山西省中考数学试题及解析
2020山西省中考数学试题(word版,含答案)(共3套)
4.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，若
△DBE的周长是6，则△的周长是（）。
A.8 B.10 C.12 D.14
5.我们解一元二次方程 时，可以运用因式分解法，将
此方程化为 ，从而得到两 个一元一次方程：
山西省中考数学参考答案
山西省中考数学试题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2016·山西） 的相反数是（）
A． B．-6C．6D．
2．（2016·山西）不等式组 的解集是（）
A．x>5B．x<3C．-5<x<3D．x<5
且点B的横坐标为1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数 （k≠0）的图象于
点C，连接BC。
（1）求反比例函 数的表达式。
（2）求△ABC的面积。
20.（本题8分）
随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读
越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多。
某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进
行了随机问卷调查（问卷调查表如右图所示），并将
调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）。
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1补充完整
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是，表示观点B的扇形的圆心角度为度。
（4）假如你是该研究机构的成员，请根据以上调查结果，就 人们如何对待数字化阅读提出建议。
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其
2023年山西临汾中考数学真题及答案
2023年山西临汾中考数学真题及答案第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.计算()()13-⨯-的结果为（）．A.3 B.13 C.3- D.4-2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A.236a a a ⋅= B.()2236a b a b -=- C.632a a a ÷= D.()326a a =4.山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）A.81.46410⨯千瓦时B.8146410⨯千瓦时C.111.46410⨯千瓦时D.121.46410⨯千瓦时5.如图，四边形ABCD 内接于,,O AC BD 为对角线，BD 经过圆心O ．若40BAC ∠︒=，则DBC ∠的度数为（）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒6.一种弹簧秤最大能称不超过10kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm ，每挂重1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度()cm y 与所挂物体的质量()kg x 之间的函数关系式为（）A.120.5y x =-B.120.5y x =+C.100.5y x =+D.0.5y x=7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A.45︒B.50︒C.55︒D.60︒8.已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b<<9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点,A B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角α为60︒．若圆曲线的半径 1.5km OA =，则这段圆曲线 AB 的长为（）．A.km 4πB.km 2πC.3km 4πD.3km 8π10.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点,,P Q M 均为正六边形的顶点．若点,P Q 的坐标分别为()(),0,3--，则点M 的坐标为（）A.()2-B.()2C.(2,-D.(2,--第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.12.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有__________个白色圆片（用含n 的代数式表示）13.如图，在ABCD Y 中，60D ∠=︒．以点B 为圆心，以BA 的长为半径作弧交边BC 于点E ，连接AE ．分别以点,A E 为圆心，以大于12AE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AE 于点O ，交边AD 于点F ，则OF OE 的值为__________．14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．15.如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（1）计算：()21183522-⎛⎫-⨯---+⨯ ⎪⎝⎭；（2）计算：()22(1)4x x x x +++-．17.解方程：131122x x +=--．18.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按442∶∶的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；（2）请你计算小涵的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．19.风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A 部件和2个B 部件的总质量为2.8吨，2个A 部件和3个B 部件的质量相等．（1）求1个A 部件和1个B 部件的质量各是多少；（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？20.2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC 和AB 的长度（结果精确到0.1m ．参考3 1.73≈2 1.41≈）．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A ，B ，C ，D ，E 在同一竖直平面内，AE 与CD 均与地面平行，岸墙AB AE ⊥于点A ，135BCD ∠=︒，60EDC ∠=︒，6m ED =， 1.5m AE =，3.5mCD =计算结果交流展示21.阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD 中，点,,,E F G H 分别是边,,AB BC CD ，DA 的中点，顺次连接,,,E F G H ，得到的四边形EFGH 是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁()16541722Varingnon Pierre ，－是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC ，分别交,EH FG 于点,P Q ，过点D 作DMAC ⊥于点M ，交HG 于点N ．∵,H G 分别为,AD CD 的中点，∴1,2HG AC HG AC =∥．（依据1）∴DN DG NM GC =．∵DG GC =，∴12DN NM DM ==．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE GF ∥，即HP GQ ∥．∵HG AC ∥，即HG PQ ∥，∴四边形HPQG 是平行四边形．（依据2）∴12HPQG S HG MN HG DM =⋅=⋅ ．∵12ADC S AC DM HG DM =⋅=⋅△，∴12HPQG ADC S S = △．同理，…任务：（1）填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形；（要求同时画出四边形ABCD 的对角线）（3）在图1中，分别连接,AC BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线,AC BD 长度的关系，并证明你的结论．22.问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC 和DFE △，其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC ∠=∠时，过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC ∠=∠时，过点A 作AH DE ⊥于点H ，若9,12BC AC ==，求AH 的长．请你思考此问题，直接写出结果．23.如图，二次函数24y x x =-+的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点()1,3B ，与y 轴交于点C ．（1）求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；（2）点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．参考答案第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】A第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）【11题答案】【答案】﹣1【12题答案】【答案】()22n +【13题答案】【14题答案】【答案】16【15题答案】【答案】3三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【16题答案】【答案】（1）1；（2）221x +【17题答案】【答案】32x =【18题答案】【答案】（1）69，69，70（2）82分（3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析【19题答案】【答案】（1）一个A 部件的质量为1.2吨，一个B 部件的质量为0.8吨（2）6套【20题答案】【答案】BC 的长约为1.4m,AB 的长约为4.2m ．【21题答案】【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）答案不唯一，见解析（3）平行四边形EFGH 的周长等于对角线AC 与BD 长度的和，见解析【22题答案】【答案】（1）正方形，见解析（2）①AM BE =，见解析；②275【23题答案】【答案】（1）4y x =-+，点C 的坐标为()0,4（2）①2或3或5172；②25924S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，S 的最大值为94。
山西省中考数学试题及答案
山西省中考数学试题及答案一、选择题1. 小明有5枚同样的硬币，他将这5枚硬币摞在一起。
如果顺序不同，摞硬币的方式共有几种？A. 5种B. 10种C. 20种D. 120种答案：D解析：第一枚硬币有5种摞法，第二枚硬币有4种摞法，第三枚硬币有3种摞法，依次类推，共有5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120种。
2. 一张矩形桌子的长是2.5米，宽是1.8米。
给这张桌子围上一个宽度为0.5米的边框，桌子加上边框的面积是多少平方米？A. 7.5平方米B. 8平方米C. 12平方米D. 14平方米答案：C解析：原桌子的面积为2.5 × 1.8 = 4.5平方米，边框的面积为[(2.5 + 0.5) × (1.8 + 0.5)] - 2.5 × 1.8 = 12平方米，桌子加上边框的面积为4.5 + 12 = 16.5平方米。
3. 两个正整数之和为120，差为50，这两个正整数分别是多少？A. 70和50B. 85和35C. 90和30D. 100和20答案：C解析：假设两个正整数分别为x和y，则有x + y = 120，x - y = 50。
通过解方程组可以得到x = 90，y = 30。
4. 一张纸折叠4次，叠起来后有多少层？A. 4层B. 8层C. 16层D. 32层答案：D解析：每次折叠纸张，层数翻倍。
第一次折叠为2层，第二次折叠为4层，第三次折叠为8层，第四次折叠为16层，共32层。
5. 一套图书原价150元，打折后优惠了30元，打折后的价格是原价的几分之几？A. 8/10B. 2/3C. 3/5D. 5/9答案：C解析：打折后的价格为150 - 30 = 120元，打折后的价格是原价的120/150 = 3/5。
二、填空题1. 计算：(3 - √(5 - 2x))² = 10的解为x = __。
答案：1解析：展开等式，得到9 - 6√(5 - 2x) + 5 - 2x = 10，化简后得到-6√(5 - 2x) - 2x - 6 = 0，进一步求解得到x = 1。
山西省2021年中考[数学卷]考试真题与答案解析
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山西省2021年中考[数学卷]考试真题与答案解析一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑。
1. 计算的结果是（ ）28-+A. -6B. 6C. -10D. 102. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3. 下列运算正确的是（）A. B. ()3263m n m n -=-532m m m -=C. ()2224m m +=+D. ()4312334m m m m-÷=4. 《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷.已知1公顷平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为410=（）A. 平方米B. 平方米477.1410⨯77.71410⨯C. 平方米D. 平方米877.1410⨯97.71410⨯5. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）6y x=A. 图象位于第一，第三象限B. 图象必经过点34,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 图象不可能与坐标轴相交D. 随的增大而减小y x 6. 每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）星期一二三四五六日收入（点）15212727213021A. 27点，21点B. 21点，27点C. 21点，21点D. 24点，21点7. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点O AB O A OB O C A //AD OB O ，连接.若，则为（）D CD 50B ∠=︒OCD ∠A. B. C. D. 15︒20︒25︒30︒8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A. 统计思想B. 分类思想C. 数形结合思想D. 函数思想9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接ABCDEF A AC EC，，则图中阴影部分的面积为（ ）AC AEA. B. C.D.2π4π10. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平()2321y x =-+x y 移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A. B. C. D. ()2313y x =++()2353y x =-+()2351y x =--()2311y x =+-二、填空题11. __________.=12. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点A B ()2,2-()3,0-的坐标为__________.C13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交ABCD AC BD O 8BD =6AC =//OE AB 于点，则的长为__________.BC E OE14. 太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通.如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯的坡度（为铅直高度与水平宽度的比）.王老师AB 5:12i =i乘扶梯从扶梯底端以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度A B 为__________米.BC15. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，ABC △D AB 3AD BD =CD CD E连接，若，且的长为__________.BE 45ACD BED ∠=∠=︒CD =AB三、解答题16.（1）计算：.()()24311822⎛⎫-⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.2132132x x -->-解：………………………………第一步()()2213326x x ->--……………………………………………第二步42966x x ->--…………………………………………第三步49662x x ->--+……………………………………………………第四步510x ->-…………………………………………………………第五步2x >任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________________（运算律）进行变形的；②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________________；任务二：请直接写出该不等式的正确解集.解：__________.17.2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.18.太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此53到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间.19.近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为，，，）.为了解同学们A B C D 参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）.请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为__________人，统计表中的百分比为__________；C m （2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；C （4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为，，，），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求C X QD 进行诗词讲解.请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.20.阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可9325F C =+10C =50F =以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来12111R R R =+R画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻120︒度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性.任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当，时，的值为多少；12111R R R =+17.5R =25R =R ②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所AOB △120AOB ∠=︒OC AOB △7.5OA =5OB =学的几何知识求线段的长.OC 21.某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌.某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且100cm AB =80cm BC =120ABC ∠=︒75BCD ∠=︒DEFG .请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到.参考数据：5cm DE =A EF 0.1cm ，，）.sin750.97︒≈cos 750.26︒≈tan 75 3.73︒≈ 1.41≈22.综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为ABCD BE AD ⊥，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；E F CD EF BF EF BF 独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线ABCD BF F CD 折叠，如图②，点的对应点为连接并延长交于点，请判断与的数量关C 'C 'DC AB G AG BG 系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点的对应ABCD B A 点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点.该小组提出一'A 'A B CD ⊥H AD M 'A M CD N个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形ABCD 5AB =BC =）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.BHNM23.综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，21262y x x =+-x A B A B y C 连接，.AC BC（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；A B C AC BC （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点.P AC P BC l AC D ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存l E D C B E 在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；E ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点.当时，请直接写l M AC N DMN AOC S S =△△出的长.DM答案解析一、选择题1-5：BBADD 6-10：CBCAC二、填空题11. 12.13.14.15. ()2,3-5210013三、解答题16.（1）解：原式.（2）①乘法分配律（或分配律）118(8)4=⨯+-⨯()826=+-=②五 不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）2x <17. 解：设这个最小数为.根据题意，得.x ()865x x +=解，得，（不符合题意，舍去）.答：这个最小数为5.15x =213x =-18. 解：设走路线一到达太原机场需要分钟.x 根据题意，得.5253037x x ⨯=-解，得.25x =经检验，是原方程的解.25x =答：走路线一到达太原机场需要25分钟.19.（1）120 50%（2）（3）解：不可行.理由：答案不唯一，如：由统计表可知，.即有意向参与比赛的人数70%30%50%20%1+++>占调查总人数的百分比之和大于1；或，即有意向参与类与类的人数之和大8460120+>A C 于总人数120等.（4）解：列表如下：乙甲CXQDC(),C C (),C X (),C Q (),C D X(),X C (),X X (),X Q (),X D Q (),Q C (),Q X (),Q Q (),Q D D(),D C (),D X (),D Q (),D D 或画树状图如下：由列表（或画树状图）可知，总共有16种结果，每种结果出现的可能性都相同.其中甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种.所以，.()41164P ==抽到的题目在同一组20.（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等.（2）①解：当，时，.17.5R =25R =12111117.5517.557.553R R R +=+=+==⨯∴.3R =②解：过点作，交的延长线于点.A //AM CO BO M ∵平分，∴.OC AOB ∠11121206022AOB ∠=∠=∠=⨯︒=︒∵，∴，.