方阵问题
小学数学中年级篇--方阵问题
方阵问题知识归纳：1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数习题精练：1. 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列.问减少了多少人？分析与解：100人排成10行10列的方阵，减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.9×9=81 (人)100-(10-1)×(10-1)=19 (人)答：减少19人.2. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人？分析与解：10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50～100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出当大方阵人数是64人，小方阵人数为36人时满足条件.答：大方阵有64人，小方阵有36人.3. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？分析与解：增加的19枚棋子，使原方阵增加了一行一列，其中有一枚棋子是这一行一列的交点，被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚)，则原来最外层每边有9枚棋子.原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).答：原来的方阵中有81枚棋子.4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？分析与解：由于外层比中层多8枚棋子，中层比内层多8枚棋子，因此中层的棋子数为180÷3=60(枚)，外层的棋子数为60+8=68(枚).利用公式：每边棋子数=总数÷4+1，可以求出每边有多少棋子.180÷3+8=68 (枚)；68÷4+1=18 (枚).答：最外层的有68枚，最外层每边上有18枚棋子.5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人.参加团体操表演的共多少人？分析与解：根据层外层和最内层的人数，可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵，可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中，减去一个小方阵.外层每边人数64÷4+1=17 (人)；内层每边人数32÷4+1=9 (人)；中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).答：参加团体操表演的共240人.6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？分析与解：棋子总数为16×16=256(枚)，由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”，所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.16×16÷4÷4+4=20 (枚).答：最外层每边有20枚棋子.7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？分析与解：首先求出原三层方阵中间层的人数，由于每向里或向外一层，人数减少或增加8人，因此可以求出答案.中间层人数252÷3=84 (人)；向里增加一层需84-8×2=68 (人)；向外增加一层需84+8×2=100 (人).答：向内部增加一层需增加68人，向外部增加一层需100人.8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4盆，如果增加一行一列，又少15盆.求共有多少盆花？分析与解：由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆)，因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满，将是由100盆花组成的实心方阵，但实际上只有100-15=85(盆).增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；实际有花10×10-15=85 (盆).答：共有85盆花.9. 一群学生，如果排成三层空心方阵多10人，如果在中空部分增加一层又少6人，问有多少学生？分析与解：增加的那一层人数应为10+6=16(人)，从而可求出此每边人数及最外层每边人数.增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人)；最外层人数5+2×3=11 (人)；四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人)；实有人数112-6=116 (人).答：共有学生106人.10. 有一群学生排成三层中空方阵，多9人.如中空部分增加两层，又少15人.问有学生多少人？分析与解：增加的两层人数为9+15=24(人)，这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层，那么最外层有8+8×4=40(人)，知道最外层人数及层数就不难求出总人数.最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).答：有学生105人.11. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48枚，其余都是白棋.白棋有多少枚？分析与解：方阵中的每行每列，棋子数都是一样的。
小学数学典型应用题16：方阵问题(含解析)
小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
小学数学应用题之方阵问题
小学数学应用题之方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
小学数学《方阵问题》
小学数学《方阵问题》方阵问题[含义]将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
[数量关系](1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数=(每边人数-1)x4每边人数=四周人数÷4+1(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数=每边人数x每边人数空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)内边人数=外边人数-层数x2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:总人数=(每边人数-层数)x层数x4[解题思路和方法]方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?解22x22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10*10-(10-3x2)*(10-3x2)=84(人)答:全方阵84人。
练习题1.同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有()人.A. 72B.76C.802.一个8x8的方阵(每列8人，有8列)，如果想增加两行、两列，排成一个10x10的方阵，那么需要增加()人。
A.32B. 36C.40D.443.王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树(四个角上都植有树)，鱼池的一周长()米。
A.160B.156C.164D.1444.四年级同学举行队列表演，共组成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。
最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿红色运动服。
一共要准备()套红色运动服。
A.80B.64C. 36D. 165.若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生()人.A.902B.136C.240D.3606.一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配-_把椅子，两次一共配了____把椅子。
方阵问题带答案版
层数： （9-1）÷2+1=5（层）
8、若干名同学站成一个10×10的实心方阵.请问： 最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？ 从里向外算起的第3层有多少人？
最外层人数：
（10-1）×4=36（人）
层数： 10÷2=5（层）
从里向外第3层人数：
4+8×2=20（人）
或 36-2×8=20（人）
最外层人数 ： （6-1）×4=20（人）
总人数 ： 20+（20-8）=32（人）
4、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果 最外层每边有20个学生, 问：（1）这个空心方阵最里边一周有多少个学生? （2）这个四层空心方阵共有多少个学生? （1）最外层人数：（20-1）×4=76（个）
最里边人数：76-3×8=52（个）
每边人数：48÷4+1=13（人）
总人数：13×13=169（人）
3、三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最 外层一周的人数为20人。 问：（1）方阵最外层每边的人数是多少? （2）这个方阵共有多少人?
