基本的图算法

3.

要求对于邻接矩阵和邻接链表给出从G 到T

G 的算法，并计算其复杂度。

对于邻接矩阵问题十分简单，直接求矩阵的转置即可，意味着把行换成列，把列换成行，对每行操作为O(|V|)，需要对|V|行操作，时间复杂度为O （|V|^2）。

对于邻接链表，很明显要遍历链表的所有结点来看：如果对于u 结点其指向的结点中有v,则在新的链表中，创建一条从v 的链表指向u 的路径，因此需要遍历所有的链表元素，因此时间复杂度为O （|V|+|E|）。

3. 给出一个多图（多图为包含重复边和自循环边的图）去除冗余边的复杂度为O(V+E)的算法。

遍历邻接链表的所有结点，对于结点u ，如果其链表中还有u ，则去除所有的u ；如果还有重复的v ，则去除除了第一个v 以外的v 结点（这里的标记方法有很多种，可以用个数组）。这样的复杂度应该在O(V+E)。

4. 求解平方图的问题

算法如下：遍历G 的邻接矩阵，对于结点u ，如果存在u 到v 的路径，则在G^2的邻接矩阵u 中加入v,然后再遍历v 结点的链表，如果存在v 到w ，则将w 也加入到G^2的邻接矩阵u 中。

时间复杂度：这样，再遍历u 的时候，如果遍历到了u →v 这条边，那就在看v 的链表，而v 的链表里最多有|V|个结点，因此总的复杂度为O （|V|+|V|·|E|）。

6. 邻接矩阵求通用汇点（入度为|V|-1但是出度为0）的算法

算法如下：从（1，1）开始扫描邻接矩阵，如果（i,j ）是0，则下一个扫描（i,j+1）;如果（i ，j ）是1，则下一个扫描（i+1，j ）,当i 或者j 任一方到达|V|时停止。

这样，在最坏的情况下，扫描一行加一列或者一列加一行的结点，一共有2*|V|-1时间复杂度，因此为O(V)。

7. 关联矩阵，说明BB^T 每个元素是什么意思。

其中bij = -1 （如果边j 从结点i 发出）

1（如果边j 进入i 结点） 0（其他）

此处需要分类讨论：要明白B^T 中i 行相当于B 中第i 列。

①BB^T 对角线上的元素，T

B B （i ，i ） =

∑=|

E |1

j 2

bij

，这样如果存在一条由i 发出或者进

入i 的边，都会在T B B （i ，i ）中加一（因为就算是-1平方之后也是1），因此T

B B （i ，i ）就是代表由多少条边从i 发出或者进入。

②BB^T 非对角线元素，T

B B （i ，j ） =

∑=|

|1

k E jk ik

b b

,由公式或者读者自己画矩阵图可以

得出，如果k 边从i 发出从j 进入，或者反过来，bik*bjk 就等于-1，否则就为0。原因是i,j

不可能位于k 边的同一侧，所有必然一正一负。如果k 不通过i 或者不通过j ，则其中一个为0，而结果为0。因此T B B （i,j ）可以表示存在多少i,j 之间的边，但是加了一个负号。

8. Adj[u]每个项不是链表而是散列表，包含（u ，v ）这条边在图中存在的结点v 。判断一条边是否在图中存在的期望时间是多少？

期望的时间是O(1)，但是最差情况下要扫描所有结点，因此是O(V)。运用二叉树搜索可以将最坏的时间降低为O(lgV)，但是期望时间变坏，因为没有散列表的概率了。

22.2广度优先搜索

广度优先搜索的复杂度为O(V+E)，其中O(V)为初始化的复杂度，O(E)为扫描邻接链表复杂度。

1——2：略

3. 使用单个位来表示颜色，单个位只能表示位0/1，因此颜色只有白和灰，黑色无法表示，因此删除第十八行对每个结点扫描结束后赋值为黑色的一行代码。

证明：直接一想就可以，代码第十三行，v.color==WHITE才会进行处理，灰色同样不处理，而算法最后之所以设置为黑色，是为了在研究算法的过程中给出一个更加形象的说明而已。

4.如果换成邻接矩阵的话，BFS的时间复杂度将变为多少

如果换成邻接矩阵，在扫描队列中结点i的时候，必须将mat(i,-)这一行所有的结点都扫描1遍，复杂度为O(V)，而扫描队列中每个结点，因此复杂度为O(V^2)。

5.证明：在广度优先算法里，赋给结点u的u.d值与结点在邻接链表里出现的次序无关。使用下图为例子，证明：BFS所计算出来广度优先树可以因邻接链表中的次序不同而不同。

证明：①即使在邻接链表出现的次序不同，根据广度优先搜索的算法，这些结点的u.d 值都是u.pai.d+1（pai一概表示为先驱结点），因此与次序无关。

②广度优先树也是前驱子图。读者可行根据上图进行证明，过于简单不再细细解释，提示：t,x在链表中的不同顺序可能会导致生成两种不同的树。

6.请你举出一个图和一个树边的例子，图中源点到某一点的最短路径也是树边中的一条简单路径，但是无论在邻接链表中结点的顺序怎么排列，都无法通过BFS找到这树边。

就这样一个图，无论2，5在结点1中的顺序如果，都无法找到以下树边：

因为在BFS中，3，4总会连在同一个结点上。

7.根据时间复杂度为O(n+r)很明显可以看出这是一个BFS的应用，对BFS稍加修改就可以对链表进行处理分出娃娃脸型和高跟鞋型。

8.给出一个有效算法来求树的直径，树的直径就是树的所有最短路径中的最大值。

宽度优先搜索算法恰好可以求最短路径，从树的根节点s开始运行BFS（G，s），找出最后一个结点u,然后再运行以此BFS算法BFS（G,u），这次找到宽度优先搜索的最后一个结点v的v.d值就是树的直径。时间复杂度等同于BFS为O(V+E)，在官方给出的答案中这里的时间复杂度为O(V)，因为在树中边的数量和结点的数量是相关的（|E| = |V|-1），因此此处的时间复杂度进一步简化可以简化到O(V)。

9.G为一个连通无向图，给出一个算法在O（V+E）时间内计算图G中这样一个路径：该路径正反通过E中每条边恰好正反一次。

图G为一个无向图，找一个路径正好正反通过E中每条边，这个很像一个欧拉回路的问题。也类似与用BFS生成一个树。

Make_Path(u){

从u开始，如果G中存在u——v的路径并且v不在树中，则创建一个到v再返回u的环，这时候相当于设置v.pai = u；

然后遍历每个u——v的v，如果v不等于u.pai，则创建一条到v的路径并执行Make_Path(v);

算法最后执行路径回到u.pai；

}

举个例子：