的不动点(见①④结论)，故③错误； ④解2
2
4
2
2(21)18810x x x x x --=⇒--+=，
得x =1
2
-
或x =1或154x --=或154x -+=
即函数2
()21f x x =-共有四个稳定点，故④错误；
⑤因()x f x e x =+在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。

故答案为：①②⑤
例7、设函数()()f x x a a R =
-∈.若方程f (f (x ))=x 有解,则a 的取值围为( )
A.1
(,]4-∞ B. 1[0,]8 C. 1(,]8
-∞ D.[1,+∞) 解：法二：设f (x )=t ,t ⩾0,则方程f (f (x ))=x 等价为f (t )=x ，
即x a t t a x
⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，∴t =x ，即f (x )=x ， ∴x a x -=在x ⩾0时有解，∴2
a x x =-+
设()2
(1)g x x x x x =-+=--
则max 11
()()24
a g x g ≤==
，故选：A.
例8：已知()bx x x f -=3
，若()x f 在[1,)+∞上单调． （1）求b 的取值围；
（2）已知()bx x x f -=3
，若设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．
解：（1）法一：令211x x <≤，则()()0))((2
2212
12123
213
121<-++-=+--=-b x x x x x x bx x bx x x f x f
2
221212221210x x x x b b x x x x ++<⇒>-++恒成立3111=++≤⇒b
（2）（证法一）设0()f x m =，由00[()]f f x x =得0()f m x =，于是有3
003
0 (1)
(2)x bx m m bm x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
（1）－（2）得：3
3000()()x m b x m m x ---=-，化简可得
2
2000()(1)0x m x mx m b -+++-=，001,()1x f x m ≥=≥Q ，
2
2001410x mx m b b ∴+++-≥-≥>，故00x m -=，即有00()f x x =． （证法二）假设00()f x x ≠，
①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况；
例9：已知()()20f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根。

现有四个命题①方程()f f x x =⎡⎤⎣⎦也一定没有实数根；②若0a >，则不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；③若0a <，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立。

其中真命题的个数是（ C ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢？ 【性质】
1、函数()()f x x D ∈不动点构成的集合是[()]()f f x x D ∈不动点构成的集合的子集；
2、若函数()f x 在D 上单调递增，则()()f x x D ∈不动点构成的集合与[()]()f f x x D ∈不动点构成的集合相等；
3、若))((x f f 有唯一不动点，则)(x f 也有唯一不动点； 证明：
4、若函数()()f x x D ∈是自反函数，则在D 任何实数均是[()]()f f x x D ∈的不动点； 证明：
5、若函数[()]()f f x x D ∈不动点构成的集合是非无限集，则()()f x x D ∈不动点构成的集合的元素个数与[()]()f f x x D ∈不动点构成的集合的元素个数同为偶数或同为奇数. 证明：
【课后练习】
1、对于函数()x f ，若()00x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点；若00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点. 如果()()R a a x x f ∈+=2
的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么a 的取值围是（ ）
A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,
B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,43
C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,43
D 、⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-41,43
解：0x 为函数()x f 的不动点，则方程()x x f =，即02
=+-a x x 有实根0x ，
∴4
1
041≤
⇒≥-=∆a a ； 如果稳定点恰是它的不动点，则0x 是方程()()x x f f =的根，即()
x a a x =++2
2
()()
0122=++++-⇒a x x a x x ，
因为函数()()R a a x x f ∈+=2
的稳定点恰是它的不动点，
所以①若方程012
=+++a x x 无实根()4
30141-
>⇒<+-⇒a a ； ②若方程012=+++a x x 有实根，且实根是方程02
=+-a x x 的根， 作差，得2x+1=011132424
x a ⇒=-⇒=--=- 综上：4
1
43≤≤-
a ，故选D 2、方程()x x f =的根称为函数)(x f 的不动点，若函数()()
2+=
x a x
x f 有唯一不动点，且10001=x ，
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
+n n x f x 11
1，1=n ，2，3，……，则=2017x ——2008——.
3、对于函数()y f x =,若0x 满足00()f x x =,则称0x 为函数()f x 的一阶不动点,若0x 满足00[()]f f x x =,则称0x 为函数()f x 的二阶不动点， （1）设f (x )=2x +3,求f (x )的二阶不动点。

