平行四边形证明练习题

平行四边形证明练习题
平行四边形证明练习题
一．解答题
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2
求证：△ABE≌△CDF．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．
7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB 于点E，F．求证：DE=BF．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC 上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：_________（2）请证明你的猜想．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：EF=DG且EF∥DG．
22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH 过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
平行四边形证明练习题
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF
又∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
考
点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出
△ABE≌△CDF是证此题的关键．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2
求证：△ABE≌△CDF．
考
点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定．
分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，
∴在：△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
考
点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E 是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，
又∵EC=ED，
∴△EBC≌△EFD（AAS），
∴BC=DF．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
考
点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．
解答：解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：连接DE、BF．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
点评：本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形
等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
求证：△ABE≌△CDF．
考
点：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．
分析：根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证
7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB 于点E，F．求证：DE=BF．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质得到DC=AB，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可证出答案．
解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵DC=AB，
∴DE=BF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE 全等．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
考点：等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
分析：根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：解：是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∴∠AEB=∠C，
∴AE∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
分析：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．
解答：证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证
Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△AED和Rt△CFB中
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），∴∠ADE=∠CBD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出
AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专
题：
证明题．
分析：求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．
求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．
分析：（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可证出答案．
解答：证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∵AB=DC，
∴DE=DC．
（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，∴DC=EC，
由（1）知：DE=DC，
∴DE=DC=EC，
∴△DEC是等边三角形．
点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC 上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
考
点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF 与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等；
DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF的形状．
解答：证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC（1分）
∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）
∴△ADF≌△CBE（4分）
（2）四边形DEBF是平行四边形（5分）∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形（6分）
点评：本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
解答：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；
又∵AE=CG，AH=CF（已知），
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），
∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要
认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合
理、灵活地选择方法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：
平行且相等
（2）请证明你的猜想．
考
点：
平行四边形的判定与性质．
分析：（1）BE平行且等于DF；
（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF 即可．
解答：（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．
（2）证明：连接BD交AC于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
考
点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
∵BE∥DF（已知），
∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=∠CFD（等量代换），
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．
点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
考
点：
平行四边形的判定与性质．
分析：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．
解证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
答：∴AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，∴EB=AB，DF=CD，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴ED=BF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．
18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．
分析：根据平行四边形性质和角平分线定义求出
∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，
∴DF∥BE，
∵AD∥BC，即ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
点评：本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知
OA=OC，OB=OD；然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．又∵点E、F分别为AO、OC的中点，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．
分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．
解解：BD平分EF，理由是：
答：证法一、连接BE、DF．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，
即BD平分EF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：EF=DG且EF∥DG．
考点：三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．
分析：根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，
GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平
行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．
解答：证明：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE=BC，
同理：GF∥BC，GF=BC，
∴GF=DE，GF∥DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF=DG，EF∥DG．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH 过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
考
点：
平行四边形的判定与性质．
分析：根据平行四边形性质得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS 证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵AD∥BC，
∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO和△CHO中
，
∴△AGO≌△CHO（AAS），
∴OG=OH，
∵OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．。