//AM CO 3260∠=∠=︒160M ∠=∠=︒∴，∴.360M ∠=∠=︒OA OM =∴为等边三角形，∴.OAM △7.5OM AM OA ===∵，，∴.B B ∠=∠1M ∠=∠BCO BAM △△∴，∴，∴.OC BO MA BM =57.557.5OC =+3OC =21. 解：过点作于点，交直线于点.过点作于点，A AH EF ⊥H DG M B BN DG ⊥N BP AH ⊥于点.则四边形和四边形均为矩形，P BNMP DEHM ∴，，∴.PM BN =5cm MH DE ==//BP DG ∴.75CBP BCD ∠=∠=︒∴.1207545ABP ABC CBP ∠=∠-∠=︒-︒=︒在中，，，∴.Rt ABP △90APB ∠=︒sin 45AP AB ︒=sin 45100AP AB =⋅︒==在中，，，Rt BCN △90BNC ∠=︒sin 75BN BC ︒=∴.∴.sin 75800.9777.6BN BC =⋅︒≈⨯=77.6PM BN ==∴.77.6550 1.4177.65153.1AH AP PM MH =++=+≈⨯++=答：指示牌最高点到地面的距离为.A EF 153.1cm 22. 解：（1）.EF BF =证法一：如图①，分别延长，相交于点.AD BF M ∵四边形是平行四边形，∴.ABCD //AD BC ∴，.2C ∠=∠1M ∠=∠∵为的中点，∴，∴.F CD DF CF =MDF BCF ≅△△∴.即为的中点，∴.FM FB =F BM 12BF BM =∵，∴，∴在中，.BE AD ⊥90BEM ∠=︒Rt BEM △12EF BM =∴.EF BF =证法二：如图①，过点作于点，F FM EB ⊥M 则.∵，∴.∴，∴.90EMF ∠=︒BE AD ⊥90AEB ∠=︒AEB EMF ∠=∠//AD FM ∵四边形是平行四边形，∴.∴.∴.ABCD //AD BC ////AD FM BC EM DF MB FC=∵为的中点，∴，∴.F CD DF FC =EM MB =∵，∴垂直平分，∴.FM EB ⊥FM EB EF BF =（2）.AG BG =证法一：如图②，由折叠可知：，.112'2CFC ∠=∠=∠'FC FC =∵为的中点，∴.∴.F CD 12FC FD CD =='FC FD =∴.∵，∴.∴.∴.34∠=∠'34CFC ∠=∠+∠14'2CFC ∠=∠41∠=∠//DG FB ∵四边形为平行四边形，∴，ABCD //DC AB ∴四边形为平行四边形.∴，∴，∴.DGBF BG DF =12BG AB =AG BG =证法二：连接交于.由折叠可知：，.∴.'CC FB N 'FC FC ='CC FB ⊥'90C NB ∠=︒∵为的中点，∴.∴.F CD 12FC FD CD =='FC FD =∴.∵.∴.12∠=∠'FC FC =''FC C FCC ∠=∠在中，，'DC C △1''180DC C DCC ∠+∠+∠=︒∴.∴.12''180FC C FCC ∠+∠=∠+∠=︒222'180FC C ∠+∠=︒∴，∴.2'90FC C ∠+∠=︒'90DC C ∠=︒∴.∴.''DC C C NB ∠=∠//DG FC ∵四边形是平行四边形，∴.ABCD //DC AB ∴四边形是平行四边形，DGBF ∴.∴.∴.BG FD =12BG AB =AG BG =（3）.22323. 解：（1）当时，，解，得，.0y =212602x x +-=16x =-22x =∵点在点的左侧，∴点的坐标为.A B A ()6,0-点的坐标为.当时，.∴点的坐标为.B ()2,00x =6y =-C ()0,6-直线的函数表达式为：.直线的函数表达式为：.AC 6y x =--BC 36y x =-（2）存在.设点的坐标为，其中.D (),6m m --60m -<<∵点，点的坐标分别为，.B C ()2,0()0,6-∴，，.222(2)(6)BD m m =-++2222640BC =+=22222DC m m m =+=∵，//DE BC ∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形.DE BC =D C B E ①如图①，当时，是菱形，BD BC =BDEC ∴.()()222640m m -++=解，得，（舍去）.∴点的坐标为.14m =-20m =D ()4,2--∴点的坐标为.E ()6,8--②如图②，当时，是菱形.∴.CD CB =CBED 2240m =解，得，（舍去），∴点的坐标为.1m =-2m =D ()6--∴点的坐标为.E (2-综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为E D B C E E ()6,8--或.(2-（3）.。
2021年山西省中考数学试题及参考答案(word解析版)
2021年山西省中考数学试题及参考答案(word解析版)2021年山西省中考数学试题及参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面有理数比较大小，正确的是（） A．0＜��2B．��5＜3C．��2＜��3 D．1＜��42．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）A． B． C． D．《九章算术》《几何原本》《海岛算经》《周髀算经》 3．下列运算正确的是（）?b2?b6326222236A．（��a）=��a B．2a+3a=6a C．2a?a=2a D．?????38a?2a?4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2��2x=0 B．x2+4x��1=0 C．2x2��4x+3=0 D．3x2=5x��25．近年来快递业发展迅速，下表是2021年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）：太原市 3303.78 A．319.79万件大同市 332.68 长治市 302.34 晋中市 319.79 运城市 725.86 临汾市 416.01 吕梁市 338.87 31～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（）B．332.68万件C．338.87万件D．416.01万件6．黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（）A．6.06×104立方米/时 B．3.136×106立方米/时 C．3.636×106立方米/时D．36.36×105立方米/时7．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（） A．4211 B． C． D． 999318．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．12 B．6 C．62 D．63 9．用配方法将二次函数y=x2��8x��9化为y=a（x��h）2+k的形式为（） A．y=（x��4）2+7B．y=（x��4）2��25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2��2510．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π��4B．4π��8C．8π��4D．8π��8二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算：32?132?1? ．12．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．???? 13．2021年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．214．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于1CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，2∠ABP=60°，则线段AF的长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG 的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．计算：（1）22��|��4|+31×6+20．��??2x?2x2?11?2?（2）． x?1x?4x?4x?217．如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2?k2，D（2，4）． ?k2?0?的图象相交于点C（��4，��2）x（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）当x为何值时，y1＞0；（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．318．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请解答下列问题：（1）请补全条形统计图和扇形统计图；（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？19．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目课题测量示意图内容测量斜拉索顶端到桥面的距离说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据… ∠A的度数38° ∠B的度数28° … AB的长度 234米（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，4cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．20．2021年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南��北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的4（两列车中途停留时间均除5外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．21．请阅读下列材料，并完成相应的任务：在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．则有AX=BY=XY．下面是该结论的部分证明：证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．∴同理可得．．∴．∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ． 5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
山西省2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
山西省2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）)的结果是（）1.计算(−6)÷(−13A. −18B. 2C. 18D. −2【答案】C【考点】有理数的除法）=（-6）×（-3）=18．【解析】【解答】解：（-6）÷（- 13故答案为：C．【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．2.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故答案为：D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．3.下列运算正确的是（）A. 3a+2a=5a2B. −8a2÷4a=2aC. (−2a2)3=−8a6D. 4a3⋅3a2=12a6【答案】C【考点】单项式乘单项式，单项式除以单项式，合并同类项法则及应用，积的乘方【解析】【解答】解：A. 3a+2a=5a，故A选项不符合题意；B. −8a2÷4a=−2a，故B选项不符合题意；C. (−2a2)3=−8a6，故C选项符合题意；D. 4a3⋅3a2=12a5，故D选项不符合题意．故答案为C．【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．4.下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】A、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；B、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意；C、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；D、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；故答案为：B．【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．5.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
2021年山西省中考数学试卷及答案解析
2021年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）（2021•山西）计算﹣2+8的结果是（）A．﹣6B．6C．﹣10D．102．（3分）（2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2021•山西）下列运算正确的是（）A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3B．m5﹣m3＝m2C．（m+2）2＝m2+4D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m34．（3分）（2021•山西）《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷＝104平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（）A．77.14×104平方米B．7.714×107平方米C．77.14×108平方米D．7.714×109平方米5．（3分）（2021•山西）已知反比例函数y=6 ，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，32）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小6．（3分）（2021•山西）每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（）星期一二三四五六日收入（点）15212727213021A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点7．（3分）（2021•山西）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．（3分）（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想9．（3分）（2021•山西）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半 ，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）径画弧，得A．2πB．4πC．33 D．23310．（3分）（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y＝3（x+1）2+3B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1D．y＝3（x+1）2﹣1二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）（2021•山西）计算：12+27=．12．（3分）（2021•山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为．13．（3分）（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．14．（3分）（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．15．（3分）（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝62，则AB的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（2021•山西）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（12）2．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2 −13＞3 −22−1．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步﹣5x＞﹣10……第四步x＞2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．17．（6分）（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．18．（7分）（2021•山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．19．（10分）（2021•山西）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打“√”，非常感谢您的合作．A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比m为；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．20．（8分）（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F=95C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式1 =1 1+1 2求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1 =1 1+1 2计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．21．（8分）（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD ＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，2≈1.41）．22．（13分）（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG 与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝25，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．23．（13分）（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y=12x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．2021年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）（2021•山西）计算﹣2+8的结果是（）A．﹣6B．6C．﹣10D．10【分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．【解答】解：﹣2+8＝+（8﹣2）＝6．故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键．2．（3分）（2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）（2021•山西）下列运算正确的是（）A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3B．m5﹣m3＝m2C．（m+2）2＝m2+4D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m3【分析】根据各个选项中的式子，可以写出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故选项A正确；m5﹣m3不能合并为一项，故选项B错误；（m+2）2＝m2+4m+4，故选项C错误；（12m4﹣3m）÷3m＝4m3﹣1，故选项D错误；故选：A．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．4．（3分）（2021•山西）《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷＝104平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（）A．77.14×104平方米B．7.714×107平方米C．77.14×108平方米D．7.714×109平方米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：77.14万公顷＝7714000000平方米＝7.714×109平方米，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2021•山西）已知反比例函数y=6 ，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，32）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．【解答】解：A．∵k＝6＞0，∴图象位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意；B．∵4×32=6＝k，∴图象必经过点（4，32），故B正确，不符合题意；C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；D．∵k＝6＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．（3分）（2021•山西）每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（）星期一二三四五六日收入（点）15212727213021A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点【分析】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，中间位置的数是21，出现次数最多的数是21，从而得出答案．【解答】解：将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数为21，众数为21，故选：C．【点评】本题考查了中位数和众数的概念，注意求中位数的时候首先要排序．7．（3分）（2021•山西）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠AOB ＝40°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【解答】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADC=12∠AOB＝20°，∵AD∥OB，∴∠OCD＝∠ADC＝20°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．（3分）（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．9．（3分）（2021•山西）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半 ，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）径画弧，得A．2πB．4πC．33 D．233【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=3，得到AC＝23，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF=(6−2)×180°=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH=12AB=12×2＝1，在Rt△ABH中，AH= 2− 2=22−12=3，∴AC＝23，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，==2π，∴S扇形CAE∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．（3分）（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y＝3（x+1）2+3B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1D．y＝3（x+1）2﹣1【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）（2021•山西）计算：12+27【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝23+33=53；故答案为：53．【点评】本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．12．（3分）（2021•山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（2，﹣3）．