中考数学 专题八 充满活力的韦达定理培优试题
韦达定理练习题初三
韦达定理练习题初三韦达定理是初中数学中的重要定理之一，它为我们解决三角形中的问题提供了有效的工具。
在初三学习阶段，我们需要通过练习题的形式，巩固和应用韦达定理的知识。
下面是一些韦达定理练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
【题目一】已知△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，求△ABC的高。
【解题思路】根据韦达定理，对于三角形ABC，有公式：a² = b² + c² - 2bc * cosA其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A表示夹角。
根据已知条件，代入公式中可得：8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosA进一步计算可得：64 = 36 + 100 - 120cosA28 = -120cosAcosA ≈ -0.233由于A为锐角，cosA不可能为负数，因此此题无解。
【题目二】已知△ABC中，AB = 12，BC = 18，AC = 24，求△ABC的面积。
【解题思路】根据韦达定理，我们可以先通过余弦定理求得角BAC的值。
cosA = (b² + c² - a²) / 2bccosA = (18² + 24² - 12²) / 2 * 18 * 24cosA ≈ 0.5由于韦达定理中的角A为夹角，无法直接计算面积，我们需要进一步计算角B、角C。
角B = arcsin(b * sinA / a)角B = arcsin(18 * sin(0.5) / 12)角B ≈ 0.573 rad角C = π - A - B角C = π - 0.5 - 0.573角C ≈ 2.068 rad根据三角形面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，代入已知条件可得：S = 0.5 * 12 * 18 * sin(2.068)S ≈ 110.4所以，△ABC的面积约为110.4平方单位。
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
韦达定理练习题初三
韦达定理练习题初三一、选择题1. 若一个一元二次方程的两个根分别是α和β，则下列选项中正确的是（）A. α + β = 0B. αβ = 1C. α + β = b/aD. αβ = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，则x1 x2的值为（）A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为x1和x2，则下列说法错误的是（）A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = c/aC. 若a > 0，则方程有两个实数根D. 若b^2 4ac < 0，则方程有两个不相等的实数根二、填空题1. 已知一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2 = _______。
2. 若一元二次方程x^2 3x + k = 0有两个实数根，则k的取值范围是_______。
3. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两个根为x1和x2，则x1 x2 = _______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两个根为x1和x2，且x1 x2 = 6，求k的值。
2. 已知一元二次方程x^2 (a+2)x + a = 0的两个根为x1和x2，且x1 + x2 = 4，求a的值。
3. 设一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为x1和x2，且x1 + x2 = 5，x1 x2 = 6，求a、b、c的关系。
4. 已知一元二次方程x^2 4x + m = 0的两个根为x1和x2，且x1和x2是两个连续的正整数，求m的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (k+2)x + k^2 5 = 0有两个实数根，求k的取值范围。
四、应用题1. 小华解一元二次方程x^2 (3a+1)x + 2a^2 = 0时，发现两个根的和是7，请问a的值是多少？2. 在一个三角形中，三边的长度分别是x、x+1和x+2，已知x是方程x^2 (a+3)x + 6 = 0的一个根，求a的值。
初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ） （A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
初中数学精品试题：韦达定理
例：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．求：m+n=，m•n=；变式一：已知方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．变式二：设a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，且a≠b，则a+b=变式三：设a2+1=3a，b2+1=3b．则代数式baa+b的值为一、精题精炼变式四：若一元二次方程2x 2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m 的取值范围．二、问鼎巅峰已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x31＋14x2＋55＝______．三、参考答案【例题】直接根据根与系数的关系求解；得m+n=﹣=3，mn=；变式一：解：∵方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=，x1•x2=﹣；（1）原式===﹣2；（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=；（3）原式===﹣3；（4）原式=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×（﹣）=．变式二：对于a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b ﹣1=0两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=2；变式三：当a≠b，对于a2+1=3a，b2+1=3b两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1所以：+===3当a=b，则原式=2∴答案为2或者3变式四：，解得m＜1．问鼎巅峰【解析】∵x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，∴x21＋4x1＋2＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝2，∴x21＝－4x1－2，而x31＝x21·x1，∴x31＋14x2＋55＝x21·x1＋14x2＋55＝(－4x1－2)·x1＋14x2＋55＝－4x21－2x1＋14x2＋55＝－4(－4x1－2)－2x1＋14x2＋55＝14(x1＋x2)＋8＋55＝14×(－4)＋63＝7.四、回味展望本类题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
初中数学韦达定理习题及答案
B､应为a4÷a=a3,故本选项错误;
C､应为a3a2=a5,故本选项错误;
D､(﹣a2)3=﹣a6,正确.
