人教版编号23 3.1.1 数系的扩充和复数导学案

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选修2-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念导学案

3.1.1数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1.了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2.理解复数的基本概念，以及复数相等的充要条件.
【学习重点、难点】
重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念；
难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难；由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数概念的理解也有一定的困难.
或 1或
2.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是( )
3. , , , , ,那么的补集是（）
A．.RD.Q
4.设，是虚数单位，则“ ”是“复数为纯虚数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．求适合下列方程的和（的值；
（1）；（2）
4．复数相等的充要条件：
（1）在复数集C＝中，任取两个数我们规定：相等的充要条件是，记作，特殊的 .
（2）一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.也就是说，当两个复数都是实数时，则可以比较大小；否则，不能比较大小.
5、你能用图来表示复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？
【典型例题】
【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ .
实数：虚数：
纯虚数：
【例2】实数取什么值时，复数，求 .
【当堂达标】
1. ，，则实数的值为( )
【知识链接】
写出以下集合符号并思考它们是怎样扩充的？

高中数学3.1.1数系的扩充与复数的概念教学设计

课型：新授课课时：一课时年级：高二〔下〕一、教材分析《数系的扩充与复数的引入》是新课标高中数学选修2-2第三章的第一节课的内容，属于高中数学必修课程中几何与代数主题下的内容。

这节课的主要内容是数系扩充的意义与复数概念的引入，是第一次提出数系扩充的概念，也是阶段数系的最后一次扩充，对于高中生来说，对复数的根本概念的掌握是十分重要的，复数的学习不仅是高中数学中的重要内容，可以帮助学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学解决问题增添了新的工具。

并且在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛发运用，是现代人才必备的根底知识之一。

因此本节课具有重要的承前启后的作用，是本章的重点内容。

二、学情分析本节课之前，学生已经有了根本的数系扩充的经历与体会，这些内容的学习为本节发学习起到了一定的铺垫作用，但是学生对数的分类的掌握还是主要依靠简单的概念理解与记忆，对数系扩充过程中实际意义及在这其中人类理性的作用体会并不是很深，现阶段大局部学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且局部学生学习的信心不够，对数学产生不了兴趣，学生有根本的分类与抽象概括的数学方法与思想思想，并且观察抽象能力，以及特殊到一般的概括、归纳能力，逻辑思维能力得到了一定的锻炼。

通过情境设置引导学生独立思考，大胆探索和灵活运用分类，归纳等数学思想的学习方法，可以让学生很好的掌握本节课的内容体会数学扩充的意义。

三、教学目标1.知识与技能(1)通过回忆数系扩充的过程，体会数系扩充的必要性与意义，能说出每次数系扩充的实际意义；(2)理解并掌握复数的有关概念〔复数、复数集、复数的代数形式、实部、虚部〕，能准确说出复数的实部虚部；(3)理解并掌握复数相等的充要条件、复数集与实数集的关系、复数的分类，并能用语言或图形表达复数的分类，能解决含有字母的复数相关问题。

2.过程与方法(1)通过回忆数系扩充的过程，让学生通过类比的方法对实数系进行扩充，提高学生类比思考与总结归纳的能力。

人教版高中数学全套教案导学案3.1.1数系的扩充与复数的概念

3.1.1数系的扩充与复数的概念课前预习学案课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定3)对复数的初步认识及复数概念的理解（3）提出疑惑：通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法学习过程一、自主学习问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、探究以下问题1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-12、虚数单位i有怎样的性质3、复数的代数形式4、复数集C和实数集R之间有什么关系?5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?三、精讲点拨、有效训练见教案反思总结1、你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？2、对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类3、复数相等的概念的理解及应用当堂检测1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( )A.2或5B.5C.2或-5D.-52、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( )(A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)33、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（）A 18BC 3D 9．．．．12-4、x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5CD ，，且，则的值是．．．．∈-+---x yx y 15153.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。