【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），∴得出坐标轴如下图所示位置：∴点C的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．13．（3分）（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为52．【分析】由菱形的性质可得：AO＝3，BO＝4，AC⊥BD，借助勾股定理求出AB＝5，再证明OE是△ABC的中位线即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC=12 =3，OB=12 =4，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴ =12 ，在Rt△ABO中，由勾股定理得：=32+42=5，∴OE=52．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．14．（3分）（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为10013米．【分析】由坡度的定义，可设BC＝5a米，则AC＝12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12= ，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a=2013（负值已舍去），∴BC=10013（米），故答案为：10013．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．15．（3分）（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝62，则AB的长为【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF=32a，EF∥AC，DE＝32，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE=2DG＝32，DH∥EF，通过证明△BDH∽△BFE，可得 = ，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝62，∴DF=32a，EF∥AC，DE＝32，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE=2DG＝32，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴ = ，∴ 32 = 3，∴BH＝2，∴BD= 2+ 2=4+9=13，∴AB＝413，故答案为：413．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（2021•山西）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（12）2．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2 −13＞3 −22−1．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步﹣5x＞﹣10……第四步x＞2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是化系数为1用到性质3，即可能变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；（2）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．【解答】解：（1）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（12）2＝1×8﹣8×14＝8﹣2＝6；（2）2 −13＞3 −22−1，2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步，4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步，4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步，﹣5x＞﹣10……第四步，x＞2……第五步，任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是化系数为1用到性质3，即可能变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；任务二：该不等式的正确解集是x＜2．故答案为：乘法分配律；五，化系数为1用到性质3，即可能变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；x＜2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．17．（6分）（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），依题意得：x（x+8）＝65，整理得：x2+8x﹣65＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（7分）（2021•山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【分析】根据题意列出等量关系式：路线一的平均速度×53═路线二的平均速度，再根据等量关系式列出方程，求解检验即可．【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得53×25 =30 −7．解得x═25．经检验，x═25是原方程的解且符合实际．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点评】本题考查了分式方程的应用，求解应用题一般步骤：先依据题意列出等量关系式；再根据等量关系式设未知数；最后列出方程并求解检验．19．（10分）（2021•山西）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打“√”，非常感谢您的合作．A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为120人，统计表中C的百分比m为50%；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．【分析】（1）由D类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，即可解决问题；（2）求出B类的人数，补全统计图即可；（3）由表中数据即可得出结论；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为：24÷20%＝120（人），则m＝60÷120×100%＝50%，故答案为：120，50%；（2）B类的人数为：120×30%＝36（人），补全统计图如下：。
2021年山西省中考数学试题及参考答案(word解析版)
山西省2021年高中阶段教育学校招生统一考试数学（满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．计算﹣2+8的结果是（）A．﹣6 B．6 C．﹣10 D．102．为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3B．m5﹣m3＝m2C．（m+2）2＝m2+4 D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m34．《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷＝104平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（）A．77.14×104平方米B．7.714×107平方米C．77.14×108平方米D．7.714×109平方米5．已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小6．每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（）星期一二三四五六日收入（点）15 21 27 27 21 30 21A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2π B．4π C．D．10．抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算：+＝．12．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．14．太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．15．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步﹣5x＞﹣10……第四步x＞2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．17．（6分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．18．（7分）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．19．（10分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打“√”，非常感谢您的合作．A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比m为；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．21．（8分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．22．（13分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．23．（13分）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．参考答案与解析第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．计算﹣2+8的结果是（）A．﹣6 B．6 C．﹣10 D．10【知识考点】有理数的加法．【思路分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．【解题过程】解：﹣2+8＝+（8﹣2）＝6．故选：B．【总结归纳】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键．2．为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解题过程】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【总结归纳】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．下列运算正确的是（）A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3B．m5﹣m3＝m2C．（m+2）2＝m2+4 D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m3【知识考点】整式的混合运算．【思路分析】根据各个选项中的式子，可以写出正确的结果，从而可以解答本题．【解题过程】解：（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故选项A正确；m5﹣m3不能合并为一项，故选项B错误；（m+2）2＝m2+4m+4，故选项C错误；（12m4﹣3m）÷3m＝4m3﹣1，故选项D错误；故选：A．【总结归纳】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．4．《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷＝104平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（）A．77.14×104平方米B．7.714×107平方米C．77.14×108平方米D．7.714×109平方米【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解题过程】解：77.14万公顷＝7714000000平方米＝7.714×109平方米，故选：D．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小【知识考点】反比例函数的性质．【思路分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．【解题过程】解：A．∵k＝6＞0，∴图象位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意；B．∵4×＝6＝k，∴图象必经过点（4，），故B正确，不符合题意；C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；D．∵k＝6＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意．故选：D．【总结归纳】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（）星期一二三四五六日收入（点）15 21 27 27 21 30 21A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点【知识考点】中位数；众数．【思路分析】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，中间位置的数是21，出现次数最多的数是21，从而得出答案．【解题过程】解：将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数为21，众数为21，故选：C．【总结归纳】本题考查了中位数和众数的概念，注意求中位数的时候首先要排序．7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【知识考点】圆周角定理；切线的性质．【思路分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠AOB ＝40°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【解题过程】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADC＝∠AOB＝20°，∵AD∥OB，∴∠OCD＝∠ADC＝20°．故选：B．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【知识考点】勾股定理的证明．【思路分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解题过程】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【总结归纳】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2π B．4π C．D．【知识考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【思路分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．【解题过程】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE＝＝2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A．【总结归纳】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1【知识考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．【思路分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解题过程】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算：+＝．【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解题过程】解：原式＝2+3＝；故答案为：5．【总结归纳】本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．12．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为．【知识考点】坐标确定位置．【思路分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．【解题过程】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），∴得出坐标轴如下图所示位置：∴点C的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【总结归纳】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．【知识考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质．【思路分析】由菱形的性质可得：AO＝3，BO＝4，AC⊥BD，借助勾股定理求出AB＝5，再证明OE是△ABC的中位线即可求解．【解题过程】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝．【总结归纳】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．14．太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．【知识考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【思路分析】由坡度的定义，可设BC＝5a米，则AC＝12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．【解题过程】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（负值已舍去），∴BC＝（米），故答案为：．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．15．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．【知识考点】角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△BFE，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解题过程】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步﹣5x＞﹣10……第四步x＞2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．【知识考点】有理数的混合运算；解一元一次不等式．【思路分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；（2）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．【解题过程】解：（1）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2＝1×8﹣8×＝8﹣2＝6；（2），2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步，4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步，4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步，﹣5x＞﹣10……第四步，x＞2……第五步，任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；任务二：该不等式的正确解集是x＜2．故答案为：乘法分配律；五，不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；x＜2．【总结归纳】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．17．（6分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【知识考点】一元二次方程的应用．【思路分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解题过程】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），依题意得：x（x+8）＝65，整理得：x2+8x﹣65＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（7分）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】根据题意列出等量关系式：路线一的平均速度×═路线二的平均速度，再根据等量关系式列出方程，求解检验即可．【解题过程】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得．解得x═25．经检验，x═25是原方程的解且符合实际．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，求解应用题一般步骤：先依据题意列出等量关系式；再根据等量关系式设未知数；最后列出方程并求解检验．19．（10分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打“√”，非常感谢您的合作．A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比m为；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．【知识考点】调查收集数据的过程与方法；统计表；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）由D类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，即可解决问题；（2）求出B类的人数，补全统计图即可；（3）由表中数据即可得出结论；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解题过程】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为：24÷20%＝120（人），则m＝60÷120×100%＝50%，故答案为：120，50%；（2）B类的人数为：120×30%＝36（人），补全统计图如下：（3）不可行，理由如下：由统计表可知，70%+30%+50%+20%＞1，即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于1，所以不可行；（4）画树状图如图：共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，∴甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率为＝．【总结归纳】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和统计表．21．（8分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．。
山西中考数学试题及解析
2018年山西省初中毕业、升学考试数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（2018山西省，1题，3分）下面有理数比较大小，正确的是（）．A．0<-2 B．-5<3 C．-2<-3 D．1<-4【答案】B【解析】解：正数大于0，0大于负数-5<3【知识点】有理数大小比较2．（2018山西省，2题，3分）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果。
下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是( )A．《九章算术》B．《几何原本》C．《海岛算经》D．《周髀算经》【答案】B【解析】A．《九章算术》C．《海岛算经》D．《周髀算经》都是我国古代数学著作【知识点】数学历史3．（2018山西省，3题，3分）下列运算正确的是（）A．(−a3)2=−a6B．2a2+3a2=6a2C．2a2∙a3=2a6D．(−b22a )3=−b68a3【答案】D【解析】解：(−a3)2=a6所以A选项错误2a2+3a2=5a2所以B选项错误2a2∙a3=2a5所以C选项错误【知识点】幂的运算、代数式的运算4．（2018山西省，4题，3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2−2x=0B．x2+4x−1=0C．2x2−4x+3=0D．3x2=5x−2【答案】C【解析】解：A选项：b2−4ac=4>0所以方程有两个不等的实数根B选项：b2−4ac=42−4×1×(−1)>0所以方程有两个不等的实数根C选项：b2−4ac=42−4×2×3<0所以方程无实数根D选项：整理为一般式3x2−5x+2=0b2−4ac=52−4×3×2>0所以方程有两个不等的实数根【知识点】根的判别式5．（2018山西省，5题，3分）近年来快递业发展迅速，下表是2018年1~3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果(单位：万件)1~3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是A．319.79万件B．332.68万件C．338.87万件D．416.01万件【答案】C【解析】解：第一步：排序302.34 319.79 332.68 338.87 416.01 725.86 3303.78 第二步：中间的一个数为338.87所以：中位数为338.87【知识点】中位数 6．（2018山西省，6题，3分） 黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒。
