27.1.2 圆的对称性1
《圆的对称性》圆圆的对称性
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
感谢您的观看。
04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。
27.1.2圆的对称性⑴
想一想？
一.圆的对称性.
.
1.轴的对称性.圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线 （直径所在的直线）都是圆的对称轴，无数条。
2、中心对称性.圆是中心对称图形,对称中心 是圆心. 3.旋转不变性(独有). 圆是旋转对称图形,旋转中心是圆心. 即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什么 关系？ A M 如图： B AOB= COD
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什 么关系？ A M 如图： B AOB= COD
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什么 关系？ A M 如图： B AOB= COD
A E B
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
O
·
F
D
四一三定理的应用： ⌒ ⌒ ⌒ 例1.如图，AB是⊙O 的直径， BC=CD=DE, ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． ⌒ ⌒ ⌒ 解： Q BC=CD=DE
E D 35° 35° 35° O C
BOC=COD=DOE=35
B
A
·
AOE 180 3 35 75
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
D
A
●
D
A
●
B
O
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
题设
（ 条 件 ）
结论
┏ A′ D′ B′
在 同 前 圆 提 或 等 圆 中 ( )
2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件
2.2
圆的对称性（一）
复习回忆
1、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋 转后的图形能够和原来的图形互相重合，那 么这个图形叫做中心对称图形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
2、圆是中心对称图形，圆心是它的 对称中心。
尝 试
1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的 O和 O’
AB = A’B’ AOB= A’O’B’
3.
AB=A’B’
1的圆心角
C D
1的弧
O
n的圆心角
B A
n的弧
n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例 1：如图在 ABC 中， C=90， B=28，以 C为圆心， 以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E ， 求 AD， DE的度数。
B
D
E
A
C
例 2：如图 ,AB,AC,BC 都是 O的弦， AOC= BOC， ABC与 BAC相等吗？为什么？
解： ABC= BAC
∵ AOC= BOC
O
AC=BC
ABC= BAC
A C B
巩固练习
1.如图，在 O中，AC =BD ， AOB=50，求 COD的度数。 A
C D O B A
O B C
2.如图，在 O中，AB =AC， A=40，求 ABC的度数。
3.如图，在同圆中，若 AOB=2 COD，则AB与 2CD的大小关系是（ （ A）AB ＞ 2CD (B) AB ＜ 2CD (C) AB＝ 2CD (D) 不能确定
初中数学 教案：27.1.2 圆的对称性
27.1.2圆的对称性教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法．重点难点： 1.重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系．2.难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题．教学过程：一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的．如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合．由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．二、新课1.同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．实验1.将图形28.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，．AB=AB实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等．图23.1.3图23.1.4问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？实验2、如图28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？ 显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC=BC ，AD=BD ．请同学们用一句话加以概括． （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 2.同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用．（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计图28.1.5，在⊙O 中，AC BC =，145∠=︒，求2∠种植方案．（2）如的度数．3、课堂练习：P38练习1、2、3 三、课堂小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等．（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等．（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等．（4）垂直于弦的直径平分弦，并图23.1.7图 23.1.5且平分弦所对的两条弧．四、作业Ｐ42 习题28.1 1、2、3、4、5。
圆的对称性
37mC
B
r
r-7
O
Байду номын сангаас
圆 你能破镜重 吗？
n
m C
A
B
·O
本课小 结
本节课大家学习了圆的重要定理：垂径定理 垂径定理的实质是在①过圆心②垂直于弦③平 分弦④平分劣弧⑤平分优弧五个条件中只要知 道两个条件就能得出其余三个结论。
在解决有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线， 连接相应半径，构造直角三角形。
新知探究
如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于E，AE=BE,
你能发现什么结论？
C
CD⊥AB
A
(( ((
●O
AD=BD
C
O
D
E
A
∟
B AC=BC
B
D
推论1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。
新知探究
( (
如图，在⊙O中的弦，直径CD交弦AB于E，且 AD=BD
你能发现什么结论？
C
CD⊥AB
AE=BE
●O
E
A
B
D
推论2:平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦，并且平分弦所对的另一条弧。
( (
( (
如图,在下列五个条件中: ①CD是直径, ②CD⊥AB, ③AE=BE, ④AD=BD ⑤AC=BC
只要具备其C 中两个条件,就可推出其余“三知个二结推三论”.