人教版高中选修(B版)2-23.1数系的扩充与复数的概念课程设计

人教版高中选修(B版)2-23.1数系的扩充与复数的概念课程设计1. 课程背景本课程是人教版高中数学选修(B版)2-23.1数系的扩充与复数的概念。

在高中数学教学中，数系是数学基础之一，而复数则在数学及其它领域中有广泛的应用。

因此，在本课程中，将介绍数系的扩充，即实数集的扩充，以及复数的概念、运算及其在代数、几何中的应用，以帮助学生深入理解数学中的重要概念和方法。

2. 教学目标本课程的教学目标是通过多种教学方法和活动，使学生在知识、能力和情感等方面得到全面提升，具体目标如下：•理解实数集的扩充，了解虚数单位及其性质•掌握复数的概念和运算方法，以及复数共轭和模的概念及其性质•应用复数及其性质解决实际问题•提高学生的数学思维能力和创新能力•培养学生的数学兴趣和学习习惯3. 教学内容及方法3.1 教学内容本课程主要包括以下内容：3.1.1 实数集的扩充•负数的引入及其在代数中的应用•无理数的引入及其性质•实数集的扩充：引入虚数单位i，虚数的概念及运算，以及复数的概念和表示方法3.1.2 复数的概念和运算•复数的定义和表示方法•复数的运算法则：加、减、乘、除及其性质•复数的共轭和模：定义及其性质3.1.3 复数及其应用•复数方程的解法：公式法和图解法•复数在代数中的应用：方程的根、多项式的分解等•复数在几何中的应用：平面向量的乘法及其性质3.2 教学方法本课程采用多种教学方法，包括讲授、实验、讨论、竞赛和练习等，以提高学生学习数学的兴趣和积极性，具体如下：•讲授：向学生介绍新概念、新知识•实验：设计实验活动，让学生通过实际操作探究知识•讨论：通过小组讨论、课堂问答等方式，帮助学生理解知识、消除疑惑•竞赛：组织数学竞赛、数学活动等方式，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

•练习：通过大量的练习，巩固知识和提高解题能力。

4. 教学步骤4.1 教学步骤一：引入新概念•介绍实数集的扩充：负数、无理数、虚数单位i等概念•让学生通过实例理解虚数的概念和运算法则•引入复数的概念：定义、表示方法4.2 教学步骤二：分组讨论•将学生分为小组，进行讨论•通过讨论，让学生深入理解复数相加、相减、相乘、相除的法则，并熟练掌握复数的共轭和模的概念及其性质4.3 教学步骤三：实验与应用•设计实验活动：让学生通过实验体验复数的性质及其应用•将复数的应用引入到实际问题中：让学生通过练习掌握复数方程的解法、多项式的分解等应用方面4.4 教学步骤四：复习和总结•回顾本课程的重点、难点和疑点•做一些课后练习，巩固学生的知识和技能•总结本课程的内容，对学生进行梳理和归纳，并布置作业5. 教学评估为了评价本课程的教学效果和学生的学习情况，我们将采用多种评估方法，包括课堂测试、小组评价、作业评分、调查问卷等方式，以便全面、客观地了解学生的学习效果和教学质量。

高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案新人教A版选修1-2

④数集的关系：
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的的值
.
例3实数x取何值时，复数（1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若，则的值是________.
4．．知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。（讨论中，k取何值时是实数？
实数与相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式

人教版高中选修2-23.1数系的扩充和复数的概念教学设计

人教版高中选修2-23.1数系的扩充和复数的概念教学设计一、教学目标本节课的教学目标主要有以下几个方面：1.理解数系的扩充及其应用；2.掌握复数的概念、符号、实部、虚部及共轭复数的概念；3.掌握复数与实数的加减乘除法则；4.能够将数学问题转化为对应的复数问题，并加以解决。

二、教学内容及教学方法1. 数系的扩充内容：（1）有理数的扩充：引出无理数的概念，例如 $\\sqrt{2}$、$\\sqrt{3}$ 等，同时介绍无理数的性质。