2021年山西中考数学解析
2021年山西中考数学试卷解析第一卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.计算28-+的结果是（ ）A.6-B.6C.10-D.10 【考点】有理数运算 【难度星级】★ 【答案】B【解析】28826-+=-=2.为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【考点】中心对称图形 【难度星级】★ 【答案】B【解析】A 选项既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；C 、D 选项不是中心对称图形 3.下列运算正确的是（ ）A.()3263m n m n -=- B.532m m m -= C.()2224m m +=+ D.()4312334m m m m -÷=【考点】整式运算 【难度星级】★ 【答案】A【解析】B 选项中5m 和3m 不是同类项，无法合并；C 选项中()22244m m m +=++；D 选项中()43123341m m m m -÷=-4.《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷.已知1公顷=410平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（ ）A.477.1410⨯平方米B.77.71410⨯平方米C.877.1410⨯平方米D.97.71410⨯平方米 【考点】科学记数法 【难度星级】★ 【答案】D【解析】科学记数法10n a ⨯中的a 满足110a ≤<，注意单位换算5.已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A.图象位于第一、第三象限 B.图象必经过点（4，32） C.图象不可能与坐标轴相交 D.y 随x 的增大而减小 【考点】反比例函数 【难度星级】★ 【答案】D【解析】双曲线的每一支都是y 随x 的增大而减小，但整个图象并不是y 随x 的增大而减小6.每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A.27点，21点B.21点，27点C.21点，21点D.24点，21点 【考点】数据分析 【难度星级】★ 【答案】C【解析】对数据进行排序如下：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数是21，众数是217.如图，在O 中，AB 切O 于点A ，连接OB 交O 于点C ，过点A 作AD//OB 交O 于点D ，连接CD.若50B ∠=︒，则OCD ∠为（ ）A.15︒B.20︒C.25︒D.30︒ 【考点】圆中倒角【难度星级】★ 【答案】B【解析】连接OA ，则90OAB ∠=︒，易得40AOB ∠=︒，1202ADC AOB ∴∠=∠=︒； AD//OB ，20OCD ADC ∴∠=∠=︒8.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或 验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的 许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想 【考点】数学思想 【难度星级】★ 【答案】C9.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 EC，连接AC 、AE ，则图中 阴影部分的面积为（ ）A.2πB.4πC.3D. 3【考点】圆中面积计算 【难度星级】★ 【答案】A【解析】正六边形的每个内角为120︒，易得60EAC ∠=︒；在等腰AEF 中，AE ==，则图中阴影部分的面积为(2126S ππ=⨯=10.抛物线的函数表达式为()2321y x =-+，若将x 轴向上平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度， 则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）A.()2313y x =++ B. ()2353y x =-+ C. ()2351y x =-- D. ()2311y x =+-【考点】二次函数图象变换【难度星级】★【答案】C 【解析】原题等价的一种说法是“在原坐标系中，抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”，水平方向平移，对x 左加右减，竖直方向平移，对解析式上加下减，所以新抛物线表达式为()()2233212351y x x =--+-=--.第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11._______+= 【考点】二次根式运算 【难度星级】★【答案】【解析】原式=+=12.如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中， 表示叶片“顶部”A ，B 两点的坐标分别为()2,2-，()3,0-，则叶杆“底部”点C 的坐标为_________【考点】平面直角坐标系 【难度星级】★ 【答案】()2,3-【解析】由题意易知，每个格代表一个单位长度，将点B 向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度，可得到点C ，横坐标左减右加，纵坐标上加下减，则点C 的坐标为()2,3-13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，AC=6，OE//AB，交BC于点E，则OE的长为________【考点】菱形的性质和中位线【难度星级】★【答案】5 2【解析】菱形ABCD，AC BD⊥，3OA=，4OB=，5AB∴=；O为AC中点，且OE//AB，OE∴为ABC的中位线，1522 OE AB==14.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通.如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度5:12i=（i为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为______米【考点】勾股定理应用【难度星级】★【答案】100 13【解析】由勾股定理易知513BCAB=，AB=0.5⨯40=20米，51001313BC AB∴==米15.如图，在ABC中，点D是AB边上的一点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若45ACD BED∠=∠=︒，且CD=AB的长为________【考点】“A字”和“8字”的构造【难度星级】★★【答案】【解析】延长BE 交AC 于点P ，作DQ BE ⊥，垂足为Q ，如下图所示45ECP CEP ∠=∠=︒ ，90CPE ∴∠=︒，90CPE DQE ∴∠=∠=︒，∴DQ//ACCPE DQE ∴ ∽，BDQ BAP ∽CPE DQE ∽，11PE QE ∴= BDQ BAP ∽，13BQ QP ∴= 121.53BQ QE ∴==易得3,2,ED EQ DQ BQ BD =====4AB BD ∴==三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：4321(1)|8|(2)().2-⨯-+-⨯（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成响应任务. 2132132x x -->- 解：2(21)3(32)6x x ->--·············第一步42966x x ->--···············第二步 49662x x ->--+··············第三步 510x ->-···················第四步 2x >·····················第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 进行变形的； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集. 【考点】实数综合运算与不等式 【难度星级】★ 【答案】见解析 【解析】（1）解：原式1=18+(8)4⨯-⨯=8+(2)-=6（2）任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（或分配律）（运算律）进行变形的；···（7分）②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；·········································································（9分）任务二：请直接写出该不等式的正确解集.解：x <2············································································（10分）17.（本题6分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).【考点】一元二次方程的应用 【难度星级】★ 【答案】见解析 【解析】解：设这个最小数为x ·········································（1分） 根据题意，得(8)65x x +=······································（3分） 解得125,13x x ==- （不符合题意，舍去）························（5分） 答:这个最小数为5.············································（6分）18.（本题7分）太原武宿国际机场简称"太原机场"，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间.【考点】分式方程的应用 【难度星级】★ 【答案】见解析 【解析】解：设走路线一到达太原机场需要x 分钟.···························（1分） 根据题意，得5253037x x ⨯=-·······································（4分）解得25x =·····················································（5分） 经检验，25x =是原方程的解·····································（6分） 答：走路线一到达太原机场需要25分钟····························（7分） 19.（本题10分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A ，B ，C ，D ).为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查 （调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）. 请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为 人，统计表中C 的百分比m 为 ； （2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C 类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目(依次记为C ，X ，Q ，D )，由电脑随机给每位参赛选手派发一组.选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率. 【考点】统计与概率 【难度星级】★ 【答案】见解析【解析】（1）120； 50% ；……………………(2分) （2）请补全统计图；…………………………………(3分)（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C 类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；解：不可行.…………………………………………(4分) 理由：答案不唯一.如：由统计表可知70%+30%+50%+20%>1.即有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于1；或84+60>120，即有意向参与A 类与C 类的人数之和大于总人数120等.…………(5分) （4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目(依次记为C ，X ，Q ，D )，由电脑随机给每位参赛选手派发一组.选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.解：列表如下：或画树状图如下：由列表（或画树状图）可知，总共有16种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种. 所以，41==.164P （抽到的题目在同一组）20.（本题8分）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：9325F C =+得出，当C =10时，F =50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案.这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式12111R R R =+求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性.任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式12111R R R =+计算：当127.55R R ==，时，R 的值为多少； ②如图，在AOB 中，=120AOB ︒∠，OC 是AOB 的角分线，7.55OA OB ==，，用你所学的几何知识求线段OC 的长.【考点】阅读材料新题型【难度星级】★★【答案】见解析【解析】（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；解：答案不唯一，如：图算法更方便，直观；或不用公式计算即可得出结果等.················（2分）（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式12111R R R =+计算：当127.55R R ==，时，R 的值为多少； 解：当127.55R R ==，时，12111117.5+51=+==.7.557.553R R R =+⨯·································（3分） 所以=3R .············································································（4分）②如图，在AOB 中，=120AOB ︒∠，OC 是AOB 的角分线，7.55OA OB ==，，用你所学的几何知识求线段OC 的长.解：过点A 作AM//CO ，交BO 的延长线于点M.········（5分） 11260.23260160.360.OC AOB AOB AM CO M M OA OM ∠∴∠=∠=∠=︒∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴= 平分，∥，，， .OAM ∴ 为等边三角形······························（6分） 7.5.1.OM AM OA B B M BCO BAM ∴===∠=∠∠=∠∴~ ，， .OC BOMA BM ∴=······································（7分） 5.7.557.5OC ∴=+ 3.OC ∴=········································（8分）21. （本题8分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌.某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得100cm AB =， 80cm BC =， 120ABC ∠=︒， 75BCD ∠=︒，四边形DEFG 为矩形，且DE =5cm .请帮助该小组求出指示牌最高点A 到地面EF 的距离(结果精确到0.1cm .参考数据：sin 750.97︒≈， cos750.26︒≈， tan 75 3.73︒≈，1.41≈).【考点】锐角三角函数的应用 【难度星级】★★ 【答案】153.1cm 【解析】解：过点A 作AH EF ⊥于点H ，交直线DG 于点M .过点B 作BN DG ⊥于点N ，BP AH ⊥于点P .则四边形BNMP 和四边形DEHM 均为矩形.······································（2分）5cm,.PM BN MH DE BP DG ∴===∴，∥75.CBP BCD ∴∠=∠=︒···············································（3分） 1207545ABP ABC CBP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.······························（4分）90sin 45.APRt ABP APB AB∠=︒︒= 在中，，sin 451002AP AB ∴=︒=⨯= ·····································（5分） 90sin 75.BNRt BCN BNC BC∠=︒︒= 在中，，sin 75800.9777.6.BN BC ∴=︒≈⨯= ·······································（6分） 77.6.PM BN ∴==77.6550 1.4177.65153.1.AH AP PM MH ∴=++=+≈⨯++=············（7分）答：指示牌最高点A 到地面EF 的距离为153.1cm . 22.（本题13分）综合与实践问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为C '，连接DC '并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点A '，使A B CD '⊥于点M ，连接A M '，交CD 于点N .该小组提出一个向题：若此ABCD 的面积为20，边长5AB =，BC =，求图中阴影部分（四边形BHNM )的面积.请你思考此问题，直接写出结果.图①图②图③【考点】几何折叠综合 【难度星级】★★★ 【答案】见解析 【解析】（1）EF BF =·······································（1分）证明：如右图，分别延长AD ，BF 相交于点M ·······································（2分）四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴∥2C ∴∠=∠，1M ∠=∠F 为CD 中点，DF CF ∴=MDF MCF ∴∆≅∆·······································（3分）FM FB ∴=，即F 为BM 的中点12BF BM ∴=BE AD ⊥ ，90BEM ∴∠=︒ Rt BEM ∴∆中，12EF BM =·······································（4分） ∴EF BF =·······································（5分）（2）AG BG =证明：如右图，连接CC '交FB 于N 由折叠可知：FC CF '=，CC FB '⊥90C NB '∴∠=︒·······································（7分）F 为CD 中点，12DF CF CD ∴==，FC FD '∴=12∴∠=∠FC CF '= ，FC C FCC ''∴∠=∠在DC C '∆中，1180DC C DCC ''∠+∠+∠=︒ 12180FC C FCC ''∴∠+∠+∠+∠=︒ 222180FC C '∴∠+∠=︒290FC C '∴∠+∠=︒，90DC C '∴∠=︒=90DC C C NB ''∴∠=∠︒，DG FB ∴∥·······································（8分）四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，=DC AB ∴四边形DGBF 是平行四边形，BG FD ∴= 12BG AB ∴=AG BG ∴= ·······································（10分）（3）如右图，过点M 作MG ⊥AB 于点G∵ABCD S BH CD =⋅ ，即205BH =⨯，∴4BH = 在Rt BHC ∆中：2CH == 由折叠知：5A B AB '==，A A C '∠=∠=∠ 易知：A HN CHB '∆∆ HN A H BH CH '∴=，即142HN = ∴2HN = ∴11212A HN S '∆=⨯⨯= 易知：AGM CHB ∆∆ ∴2MG BHAG CH== 设AG a =，则2MG a =由折叠知：1452A BM ABM ABA ''∠=∠=∠=︒在Rt BGM ∆中：2BG MG a == 3AB AG BG a ∴=+= 35a ∴=，53a ∴=∴1023MG a ==∴11102552233A BM ABM S S AB MG '∆∆==⋅⋅=⨯⨯= 2522133BMNH A BM A HN S S S ''∆∆∴=-=-= ·······································（13分）A23.(本题13分)综合与探究 如图，抛物线2126y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .2（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D .①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N .当DMN AOC S S ∆∆=时，请直接写出DM 的长.【考点】二次函数综合 【难度星级】★★★ 【答案】见解析 【解析】（1）当0y =时，212602x x +-=，解得16x =-，22x =∵点A 在点B 的左侧，∴ 点A 的坐标为()60-，，点B 的坐标为()20，·······································（2分） 当0x =时，6y =-∴点C 的坐标为()06-，·······································（3分）直线AC 的函数表达式为6y x =--·······································（4分） 直线BC 的函数表达式为36y x =-·······································（5分）（2）存在.设点D 的坐标为()6m m --，，其中60m -<<·······································（6分） ∵点B ，点C 的坐标分别为()20，，()06-，∴()()22226BD m m =-++，2222640BC =+=，2DC =DE BC ∥∴当DE BC =时，以D ，C ，B ，E 为顶点的四边形是平行四边形. ①如图①，DE BC =时，四边形BDEC 是菱形.()()222640m m ∴-++=·······································（7分）解得14m =-，20m =(舍去). ∴点D 的坐标为()42--，∴点E 的坐标为()68--，·······································（8分） ②如图②，当CD CB =时，四边形CBED 是菱形2240m ∴=·······································（9分）解得1m =-，2m =舍去)∴点D 的坐标为()6--∴点E 的坐标为(2-·······································（10分） （3）∵BC l ∥，故可设:3l y x a =+抛物线对称轴为：2x =- ∴()26M a --+，，()24N --， AC ：6y x =--令：36x a x +=--，解得：64a x --= ∴61844a a D +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，点D 到MN 的距离：662244a a h ++⎛⎫=---=-+⎪⎝⎭∴()()221622248DMNa a S a ∆-+⎛⎫=⨯-⨯-+= ⎪⎝⎭又166182AOC S ∆=⨯⨯=∵DMN AOCS S ∆∆=，∴()22188a -=解得：114a =，210a =-（舍去）∴()51，D--28M-，，()∴==（13分）DM。
2020年山西省中考数学真题试卷(解析版)