故选D.
点评:本题考查合并同类项,同底数幂的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方的性质,熟练掌握运算性质是解题的关键.
2.
考点:多项式乘多项式｡1923992
13.(4分)若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2﹣1成立,则a的值为_________ .
答案:
7.
考点:零指数幂;有理数的乘方｡1923992
专题:计算题｡
分析:(1)根据零指数的意义可知x﹣4≠0,即x≠4;
(2)根据乘方运算法则和有理数运算顺序计算即可.
解答:解:(1)根据零指数的意义可知x﹣4≠0,
分析:根据多项式乘多项式法则,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,计算即可.
解答:解:(x﹣a)(x2+ax+a2),
=x3+ax2+a2x﹣ax2﹣a2x﹣a3,
=x3﹣a3.
故选B.
点评:本题考查了多项式乘多项式法则,合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同.
3.
13.
考点:整式的混合运算｡1923992
分析:运用完全平方公式计算等式右边,再根据常数项相等列出等式,求解即可.
解答:解:∵(x+2)2﹣1=x2+4x+4﹣1,
∴a=4﹣1,
解得a=3.
故本题答案为:3.
点评:本题考查了完全平方公式,熟记公式,根据常数项相等列式是解题的关键.
以上对整式的乘除与因式分解单元测试卷的练习学习,同学们都能很好的掌握了吧,希望同学们都能很好的参考,迎接考试工作｡
2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-112且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3k=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2=-1，∵k >-112且k ≠0，∴k =14．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，解得：m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2=2m-2，x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2，即5m2-8m-4=0，解得：m1=-25，m2=2(舍去)，∴实数m的值为-25.3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，∴x1+x2=--41=4，x1∙x2=51=5.(2)∵x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1∙x2=-3，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42，1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2．(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4m+8≥0，即m≥5+43，或m≤5-43，∵x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，∴x1+x2=m-3，x1∙x2=m+8，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13，即m-32-2m+8=13，解得，m=-2或m=10．即m的值是-2或10．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．【答案】解：(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a，2a，由根与系数的关系，得a+2a=3，a×2a=c，解得a=1，则2a=2．∴c=2．(2)由方程x-2mx-n=0m≠0，解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，∴n m =1或nm=4，当nm=1时，2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1；当nm=4时，2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5，变形，得ax2+bx+c-5=0，由根与系数的关系，得k+1+3-k=-ba，即-ba=4.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，∴x1+x2=4，假设x1=2x2，则3x2=4，解得x2=43，则x1=83，故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k的值．【答案】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0，∴k<512．(2)∵k<512，∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3，得-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=-2，k2=1.又∵k<5 12，∴k=-2．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．【答案】解：(1)根据题意得：Δ=-22-4×2×m+1≥0解得：m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得：x1+x2=1，x1∙x2=m+12，∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解：(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k．∵方程有两个不相等的实数根，∴20-8k>0，∴k<52．(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k=1或2，根据配方法可得：x+12=4-2k+1=5-2k，解得x=-1±5-2k；∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，舍去；当k=2时，5-2k=1；∴k=2．(3)已知x1，x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根，则x1+x2=-2，x1∙x2=2k-4，则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6，解得k=-2，即x1x2=2×-2-4=-8，所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，∴k≤0，∵方程是一元二次方程，∴4k≠0，即k≠0，∴k的取值范围为k<0；(2)不存在，理由如下：∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，且4k≠0，解得k<0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k，若-k-94k=-32成立，则k=9 5，∵k<0，则k=95不成立，∴不存在这样k的值．