（2）实数的扩充：引出复数的概念，解释实数无法满足的问题，例如$\\sqrt{-1}$，简单介绍复数的概念和符号。

教学方法：教师可以通过实例演示进行讲解，便于学生理解和记忆。

2. 复数的概念内容：（1）复数基本概念：引出复数的基本概念，包括实部和虚部，概念的符号表示以及共轭复数的概念。

（2）复数运算：引出复数的四则运算。

教学方法：教师可以通过图示、图像等方式进行讲解，便于学生形象理解。

3. 复数的应用内容：（1）复数与向量的关系，引出共线和垂直的概念。

（2）解二次方程。

教学方法：教师可以通过实例演示，将实际问题转化为复数问题并进行解决，便于学生理解和掌握。

三、教学步骤1. 数系的扩充（1）引言：通过实际场景引出有理数的扩充。

（2）有理数扩充：介绍无理数的概念、性质以及常见的无理数。

（3）实数扩充：引出复数的概念，解释实数无法满足的问题，例如$\\sqrt{-1}$，简单介绍复数的概念和符号。

2. 复数的概念（1）实部和虚部：介绍复数的实部、虚部、基本运算法则以及符号表示。

（2）共轭复数：介绍共轭复数的概念和计算方法。

（3）复数运算：介绍复数的四则运算法则。

3. 复数的应用（1）复数与向量的关系：简单介绍复数与向量的关系，并引出共线和垂直的概念。

（2）解二次方程：将实际问题转化为复数问题，并通过实例进行演示和解答。

四、教学反馈教师要通过各种方式反馈学生的学习情况，例如考试、作业、提交问题等。

学案3：3.1.1-3.1.2数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新课导入1回顾数系的扩充过程①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。

②无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。

2方程x2-1=0的实根是多少？3方程x2+1=0的实根是多少(如何解决复数不能开偶次方根的问题)4引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？5根据这种规定，数的范围又扩充了，会出现什么形式的数呢？练习1:把下列运算的结果都化为a+bi（a、b R）的形式.2 -i = ；-2i = ；5= ；0= .讨论：出现了哪些相关的概念讨论：复数集C和实数集R之间有什么关系？练习2、实数m 取什么值时，复数 z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i .(1) 是实数？(2)虚数？ (3) 纯虚数？6两个复数之间可以比较大小吗？练习3、已知（x +y ）+(y −1)i =(2x +3y)−(2y +1)i,其中x,y 为实数，求x,y练习4、若(2x 2−3x −2)+( x 2−5x +6)i =0，求x 的值.练习5、当a =？时，复数i a a a a a z )65(167222--+-+-=，（ a ∈R ）是 (1) 实数？(2)虚数？ (3) 纯虚数？练习6、已知 x 2+y 2-6 + (x -y -2)i =0,求实数 x 与 y 的值.练习7、z 1 =m +(4−m 2)i, z 2=2cos θ+(λ+3sin θ)i , λ,θ为实数，并且z 1 =z 2，求λ的取值范围。

小结1.虚数单位i 的引入；2.复数有关概念：答案练习2(1) m=6或m=−1 (2) m≠6且m≠−1 (3) m=4练习3、x=y=0练习4、x=2练习5、(1) a=6 (2) a≠6且a≠±1(3)不存在练习6、{x=√2+1y=√2−1或{x=−√2+1y=−√2−1练习7、{m=2cosθ4−m2=λ+3sinθλ=4sin2θ−3sinθ sinθ∈[−1,1]λ∈[−916,7]。

人教版高中数学选修2-23.1.1数系的扩充和复数的概念教案

3.1.1 数系的扩大和复数的观点
教课建议
1.教材剖析
经过数系的扩大引入了复数的观点,并介绍了复数的相关观点及复数的分类,复数相等的充要条件,复数与实数的差别等 .本节内容是学习复数的基础 .
要点 :复数的相关观点 ,复数相等的充要条件 .
难点 :复数与实数的关系 .
2.主要问题及教课建议
(1)数系扩大的必需性.
建议教师经过章首问题情境 ,让学生明确引入复数的必需性 ,让学生回首数系的扩大过程 ,完美学生对数的认识 .
(2)对于复数相等的充要条件 .
,但这个条件的应用特别宽泛只管教材中对两复数相等的充要条件一笔带过
复数时 ,对这一知识点要多加重视 .
备选习题
1.若sin 2θ-1+ i(cosθ+1)是纯虚数(此中i是虚数单位),且θ∈[0,2π求),θ的值.解: 由于 sin 2θ-1+ i(cos θ+1)是纯虚数 ,因此
因此
即又θ∈ [0,2 π所),以θ=.
2.若m为实数,z1= m2+ 1+ (m3+ 3m2+2m)i,z2= 4m+ 2+ (m3-5m2+ 4m)i,那么使z1>z2的使 z1 <z2的 m 值的会合又是什么 ?
解: 当 z1∈R时 ,m3+ 3m2+ 2m=0,
m=0,-1,-2,z1= 1 或 2 或 5.
当 z2∈R时,m 3-5m2+ 4m=
0, m=0,1,4,z2= 2 或 6 或 18.
上边 m 的公共值为 m= 0,
此时 z1与 z2同时为实数 ,且 z1= 1,z2= 2.
因此使 z1>z2的 m 值的会合为空集 ,
使 z1<z 2的 m 值的会合为 {0} .,特别是经过计算求m 值的会合是什么?。

