2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--二次函数(1)

二次函数(1)(教案)

一、知识梳理

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．

同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．

学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．

1、二次函数解析式的三种形式

一般式：()()02

≠++=a c bx ax x f

顶点式：()()2()0f

x a x h k a =-+≠

零点式：()()02

≠++=a c bx ax x f 存在零点21,x x ， 则有()()12()()0f

x a x x x x a =--≠

2、二次函数的图象和性质

（1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x ，都有 。 当a >0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。 当a <0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。 （2）、二次函数的图象与x 轴的位置关系：由判别式判定 3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系

一般地，设二次函数f x =ax 2+bx +c ，二次方程ax 2+bx +c =0的根的差别式 ∆=b 2−4ac ，我们可以利用二次方程ax 2+bx +c =0的根求出不等式ax 2+bx +c >0,或ax 2+bx +c <0,解集，它们的关系如下表：

二、题型探究

[探究一]二次函数的最值问题

例1：已知a ≥2,求函数f(x)=x 2+ax +3 (−1≤x ≤1)的最大值与最小值。

[探究二] 二次函数与一元二次方程

例2．若函数2

()24f x x ax a =+-+是偶函数，则函数()f x 的最小值为 ．

解：∵二次函数是偶函数，∴其图像关于y 轴对称．∴0a =．∴函数()f x 的最小值为4-．

例3：【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当

[)0,3x ∈时，21

()22

f x x x =-+

，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .

【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．

[探究三] 二次函数与导数

例4． 已知函数在R 上满足，则曲线在点处的切线方程是 . 解：由

得， 即，∴

∴()2f x x '=，∴切线方程为，即210.x y --=

()f x 2

()2(2)88f x f x x x =--+-()

y f x =(1,(1))f 2

()2(2)88f x f x x x =--+-2

(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--2

2()(2)44f x f x x x --=+-2

()f x x =12(1)y x -=-

例5.设函数，曲线在点处的切线方程为

，则曲线在点处切线的斜率为 ．

解：由已知，而，∴

[探究四] 二次函数与恒成立问题

例6.若函数2

()ln(21)f x ax ax =++的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是 ．

解：由已知2

210ax ax ++>对一切实数x 恒成立．

（1）当0a =时，满足题意；（2）当0a ≠时，只须20,

440.a a a >⎧⎨-<⎩

解得01a <<．

由（1）、（2）得01a ≤<．

练习：若函数2()21

x

e f x ax ax =+-的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是

．

解：由已知2

210ax ax +-≠对一切实数x 恒成立．

（1）当0a =时，满足题意；（2）当0a ≠时，只须2

440a a +<．解得10a -<<． 由（1）、（2）得10a -<≤．

2()()f x g x x =+()y g x =(1,(1))g 21y x =+()y f x =(1,(1))f (1)2g '=()()2f x g x x ''=+(1)(1)214f g ''=+⨯=