第八章 北航 材料力学 全部课件 习题答案

第八章
应力、应变状态分析
8-2
已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） ，试用解析法计源自文库图中指定截面的正
应力与切应力。
题 8-2 图 (a)解：由题图所示应力状态可知，
σ x 30MPa，σ y 10MPa，τ x 20MPa，α 45
将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得
5
题 8-15 图 解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式，有
ε 0
εx ε y 2 εx ε y

εx ε y 2 εx ε y
ε x 450106 ε y 100106
(a) (b) (c)
ε90
ε45
将式(a)和(b)代入式(c)，得
2 2 ε x ε y γ xy 350106 2 2
C 84.7 MPa E 4.7 MPa
取 D（20，0）对应于主平面 z，于是，分别以 ED 与 DC 为直径画圆，即得三向应力圆。 可以看出，主应力为
1 C 84.7MPa
2 D 20.0 MPa
3 E 4.7 MPa
而最大正应力与最大切应力则分别为
8-18 构件表层一点处的应力如图 a 所示，为了测量应力，在该点沿 0°，45°与 90°
粘贴三个应变片，幷测得相应正应变依次为 0 , 45 与 90 （图 b） 。已知材料的弹性模量为 E， 泊松比为，试根据上述测试应变值，确定该点处的正应力x，y 与切应力x。
题 8-18 图 解：当45°与45°时，相应截面的正应力为 5 x y x y cos90 sin 90 x y 2 2 2 x y x y x y 5 cos(90 ) sin(90 ) 2 2 2 根据广义胡克定律，45°方位的正应变则为
弹性模量 E=200GPa，泊松比 =0.3，试求正应变x，y 与切应变xy，以及 =30°方位的正应 变30°。
题 8-17 图 解：根据广义胡克定律，得
x
y
1 1 ( x y ) (100106 Pa 0.3 80106 Pa) 3.8 104 9 E 20010 Pa
由此可知，主应力为
σ1 30.2 MPa，σ 2 0，σ3 0.1678 MPa
由
tanα0
得 σ 1 的方位角为
τx 2.25 0.07458 σ x σ min 30.00.1678
α0 4.27
对于图 c 应力状态，其切应力为
3FS 3 20103 N 3.00106 Pa 3.00MPa 2 2 A 2 0.050 0.200m 由此得各主应力依次为 τC
FS S z (ω) 12 20 103 0.050 0.050 0.075N 2.25106 Pa 2.25MPa 3 2 I zb 0.050 0.200 0.050m
σ max σ B σB 2 2 30.2 2 2 MPa ( ) τ B [15.0 15.0 2.25 ] MPa σ min 2 2 0.1678
板厚的改变量为
μ (σ x σ y ) E
Δδ z
体应变为
0.33 0.010 (80 40) 106 m E 70 109 1.886106 m 0.001886 mm (σ x σ y