人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(4)

3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1、了解数的发展史，理解实数系扩充复数系的必要性；2．在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联；3、初步理解复数、虚数、纯虚数等概念，掌握复数的代数形式与复数相等的充要条件.教学重点：对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念.教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉,对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,由于理解复数是一对有序实数不习惯,对于复数概念理解也有一定困难.教学过程:(一)、情境引入：（二）、知识引入：我们已知知道：对于一元二次方程x2+1=0没有实数根．如何解决“在实数范围中开方运算不能实施的矛盾”？引入一个新数：i使得i2=-1引出课题：3.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充：自然数、整数、有理数、实数、复数复习回顾用图形表示包含关系1、现在我们就引入这样一个数i ，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

2、形如a +bi (a,b ∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示 .3、复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即z=a+bi a,b 都属于R 其中a 为实部，b 为虚部；i 为虚数单位。

5、讨论：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？复数a+bi思考：复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（三）、练习巩固1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。

()i i i i i 293,85,31,,72,0,618.0,722-+-+ 2、判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚数3.条例下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举例,若不存在,请说明理由.(1)实部为-2的虚数;(2)虚部为-2的虚数;(3)虚部为-2的纯虚数.例1 实数m 取什么值时，复数Z=m+1+(m-1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？练习：实数m 取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数我们知道若a+bi=0,则a=0.b=05、思考：如何定义两个复数的相等？如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。

人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(2)

板书设计：
[教学反馈]
学生对于如何进行数系的扩充有了一定的认识，大体理解复数的分类，复数相等的充要
条件，课本作业的完成情况较好，但部分同学对于逻辑连结词“或”、“且”的理解不到位，
一是不知该使用或还是且，二是或与且的连结不知如何得到结果。

【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。

人教版高中数学选修2-23.1.1数系的扩充和复数的概念教案设计

让学生经历对中，是否为的讨论的全过程，教师点评、总结。
（1）复数可以分类如下：
复数
（2）实数集是复数集
的真子集。
这体现了数系的扩充规律：新数集包含原来的数集。
搞清楚复数系与实数系之间的关系以及复数的分类，深化学生对扩充后新数集的理解。
问题6：在复数集中任取两个数 , （）,如何定义两个复数相等？或两个复数相等的充要条件是什么？是转化为什么知识来解决的？实数有三歧性，复数有吗？
教师引导学生根据Βιβλιοθήκη 题1获得的数系扩充规律进行探索，得出结论。
将实数系进一步扩充，从而解决在原有数集中某种运算不能实施的矛盾。（1）引入新数，且。（注：这个新数的符号是教师告知或者学生看书获得的，但新数满足的条件是学生通过类比推理获得的。）（2）设想实数和新引入的数像实数那样进行加法、乘法运算，并且运算时有关的运算律仍然成立。
课题
3.1数系的扩充和复数的概念
课时
1
授课
时间
主备人：
教学
目标
知识与技能：使学生了解学习复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质。
过程与方法：通过类比引入、分类讨论、化归于转化等数学思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用，进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育。
例2已知，求实数的值。
理解两个复数相等的定义，并会利用其列方程求解。
练习：教科书第104页练习第3题；第106页第2题及组第2题。
巩固复数的基本概念
五
：
小
结
提
高
问题7：通过本节课的学习你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈。

高二数学教案 3.1数系的扩充和复数的概念导学案人教版_选修2-2

第三章数系的扩充和复数的概念课型_新课时间主备蒋淑君审核班级姓名3.1．1 数系的扩充和复数的概念一、学习目标1．了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i ；2. 理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律。

