中考数学 专题八 充满活力的韦达定理培优试题

专题八 充满活力的韦达定理

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典例导析

类型一：直接运用公式

例1：若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，则____=+b a

[点拨] 运用公式a b x x =

+21，a c x x =21 [解答]

[变式] 已知一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，则

_____11=+b

a 类型二：求方程中的字母系数

例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，如果12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。

[点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式

[解答]

[变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）之两根为21,x x ，

且14221=+x x 。求k 值及方程的两根。

类型三：利用已知根求未知数的值

例3：已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，则m= ，n= 。

[点拨] 运用公式得方程

[解答]

[变式] 已知方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。

类型四：利用公式求有关根的代数式的值

例4：已知b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。

[点拨] 转化成b a +，ab

[解答]

[变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。

类型五：与判别式的综合运用

例5：已知关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。

①求m 的取值范围。

②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。

[点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性

[解答]

[变式]若关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。

①求实数k 的取值。

②设k t βα+=

，求t 的最小值。

培优训练

1、已知βα,是一元二次方程0342=--x x 的两个实数根，则代数式______)3)(3(=--βα

2、已知关于x 的方程0162=++-k x x 的两实根是21,x x ，且242221=+x x ，求k 值。

3、已知一元二次方程013)13(2

=-++-x x 的两根为21,x x ，求2111x x +。

4、已知βα,是方程0522=-+x x 的两个实数根，求ααβα22++的值。

5、关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，则m 值为 。

6、已知一元二次方程022=+-m x x 。

①若方程有两个实数根，求m 的范围。

②若方程的两个实数根为21,x x ，且3321=+x x ，求m 的值。

7、关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两个实数根分别是21,x x ，且72221=+x x 。求

221)(x x -的值。

竞赛训练

1、关于x 的一元二次方程012=-+-p x x 的两实根21,x x 。

①求P 的取值范围。

②若9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x ，求P 的值。

2、设m 是不小于－1的实数，关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两不等实根。①若62221=+x x ，求m 的值。

②求22212111x mx x mx -+-的最大值。

3、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab 。

求代数式201722)1(a

b ab ++的值。

4、已知整数p 、q 满足P+q=2010，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两根均为正整数，求P 值。