2020年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）)的结果是()1.计算(−6)÷(−13A. −18B. 2C. 18D. −2【答案】C)=(−6)×(−3)=18．【解析】解：(−6)÷(−13故选：C．根据有理数的除法法则计算即可，除以一个数，等于乘以这个数的倒数．本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．2.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．3.下列运算正确的是()A. 3a+2a=5a2B. −8a2÷4a=2aC. (−2a2)3=−8a6D. 4a3⋅3a2=12a6【答案】C【解析】解：A、3a+2a=5a，故此选项错误；B、−8a2÷4a=−2a，故此选项错误；C、(−2a2)3=−8a6，正确；D、4a3⋅3a2=12a5，故此选项错误；故选：C．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是()A. B.C. D.【答案】B【解析】解：A.主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；B.主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；C.主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；D.主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；故选：B．主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．5.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的轴对称D. 图形的相似【答案】D【解析】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似， 故选：D ．根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．6.不等式组{2x −6>0,4−x <−1的解集是( )A. x >5B. 3<x <5C. x <5D. x >−5【答案】A【解析】解：{2x −6>0,4−x <−1 解不等式2x −6>0，得：x >3， 解不等式4−x <−1，得：x >5， 则不等式组的解集为x >5． 故选：A ．先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取大”来求不等式组的解集．主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．7.已知点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)都在反比例函数y =kx (k <0)的图象上，且x 1<x 2<0<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y2>y1>y3B. y3>y2>y1C. y1>y2>y3D. y3>y1>y2【答案】A(k<0)的图象分布在第二、四象限，【解析】解：∵反比例函数y=kx在每一象限y随x的增大而增大，而x1<x2<0<x3，∴y3<0<y1<y2．即y2>y1>y3．故选：A．(k<0)的图象分布在第二、四象限，则y3最小，y2根据反比例函数性质，反比例函数y=kx最大．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．8.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是()A. 80πcm2B. 40πcm2C. 24πcm2D. 2πcm2【答案】B【解析】解：如图，连接CD．∵OC=OD，∠O=60°，∴△COD是等边三角形，∴OC=OD=CD=4cm，∴S阴=S扇形OAB−S扇形OCD=60⋅π⋅162360−60⋅π⋅42360=40π(cm2)，故选：B．首先证明△OCD是等边三角形，求出OC=OD=CD=4cm，再根据S阴=S扇形OAB−S扇形OCD，求解即可．本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.竖直上抛物体离地面的高度ℎ(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式ℎ=−5t2+v0t+ℎ0表示，其中ℎ0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为()A. 23.5mB. 22.5mC. 21.5mD. 20.5m【答案】C【解析】解：由题意可得，ℎ=−5t2+20t+1.5=−5(t−2)2+21.5，故当t=2时，h取得最大值，此时ℎ=21.5，故选：C．根据题意，可以得到h与t的函数关系式，然后化为顶点式，即可得到h的最大值，本题得以解决．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是()A. 13B. 14C. 16D. 18【答案】B【解析】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的14，∴飞镖落在阴影区域的概率是14，故选：B．由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的1，据此可得答案．4本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：(√3+√2)2−√24=______．【答案】5【解析】解：原式=3+2√6+2−2√6=5．故答案为5．先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有______个三角形(用含n的代数式表示)．【答案】(3n+1)【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4=3×1+1第2个图案有7个三角形，即7=3×2+1第3个图案有10个三角形，即10=3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有(3n+1)个三角形．故答案为：(3n+1)．根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．本题考查了规律型−图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩(单位：秒)如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 【答案】甲【解析】解：甲的平均成绩为：16(12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9)=12秒， 乙的平均成绩为：16(12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1)=12秒； 分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为：S 甲2=16[(12.2−12)2+(11.8−12)2+(12.1−12)2+(11.9−12)2]=160， S 乙2=16[(12.3−12)2+2(12.1−12)2+(11.8−12)2+(11.7−12)2]=125，∵160<125，∴甲运动员的成绩更为稳定； 故答案为：甲．分别计算、并比较两人的方差即可判断．考查了方差及算术平均数的定义，解题的关键是了解方差及平均数的计算方法，难度不大． 14.如图是一张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm ．【答案】2【解析】解：设底面长为acm ，宽为bcm ，正方形的边长为xcm ，根据题意得：{2(x +b)=12a +2x =10ab =24， 解得a =10−2x ，b =6−x ， 代入ab =24中，得： (10−2x)(6−x)=24， 整理得：x 2−11x +18=0， 解得x =2或x =9(舍去)， 答；剪去的正方形的边长为2cm ． 故答案为：2．根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组． 15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为______．【答案】5485【解析】解：如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4， ∴AB =√CB 2+AC 2=√42+32=5， ∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CD ， ∴CD =125，AD =√AC 2−CD 2=√32−(125)2=95，∵FH//EC ，∴FH EC=AH AC，∵EC =EB =2， ∴FHAH =23，设FH =2k ，AH =3k ，CH =3−3k ， ∵tan∠FCH =FHCH =ADAD ， ∴2k 3−3k=95125，∴k =917，∴FH =1817，CH =3−2717=2417， ∴CF =√CH 2+FH 2=√(1817)2+(2417)2=3017，∴DF =125−3017=5485，故答案为5485．如图，过点F 作FH ⊥AC 于H.首先证明FH ：AH =2：3，设FH =2k ，AH =3k ，根据tan∠FCH =FHCH =ADAD ，构建方程求解即可．本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 16.(1)计算：(−4)2×(−12)3−(−4+1)．(2)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x 2−9x 2+6x +9−2x +12x +6=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)…第一步 =x−3x+3−2x+12(x+3)…第二步 =2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)…第三步=2x−6−(2x+1)2(x+3)…第四步=2x−6−2x+12(x+3)…第五步=−52x+6…第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______.或填为：______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】三分式的基本性质分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变五括号前面是“−”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号【解析】解：(1)(−4)2×(−12)3−(−4+1)=16×(−18)+3=−2+3=1；(2)①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．或填为：分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“−”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；任务二：x2−9x2+6x+9−2x+12x+6=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)…第一步=x−3x+3−2x+12(x+3)…第二步=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)…第三步=2x−6−(2x+1)2(x+3)…第四步=2x−6−2x−12(x+3)…第五步=−72x+6…第六步；任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；五；括号前面是“−”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．(1)先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；(2)①根据分式的基本性质即可判断；②根据分式的加减运算法则即可判断；任务二：依据分式加减运算法则计算可得；任务三：答案不唯一，只要合理即可．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．同时考查了有理数的混合运算．四、解答题（本大题共7小题，共65.0分）17.2020年5月份，省城太原开展了“活力太原⋅乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．【答案】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为80%×(1+50%)x 元，根据题意，得80%×(1+50%)x−128=568，解得x=580．答：该电饭煲的进价为580元．【解析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×(1+50%)x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．18.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．【答案】解：连接OB，如图，∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB，∵四边形ABCO为平行四边形，∴AB//OC，OA//BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∵OB=OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C=∠OBC=45°，∵AO//BC，∴∠AOB=∠OBC=45°，∴∠E=1∠AOB=22.5°．2【解析】连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AB，再利用平行四边形的性质得AB//OC，OA//BC，则∠BOC=90°，接着计算出∠C=∠OBC=45°，然后利用平行线的性质得到∠AOB=∠OBC=45°，从而根据圆周角定理得到∠E的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行四边形的性质和圆周角定理．19.2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域(5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩)总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：(1)填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；(2)甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G 基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；(3)小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片(除编号和内容外，其余完全相同)，将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率．【答案】300【解析】解：(1)2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、300、300、500、640，∴图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元，故答案为：300；(2)甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大；(3)列表如下：由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种，∴抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率220=110．(1)根据统计图，将2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列，再利用中位数定义求解可得；(2)分别从2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率和2020年预计投资规模角度分析求解可得；(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．本题主要考查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．20.阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS=90°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：(1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是______；(2)根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；(3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法)；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可)．【答案】勾股定理的逆定理【解析】解：(1)∵CD=30，DE=50，CE=40，∴CD2+CE2=302+402=502=DE2，∴∠DCE=90°，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；故答案为：勾股定理的逆定理；(2)由作图方法可知，QP=QC，QS=QC，∴∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC，∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC=180°，∴2(∠QCR+∠QCS)=180°，∴∠QCR+∠QCS=90°，即∠RCS=90°；(3)①如图③所示，直线PC即为所求；②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；(2)根据直角三角形的性质即可得到结论；(3)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键．21.图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC=∠DEF=28°，半径BA=ED=60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．(1)求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)；(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．【答案】解：(1)连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，由点A，D在同一条水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM=DN，在Rt△ABM中，∠AMB=90°，∠ABM=28°，AB=60cm，∵sin∠ABM=AMAB，∴AM=AB⋅sin∠ABM=60⋅sin28°≈60×0.47=28.2，∴MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2×2+10=66.4，∴BC与EF之间的距离为66.4cm；(2)设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，根据题意得，180x −3=1802x，解得：x=30，经检验，x=30是原方程的根，当x=30时，2x=60，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．【解析】(1)连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，由点A，D在同一条水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，所以MN的长度就是BC与EF 之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM=DN，解直角三角形即可得到结论；(2)设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，根据题意列方程即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键．22.综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；解决问题：(3)如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．【答案】解：(1)四边形BE′FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，又∵∠BEF=90°，∴四边形BE′FE是矩形，又∵BE=BE′，∴四边形BE′FE是正方形；(2)CF=E′F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA=DE，DH⊥AE，AE，DH⊥AE，∴AH=12∴∠ADH+∠DAH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠EAB=90°，∴∠ADH=∠EAB，又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，∴△ADH≌△BAE(AAS)，∴AH=BE=1AE，2∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE=CE′，∵四边形BE′FE是正方形，∴BE=E′F，∴E′F=1CE′，2∴CF=E′F；(3)如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE′FE是正方形，∴BE′=E′F=BE，∵AB=BC=15，CF=3，BC2=E′B2+E′C2，∴225=E′B2+(E′B+3)2，∴E′B=9=BE，∴CE′=CF+E′F=12，由(2)可知：BE=AH=9，DH=AE=CE′=12，∴HE=3，∴DE=√DH2+HE2=√144+9=3√17．【解析】(1)由旋转的性质可得∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，由正方形的判定可证四边形BE′FE是正方形；AE，DH⊥AE，由“AAS”可得(2)过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，由旋转的性质可得AE=CE′，可得结论；△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12(3)利用勾股定理可求BE=BE′=9，再利用勾股定理可求DE的长．本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．23.综合与探究x2−x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.如图，抛物线y=14直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4,−3)．(1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M.PM 与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标．【答案】解：(1)令y =0，得y =14x 2−x −3=0，解得，x =−2，或x =6，∴A(−2,0)，B(6,0)，设直线l 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，则{−2k +b =04k +b =−3， 解得，{k =−12b =−1， ∴直线l 的解析式为y =−12x −1；(2)如图1，根据题意可知，点P 与点N 的坐标分别为P(m,14m 2−m −3)，N(m,−12m −1)，∴PM =−14m 2+m +3，MN =12m +1，NP =−14m 2+12m +2，分两种情况：①当PM=3MN时，得−14m2+m+3=3(12m+1)，解得，m=0，或m=−2(舍)，∴P(0,−3)；②当PM=3NP时，得−14m2+m+3=3(−14m2+12m+2)，解得，m=3，或m=−2(舍)，∴P(3,−154)；∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为(3,−154)或(0,−3)；(3)∵直线l：y=−12x−1与y轴于点E，∴点E的坐标为(0,−1)，分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE=∠AOE=90°，∵∠Q1EH=∠AEO，∴△Q1EH∽△AEO，∴Q1HAO =EHEO，即Q1H2=EH1∴Q1H=2HE，∵∠Q1DH=45°，∠Q1HD=90°，∴Q1H=DH，∴DH=2EH，∴HE=ED，连接CD，∵C(0,−3)，D(4,−3)，∴CD⊥y轴，∴ED=√CE2+CD2=√22+42=2√5，∴HE=ED=2√5，Q1H=2EH=4√5，∴Q1E=√Q1H2+EH2=10，∴Q1O=Q1E−OE=9，∴Q1(0,9)；②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE=∠AOE=90°，∵∠Q2EG=∠AEO，∴△Q2GE∽△AOE，∴Q2GAO =EGOE，即Q2G2=EG1，∴Q2G=2EG，∵∠Q2DG=45°，∠Q2GD=90°，∴∠DQ2G=∠Q2DG=45°，∴DG=Q2G=2EG，∴ED=EG+DG=3EG，由①可知，ED=2√5，∴3EG=2√5，∴EG=2√53，∴Q2G=4√5，3∴EQ2=√EG2+Q2G2=10，3∴OQ2=OE+EQ2=13，3)，∴Q2(0,−133).综上，点Q的坐标为(0,9)或(0,−133【解析】(1)令y=0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD 的解析式；m2−m−3)，用m表示N点坐标，分两种情况：PM=3MN；PM=3PN.分别(2)设P(m,14列出m的方程进行解答便可；(3)分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，第(2)、(3)小题的关键在于分情况讨论．。