3．理解并掌握复数的概念以及复数相等的充要条件；二、学习重点复数的概念，复数相等的条件..三、预习导引（1）学前准备1．方程012=+x 在实数集中无解，联系从自然数到实数系的扩充过程，能否设想一种办法使得方程012=+x 有解？2．形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做它的实部, 叫做它的虚部3. 复数a+bi (a,b ∈R ) 中，当时，就是实数；当时，就是虚数；当时,叫做纯虚数；实数集R 是复数集C 的，即。

4. 复数),(R b a bi a ∈+与),(R d c di c ∈+相等的充要条件是 .（2）自学探究1．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？)31(,293,,,0,72722--+i i i i i ， 2．下列说法中正确的是（）A. 方程012=+x 没有根B. 纯虚数和虚数构成实数集合C. 实数集合由虚数与复数构成D. 实数是复数3. 说出下列复数的实部和虚部.223,0,53,31,213,32i i i i i i +---+-+ 4..已52-i 的虚部为实部，以225i i +的实部为虚部的新复数是（）A i 22-B i +2C i 55+-D i 55+5. 如果 (x +y )+ (y -1)i = (2x +3y ) + (2y +1)i ，求实数x , y 的值.四、典例探究例1．实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？变式：设实数m 为何值时，复数]8)6[()2(22++-+-=i m i m m m z 是：（1）实数？（2）虚数？（3）零？（4）纯虚数？（5）负数？例2 （1）已知i y x y x i y x )()1(12--+-=++-，其中x ，y ∈R ，求x 与y .变式：已知0)32(1622=--++--i x x x x x ，求y x ,的值。

文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入

第三章数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为，它的平方等于，即。

（2）复数：形如的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的，b 叫做复数的，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为。

（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。

2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点一一对应。

（2）在复平面内，实轴上的点都表示；除外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的，记作，并且||______.z =（5）相等的向量表示复数。