●O
E
A
∟
B
D
小试牛刀
课 后作业 课本40页1、2题
半弦
如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8厘米，圆心O到AB的 A 距离为3厘米，求⊙O的半径。半径
C
27.1.2-圆的对称性1
M
O
C
A
探索三：
N
①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
第34页，共52页。
B
② MN⊥AB ③
AC=BC ④弧 AM=弧BM
推论1:
(3)平分弦所对的一 条弧的直径,垂直平分 弦,并且平分弦所对的 另一条弧。
第35页，共52页。
推论1:
简称：知二推三
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧；
第17页，共52页。
在⊙O中，若
则AB与CD的关系是（ ）
A． AB＝2CD
B． AB＜2CD
C． AB＞2CD D． CD＜AB＜2CD
第18页，共52页。
探索2：再做一做,想一想:
如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条 垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着 直径CD对折，比较AP与PB、弧AC与弧CB，
D
点E就是所求弧AB的中点。
第40页，共52页。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C
m
n
F
E
G
A
B
D
第41页，共52页。
错在哪里？
●作AB的垂直平分线CD。 E
C
G
●作AT．BT的垂直
平分线EF．GH
N
M
P
A
T
B
等分弧时一定
要作弧所夹弦的
垂直平分线。
F
H D
第42页，共52页。
m
A
C E
变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？
已知
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
初中数学课件-圆的对称性课件北师大版2
（1）此图是轴对称图形，对称轴是 直径CD所在的直线
（2）AP=BP， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
D
O
P
A
B
C
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P. 求证：AP=BP， A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
FB
C
ED
O· A
·O'
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2COD，那么，A⌒B与C⌒D，
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现： D
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
· OA
那么，A⌒B=C⌒D，弦AB=弦CD
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理
圆的对称性1
第三章圆2．圆的对称性（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。
学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。
同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。
二、教学任务分析圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
具体地说，本节课的教学目标是：知识与技能：1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。
三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。
第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置）1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）2.预习课本P88~P92内容活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。
实际教学效果：1.学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。
2.预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。
圆的对称性—知识讲解(基础)
圆的对称性—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【答案与解析】解：∵E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
圆的对称性教学设计
第27章圆27.1.2．圆旳对称性一、学情分析学生旳知识技能基本：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形旳有关概念及性质，以及本节定理旳证明要用到三角形全等旳知识等。
在上节课中，学生学习了圆旳轴对称性，并运用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。
学生具有一定旳研究图形旳措施，基本掌握探究问题旳途径，具有合情推理旳能力，并逐渐发展了逻辑推理能力。
学生旳活动经验基本：在平时旳学习中，学生逐渐适应应用多种手段和措施探究图形旳性质。
同步，在平时旳教学中，比较注重学生独立摸索和四人小组互相合伙交流，使学生形成某些数学活动旳经验基本，具有一定探求新知旳能力。
二、教学任务分析知识与技能：1．理解圆旳旋转不变性；2．运用圆旳旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系旳定理．过程与措施：1．经历摸索圆旳对称性及有关性质旳过程，进一步体会和理解研究几何图形旳多种措施。
2．通过观测、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题旳能力。
情感态度与价值观：培养学生积极摸索数学问题旳态度与措施。
教学重点：运用圆旳旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系旳定理．教学难点：理解有关定理中“同圆”或“等圆”旳前提条件．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。