10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值；②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2，那么S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)证明：当k =1时，原方程可化为2x +2=0，解得：x =-1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根.综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：①由根与系数关系可知，x 1+x 2=-2k k -1，x 1x 2=2k -1；②若S =2，则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2，即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2，将x 1+x 2，x 1x 2代入整理得：k 2-3k +2=0，解得：k =1(舍)或k =2，∴S 的值能为2，此时k =2．韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1=39，求m的值；b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k 的值．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．48已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值；②若S=x2x1+x1x2+x1+x2，那么S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．6。
韦达定理初三练习题
韦达定理初三练习题韦达定理是解决三角形问题的重要定理之一，在初中数学学习中起着关键的作用。
在本篇文章中，我们将通过一些实际的练习题来巩固和应用韦达定理的知识。
请您认真阅读题目，并按照题目要求进行解答。
练习一：已知三角形的两个边长和夹角，求第三边的长度。
1. 已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，夹角为60度。
请计算第三边的长度。
解答：根据韦达定理，我们可以使用以下公式求解：c² = a² + b² - 2abcosC。
其中，c代表第三边，a和b分别代表已知的两个边长，C代表已知的夹角。
根据题目信息，已知的两条边分别为5cm和8cm，夹角为60度。
我们可以将这些数据代入韦达定理的公式中进行计算。
c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 89 - 40= 49因此，第三边的长度为√49，即7cm。
练习二：已知三角形的两个边长和一条高的长度，求另一条高的长度。
2. 已知一个三角形的两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。
请计算另一条高的长度。
解答：我们可以利用韦达定理的性质来求解这个问题。
首先，我们需要找到一个关系式来表示两条高的长度。
根据韦达定理，我们可以得到以下关系式：（a² - b²）/ （a² + b²）= （h₁² - h₂²）/ （h₁² + h₂²）。
其中，a和b代表已知的两边长，h₁和h₂分别代表已知的两条高的长度。
根据题目中的信息，已知两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。
假设另一条高的长度为h₂。
根据关系式，我们可以将这些数据代入，得到以下等式：（6² - 10²）/ （6² + 10²）= （8² - h₂²）/ （8² + h₂²）我们可以通过化简这个等式，解得h₂的值。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
韦达定理练习题
韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。
通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。
练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。
现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。
如果a=b=c，则为等边三角形。
其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。
如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。
然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。
如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。
最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。
练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。
中学数学 韦达定理 练习题(含答案)
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题)思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学历训练1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．参考答案。
韦达定理练习(培优竞赛题)
第三讲 充满活力的韦达定理知识纵横一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．例题求解【例1】(1)已知21x x 是方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且0)(22121>++∙x x x x ，那么实数m 的取值范围是_________（河南省中考题）(2) 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．（绍兴市竞赛题）思路点拨 对于（1），运用根与系数关系建立m 的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。