三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。

人教A版选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教案设计

3．1.1 数系的扩充和复数的概念●三维目标1．知识与技能(1)了解数系的扩充过程．(2)理解复数的基本概念．2．过程与方法(1)通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法．(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念．3．情感、态度与价值观(1)虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；(2)初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题．●重点难点重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的有关概念及应用．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采用自主学习，运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究数系的扩充历程，体会数系扩充的必要性及现实意义，思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定知识基础．本节内容比较简单，通过学生自学加讨论的方式，基本上可以解决基础内容的理解，教师可以启发引导学生辨析实数、虚数、纯虚数及复数相等的概念，达到透彻理解、触类旁通、学以致用的熟练程度．高考对该部分知识要求不高，练习要控制难度，以低中档题目为主．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识虚数单位i，了解复数的概念、分类及复数相等的条件．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数的有关概念，提炼出其中的关键因素、重点、难点．由学生自主分析例题1的各个选项，对应有关概念，确定出正确答案．教师只需指导完善解、答疑惑，并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，找出实数、虚数、纯虚数的特征，总结求相关参数的方程、不等式的确定方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．1．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？【提示】引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？【提示】a＋b i(a，b∈R)的形式．(1)复数的定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．(2)虚数单位：i，其满足i2＝－1.(3)复数集：全体复数构成的集合C.(4)复数的代数形式：z＝a＋b i(a，b∈R)．(5)实部、虚部：对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．若a ，b ，c ，a ＝c 且b ＝d .(1)对于复数时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以分类如下：复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝，非纯虚数a(2)集合表示．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根；⑥若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【思路探究】根据复数的有关概念判断．【自主解答】 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，∴③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错． ⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．⑥当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0是实数，∴⑥错．故选A. 【答案】 A正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数；⑤若a ，b ，c ，d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c ，且b ＝d .其中真命题的个数是________．【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．【答案】 0当实数m 为何值时，复数z ＝m＋(m 2－2m )i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【思路探究】根据复数的分类标准→ 列出方程(不等式)组→解出m →结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．把题中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m ＞0，即m ＞0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数．已知x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．【思路探究】根据复数相等的充要条件转化成关于x 的方程组求解．【自主解答】 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x ，y 的值．2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x ，y 的范围．求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.因忽视虚数不能比较大小而出错求满足条件－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 的实数a ，b 的取值范围．【错解】由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a >－5，－b －a a ＋2b －6，解得a >－3，b <2.【错因分析】想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．【防范措施】当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．【正解】由－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 知，不等号左右两边均为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，a ＋2b －6＝0，－2＋a >－5，解得a ＝b ＝2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况． 2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件． 3．一般来说，两个复数不能比较大小．1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 “a ＝”D ⇒\“a ＋b i 为纯虚数”， “a ＋b i 为纯虚数”“⇒”“a ＝0”， ∴选B. 【答案】 B2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i 【解析】根据复数的代数形式的定义可知(1＋3)i ＝0＋(1＋3)i ，所以其实部为0，虚部为1＋3，故选C. 【答案】 C3．下列命题中的假命题是( ) A ．自然数集是非负整数集 B ．实数集与复数集的交集为实数集 C ．实数集与虚数集的交集是{0} D ．纯虚数与实数集的交集为空集【解析】本题主要考查复数集合的构成，即复数的分类．复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，故选项C 中的命题是假命题．【答案】 C4．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.【解析】 ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.【答案】－1一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 【答案】 D2．i 是虚数单位，1＋i 3等于( ) A ．i B ．－i C ．1＋i D ．1－i【解析】由i 是虚数单位可知：i 2＝－1，所以1＋i 3＝1＋i 2×i＝1－i ，故选D. 【答案】 D3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，当a ≠0，b ＝0时，a ＋b i 为实数，当a ＋bi 为纯虚数时⇒a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 B4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1【解析】由题意可知，当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，即x ＝－1时，复数z 是纯虚数．【答案】 A5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD ．2＋2i【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，则所求复数为3－3i.【答案】 A 二、填空题6．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________．【解析】 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．【答案】 2＋3，0.618，i 27．已知x －y ＋2x i ＝2i ，则x ＝________；y ＝________. 【解析】根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.【答案】 1 1 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．【解析】因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.【答案】 2 三、解答题9．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．10．若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？【解】当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0，此时z 1与z 2同时为实数，此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值．【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.(教师用书独具)/若z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，z 1＜z 2，求实数m 的取值．【思路探究】由z 1<z 2推出z 1，z 2均为实数，利用复数为实数的条件列出参数m 的方程组，从而求出实数m 的值．【自主解答】 ∵z 1＜z 2，∴z 1，z 2均为实数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0， ①m 2－4m ＋3＝0， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或m ＝3m ＝1或m ＝3∴m ＝3.又z 1＝m 2＝9＜z 2，故m ＝3符合题意．∴m ＝3.复数z ＝a ＋b i 当且仅当其为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小．若用“大于”或“小于”符号联系复数时，则只能是实数，故而本题需将复数问题转化到实数范围内研究讨论．已知集合M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，求实数m 的值．【解】 ∵M ∩N ＝{3}，N ＝{－1,3}，∴3∈M ，且－1∉M .必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1.。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案

3.1.1 数系的扩充和复数的概念教材分析复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解.教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x 2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i 所满足的条件(使i 2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．教学目标1．知识与技能目标了解引进复数的必要性；理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．情感、态度与价值观在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．重点难点重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．难点：虚数单位i 的引进及复数的概念．教学过程引入新课1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数的需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 为什么要进行数系的扩充？①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾. NZ Q R④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x+=无解，那么在什么范围内才有解？提出问题：从自然数集N扩充到实数集R每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．探究新知提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？．活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？活动设计：学生讨论探究a＋bi＝c＋di时，实部和虚部应满足的条件，教师补充．活动结果：若a＋bi＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则a＝b且c＝d，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.理解新知提出问题：对于复数z＝a＋bi，当且仅当a，b满足什么条件时，z为实数，为0，为虚数，为纯虚数？活动设计：学生思考、讨论，师生总结．活动结果：当且仅当b＝0时，复数z＝a＋bi是实数；当且仅当a＝b＝0时，复数z＝a ＋bi为0；当且仅当b≠0时，复数z＝a＋bi是虚数；当且仅当a＝0且b≠0时，复数z＝a ＋bi为纯虚数．复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．运用新知例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④ ；⑤－3i ；⑥0. 例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．完成练习册上的3个判断题在第二个问题上适当说明复数不比较大小，可以反正i 与0不能比较大小学生回顾本节课主要内容教学反思这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类 22(3)1)(32)1x x x i x -+++=±若（是纯虚数，则实数2,+i +i a b a b >>（）若则2(1)Z 0∈≥当Z C 时，2i。