第一环节 课前准备活动内容：（提前一天布置）1、每人用透明旳胶片制作两个等圆。
2、预习课本P37--39内容。
第二环节 创设情境，引入新课活动内容：问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么措施来研究它旳，它们旳定义是什么？活动目旳：为了引出圆旳轴对称和旋转不变性。
第三环节 合伙探究 感受新知活动内容：（一）通过教师演示实验，探究圆旳旋转不变性；请同窗们观测屏幕上两个半径相等旳圆。
请回答：它们重叠吗？如果重叠，将它们旳圆心固定。
将上面旳圆旋转任意一种角度，两个圆还重叠吗 ?归纳：圆具有旋转不变性。
27.1.2圆的对称性(华师版)
C
P
O B
第58页，共60页。
A D
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。
求证：CD＝AE＝BF。
A C
E
FD
O
B
第59页，共60页。
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对 的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越 长？
AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别 是AB和CD的弦心距，如果AB>CD，那么 OM和ON有什么关系？为什么？
A
如图： AOB= COD
B
o
C
D
第36页，共60页。
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
☺
o
C
D
第37页，共60页。
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
o
C
D
第38页，共60页。
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
（）
注意：等弧的度数一定相等，但度 数相等的弧不一定是等弧！
第56页，共60页。
1、已知：在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。
2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC
的度数为40°，求∠BOD的度数。
E
A
C
O
D B
第57页，共60页。
3、已知：如图， PB＝PD. 求证： AB=CD 。
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
第3页，共60页。
2712圆的对称性
第1页2圆的对第2课时圆的对称性教学目标一、基本目标1.理解并掌握圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，乂是中心对称图形.2.理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系.二、重难点目标【教学重点】圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系.【教学难点】利用同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题.教学过程环节1 口学提纲，生成问题[5 nrni阅读】阅读教材P37〜P39的内容，完成下面练习.[3 nmi反馈】1.圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，一对称中心即为其圆心 ___ .2.（1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. （2）在同圆或等圆中，如果两弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等一一一（3）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 ------------ .3,圆是轴对称图形，它的任意一条直径都是它的对称轴 ---------4.如图，在00 中，若ZA0B=ZC0D,则AB = CD, AB— =CD— : _若AB— =CD—,则ZA0B = ZC0D, AB = CD: -------------------若AB = CD, WlJZA0B = ZC0D, AB— =CD— , ADB— =CBD..环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论（师生互学）【例1】如图，AB、DE是（30的直径，c是Oo上的一点，H AD—=CE—.BE与CE 的第2页大小有什么关系？为什么？【互动探索】（引发学生思考）根据圆心角、弦、弧之间的关系可得AD-二BE-，再结合已知条件AD-二CE-即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论.【解答】BE二CE.理由：TZAOD — ZBOE , ••-AD-—二BE—** .―# ・*-BE CE.【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时,应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断.【例2】如图，A、B、C是G>0上三点，ZAOB=120° , C是AB—的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由.【互动探索】（引发学生思考）观察法：由ZAOB二120° ,（2是AB-的中点,可想到连结OC — OA = AC = OC = BC = OB —四边形OACB 是菱形.［解答］四边形OACB是菱形.理由如下：如图,连结OC. TZAOB二120° , C是的中点,/.ZAOC = ZBOC = 12ZAOB = 60°.又TCO = BO ,•••△OBC是等边三角形,/.OB = BC.同理可得，AOCA 是等边三角形，.•.OA 二AC.又TOA 二OB , .*.OA = AC = BC = BO , 四边形OACB是菱形.【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线（连结弧中点和圆心）解决问题■活动2巩固练习（学生独学）第3页1.如图，在€>0中，己知AB— =CD—，则AC与BD的关系是（A）A. AC = BDB.AC<BDC. AC>BDD・不确定2.如图，AB 是00 的直径，BC、CD. DA 是G>0 的弦，XL BC = CD=DA,求ZBOD 的度数.