θ
由此可得该板件的体积改变量为
(1 2 μ) (σ x σ y σ z ) E
由此可知，主应力各为
σ1 60.0MPa,
σ 1 的方位角为
σ2 σ3 0
α0 0
对于图 b 所示应力状态，其正应力和切应力分别为
σB τB
极值应力为
| M || y B | 12 20 103 0.050N 3.00 107 Pa 30.0MPa Iz 0.050 0.2003 m 2
8-6
图示双向拉伸应力状态，应力 x y 。试证明任意斜截面上的正应力均等
于 ，而切应力则为零。
题 8-6 图 证明：由题设条件可知，
σ x σ y σ，τ x 0
将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有
σα
σ σ σ σ cos2α 0 σ 2 2 σ σ τα sin 2α 0 0 2
max 1 84.7 MPa
max
1 3 84.7 MPa 4.7 MPa
2 2
44.7 MPa
8-15
在构件表面某点 O 处，沿 0° ，45° ，90° 与 135° 方位粘贴四个应变片，并测得相
应正应变依次为ε = 450×10-6， ε45 = 350×10-6，ε = 100×10-6 与ε = 100×10-6 ，试判 90 0 135 断上述测试结果是否可靠。
σ (
30 10 20sin 90 )MPa 40.0MPa 2 30 10 τ ( sin 90 )MPa 10.0MPa 2
(b)解：由题图所示应力状态可知，
σ x 30MPa，σ y 10MPa，τ x 20MPa，α 22.5
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
8-3
试用图解法（应力圆）解题 8-1。
解：题 8-1 图所示应力状态的应力圆示如图 8-3。
1
图 8-3 由图 a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为
σ α σ 45＝ 10.0MPa，τα τ45 15.0MPa
由图 b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为
σ α σ 30＝ 47.3MPa，τα τ 30 7.3MPa
Fs F 20kN， | M | Fa 201kN m 20kN m
微体 A，B 和 C 的应力状态依次如图 8-9 a,b 和 c 所示。
图 8-9 对于图 a 所示应力状态，其正应力为
3
σA
|M | 6 20 103 N 6.00 107 Pa 60.0MPa 2 2 Wz 0.050 0.200 m
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
σ [
10 20 10 20 cos(120 ) 15sin(120 )]MPa 0.490MPa 2 2 10 20 τ [ sin(120 ) 15cos(120 )]MPa 20.5MPa 2
1 1 ( y x ) (80106 Pa 0.3 100106 Pa) 2.5 104 E 200109 Pa 2(1 ) x 2(1 0.3)(50106 Pa) xy x 6.5 104 G E 200109 Pa 斜截面的应力如图 b 所示， x y x y 30 cos2 30 x sin 2 30 2 2 100 80 100 80 cos60 50sin 60 ( MPa) 51.7 MPa 2 2
800mm，高度 h = 600mm，正应力 x =80MPa， y = 40 MPa，材料为铝，弹性模量 E=70GPa， 泊松比 = 0.33。试求板厚的改变量 与板件的体积改变量 V 。
题 8-16 图
6
解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为 ε z ，则有
εz
5
由此得
1 ( 45 ) E 45
(a)
1 ( x y )(1 ) 2 (1 ) 2E 根据广义胡克定律还可知，沿 0°与 90°方位的正应变分别为
5
0
90
1 ( x y ) E
(b) (c)
ΔV
(1 2 μ) (σ x σ y σ z )(bhδ ) E (1 2 0.33) (80 40) 106 (0.800 0.600 0.010)m3 70 109 9.33107 m 3 933mm3
x y x
8-17 图 a 所示微体处于平面应力状态， 已知应力 =100MPa， =80MPa， =50 MPa，
σ (
30 10 30 10 cos45 20sin45 )MPa 38.3MPa 2 2 30 10 τ ( sin45 20cos45 )MPa 0 2
(c)解：由题图所示应力状态可知，
σ x 10MPa，σ y 20MPa，τ x 15MPa，α 60
7
100 80 100 80 cos(120 ) 50sin(120 )( MPa) 128.3 MPa 2 2 根据广义胡克定律，得 30° 的正应变为
60
30
1 ( 60 ) E 30 1 (51.7 106 Pa 0.3 128.3 106 Pa) 0.66 104 9 20010 Pa
由于是平面应力状态，故知
σ3 0
从该应力圆上还可以量得 σ1 的方位角为
α0 23.7
式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9
图示悬臂梁，承受载荷 F = 20kN 作用，试绘微体 A，B 与 C 的应力图，并确定
主应力的大小及方位。
题 8-9 图 解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为
1 ( y x ) E 联立求解式（a） ， （b）与（c） ，于是得
由于式中 α 为任意值，故原命题得证。
8-7
已知某点 A 处截面 AB 与 AC 的应力如图所示（应力单位为 MPa） ，试用图解法
求主应力的大小及所在截面的方位。
2
题 8-7 图 解：根据题图所给应力，画应力圆如图 8-7 所示。
图 8-7 从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：
σ1 69.7MPa， σ 2 9.9MPa
ε135 的实际测量值比上述结果小了一半，这说明题中所给测试结果不可靠。
其实，由应变圆可知，无论为何值
90 常数
而
0 90 45 135
同样说明题中所给的这组测试结果不可靠。
8-16
图示矩形板，承受正应力 x 与 y 作用。已知板件厚度 =10mm，宽度 b =
σ1 3.00MPa，σ 2 0，σ 3 3.00MPa
σ 1 的方位角为
α0 45
8-12(c)
试画图 a 所示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大
4
切应力。
题 8-12 图 解：显然， σ z 20MPa 为主应力，而其它两个主应力则可由 σ x ， τ x 与 σ y 确定（图 b） 。 在 平面内（图 c） ，由坐标（60，40）与（20，-40）分别确定 A 与 B 点，然后，以 AB 为直径画圆，与轴相交于 C 与 E，其横坐标分别为

γ xy (550 700) 106 150106
(d)
将以上所得结果(a),(b)和(d)代入平面应变状态任意方位的正应变公式，计算 ε135 应有 的测量值为
1 1 ε135 ( 450 100) 106 ( 450 100) 106 cos270 2 2 1 6 ( 15010 )sin270 200106 2