探究式导学案1：3.1数系的扩充与复数的引入

3.1数系的扩充和复数的引入【学习目标】1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学习重点】1.对引入复数的必要性的认识。

2.理解复数的基本概念。

【学习难点】1.对了解从实数系扩充到复数系的过程。

2.对复数概念的理解。

【过程与方法】采取“阅读，探究，质疑，总结”的学习过程【情感态度与价值观】在掌握知识的同时，开阔自己的思维视野。

探究点一复数的概念【问题1】怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？【问题2】：试解下列方程：（1）x2＋4＝0 (2) x2＋x＋1＝0【复数概念的形成】复数的概念【问题3】：你说说虚数单位i 的一些性质吗?【问题4】说说你对复数集又有哪些认识？【例1】请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．① 2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.小结:变式：下列几个命题：①1－ai(a ∈R)是一个复数；②虚数的平方不小于0；③－1的平方根只有一个，即为－i ；④i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑤2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【例2】当实数m 为何值时，复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．(1)m =1(2)m ≠1(3) m =−1小结:变式：实数m 为何值时，复数2m m+2Z=+m +2m-3m-1i （）（）是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．思考：①x 2＝-a 的根 ②a x 2 ＋b x ＋c=0的根（a ≠0）探究点二两个复数相等【问题5】满足什么条件时复数Ｚ1=a +bi 与Ｚ2＝c +di (a,b,c,d ∈R )相等？例3已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y)i ，求x 与y .小结: 变式：已知()()+1x x x x x x 2223R －－6－－－＝0i ，求x 的值．【课时小结】：1.数学知识：2.数学方法:3. 数学思想：【巩固过关】一、选择题1．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi (i为虚数单位)，则(a－b)2等于()A．－12 B．－8C．8 D．102．下列命题中：①两个复数不能比较大小；②若z＝a＋b i，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；③x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；④若a＋bi＝0，则a＝b＝0.其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．33．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分别是() A.2，1 B.2，5 C．±2，5 D．±2，16 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i=4i {m 2−2m=0m2+m−2=4解得m=2二、填空题4．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．5．给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．三、解答题6.已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．能力提升7．已知复数z＝a2−7a+6＋(a2－5a－6)i (a∈R)，a2−1试求实数a取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数答案例1④⑥是实数①②③⑤是虚数其中⑤是纯虚数变式：B例2(1)m=1(2)m≠1(3) m=−1变式：(1)m=−3 (2)m≠1且m≠−3(3) m=0或m=−2例3{2x−1=−y1=−(3−y)得{x=−32 y=4变式： {x2−x−6=0x2−2x−3=0x≠−1得x=31B 2D 3C 4 0 5 16 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i=4i {m 2−2m=0m2+m−2=4解得m=2 7(1)a=6 (2)a≠6且a≠±1(3) a=1。

高中数学：3.1.1数系的扩充和复数的概念教案新人教版选修2

高二数学理科导学案§数系的扩充和复数的概念教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四那么运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i教学难点：虚数单位iii的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程：学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，那么有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数讲解新课：i:i=-;(1)它的平方等于-1，即21(2)实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!3.i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小〞对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：例2 复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？答：例3〔课本例1〕实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：例4 (2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：课堂练习：C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，假设全集S=C ，那么以下结论正确的选项是( )A.A ∪B =C B.S C A =B C.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，那么实数x 满足( )A.x =－21B.x =－2或－21 C.x ≠－2 D.x ≠1且x ≠－2 M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，那么实数m 的值为( )A.－1B.－1或4C.6D.6或－1x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，那么z 1=z 2的充要条件是______.6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.7.假设方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试某某数m 的值.8.m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .课后作业：课本第106页习题3.11.2.3.教学小结：这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题师生反思：复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。