（1）每边人数：20÷4+1=6（人） （2）总人数：6×6=36（人）
4、军训的学生进行队列表演，排成一个7行7列的 正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 还剩下多少人？
例题： 1、有一个正方形池塘。四个角都栽一棵树。棵）
2、用围棋排成三层空心方阵，最里层共有12颗， 求这个方阵共有棋子多少颗？
12+8=20（颗） 20+8=28（颗）
12+20+28=60（颗）
3、四（1）班的学生进行队列训练，排成两层空 心方阵，已知最外层每边有6人，求这个班共有多 少人？
（2）总人数：52+60+68+76=256（个） 或 （52+76）×4÷2=256（个）
简单的方阵问题
简单的方阵问题例1：聪聪和明明玩下五子棋的游戏，他们的小棋盘每横行和每竖行都有11个交叉点(如下下图所示)。
(1)最外层可以摆放多少个棋子？(2)把棋盘全部摆满可以摆放多少个棋子？【举一反三】：１、要在一个正六边形花坛上摆上一盆盆的鲜花，要使每一边上都摆7盆鲜花，每个顶点都摆一盆，一共需要多少盆鲜花？２、八角形亭子每边上放6把椅子，每个顶点上都放有一把。
一共需要多少把椅子？例2：四年级（3）班同学排成一个实心方阵跳集体舞，最外层一周的人数为24人，请问方阵最外层每边有多少人？四（3）班一共有多少人？【举一反三】：１、实验小学操练大型团体操，同学们排成一个方阵,最外层一周共有156人,问这个方阵共有多少人?2、有一块正三角形场地。
沿四周等距离地植了27棵树，每个顶点上都有一棵。
问每条边上有多少棵树？例３：小会议室的椅子摆成一个三层的空心方阵,最外层每边有11把椅子,这个方阵最外层一共有多少把椅子?这个三层空心方阵一共有多少把椅子?【举一反三】：１、国庆节前夕，解放公园举行菊展。
在一座塑像的周围，围成一个两层的菊花方阵。
最外层每边上有10盆菊花。
求最外面一层有多少盆菊花？一共有多少盆菊花？2、聪聪用围棋子摆了一个三层的空心方阵，最外层每边有9个棋子。
聪聪摆的这个方阵一共用了多少个棋子？3、战士们站成一个两层的空心方阵训练队列。
最里层每边有4人。
一共有多少个战士参加训练？例４：64名同学站成一个两层的空心方阵上体育课。
请问最外面一层每边有多少名同学？【举一反三】：1围一块正方形场地植两圈树，共80棵。
每一圈每边有多少棵树？2有72盆花摆成一个三层的空心方阵，这个方阵的最外层有多少盆花？数学冲浪1、在一块正方形地四周种树，每边都种了12棵，并且四个顶点都种有一棵树。
问这个场地四周共种树多少棵？？2、沿一块三角形场地插红旗，每边插6面，每个顶点插一面。
一共了插多少面红旗？3、四（5）班同学有44人，他们围成一个正方形。
四季 6方阵问题
一、基础应用1、阿庆在纸上画了一个中空的正方形点阵，他数了数，最内层共有8个点，最外层共有32个点，问：阿庆在纸上一共画了几个点？2、小波在正方形的花池边均匀的摆放了若干盆水仙花，已知花池的每条边都放了16盆，并且四个角各放一盆，那么，小波一共放了多少盆水仙花？3、一个队伍排成一个3层的空心方阵，它的最外层每边10个人，它的最内层共有多少人？4、某学校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人，问：方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？二、拓展训练：5、若干枚围棋子排成一个实心方阵，如果想要在外面增加一横一列还需要17枚棋子，问：原来共有多少枚棋子？6、同学们用64盆花排出一个两空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需要多少盆花？7、士兵排成了一个两层的空心方阵的队伍，已知外层每边都站着15人，那么这个队伍一共有多少人？8、大林将手中88枚围棋子排成了一个两层的空心方阵，请你帮他算一算，最外层每边有多少个棋子？9、小源用若干枚棋子排放成一个3层的空心方阵，最外层每边有12枚，他一共用了多少枚棋子？10、将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？三、难题解析：11、有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？12、学校举行运动会，开幕式上，一支由两个实心方阵组成的方队朝主席台走来，这支方队进行了五次变化，第一次两个方阵组合成了一个大的10行10列的实心方阵.,第二次由大的实心方阵变化成一个更大的一层空心方阵，第三次又分解成原来两个小的实心方阵，第四次人数较多的实心方阵变化成两层的空心方阵，最后一次又合并成大的实心方阵，走过了主席台。
问：(1)第二次变化后这个更大的一层空心方阵每边有多少人？（2）这四次变化后，人数较多的那个空心方阵最外层有多少人？四、巩固练习1、体育课上，老师让同学们排成一个一层的空心方阵，小兵数了数，每边有10个人，请问：共有多少人？2、三年级一班同学参加文艺汇演，排成每行8人，每列8人的方阵，问：方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列，还剩多少同学？3、大林用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个，通通摆这个方阵共用围棋子多少个？4、小兵用56枚棋子排成一个2层的空心方阵，问：这个方阵的最外层每边有多少枚棋子？5、120个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少棋子？6、一队战士排成三层空心方阵多出16人，如果空心部分再加一层又少28人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？7、一口井深10米，一只蜗牛从井底白天往上爬2米，晚上又往下滑1米，请问要多长时间，这只蜗牛能爬出这口井？8、有一只蜗牛从A点出发，要沿长方形的边或对角线爬到C点，中间不许爬回A点，也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？A DB C。
方阵问题公式
方阵问题公式
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10-3)×3×4=84(人)。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题附答案解析
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
方阵问题
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？
例4：一个街心花园如图所示，它由四个大小相等的等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上载有多少棵花？整个花园中共栽有多少棵花？