2021年山西省中考数学试卷及答案解析
2021年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）计算﹣2+8的结果是（）A．﹣6B．6C．﹣10D．102．（3分）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3B．m5﹣m3＝m2C．（m+2）2＝m2+4D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m34．（3分）《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷＝104平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（）A．77.14×104平方米B．7.714×107平方米C．77.14×108平方米D．7.714×109平方米5．（3分）已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小6．（3分）每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（）星期一二三四五六日收入（点）15212727213021 A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点7．（3分）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB 交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想9．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．D．10．（3分）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y＝3（x+1）2+3B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1D．y＝3（x+1）2﹣1二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：+＝．12．（3分）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．14．（3分）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．15．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步﹣5x＞﹣10……第四步x＞2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．17．（6分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．18．（7分）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．19．（10分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打“√”，非常感谢您的合作．A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比m为；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．20．（8分）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．21．（8分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．22．（13分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG 与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．23．（13分）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．2021年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．【分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．【解答】解：﹣2+8＝+（8﹣2）＝6．故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据各个选项中的式子，可以写出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故选项A正确；m5﹣m3不能合并为一项，故选项B错误；（m+2）2＝m2+4m+4，故选项C错误；（12m4﹣3m）÷3m＝4m3﹣1，故选项D错误；故选：A．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：77.14万公顷＝7714000000平方米＝7.714×109平方米，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．【解答】解：A．∵k＝6＞0，∴图象位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意；B．∵4×＝6＝k，∴图象必经过点（4，），故B正确，不符合题意；C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；D．∵k＝6＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．【分析】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，中间位置的数是21，出现次数最多的数是21，从而得出答案．【解答】解：将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数为21，众数为21，故选：C．【点评】本题考查了中位数和众数的概念，注意求中位数的时候首先要排序．7．【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠AOB ＝40°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【解答】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADC＝∠AOB＝20°，∵AD∥OB，∴∠OCD＝∠ADC＝20°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．9．【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH ＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，＝＝2π，∴S扇形CAE∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝2+3＝；故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．12．【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），∴得出坐标轴如下图所示位置：∴点C的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．13．【分析】由菱形的性质可得：AO＝3，BO＝4，AC⊥BD，借助勾股定理求出AB＝5，再证明OE是△ABC的中位线即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．14．【分析】由坡度的定义，可设BC＝5a米，则AC＝12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（负值已舍去），∴BC＝（米），故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．15．【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；（2）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．【解答】解：（1）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2＝1×8﹣8×＝8﹣2＝6；（2），2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步，4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步，4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步，﹣5x＞﹣10……第四步，x＞2……第五步，任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；任务二：该不等式的正确解集是x＜2．故答案为：乘法分配律；五，不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；x＜2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．17．【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），依题意得：x（x+8）＝65，整理得：x2+8x﹣65＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】根据题意列出等量关系式：路线一的平均速度×＝路线二的平均速度，再根据等量关系式列出方程，求解检验即可．【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得．解得x＝25．经检验，x＝25是原方程的解且符合实际．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点评】本题考查了分式方程的应用，求解应用题一般步骤：先依据题意列出等量关系式；再根据等量关系式设未知数；最后列出方程并求解检验．19．【分析】（1）由D类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，即可解决问题；（2）求出B类的人数，补全统计图即可；（3）由表中数据即可得出结论；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为：24÷20%＝120（人），则m＝60÷120×100%＝50%，故答案为：120，50%；（2）B类的人数为：120×30%＝36（人），补全统计图如下：（3）不可行，理由如下：由统计表可知，70%+30%+50%+20%＞1，即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于1，所以不可行；（4）画树状图如图：共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，∴甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和统计表．20．【分析】（1）根据材料中的描述从简单、直观方面简要说明即可；（2）①将已知条件代入公式计算出R的值即可；②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，利用OC是∠AOB的角平分线，可得出△OAM为等边三角形，进而得出OM＝OA＝AM＝7.5；由AM∥CO得到△BCO∽△BAM，利用比例式可求线段OC．【解答】解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，实数的混合运算．本题是阅读型题目，正确理解题干中的定义是解题的关键．21．【分析】通过过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，构造出直角三角形，利用解直角三角形分别求出AP、PM的长即可求出指示牌最高点A到地面EF的距离．【解答】解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．22．【分析】（1）结论：EF＝BF．如图1中，如图，作FH∥AD交BE于H．证明FH垂直平分线段BE即可．（2））结论：AG＝BG．证明四边形BFDG是平行四边形，可得结论．＝S （3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．根据S四边形BHNM﹣S△NHA′，求解即可．△A′BM【解答】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∵BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．解法二：分别延长AD，BF相交于点M，类似于倍长中线法，直角三角形斜边中线性质解决问题．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．＝AB•DJ，∵S平行四边形ABCD∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，＝S△A′BM＝×5×＝，∴S△ABM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．∴S四边形BHNM【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．23．【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；（2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M（﹣2，﹣4m﹣12），根据AC的函＝S△AOC可求得m，求出点D，点数表达式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根据S△DMNM的坐标，即可得DM的长．【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，＝S△AOC，∵S△DMN∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质，三角形的面积；解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2022年山西省中考数学试卷(解析版)
2022年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）6-的相反数为()A．6B．16C．16-D．6-【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数，可以直接得到答案．【解答】解：6-的相反数是：6，故选：A．2．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是()A．中过探火B．中国火箭C．中过行星探测D．航天神舟【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：B．3．（3分）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为()A ．46.828510⨯吨B ．46828510⨯吨C ．76.828510⨯吨D ．86.828510⨯吨【分析】将较大的数写成科学记数法形式：10n a ⨯，其中110a <，n 为正整数即可．【解答】解：68285万吨446.82851010=⨯⨯86.828510=⨯（吨)，故选：D ．4．（3分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的()A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．【解答】解： 每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，又黄金分割比为10.6182-+≈，∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，故选：D ．5．（3分）不等式组213417x x +⎧⎨-<⎩的解集是()A ．1xB ．2x <C ．12x <D ．12x <【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式213x +，得：1x ，解不等式417x -<，得：2x <，则不等式组的解集为12x <，故选：C ．6．（3分）如图，Rt ABC ∆是一块直角三角板，其中90C ∠=︒，30BAC ∠=︒．直尺的一边DE经过顶点A ，若//DE CB ，则DAB ∠的度数为()A ．100︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒【分析】先根据平行线的性质求得DAC ∠的度数，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：//DE CB ，90C ∠=︒，90DAC C ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒ ，120DAB DAC BAC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：B ．7．（3分）化简21639a a ---的结果是()A ．13a +B ．3a -C ．3a +D ．13a -【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．【解答】解：21639a a ---36(3)(3)(3)(3)a a a a a +=-+-+-36(3)(3)a a a +-=+-3(3)(3)a a a -=+-13a =+，故选：A ．8．（3分）如图，ABC ∆内接于O ，AD 是O 的直径，若20B ∠=︒，则CAD ∠的度数是()A．60︒B．65︒C．70︒D．75︒【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得90ABD∠=︒，从而可求出CBD∠的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．【解答】解：连接BD，AD是O的直径，90ABD∴∠=︒，20ABC∠=︒，70CBD ABD ABC∴∠=∠-∠=︒，70CAD CBD∴∠=∠=︒，故选：C．9．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是()A．23B．12C．16D．18【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是21 126=，故选：C．10．（3分）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 AB上的点C处，图中阴影部分的面积为()A．3π-B．3πC．2π-D．6π【分析】根据折叠的想找得到AC AO=，BC BO=，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到60CAO AOC∠=∠=︒，求得120AOB∠=︒，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 AB上的点C处，AC AO∴=，BC BO=，AO BO=，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，OC OA=，AOC∴∆是等边三角形，60CAO AOC∴∠=∠=︒，120AOB∴∠=︒，3AC = ，3OC ∴=，33322AD AC ==，2AB AD ∴==，∴图中阴影部分的面积212031333602AOB AOBCS S ππ⨯=-=-⨯⨯=扇形菱形，故选：B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3的结果为3．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式3==．故答案为：3．12．（3分）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()p Pa 是它的受力面积2()S m 的反比例函数，其函数图象如图所示．当20.25S m =时，该物体承受的压强p 的值为400Pa ．【分析】设kp S=，把(0.1,1000)代入得到反比例函数的解析式，再把0.25S =代入解析式即可解决问题．【解答】解：设k p S=， 函数图象经过(0.1,1000)，100k ∴=，100p S∴=，当20.25S m =时，物体所受的压强100400()0.25p Pa ==，故答案为：400．13．（3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：21)mol m s μ--⋅⋅，结果统计如下：品种第一株第二株第三株第四株第五株平均数甲323025182025乙282526242225则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙（填“甲”或“乙”)．【分析】直接利用方差公式，进而计算得出答案．【解答】解：甲的方差为：(2222221[(3225)(3025)(2525)(1825)2025)29.65S ⎤=-+-+-+-+-=⎦甲；乙的方差为：(2222221[(2825)(2525)(2625)(2425)2225)45S ⎤=-+-+-+-+-=⎦乙．29.64> ，∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．故答案为：乙．14．（3分）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价32元．【分析】设该护眼灯可降价x 元，根据“以利润率不低于20%的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．【解答】解：设该护眼灯可降价x 元，根据题意，得320240100%20%240x --⨯，解得32x ，故答案为：32．15．（3分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上的一点，点F 在边CD 的延长线上，且BE DF =，连接EF 交边AD 于点G ．过点A 作AN EF ⊥，垂足为点M ，交边CD 于点N ．若5BE =，8CN =，则线段AN 的长为【分析】连接AE ，AF ，EN ，由正方形的性质可得AB AD =，BC CD =，90ABE BCD ADF ∠=∠=∠=︒，可证得()ABE ADF SAS ∆≅∆，可得BAE DAF ∠=∠，AE AF =，从而可得90EAF ∠=︒，根据等腰三角形三线合一可得点M 为EF 中点，由AN EF ⊥可证得()AEM AFM SAS ∆≅∆，()EMN FMN SAS ∆≅∆，可得EN FN =，设DN x =，则5EN FN x ==+，3CE x =+，由勾股定理解得12x =，可得20AB CD ==，由勾股定理可得AE =，从而可得AM EM FM ===由勾股定理可得MN =，即可求解．【解答】解：如图，连接AE ，AF ，EN ，四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴=，BC CD =，90ABE BCD ADF ∠=∠=∠=︒，BE DF = ，()ABE ADF SAS ∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠，AE AF =，90EAF ∴∠=︒，EAF ∴∆为等腰直角三角形，AN EF ⊥ ，EM FM ∴=，45EAM FAM ∠=∠=︒，()AEM AFM SAS ∴∆≅∆，()EMN FMN SAS ∆≅∆，EN FN ∴=，设DN x =，5BE DF == ，8CN =，8CD CN DN x ∴=+=+，5EN FN DN DF x ∴==+=+，853CE BC BE CD BE x x =-=-=+-=+，在Rt ECN ∆中，由勾股定理可得：222CN CE EN +=，即2228(3)(5)x x ++=+，解得：12x =，820AB CD x ∴==+=，517EN x =+=，AN ∴==故答案为：三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：21(3)3(52)|2|--⨯+-++-；（2）解方程组：236x y x y -=⎧⎨+=⎩①②．【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法，绝对值计算即可；（2）根据加减消元法求解即可．