人教版高中数学选修1-1导学案第三章 §3.3 3.3.2 函数的极值与导数

3．3.2函数的极值与导数

学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

知识点一极值点与极值的概念

1．极小值点与极小值

图1

如图1，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

2．极大值点与极大值

如图1，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

特别提醒：如何理解函数极值的概念

(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．

(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．

(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．

(5)单调函数一定没有极值．

知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × ) 2．极大值一定比极小值大．( × ) 3．函数f (x )＝1

x

有极值．( × )

4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )

一、极值与极值点的判断与求解 命题角度1 知图判断函数的极值

例1 已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )

A ．在(－∞，0)上为减函数

B ．在x ＝0处取极小值

C ．在(4，＋∞)上为减函数

D ．在x ＝2处取极大值

答案 C

解析 由导函数的图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x ＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x ＝4处取得极大值，故选C.

反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．

跟踪训练1 如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )

①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④

D ．①③④

答案 B

解析 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x ＝－1是f (x )的极小值点；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x ＝2是f (x )的极大值点，故②③正确，④错误． 命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝x 2－2ln x .

解 (1)函数f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1的定义域为R ， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)， 解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.

(2)函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)

x ，

解方程2(x ＋1)(x －1)

x ＝0，

得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．

当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．

反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．

(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根．

(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．

特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．

跟踪训练2已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解(1)f′(x)＝e x(ax＋b)＋a e x－2x－4

＝e x(ax＋a＋b)－2x－4，

f′(0)＝a＋b－4＝4，①

又f(0)＝b＝4，②

由①②可得a＝b＝4.

(2)f(x)＝e x(4x＋4)－x2－4x，

则f′(x)＝e x(4x＋8)－2x－4＝4e x(x＋2)－2(x＋2)

＝(x＋2)(4e x－2)．

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，