2.1.1指数幂及其运算性质

z-1)
=
21
x3 3
11
y4 4
z-1-1=xz-2.
方法技巧 进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化 小数为分数,化带分数为假分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以 达到化繁为简的目的.
即时训练 2-1:化简求值:
(1)(5
2 1
x 3y2
)·(-
1
x-1
1
y2
)·(-
2
1 1
x3y 6
);(2)(2
1
)
1 2
-3(
2 -1)-1+π0.
4
5
4
解:(1)原式=[5×(-
1
)×(-
2
)]·
2 ( 1) 1
x3
3
·
111
y2 2 6
=
1
4
x3
·
5
y6
.
4
5
2
(2)原式=(
9
)
1 2
-
3
+1
4
2 1
=( 3 )-1-3( 2 +1)+1 2
= 2 -3 2 -2=- 4 -3 2 .
3
(3)由于 a 2
-
a
3 2
1
=( a 2
)3-(
a
1 2
3
3
)3,所以有 a2 a 2
=
1
(a 2
1
a 2 )(a
a1
1
a2
1
a 2)
1
1
1
1
a2 a 2
a2 a 2
=a+a-1+1=7+1=8.
方法技巧 条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系,然后进 行化简,最后代值运算,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元 二次方程中根与系数关系的灵活应用.
第二课时 指数幂及其运算性质
课标要求:1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.2.掌握 有理数指数幂的运算性质.3.了解无理数指数幂的意义.
自主学习
1.分数指数幂的概念
知识探究
(1)前提条件 : a 0, m, n N*且n 1.
分数指数幂
(2)意义
①正分数指数幂:a ②负分数指数幂:a
1
)0+27
1 3
+(-2)-2=
.
4
3
答案: 25 4
5.根式 1 1 (a>0)的分数指数幂形式为
.
aa
答案:
a
3 4
课堂探究
题型一 根式与指数幂的互化
【例 1】 把下列各式根式化为分数指数幂形式,分数指数幂化为根式:
(1) 4 x7 y3 ;(2) 3 a a (a>0);
73
解:(1) 4 x7 y3 = x 4 y 4 .
1 2
×(
3
)
1 3
×(3×22)
1 6
=2×3
1 2
×3
1 3
×2
1 3
×3
1 6
×2
1 3
2
=
1 1 1
2 33
×
111
32 3 6
=2×3=6.
题型二 利用指数幂的运算性质化简求值
【例 2】 化简求值:
(1)(0.064)
1 3
+(2
7
)0.5+[(-2)3]
4 3
-π0;
9
(2)(0.002)
1
x2
)3=(
x
1 2
+
x
1 2
)(x-
x
1 2
·
1
x2
+x-1)=(
x
1 2
+
1
x2
)(x+x-1-1)
=3×(7-1)=18,
所以原式= 18 2 = 20 = 2 . 47 3 50 5
1
1
(2)已知 a,b 分别为 x2-12x+9=0 的两根,且 a<b,求 a2 b2 的值.
1
1
={
y2 [ x3 ( xy
y6
)
1 3
]
1 2
}
1 2
=(
x3
y2
)
1 2
·(
x3
)
1 4
(
x
y
y6 x3
1
) 12 =
y
1
x2
· x4 1 y4
· y2 1 x4
= x4 y2 31 x4 y4
5
= y4 .
法二 从里向外化为分数指数幂.
y2 x
x3 3
y6
=
y x3
y2 x
x3 y
(
y6 x3
m
n
m
n
n am ；
1
m
an .
(3)特殊情况
①0的正分数指数幂等于 0 ； ②0的负分数指数幂 没有意义
.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
1
1
1
11
1
a 2 b2 (a 2 b2 )(a 2 b2 )
ab
6 3
3
点击进入 课时作业
a2 b2
解:(2)因为 a,b 分别为 x2-12x+9=0 的两根, 所以 a+b=12,ab=9,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=122-4×9=108, 因为 a<b,所以 a-b=-62 b2 = (a 2 b2 )2 = a b 2 ab = 12 2 9 =- 3 .
(2) 3
a a =3
1
31
1
a a2 = 3 (a2 )2 = a 4 .
(3)
y2
x3 3
y6
(x>0,y>0);
x y x3
解:(3)法一 从外向里化为分数指数幂.
y2 x
x3 3
y6
=( y2
y x3
x
x3 y6 3
y x3
1
)2
=[
y2 ( x3 xy
3
y6 x3
)
11
2 ]2
3
1
33
即时训练 1-1:计算下列各式的值,并用分数指数幂表示:
(1) 4 81
2
93 ;(2)2
3 × 3 1.5 × 6 12 .
解:(1)原式={34×[(32)
2 3
]
1 2
}
1 4
=(34×3
2 3
)
1 4
=
4 2 1
(3 3 )4
14 1
= (3 3 )4
=
14
33
1 4
7
= 36
.
(2)原式=2×3
(C)- 5 (D)-5
1
m
3.在定义正分数指数幂时,规定底数 a>0,是因为公式 n a = a n 及( n a )m= a n 中(
C
)
(A)对 a≤0 不成立 (B)对 a≤0 无意义 (C)n 为偶数时,对 a<0 无意义 (D)n 为奇数时,对 a<0 无意义
4.化简:(
1
)
1 2
+(-
3
3
题型三 附加条件的幂的求值
【例 3】
1
已知 a 2
+
a
1 2
=3,求下列各式的值.
3
3
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) a2 a 2 .
1
1
a2 a 2
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,得
a+a-1+2=9,即
a+a-1=7.
(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47.
1 2
-(-
1
)-2-10(
5 -2)-1+(
2-
3 )0;
6
解:(1)原式=(
1
)
1 3
+(
25
)
1 2
+
1
-1= 5 + 5 + 1 -1= 155 .
0.064
9
(2)4 2 3 16 48
(2)原式=(
1
)
1 2
-
1
- 10
1
+1=500 2 -36-10( 5 +2)+1
500
( 1)2 5 2
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的 实数
运算性质对于无理数指数幂同样适用.
.有理数指数幂的
自我检测
1. 1 化为分数指数幂为( B )
5 a2
2
(A) a 5
(B)
a
2 5
5
(C) a 2
(D)
a
5 2
3
2.化简 [3 (5)2 ]4 的结果为(
B
)
(A)5
(B) 5