【解答】解：（1）原式19(3)23=⨯+-+3(3)2=+-+2=；（2）①+②得：39x =，3x ∴=，将3x =代入②得：36y +=，3y ∴=，∴原方程组的解为33x y =⎧⎨=⎩．17．（8分）如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．（1）实践与操作：利用尺规作线段AC 的垂直平分线，垂足为点O ，交边AD 于点E ，交边BC 于点F （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．（2）猜想与证明：试猜想线段AE 与CF 的数量关系，并加以证明．【分析】（1）利用尺规作图-线段垂直平分线的作法，进行作图即可；（2）利用矩形的性质求证EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠，由线段的垂直平分线得出AO CO =，即可证明AOE COF ∆≅∆，进而得出AE CF =．【解答】解：（1）如图，（2）AE CF =，证明如下：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，EAO FCO ∴∠=∠，AEO CFO ∠=∠，EF 是AC 的垂直平分线，AO CO ∴=，在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO EAO FCO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．18．（7分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费(0.6)x +元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程4⨯=电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x 元，根据题意，得20020040.6x x =⨯+，解得0.2x =，经检验，0.2x =是原方程的根，答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．19．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代⋅奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）:⨯⨯中学学生读书情况调查报告调查主题⨯⨯中学学生读书情况调查方式抽样调查调查对象⨯⨯中学学生数据的收集、整理与描述第一项您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）.8A 小时及以上；.6~8B 小时；.4~6C 小时；.0~4D 小时．第二项您阅读的课外书的主要来源是（可多选）E ．自行购买；F ．从图书馆借阅；G ．免费数字阅读；H ．向他人借阅．调查结论⋯⋯请根据以上调查报告，解答下列问题：（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是0~4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，即可求解，由条形统计图可知从图书馆借阅的人数占总数人的62%，即可求解；（2）由扇形统计图可知平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，即可求解；（3）由第一项可知阅读时间为“4~6小时”的人数最多，“0~4小时”的人数最少，由第二项可知阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少等等．【解答】解：（1） 平均每周阅读课外书的时间大约是0~4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，÷=（人)，∴参与本次抽样调查的学生人数为：3311%300从图书馆借阅的人数占总数人的62%，⨯=（人)，∴选择“从图书馆借阅”的人数为：30062%186答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；（2） 平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，∴⨯=（人)，360032%1152答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数为1152人；（3）答案不唯一，如：由第一项可知：阅读时间为“4~6小时”的人数最多，“0~4小时”的人数最少，由第二项可知：阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．20．（8分）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象（称为抛物线）与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(2b a -，24)4ac b a-和一元二次方程根的判别式△24b ac =-，分别分0a >和0a <两种情况进行分析：（1）0a >时，抛物线开口向上．①当△240b ac =->时，有240ac b -<．0a > ，∴顶点纵坐标2404ac b a -<．∴顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点（如图1)．②当△240b ac =-=时，有240ac b -=．0a > ，∴顶点纵坐标2404ac b a -=．∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点（如图2)．∴一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．③当△240b ac =-<时，⋯⋯（2）0a <时，抛物线开口向下．⋯⋯任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是AC （从下面选项中选出两个即可）；A ．数形结合B ．统计思想C ．分类讨论D ．转化思想（2）请参照小论文中当0a >时①②的分析过程，写出③中当0a >，△0<时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为．【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和数形结合的思想；（2）参照小论文中的分析过程可得；（3）除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元一次不等式的解集等．【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是AC ；故答案为：AC ；（2）0a >时，抛物线开口向上，当△240b ac =-<时，有240ac b ->．0a > ，∴顶点纵坐标2404ac b a->∴顶点在x 轴的上方，抛物线与x 轴无交点，如图，∴一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根；（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解；故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．21．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB ，CD 两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB ，CD 两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到楼AB 底部点A 处的俯角为70︒，楼CD 上点E 处的俯角为30︒，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点F ，测得点E 处俯角为60︒，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长（结果精确到1m ．参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈ 1.73)≈．【分析】延长AB ，CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则60AG m =，GH AC =，90AGO EHO ∠=∠=︒，然后在Rt AGO ∆中，利用锐角三角函数的定义求出OG 的长，再利用三角形的外角求出30OEF ∠=︒，从而可得24OF EF ==米，再在Rt EFH ∆中，利用锐角三角函数的定义求出FH 的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：延长AB ，CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则60AG m =，GH AC =，90AGO EHO ∠=∠=︒，在Rt AGO ∆中，70AOG ∠=︒，6021.8()tan 70 2.75AG OG m ∴=≈≈︒，HFE ∠ 是OFE ∆的一个外角，30OEF HFE FOE ∴∠=∠-∠=︒，30FOE OEF ∴∠=∠=︒，24OF EF m ∴==，在Rt EFH ∆中，60HFE ∠=︒，1cos 602412()2FH EF m ∴=⋅︒=⨯=，21.8241258()AC GH OG OF FH m ∴==++=++≈，∴楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58m ．22．（13分）综合与实践问题情境：在Rt ABCEDFAC=．直角三角板EDF中90∠=︒，BAC∆中，90∠=︒，6AB=，8将三角板的直角顶点D放在Rt ABC∆斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当B MDB∠=∠时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM AN=时，直接写出线段AN的长．【分析】（1）由三角形中位线定理可得//∠=∠=∠=︒，即可MD AC，可证90A AMD MDN求解；（2）由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；（3）通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得45∠=∠=︒，由直角三ADN AMN角形的性质可求HN的长，即可求解．【解答】解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：点D是BC的中点，点M是AB的中点，∴，MD AC//∴∠+∠=︒，A AMD180，∠=︒BAC9090AMD ∴∠=︒，90A AMD MDN ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AMDN 是矩形；（2）如图2，过点N 作NG CD ⊥于G ，6AB = ，8AC =，90BAC ∠=︒，10BC ∴==，点D 是BC 的中点，5BD CD ∴==，90MDN A ∠=︒=∠ ，90B C ∴∠+∠=︒，190BDM ∠+∠=︒，1C ∴∠=∠，DN CN ∴=，又NG CD ⊥ ，52DG CG ∴==，cos CG AC C CN BC== ，∴58210CN =，258CN ∴=；（3）如图③，连接MN ，AD ，过点N 作HN AD ⊥于H，AM AN = ，90MAN ∠=︒，45AMN ANM ∴∠=∠=︒，90BAC EDF ∠+∠=︒ ，∴点A ，点M ，点D ，点N 四点共圆，45ADN AMN ∴∠=∠=︒，NH AD ⊥ ，45ADN DNH ∴∠=∠=︒，DH HN ∴=，5BD CD == ，90BAC ∠=︒，5AD CD ∴==，C DAC ∴∠=∠，3tan tan 4HN AB C DAC AH AC ∴=∠===，43AH HN ∴=，5AH HD AD +== ，157DH HN ∴==，207AH =，257AN ∴===．23．（13分）综合与探究如图，二次函数213442y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m ．过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；（2）当CEP ∆是以PE 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）连接AC ，过点P 作直线//l AC ，交y 轴于点F ，连接DF ．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P ，使得CE FD =，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由213442y x x =-++得，(2,0)A -，(8,0)B ，(0,4)C ，用待定系数法可得直线BC 解析式为142y x =-+，（2）过C 作CG PD ⊥于G ，设213(,4)42P m m m -++，可得213442PD m m =-++，4DG OC ==，CG OD m ==，21342PG PD DG m m =-=-+，而CP CE =，CG PD ⊥，即得21342GE PG m m ==-+，证明CGE BOC ∆∆∽，可得2134284m m m -+=，即可解得(4,6)P ；（3）过C 作CH PD ⊥于H ，设213(,4)42P m m m -++，根据//PF AC ，设直线PF 解析式为2y x b =+，可得直线PF 解析式为2112442y x m m =--+，从而211(0,4)42F m m --+，211|4|42OF m m =--+，证明Rt CHE Rt DOF(HL)∆≅∆，可得HCE FDO ∠=∠，即得FDO CBO ∠=∠，tan tan FDO CBO ∠=∠，故211|4|4428m m m --+=，可解得2m =或4m =．【解答】解：（1）在213442y x x =-++中，令0x =得4y =，令0y =得8x =或2x =-，(2,0)A ∴-，(8,0)B ，(0,4)C ，设直线BC 解析式为4y kx =+，将(8,0)B 代入得：840k +=，解得12k =-，∴直线BC 解析式为142y x =-+；（2）过C 作CG PD ⊥于G，如图：213442PD m m ∴=-++，90COD PDO CGD ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形CODG 是矩形，4DG OC ∴==，CG OD m ==，221313444242PG PD DG m m m m ∴=-=-++-=-+，CP CE = ，CG PD ⊥，21342GE PG m m ∴==-+，GCE OBC ∠=∠ ，90CGE BOC ∠=︒=∠，CGE BOC ∴∆∆∽，∴CG GE OB OC=，即2134284m m m -+=，解得0m =（舍去）或4m =，(4,6)P ∴；（3）存在点P ，使得CE FD =，理由如下：过C 作CH PD ⊥于H，如图：设213(,4)42P m m m -++，由(2,0)A -，(0,4)C 可得直线AC 解析式为24y x =+，根据//PF AC ，设直线PF 解析式为2y x b =+，将213(,4)42P m m m -++代入得：2134242m m m b -++=+，∴直线PF 解析式为2112442y x m m =--+，令0x =得211442y m m =--+，211(0,4)42F m m ∴--+，211|4|42OF m m ∴=--+，同（2）可得四边形CODH 是矩形，CH OD ∴=，CE FD = ，Rt CHE Rt DOF(HL)∴∆≅∆，HCE FDO ∴∠=∠，HCE CBO ∠=∠ ，FDO CBO ∴∠=∠，tan tan FDO CBO ∴∠=∠，∴OF OC OD OB=，即211|4|4428m m m --+=，21114422m m m ∴--+=或21114422m m m --+=-，解得2m =-或2m =--或4m =或4m =-，P在第一象限，2m ∴=-或4m =．。
2021年山西省中考数学试卷及答案解析
2021年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）计算﹣2+8的结果是（）A．﹣6B．6C．﹣10D．102．（3分）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3B．m5﹣m3＝m2C．（m+2）2＝m2+4D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m34．（3分）《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷＝104平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（）A．77.14×104平方米B．7.714×107平方米C．77.14×108平方米D．7.714×109平方米5．（3分）已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小6．（3分）每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数和众数分别是（）星期一二三四五六日收入（点）15212727213021 A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点7．（3分）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB 交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想9．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．D．10．（3分）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y＝3（x+1）2+3B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1D．y＝3（x+1）2﹣1二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：+＝．12．（3分）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．14．（3分）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．15．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步﹣5x＞﹣10……第四步x＞2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．17．（6分）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．18．（7分）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．19．（10分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ㅤㅤ]”内打“√”，非常感谢您的合作．A．“诵读中国”经典诵读[ㅤㅤ]B．“诗教中国”诗词讲解[ㅤㅤ]C．“笔墨中国”汉字书写[ㅤㅤ]D．“印记中国”印章篆刻[ㅤㅤ]请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比m为；（2）请补全统计图；（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为C，X，Q，D），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．20．（8分）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．21．（8分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．22．（13分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG 与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．23．（13分）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．2021年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．【分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．【解答】解：﹣2+8＝+（8﹣2）＝6．故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据各个选项中的式子，可以写出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故选项A正确；m5﹣m3不能合并为一项，故选项B错误；（m+2）2＝m2+4m+4，故选项C错误；（12m4﹣3m）÷3m＝4m3﹣1，故选项D错误；故选：A．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：77.14万公顷＝7714000000平方米＝7.714×109平方米，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．【解答】解：A．∵k＝6＞0，∴图象位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意；B．∵4×＝6＝k，∴图象必经过点（4，），故B正确，不符合题意；C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；D．∵k＝6＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．【分析】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，中间位置的数是21，出现次数最多的数是21，从而得出答案．【解答】解：将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数为21，众数为21，故选：C．【点评】本题考查了中位数和众数的概念，注意求中位数的时候首先要排序．7．【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠AOB ＝40°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【解答】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∴∠ADC＝∠AOB＝20°，∵AD∥OB，∴∠OCD＝∠ADC＝20°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．9．【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH ＝，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，＝＝2π，∴S扇形CAE∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝2+3＝；故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．12．【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），∴得出坐标轴如下图所示位置：∴点C的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．13．【分析】由菱形的性质可得：AO＝3，BO＝4，AC⊥BD，借助勾股定理求出AB＝5，再证明OE是△ABC的中位线即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．14．【分析】由坡度的定义，可设BC＝5a米，则AC＝12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（负值已舍去），∴BC＝（米），故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．15．【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；（2）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．【解答】解：（1）（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2＝1×8﹣8×＝8﹣2＝6；（2），2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步，4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步，4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步，﹣5x＞﹣10……第四步，x＞2……第五步，任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；任务二：该不等式的正确解集是x＜2．故答案为：乘法分配律；五，不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；x＜2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．17．