【例2】如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m 的取值范围是( )A ．10≤≤mB ．43≥m C ．143≤<m D ．143≤≤m（全国初中数学联赛题）思路点拨 设方程的根分别为1、2/1x x ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m 的不等式组。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．（苏州市中考题）思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．（第16届江苏省竞赛题）思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．根的分布【例5】c b a 、、为实数，ac<0,且,0532=++c b a 证明一元二次方程c bx ax ++2有大于53而小于 1 的根。
韦达定理例题初三练习题
韦达定理例题初三练习题韦达定理是高中数学中的重要理论之一，通过韦达定理，我们可以解决一些复杂的几何和代数问题。
今天我们来看几个关于韦达定理的初三练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一定理。
1. 三角形ABC的边长分别为a，b和c，其内角A的对边为a，角B的对边为b，请用韦达定理计算角C的对边c。
解析：根据韦达定理，我们知道a/c = b/a，可以通过交叉相乘得到a^2 = bc，从而可以得到c的表达式为c = sqrt(a^2b)。
因此，角C的对边为sqrt(a^2b)。
2. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0, 0)，B(4, 0)，C(4, 4)和D(0, 4)。
现在我们要求正方形ABCD的对角线的长度。
解析：对于正方形ABCD，其对角线AC和BD互相垂直且相等。
首先计算AC的长度，根据两点坐标之间的距离公式，我们可以得到AC = sqrt((4-0)^2 + (4-0)^2) = 4*sqrt(2)。
同理，BD的长度也为4*sqrt(2)。
因此，正方形ABCD的对角线的长度为4*sqrt(2)。
3. 在三角形ABC中，AB = AC，角BAC = 80°，BC = 5，请计算三角形ABC中角ABC的度数。
解析：根据韦达定理，我们知道AB/AC = sin(ABC)/sin(ACB)，且AB/AC = 1。
由于AB = AC，所以sin(ABC) = sin(ACB)，即角ABC和角ACB的正弦值相等，从而角ABC的度数与角ACB的度数相等。
又因为角BAC = 80°，所以角ACB = (180° - 80°)/2 = 50°。
因此，角ABC的度数也为50°。
4. 在平行四边形ABCD中，AB = 6，BC = 8，角BAD = 120°，请计算平行四边形ABCD的对角线AC的长度。
解析：平行四边形ABCD中，两对立边相等且对角线互相平分。
韦达定理全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
(新)湖南省武冈市2017届中考数学专题八充满活力的韦达定理培优试题无答案
专题八 充满活力的韦达定理姓名： 班别：典例导析类型一：直接运用公式例1：若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，则____=+b a[点拨] 运用公式a b x x =+21，a c x x =21 [解答][变式] 已知一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，则_____11=+b a类型二：求方程中的字母系数例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，如果12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。
[点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式[解答][变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）之两根为21,x x ，且14221=+x x 。
求k 值及方程的两根。
类型三：利用已知根求未知数的值例3：已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，则m= ，n= 。
[点拨] 运用公式得方程[解答][变式] 已知方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
类型四：利用公式求有关根的代数式的值例4：已知b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。
[点拨] 转化成b a +，ab[解答][变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。
类型五：与判别式的综合运用例5：已知关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。
①求m 的取值范围。
②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。
[点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性[解答] [变式]若关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。
①求实数k 的取值。
②设k t βα+=，求t 的最小值。
初中数学韦达定理习题及答案
点评:在考查完全平方公式的前提下,更深层次地对杨辉三角进行了了解.
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考点:规律型:数字的变化类｡1923992
专题:图表型｡
分析:根据表格中的数据发现:老芽数总是前面两个数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和.根据这一规律计算出第8年的老芽数是21a,新芽数是13a,总芽数是34a,则比值为
12.(4分)(2004荆门)某些植物发芽有这样一种规律:当年所发新芽第二年不发芽,老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表(设第一年前的新芽数为a)
第n年12345…
老芽率aa2a3a5a…
新芽率0aa2a3a…
总芽率a2a3a5a8a…
照这样下去,第8年老芽数与总芽数的比值为_________(精确到0.001).
解答:解:A､a2与b3不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B､应为a4÷a=a3,故本选项错误;
C､应为a3a2=a5,故本选项错误;
D､(﹣a2)3=﹣a6,正确.
故选D.
点评:本题考查合并同类项,同底数幂的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方的性质,熟练掌握运算性质是解题的关键.
2.
考点:多项式乘多项式｡1923992
∴(2a+2b)2﹣12=63,
∴(2a+2b)2=64,
2a+2b=±8,
两边同时除以2得,a+b=±4.
点评:本题考查了平方差公式,整体思想的利用是解题的关键,需要同学们细心解答,把(2a+2b)看作一个整体.