（2）有战士若干，排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问战士多少人？
B．挑战自我
（1）有一队学生排列成一个中空方阵，最外层人数共有52人，最内层人数共28人，问这队学生有多少人？
方阵的基本特点：
1、方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少2。
2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？
（1）小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子。请问：最外边一层每边有多少枚棋子？
A．强化自我
（1）明强小学有576名学生进行列队训练，若排成三层空心方阵，这个方阵的最外层有多少人？
四周人（或物）数 = [ 每边人（或物）数 -1 ]×4
每边人（或物）数 = 四周人（或物）数÷4 + 1
3、中实方阵总人（或物）数 = 每边人（或物）数×每边人（或物）数
（1）一个正方形棋盘，四边各放5枚围棋子（四个角上都要有一枚），那么一共有多少枚围棋子？
（2）有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人。如果每边站的人数相等，那么每边站多少个学生？
方阵问题
方阵问题【要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？练习1、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？练习1、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
2、方阵问题
方阵问题月日姓名【知识要点】方阵中：每相邻边人数相差2人，每相邻层人数相差8人（1）实心方阵：每边人数×每边人数=总人数。
每边人数=一周的总人数÷4+1（2）空心方阵：（四分法）（最外层每边人数-层数）×层数×4=空心方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=最外层每边人数。
【经典例题】例1、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？例2、参加运动会团体操表演的某小学学生组成一个正方形队列，共有25行，每行25人。
问：若从正方形队列中去掉一行和一列，减少了多少名学生？一共有多少同学？例3、有学生若干人，排成2层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？例4、设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？例5、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒？随堂小测1、一个以每边为12人的实心方阵队列，共多少人？2、四年级（1）班同学参加广播体操比赛，排成每行8人、每列8人的方阵，问方阵中共有多少同学？如果去掉一行一列，还剩多少同学？3、团体操表演，少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人？4、用棋子排成一个二层的空心方阵,外层每边有8个棋子,求这个空心阵的棋子总数?5、小明用围棋子摆成一个三层的空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子课后作业1、一队学生站成20行20列的方阵，去掉4行4列，要减少多少人？2、有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？3、三层空心方阵，最外层每边10人，一共多少人？5、在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？6、将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？7.工人用鲜花摆了一个方阵花坛，这个方针最外层有108盆，那么这个方阵有多少盆花？14.小红用棋子摆了一个空心方阵，最外层用48个棋子，最里边用了16个棋子，这个方阵共有几层？8.一个中空方阵，最外边一层有80人，最里边一层有32人，共有几人？17.用64盆花围成每边两层的空心方阵，若在外再增加一层成为三层空心方阵，需增加花几盆？432人排成一个六层空心方阵，求这个方阵最外层每边有多少人？10、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?11、把80个棋子摆成一个一层空心方阵,每边摆放几个棋子?这道题是20还是21?问题补充：详细解题思路10*4-4=36(人)最外层的人数以后每往里一层人数减少4人36+32+28=96(人)方阵问题：许多人排成方阵，求实心方阵或空心方阵有多少人的问题。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
方阵问题公式
方阵问题公式
方阵问题公式
(1)实心方阵： (外层每边人数 )2= 总人数。
(2)空心方阵： (最外层每边人数 )2-( 最外层每边人数 -2 ×层数)2= 中空方阵的人数。
或许是 (最外层每边人数 - 层数 )×层数×4= 中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+ 层数 = 外层每边人数。
比如，有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？解
一先看作实心方阵，则总人数有 10 ×10=100( 人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少 2 ，则进到第四层，每边人数是10-2 ×3=4( 人)
因此，空心部分方阵人数有 4 ×4=16( 人)
故这个空心方阵的人数是100-16=84(人)
解二直接运用公式。
依据空心方阵总人数公式得
(10-3) ×3×4=84( 人)。
方阵问题
方阵问题
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学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
例2某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
例3晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方
阵共用围棋子多少个？
例4一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？
例5小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
例6参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？。