（2）设(),x f x e x a a R =++∈,若f (x )在[0,1]上存在二阶不动点0x ，数a 的取值围. 考点：[函数与方程的综合运用, 函数的值]
解：（1）若f (x )=2x +3,则f [f (x )]=2(2x +3)+3=4x +9，
由f [f (x )]=x ,得4x +9=x ,解得x =−3；
（2）函数(),x f x e x a a R =++∈在R 上单调递增，
则由(2)可知,若f (x )在[0,1]上存在二阶不动点0x ， 则f (x )在[0,1]上也必存在一阶不动点0x ；
反之,若f (x )在[0,1]上存在一阶不动点0x ,即00()f x x =，
那么000[()]()f f x f x x ==,故f (x )在[0,1]上也存在二阶不动点0x . 所以函数f (x )在[0,1]上存在二阶不动点0x 等价于f (x )=x 在[0,1]上有解, 即方程x
e x a x ++=在[0,1]上有解，
∴x a e =-在[0,1]上有解 ∴a 的取值围是[−e ,−1].
4、已知函数x x x f 66)(2
+-= ，设函数,)],([)()],([)(),()(23121Λx g f x g x g f x g x f x g ===
Λ
)],([)(1x g f x g n n -=
（1）求证:如果存在一个实数0x ，满足 001)(x x g =，那么对一切00)(,x x g N n n =∈*都成立都成立；
（2）若实数0x 满足00)(x x g n =，则称0x 为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
（3）设区间),0(+∞=A ，对于任意A x ∈，有0)0()]([)(,0)()(121<==<==f x g f x g a x f x g ，且
2≥n 时，
0)(<x g n . 试问是否存在区间)(Φ≠B A B I ,对于区间任意实数x ，只要2≥n ，都有0)(<x g n . 解析:(1)证明: 当 n =1时，001)(x x g =，显然成立；
设 n = k 时，有)()(00*
∈=N k x x g k 成立，
∴对一切00)(,x x g N n n =∈*
都成立都成立
（2）由（1）知，稳定不动点0x ，只需满足00)(x x f =
由00)(x x f =，得066)(0002
0=⇒=+-=x x x x x f 或6
50=
x ∴稳定不动点为0和 .
（3）∵ f ( x )＜0，得00662
<⇒<+-x x x 或x ＞1. ∴0)]([0)(1<⇔<-x g f x g n n 或1)(1>-x g n
要使一切2≥n ，都有0)(<x g n ，必须有0)(1<x g 或1)(1>x g . 由0
)(1<x g 0
662<+-x x x ＜0或 x ＞1
由1
)(1>x g 1
662>+-x x
故对于区间(
)和(1,+∞)的任意实数 x ,
只要*
∈≥N n n ,2，都有0)(<x g n .
【真题】
（2012年东城一模文）对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 成为函数f (x )的不动点，把使得f (f (x ))=x 成立的x 成为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }，
(1)设函数f (x )=3x +4，求集合A 和B ； (2)求证：A ⊆B ；
(3)设函数()()2
0f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅.
考点：[集合的包含关系判断及应用, 空集的定义、性质及运算、方程无解的证明] 解：(1)令f (x )=3x +4=x ，
解得x =−2,故有A ={−2}
由于f [f (x )]=3(3x +4)+4=9x +16， 令9x +16=x ,得x =−2,故有B ={−2}
(2)若A =∅，则A ⊆B 显然成立；若A ≠∅， 设t ∈A ，则f (t )=t ,f (f (t ))=f (t )=t ，
∴t ∈B ，故A ⊆B .
(3)A =∅Q ()f x x ∴=无解()f x x ⇒>或()f x x <
1o 0a >时，则()f x x >在x R ∈上恒成立[()]()f f x f x x B ⇒>>⇒=∅ 2o 0a <时，则()f x x <在x R ∈上恒成立[()]()f f x f x x B ⇒<<⇒=∅
综上，B =∅
（中学2015学年第一学期高一期终考试）
一、填空题/12、若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点，有下面三个命题： （1）若()f x 是二次函数，且没有不动点，则函数[()]f f x 也没有不动点； （2）若()f x 是二次函数，则函数[()]f f x 可能有4个不动点；
（3）若()f x 的不动点的个数是2，则[()]f f x 的不动点的个数不可能是3. 它们中所有真命题的序号是______（1）、（2）、（3）_______.
三、解答题/5、对定义在[1,)+∞上的函数()f x 和常数a b 、，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“凯森数对”.
（1）若(1,1)是()f x 的一个“凯森数对”，且(1)3f =，求(16)f ；
（2）已知函数13()log f x x =与2()2x
f x =的定义域都为[1,)+∞，问它们是否存在“凯森数对”？分别给出
判断并说明理由；
（3）若(2,0)是()f x 的一个“凯森数对”，且当12x <≤时，()f x =()f x 在区间(1,)+∞上的不动点个数（不动点的概念参考填空题第12题）. 解：（1）(16)7f =
（2）13()log f x x =存在“凯森数对”3(,)(1,log 2)a b =
2()2x f x =不存在“凯森数对”
（3）不动点个数为0
（浦区2016学年度第一学期高一年级期中质量调研）
21、（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分. 对于函数()f x ，称满足00()f x x =的0x 为函数()f x 的“不动点”，称满足00[()]f f x x =的
0x 为函数()f x 的“稳定点”.
（1）求函数2
()f x x =的“不动点”； （2）求函数()|1|f x x =-的“稳定点”； （3）已知函数()(0,1,2)ax
y f x a a a x b
==
≠≠≠+有无数个“稳定点”，若{|12x x x ∈≤≤且}x b ≠-， 求y 的取值围（用a 表示）. 解：（1）0、1 （2）[0,1]x ∈
（3）1o
1a <或2a >时，则2[
,]21a a
y a a ∈-- 2o 12a <<时，则2(,][,)12a a y a a
∈-∞+∞--U
（2017年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛）17、对于函数f (x )，若f (x )=x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))=x ，则称x 为f (x )的“稳定点”。