解：连结OC.TBC、CD、DA 是O0 的弦，且BC 二CD 二DA ,・・・ZA0D 二ZD0C 二ZB0C.又IAB 是00 的直径「・ZB0D 二23X180° = 120°.3.如图，在G）O中，弦AB = CD,那么ZA0C和ZBOD相等吗？请说明理由.解:ZAOC = ZBOD.理由如下:•・•在O0 中，弦AB 二CD ,・・・ZA0B = ZCOD # /.ZA0B - Z COB = ZCOD - ZCOB # /.ZAOC = ZBOD.4.如图，AB、CD 为00 的直径，AC— =CE—.求证：BD = CE.证明:连结AC/.-AC— = CE— ,・・・AC = CE//ZAOC = ZBOD「•AC = BD f /.BD = CE•活动3拓展延伸（学生对学）【例3】如图，已知AB是<30的直径，M、N分别是AO、B0的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证：AC— =BD—.【互动探索】求证AC-二BD-,由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作辅助线连结OC、0D ,从而通过证明ZC0M = ZD0N来得到AC—二BD—.【证明】如图，连结OC、0D.TAB是的直径，M、N分别是AO、B0的中点，/.OM 二ON.TCM 丄AB f DN 丄AB ,/.ZOMC = ZOND = 90°.在Rt^OMC 和R20ND 中，T????? OC = OD , OM = ON r/.Rt^OMC^Rt-OND（HL）,・・・ZC0M二ZDON「・・AC—二BD—・第4页【互动总结】（学生总结，老师点评）在同圆或等圆中，如果两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，另吆它们所对应的其余各组量都分别相等• 环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）圆的对称性????？圆是旋转对称图形弧、眩、圆心角的关系圆是轴对称图形练习设计请完成本课时对应训练！第3课时*垂径定理教学目标一、基本目标1 •理解与掌握垂径定理及其推论.2.运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论.【教学难点】利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题.教学过程环节1 口学提纲，生成问题[5 mm阅读】阅读教材P39〜F40的内容，完成下而练习.[3 mm反馈】1. •垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且半分这条弦所对的两条弧.——----- 即一条直线如果满足：①直线经过圆心0且与圆交于C、D两点：②AB丄CD 交CD 于M.那么AM = BM=12AB, AC— =BC— , AD— =BD— .2.垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直丁这条弦- 并且半分这条弦所对的两条弧.（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. -------------环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论（师生互学）第5页【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图1）,此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深（即阴影部分的弓形高）. 图1 图2【互动探索】（引发学生思考）要求此时的水深，即阴影部分的弓形高一结合垂径定理, 作辅助线（如图2）-构造直角三角形求出CD长即可.【解答】如图2 ,过点0作OD丄AB于点C ,交OO于点D ,连结OB.根据垂径定理,得C是AB的中点’D是AB—的中点，CD就是水深，贝9 BC = 1- 2AB = 0.3 米.又由题意可知，0D二0B二0.5米，所以在R2OBC中,由勾股定理,得OCV = OB2 - BC2二0.4米，所以CD = OD - OC = 0.1 米,即此时的水深为0」米.【互动总结】（学生总结，老师点评）在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形,再在直角三角形中运用勾股定理来解决•【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD-，点0是CD-所在圆的圆心），其中CD=600m, E为CD—上一点，且OE丄CD,垂足为F, EF = 90m,求这段弯路的半径.【互动探索】（引发学生思考）要求这段弯路的半径，可转化为求OC的长,结合已知条件,在R2OCF中利用勾股定理即可求得OC的长.【解答】连结OC-设弯路的半径为Rm，则OF二（R - 90）m. TOE丄CD ,.•.CF 二12CD 二1_ 2X600 = 300（m）.在Rt^OCF中,根据勾股定理，得0C2 = CF2 + 0F2 ,即R2 = 3002 + （R - 90）2.解得R = 545.第6页.••这段弯路的半径为545讥【互动总结】（学生总结，老师点评）常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形■活动2巩固练习（学生独学）1.如图，AB为O0的弦，O0的半径为5, OC丄AB于点D,交00 T点C, J1CD=1, 则弦AB的长是多少？解：弦AB的长是6.2. 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB = 10cm,水面宽AB=16cm.求截面圆心0到水面的距离.解：截面圆心0到水面的距离为6 cm.3.如图，AB为半圆的直径，0为圆心，C为半圆上一点，E是——AC的中点，0E交弦AC于点D,若AC = 8 cm, DE=2 cm,求OD的长.解：OD 二 3 cm.4.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB = 60m,水而到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN = 32m时是否需要釆取紧急措施？请说明理由.解：不需要采取紧急措施•理由如下：如图，连结0M ,设OA = Rm.由题意知,在Rt △AOC 中，AC 二12AB 二30 m , CD 二18 m , .•.由勾股定理，得Rz = 30: + (R - 18)2 ,解得R =34.又在R2MOE 中，ME 二丄2MN = 16 m , .