11
考点:完全平方公式｡1923992
中考数学专题八充满活力的韦达定理培优试题
专题八 充满活力的韦达定理创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景姓名： 班别：典例导析类型一：直接运用公式例1：假设一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，那么____=+b a[点拨] 运用公式a b x x =+21，a c x x =21 [解答][变式] 一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，那么_____11=+ba类型二：求方程中的字母系数例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，假如12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。
[点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式[解答][变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x 〔k 为常数〕之两根为21,x x ，且14221=+x x 。
求k 值及方程的两根。
类型三：利用根求未知数的值例3：关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，那么m= ，n= 。
[点拨] 运用公式得方程[解答][变式] 方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
类型四：利用公式求有关根的代数式的值例4：b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。
[点拨] 转化成b a +，ab[解答][变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。
类型五：与判别式的综合运用例5：关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。
①求m 的取值范围。
②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。
[点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性[解答][变式]假设关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。
①务实数k 的取值。
湖南省武冈市中考数学专题八充满活力的韦达定理培优试题20
专题八 充满活力的韦达定理姓名： 班别：典例导析类型一：直接运用公式例1：若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，则____=+b a[点拨] 运用公式a b x x =+21，a c x x =21 [解答][变式] 已知一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，则_____11=+ba 类型二：求方程中的字母系数例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，如果12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。
[点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式[解答][变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）之两根为21,x x ， 且14221=+x x 。
求k 值及方程的两根。
类型三：利用已知根求未知数的值例3：已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，则m= ，n= 。
[点拨] 运用公式得方程[解答][变式] 已知方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
类型四：利用公式求有关根的代数式的值例4：已知b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。
[点拨] 转化成b a +，ab[解答][变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。
类型五：与判别式的综合运用例5：已知关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。
①求m 的取值范围。
②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。
[点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性[解答][变式]若关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。
①求实数k 的取值。
②设k t βα+=，求t 的最小值。
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专题八 充满活力的韦达定理
姓名： 班别：
典例导析
类型一：直接运用公式
例1：若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，则____=+b a
[点拨] 运用公式a b x x =
+21，a c x x =21 [解答]
[变式] 已知一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，则
_____11=+b
a 类型二：求方程中的字母系数
例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，如果12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。
[点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式
[解答]
[变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）之两根为21,x x ，
且14221=+x x 。
求k 值及方程的两根。
类型三：利用已知根求未知数的值
例3：已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，则m= ，n= 。
[点拨] 运用公式得方程
[解答]
[变式] 已知方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。
类型四：利用公式求有关根的代数式的值
例4：已知b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。
[点拨] 转化成b a +，ab
[解答]
[变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。
类型五：与判别式的综合运用
例5：已知关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。
①求m 的取值范围。
②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。
[点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性
[解答]
[变式]若关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。
①求实数k 的取值。
②设k t βα+=
，求t 的最小值。
培优训练
1、已知βα,是一元二次方程0342=--x x 的两个实数根，则代数式______)3)(3(=--βα
2、已知关于x 的方程0162=++-k x x 的两实根是21,x x ，且242221=+x x ，求k 值。
3、已知一元二次方程013)13(2
=-++-x x 的两根为21,x x ，求2111x x +。
4、已知βα,是方程0522=-+x x 的两个实数根，求ααβα22++的值。
5、关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，则m 值为 。
6、已知一元二次方程022=+-m x x 。
①若方程有两个实数根，求m 的范围。
②若方程的两个实数根为21,x x ，且3321=+x x ，求m 的值。
7、关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两个实数根分别是21,x x ，且72221=+x x 。
求
221)(x x -的值。
竞赛训练
1、关于x 的一元二次方程012=-+-p x x 的两实根21,x x 。
①求P 的取值范围。
②若9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x ，求P 的值。
2、设m 是不小于－1的实数，关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两不等实根。
①若62221=+x x ，求m 的值。
②求22212111x mx x mx -+-的最大值。
3、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab 。
求代数式201722)1(a
b ab ++的值。
4、已知整数p 、q 满足P+q=2010，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两根均为正整数，求P 值。