【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），依题意得：x（x+8）＝65，整理得：x2+8x﹣65＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】根据题意列出等量关系式：路线一的平均速度×＝路线二的平均速度，再根据等量关系式列出方程，求解检验即可．【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得．解得x＝25．经检验，x＝25是原方程的解且符合实际．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点评】本题考查了分式方程的应用，求解应用题一般步骤：先依据题意列出等量关系式；再根据等量关系式设未知数；最后列出方程并求解检验．19．【分析】（1）由D类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，即可解决问题；（2）求出B类的人数，补全统计图即可；（3）由表中数据即可得出结论；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为：24÷20%＝120（人），则m＝60÷120×100%＝50%，故答案为：120，50%；（2）B类的人数为：120×30%＝36（人），补全统计图如下：（3）不可行，理由如下：由统计表可知，70%+30%+50%+20%＞1，即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于1，所以不可行；（4）画树状图如图：共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，∴甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和统计表．20．【分析】（1）根据材料中的描述从简单、直观方面简要说明即可；（2）①将已知条件代入公式计算出R的值即可；②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，利用OC是∠AOB的角平分线，可得出△OAM为等边三角形，进而得出OM＝OA＝AM＝7.5；由AM∥CO得到△BCO∽△BAM，利用比例式可求线段OC．【解答】解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，实数的混合运算．本题是阅读型题目，正确理解题干中的定义是解题的关键．21．【分析】通过过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，构造出直角三角形，利用解直角三角形分别求出AP、PM的长即可求出指示牌最高点A到地面EF的距离．【解答】解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．22．【分析】（1）结论：EF＝BF．如图1中，如图，作FH∥AD交BE于H．证明FH垂直平分线段BE即可．（2））结论：AG＝BG．证明四边形BFDG是平行四边形，可得结论．＝S （3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．根据S四边形BHNM﹣S△NHA′，求解即可．△A′BM【解答】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∵BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．解法二：分别延长AD，BF相交于点M，类似于倍长中线法，直角三角形斜边中线性质解决问题．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．＝AB•DJ，∵S平行四边形ABCD∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，＝S△A′BM＝×5×＝，∴S△ABM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．∴S四边形BHNM【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．23．【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；（2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M（﹣2，﹣4m﹣12），根据AC的函＝S△AOC可求得m，求出点D，点数表达式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根据S△DMNM的坐标，即可得DM的长．【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，＝S△AOC，∵S△DMN∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质，三角形的面积；解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
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2015年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）(2015•山西）计算﹣3+(﹣1）的结果是()A．2B．﹣2 C．4D．﹣42．（3分）（2015•山西）下列运算错误的是（）A．=1 B．x2+x2=2x4C．|a|=｜﹣a| D．=3．（3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．(3分）（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB,BC的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10 C．12 D．145．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0,从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想6．(3分）（2015•山西）如图，直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．105°B．110°C．115°D．120°7．（3分）(2015•山西)化简﹣的结果是（）A．B．C．D．8．(3分)(2015•山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（）A．《九章算术》B．《海岛算经》C．《孙子算经》D．《五经算术》9．（3分）（2015•山西)某校举行春季运动会,需要在初一年级选取一名志愿者．初一(1）班、初一（2)班、初一（3)班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者,则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是(）A．B．C．D．10．（3分)(2015•山西）如图，在网格中,小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分)（2015•山西）不等式组的解集是．12．（3分）(2015•山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第(2）个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律,第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13．（3分）（2015•山西)如图,四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B=度．14．（3分）（2015•山西）现有两个不透明的盒子,其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是．15．（3分）（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示,AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上,EF∥HG，EH⊥HG,AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm,EH=4cm，则点A到地面的距离是cm．16．（3分）（2015•山西）如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分)（2015•山西)（1）计算：（﹣3﹣1）×﹣2﹣1÷．(2)解方程：=﹣．18．（6分）（2015•山西）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170﹣1250）是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用［﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．19．（6分）（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=（k≠0)在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1．过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=(k≠0）的图象于点C，连接BC．（1)求反比例函数的表达式．（2）求△ABC的面积．20．（8分）(2015•山西)随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查(问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图(均不完整）．请根据统计图中提供的信息,解答下列问题:（1)本次接受调查的总人数是人．（2）请将条形统计图补充完整．（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是，表示观点B的扇形的圆心角度数为度．（4)假如你是该研究机构的一名成员,请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．21．（10分）（2015•山西）如图，△ABC是直角三角形,∠ACB=90°．（1)尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC=3,∠A=30°，求的长．22．（7分）(2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表:蔬菜品种西红柿青椒西兰花豆角批发价（元/kg）3。
6 5。
4 8 4。
8零售价（元/kg）5。
4 8。
4 14 7.6请解答下列问题：（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg,用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？（2)第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg?23．(12分）（2015•山西)综合与实践：制作无盖盒子任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍,要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计)．(1）请在图1的矩形纸板中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕．(2）请求出这块矩形纸板的长和宽．任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱)，图3是其底面，在五边形ABCDE 中，BC=12cm，AB=DC=6cm,∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．(1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．24．（13分）（2015•山西）综合与探究如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x 轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．(1）求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．（2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′,设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．（3）如图2,连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位(0＜m≤5),得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．2015年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)1．（3分）(2015•山西)计算﹣3+（﹣1）的结果是(）A．2B．﹣2 C．4D．﹣4考点：有理数的加法．分析：根据同号两数相加的法则进行计算即可．解答：解:﹣3+（﹣1)=﹣(3+1)=﹣4，故选：D．点评:本题主要考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟记同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加．2．(3分）（2015•山西）下列运算错误的是（）A．=1 B．x2+x2=2x4C．|a｜=|﹣a｜D．=考点：分式的乘除法；绝对值；合并同类项;零指数幂．专题：计算题．分析：A、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断;B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；C、原式利用绝对值的代数意义判断即可;D、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=1，正确;B、原式=2x2，错误;C、｜a｜=｜﹣a|，正确；D、原式=，正确，故选B点评：此题考查了分式的乘除法，绝对值，合并同类项，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．(3分）（2015•山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美,现从中选取以下四种窗格图案,其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（)A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形,也是中心对称图形．故错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形,也是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．(3分）（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB,BC的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线,然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC,最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答:解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE)，即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．5．（3分）（2015•山西）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2．这种解法体现的数学思想是（)A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想考点：解一元二次方程-因式分解法．专题: 计算题．分析:上述解题过程利用了转化的数学思想．解答:解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程:3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．（3分）（2015•山西)如图,直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为(）A．105°B．110°C．115°D．120°考点：平行线的性质．分析：如图,首先证明∠AMO=∠2;然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．解答：解：如图，∵直线a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，∴∠ANM=55°，∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，故选C．点评:该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题;牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．7．（3分)(2015•山西）化简﹣的结果是(）A．B．C．D．考点: 分式的加减法．专题：计算题．分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算,即可得到结果．解答:解：原式=﹣=﹣==，故选A．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（3分）（2015•山西)我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的出现,标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（）A．《九章算术》B．《海岛算经》C．《孙子算经》D．《五经算术》考点: 数学常识．分析：根据数学常识解答即可．解答:解：此著作是《九章算术》，故选A．点评:此题考查数学常识，关键是根据以往知识进行解答．9．（3分）(2015•山西）某校举行春季运动会,需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1)班、初一（2）班、初一（3)班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者,则被选中的这名同学恰好是初一（3)班同学的概率是(）A．B．C．D．考点: 概率公式．分析：用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．解答:解：∵共有6名同学，初一3班有2人，∴P（初一3班）==，故选B．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．10．（3分）（2015•山西)如图,在网格中，小正方形的边长均为1,点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理,可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．解答：解：如图：,由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．点本题考查了锐角三角函数的定义,先求出AC、AB的长,再求正切函数．评：二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．(3分）（2015•山西）不等式组的解集是x＞4．考点：解一元一次不等式组．分析:首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．解答：解:，由①得：x＞4，由②得：x＞2，不等式组的解集为:x＞4．故答案为：x＞4．点评:此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律:同大取大;同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．（3分）（2015•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3)个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有3n+1个三角形（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．分析：由题意可知：第（1）个图案有3+1=4个三角形，第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，第（3)个图案有3×3+110个三角形，…依此规律，第n个图案有3n+1个三角形．解答：解：∵第(1)个图案有3+1=4个三角形，第（2)个图案有3×2+1=7个三角形，第（3）个图案有3×3+110个三角形,…∴第n个图案有3n+1个三角形．故答案为：3n+1．点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．13．（3分)(2015•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径,点C为的中点．若∠A=40°，则∠B=70度．考点: 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．分析:首先连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角,可求得∠ADB的度数,继而求得∠ABD的度数，由圆的内接四边形的性质,求得∠C的度数，然后由点C为的中点，可得CB=CD，即可求得∠CBD的度数，继而求得答案．解答:解：连接BD，∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°，∵∠A=40°，∴∠ABD=90°﹣∠A=50°，∠C=180°﹣∠A=140°，∵点C为的中点，∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB=20°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°．故答案为：70°．点评:此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧与弦的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14．（3分）(2015•山西)现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片标号恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答:解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况，∴两张卡片标号恰好相同的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．(3分）(2015•山西)太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示,AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm,则点A到地面的距离是cm．考点：勾股定理的应用．分析：分别过点A作AM⊥BF于点M,过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．解答:解：过点A作AM⊥BF于点M,过点F作FN⊥AB于点N，∵AD=24cm，则BF=24cm，∴BN===7（cm），∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，∴△BNF∽△BMA，∴=,∴=，则：AM==，故点A到地面的距离是:+4=（m）．故答案为:．点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA 是解题关键．16．（3分）（2015•山西)如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠,使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为2．考点: 翻折变换（折叠问题）．分析：作NF⊥AD，垂足为F，连接DD′,ND′，根据图形折叠的性质得出DD′⊥MN，先证明△DAD′∽△DEM，再证明△NFM≌△ADE，然后利用勾股定理的知识求出MN的长．解答：解：作NF⊥AD,垂足为F，连接DD′,ND′，∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D′点，折痕为MN，∴DD′⊥MN，∵∠A=∠DEM=90°，∠ADD′=∠EDM，∴△DAD′∽△DEM,∴∠DD′A=∠DME,在△NFM和△DAD′中∴△NFM≌△DAD′（AAS），∴FM=AD′=2cm，又∵在Rt△MNF中，FN=6cm，∴根据勾股定理得：MN===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问题的关键，难度一般．三、解答题（本大题共8个小题，共72分。