四年级奥数第18讲 方阵问题
第 18 讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少 2 个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少 8 个。
3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放 1 个稻草人，如果每边放 5 个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽 1 棵树，一共栽了 28 棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边 8 人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边 12 个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由 204 人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少 15 人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用 120 盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边 18 人，最内层每边 10 人。
这个队列共有多少人？9、用 64 枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有 72 人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装 25 盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边 11 枚的中空方阵，共 2 层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了 17 枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有 48 人，内层有 16 人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有 16 个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24 粒的实心方阵，若改为3 层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多 2 人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边 12 人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多 4 人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
方阵问题
一、方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例题精讲例1、计算：⑴ 36196419⨯+⨯ ⑵ 361964144⨯+⨯知识点拨第一讲 方阵问题百炼成钢1、178×101－178 84×36+64×84⨯-⨯例2、11353715百炼成钢2、⨯+⨯3520703578 99666667818⨯++⨯⨯-⨯．例3：343535353434百炼成钢3：⨯-⨯= 33201020102010330033⨯-⨯＝200720082008200820072007例4：8822557344443355⨯+⨯-⨯-⨯=百炼成钢4：⨯+⨯+⨯+⨯= 3334343535363637_______⨯+⨯+⨯= 67200254335467⨯+⨯+⨯例5、534671548254百炼成钢5：⨯ -⨯ 200920082007200720082009 333332332333332333333332⨯-⨯⨯+⨯+⨯例6：237539879207601339876832百炼成钢6：⨯+⨯-⨯１２４×３８＋６５×１２４＋７６×１１482594115932359０－７６×７例7：99999777783333366666⨯+⨯百炼成钢7：⨯+⨯９９９９×３６＋６６６６×３×99999222223333333334３２÷+÷+÷+÷例8：315325335345⨯÷+⨯÷7652132776532727百炼成钢8：⨯+÷-⨯+÷1719931910174019 91791175174517⨯+÷-⨯+÷解题我最牛：1）467+999×999+532 1)（25×99+25）×16 3）６２×４＋４４×５＋５×１８4）888888×19+666666×8 5）535×353+535×432+785×465⨯-+⨯6）1995×19961996-1996×7）80199539901995228）200620052006200520062005⨯-⨯ 9）347×12+347×35＋347×52+34710）777777×12+222222×8 11 ）21÷9＋22÷9＋23÷9＋24÷9 12）287÷12-18÷12-29÷12 13）6000÷25÷4014）720÷（36÷5）15）467×500÷25016）2090÷24+310÷24 17）372÷162×54智巧故事：数学教授在一所大学的操场上，政治学教授、哲学教授和语言学教授围着一根旗杆。
方阵问题公式
方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10-3)×3×4=84(人)。
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方阵问题
同学们要参加运动会入场式，要实行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这个类的数学问题，今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点：
(1)方阵不论哪一层，每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系；
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？
分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，能够求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就能够求了。
解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)
答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？