函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ={x |f (x )=x }，B ={x |f (f (x ))=x }. (Ⅰ)求证：A ⊆B ；
(Ⅱ)若()()R x R a ax x f ∈∈-=,12
，且φ≠=B A ，数a 的取值围.
考点：[集合的包含关系判断及应用, 集合的相等, 函数单调性的性质] 解：(Ⅰ)若A =∅，则A ⊆B 显然成立；若A ≠∅， 设t ∈A ，则f (t )=t ，f (f (t ))=f (t )=t ， ∴t ∈B ，故A ⊆B
(Ⅱ)A ≠∅Q x ax =-∴12
有解11404
a a ⇒∆=+≥⇒≥-
B ≠∅Q ∴x ax a =--1)1(2有解⇒0122243=-+--a x x a x a
Q A ⊆B ∴0122243=-+--a x x a x a 的左边有因式12--x ax
∴0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax ；
又A=B ∴0122=+-+a ax x a 无实数根，或实数根是方程012=--x ax 的根；
①若0122=+-+a ax x a 无实数根，则04410)1(422<-+⇒<+--=∆a a a a 34a ⇒< ②若0122=+-+a ax x a 有实根，且实根是方程012=--x ax 的根 得a x ax a ax x a 2101222-
=⇒=+⇒+=11331014244a a a a ⇒+-=⇒=⇒= ∴a 的取值围为13[,]44
-
【数列中的应用】
1、求线性递推数列的通项：0)1(11≠-⎩⎨
⎧+==+p pq q pa a a a n n ，且 法四：不动点法构造等比数列 令1q x px q x p
=+⇒=-为函数y px q =+的不动点，递推公式两边同减不动点， 得1()111n n n q q q a pa q p a p p p
+-=+-=---- ①若01q a p -
=-，则1n q a p =-； ②若01q a p -≠-，则1()11n n q q a a p p p --=---1()11n n q q a a p p p
-⇒=-+--. 2、形如⎪⎩
⎪⎨⎧++==+s ta q pa a a a n n n 11型 ：不动点法构造等比数列或线性递推数列
将1,n n a a +均换成x ，得12,px q x x x tx s +=⇒+是函数()px q f x tx s
+=+的两个不动点 两边同减两个不动点，得))(())((111111s tx s ta x a qt ps s tx q px s ta q pa x a n n n n n ++--=++-++=
-+① )
)(())((222221s tx s ta x a qt ps s tx q px s ta q pa x a n n n n n ++--=++-++=-+②
法一：构造等比数列①/②，得2
1122111x a x a s tx s tx x a x a n n n n --⋅++=--++ 12{}n n a x a x -⇒-是以1112a x a x --为首项，21tx s tx s
++为公比的等比数列 法二：构造线性递推数列 对①或②取倒数，得qt
ps t s tx x a qt ps s tx x a qt ps s tx x a t s tx x a n n n n -++-⋅-+=--++-+=-+)(1)())(()]()()[(11
121111111 或qt
ps t s tx x a qt ps s tx x a qt ps s tx x a t s tx x a n n n n -++-⋅-+=--++-+=-+)(1)())(()]()()[(12
222222221 ⇒数列11{}n a x -或2
1{}n a x -均为线性递推数列，可用线性递推数列的方法解决 【点评】数列递推公式两边同时减去不动点，起到整型的作用
例1、数列n n n n n a a a a a a ，求中，7245,2}{11++=
=+. 解：令7
245++=x x x 45722+=+⇒x x x 022=-+⇒x x 1,221=-=⇒x x 法一：)2(7245)2(1--++=
--+n n n a a a 72)2(972189++=++=n n n n a a a a ① 1724511-++=-+n n n a a a 7
2)1(37233+-=+-=n n n n a a a a ② ①/②，得11113431
2221212312--++⋅=⋅-+=-+⇒-+⋅=-+n n n n n n n n a a a a a a 1
34234343421111-⋅+⋅=⇒⋅-⋅=+----n n n n n n n a a a 法二：)2(7245)2(1--++=--+n n n a a a 91829327222
n n n n a a a a ++==⋅+++ 1113121)31)(31221(13
192
2121319221--+⋅-=-+=-++⇒+⋅+=+⇒n n n n n a a a 13423413423834134343
413112341312111111-⋅+⋅=-⋅+⋅-⋅=⇒-⋅⋅=⋅-=+⇒⋅-=+⇒-----n n n n n n n n n n n n a a a
例2、数列{}n a 中满足111,2n n a a a a +==-，求通项n a . 解：令12x x =-，则2111(1)011122n n n n a x x a a a +--=⇒=⇒-=-=-- ①当11n a a ==时， ②当121
111111
n n n n a a a a a +-≠==----时， 111(1)(1)21(1)(1)11(1)(1)n n a a a n a n a n a a a a n a a n a -++--+-⇒=+--⇒==---+-+ 综上：(1)21(1)n a n a a a n a
-+-=-+。