*.342 = I62 + (34 - DE)2 ,解得DE 二4 m 或64 m(不合题意，舍去),/.DE二4 m . T4 > 3.5 ,二不需要采取紧急措施.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知O0的半径为13,弦AB = 24,弦CD=10, AB//CD,求这两条平行弦AB、CD之间的距离.【互动探索】画出几何示意图一要求两条平行弦AB、CD之间的距离一利用垂径定理求解一作辅助线，构造直角三角形【解答】分两种情况讨论:当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ,过点O作OF丄CD于点F ,交AB于点E ,连结OC、OA.由题意可知,OA = OC=13.第7页TABIICD , OF丄CD r .\OE±AB.又TAB = 24 # CD= 10 r・•・由垂径定理，得AE二1_ 2AB = 12 f CF= 12CD = 5 #・・・由勾股定= OC2 - CFz= 12 f /.EF = OF - 0E = 7.当弦AB和CD在圆心异侧时#如图2 ,过点0作OF丄CD于点F ,反向延长OF交AB于点E ,连结OC、OA.同理可得,EO = 5 , OF = 12 , /.EF = OF + OE= 17.综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.［互动总结］（学生总结,老师点评）解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧, 再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可•要注意分类讨论思根的应用，”心别漏解•环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）垂径定理及其逆定理，以及常用的辅助线（作垂径）和解题思路（构造由半径、半弦、眩心距组成的直角三角形）.练习设计请完成本课时对应训练！。
2022春九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂直于弦的直径性质习题课件华东
A．AD＝BD B．AF＝BF C．OF＝CF D．AC＝︵BC ︵
【点拨】∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴点D是 优弧ADB的中点，点C是劣弧ACB的中点，且AF＝ BF，故选项A，B，D一定正确；无法证明OF＝CF， 故选C. 【答案】C
2．【2020·滨州】在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于
HS版九年级下
第27章 圆
27．1.2 圆的对称性 第2课时 垂直于弦的直径性质
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1C 2C 3B 4C
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5 见习题 6C 7B 8 26
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9 见习题
10 见习题
11 见习题
12 见习题
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13 见习题
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连结BC、
设半径OA＝OE＝r寸， ∵ED＝1寸，∴OD＝(r－1)寸． 在Rt△OAD中，根据勾股定理可得(r－1)2＋52＝r2， 解得r＝13.∴木材的直径为26寸．
【答案】26
9 ． 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， CD 是 ⊙ O 的 一 条 弦 ， CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE； ︵︵ ②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中一定正确的 有( )
*8.【2020•宁夏】我国古代数学经典著作《九章算术》中 记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁 中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问 径几何？”意思是：今有一圆柱形
木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺 (1尺＝10寸)．这根圆柱形木材的直径是________寸． 【点拨】由题意可知 OE⊥AB. ∵OE 为⊙O 的半径， ∴AD＝BD＝12AB＝12尺＝5 寸．
27.1.2圆的中心对称性
圆的中心对称性
如下图所示，已知在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB， OF⊥CD.垂足分别为E、F.
（1）如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么 关系？为什么？
（2）如果OE=OF,那么 A⌒B, ⌒CD 的大小有什么关系？
∠AOB与∠COD呢？为什么？
思考：通过此例的解答，大家有什么新的发现吗？
第27章 圆
27.1.2 ----圆的中心对称性
回忆、交流：
（1）：你能说说什么是旋转对称图形？怎样的图形是中心对称图形吗？ （2）：圆是旋转对称图形吗?是中心对称图形吗？为什么？
结论：圆是旋转对称图形，同时也是中心对称图形。
圆心就是对称中心。
圆的中心对称性
观察，实验、发现：
将图（1）中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转 一个角度，得到旋转后图（2）的图形，比较这两个图形， 你发现了什么等量关系？和同桌交流一下你得到的结论；
圆的中心对称性
如图所示， AB,DE是 ⊙O的直径，C是⊙O上一点,且 ⌒AD = ⌒CE .
那么BE与CE的大小有什么关系？为什么？
圆的中心对称性
在同圆或等圆中，圆心角、它所对的弧、 它所对的弦,所对的弦的弦心距这四个量中，若 有一个量相等，则其余三个量也都相等（注意 “所对的”这个关键词）。
A⌒B =
⌒
CD
本节课你的收获是什简单地说：在同圆或等圆中，圆心角、它 所对的弧、它所对的弦,所对的弦的弦心距这四 个量中，若有一个量相等，则其余三个量也都 相等（注意“所对的”这个关键词）。
圆的中心对称性
A⌒C = ⌒BD
圆的中心对称性
A⌒C
圆的中心对称性
如图所示，⊙O中，弦AB=CD,求证：AD=BC.