分析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，能够求出最里层每边的个数，就能够求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解：(1)最里层一周棋子的个数是：(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)×3×4=144(个)
答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3.玲玲家的花园中，有一个如下图那样，由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛，玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花，已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵，问大三角形的一周有鸡冠花多少棵？玲玲一共种鸡冠花多少棵？
分析：(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的，而在大三角形一条边的中间那棵花，是两条小三角形的边所共用的，所以如果小三角形每边种花5棵，那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了，又因为大三角形三个顶点上的3棵花，都是大三角形的两条边所共用的，所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花，即：9×3-3=24，就是大三角形一周种花的棵数。
(2)三角形各条边上种鸡冠花棵
数的总和，等于里边小三角形一周上种花的棵数，加上大三角形一周种花的棵数，再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花，也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。
解：(1)大三角形一周上种花的棵数是：(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是：(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是：24+12-3=33(棵)
答：大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，能够另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人？
分析：若只排列一个乙方阵，则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人)，排列一个实心的丙方阵，不足的人数是：8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵，则乙多的人数是：8×8+8×8=128(人)，又根据方阵扩展一层，每边增加2人，丙方阵比乙方阵的外边多4人，丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层)，方阵扩展2层，需要增加128人，则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人)，丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)
解：(1)假设丙方阵为实心方阵，则方阵最外层的人数是：(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数是：68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数：18×18-8×8=324-64=260(人)
答：五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵？方阵中共有杨树，柳树各多少棵？
分析：根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。
因而杨树和柳树的棵数相等，即最外层杨，柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。
解：(1)最外层杨柳树的棵数分别为：(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：
杨树：(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树：7×7-25=24(棵)
(3)当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)
杨树7×7-25=24(棵)
答：在图(1)(2)两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。
练一练
1.有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？
2.某校少先队员能够排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最里边一周有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？
3.六一儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆？
4.三年级(1)班的学生参加体操表演，排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形，求正六边形一周共有多少名学生？三(1)班参加体操表演的共有多少人？
5.现有松树和柏树以隔株相间的种法，种成9行9列的方阵，问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵？方阵中共有松树柏树各多少棵？
练一练答案
(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)
(2)(20-2×3-1)×4=42(个) (20-40×4×4=256(个)
(3)最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20(盆)
(4)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)
(5)最外层松柏各是：(9-1)×4÷2=16(棵)
共有松柏树是：(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵)
答：柏树41棵，松树40棵，或松树41棵，柏树40棵。