实数指数幂及其运算
高一数学实数指数幂及其运算
(2)10
1 (6) (3a - 1) (a ). 3
4 4
2 (a b)(a b) (7) 2 (a b)(a > b)
答案 （6）1-3a (7)b-a;a-b
推广:整数指数幂→正分数指数幂
根式与分数指数幂的互化
(a ) a
3 1 3 1 3 3
a
a a
a
7 3
a
13
1
1 2 n7 ( ) 2
1 2 n1 (2 ) ( ) 2 n 2 4 8
n 1 2
提高练习1
已知 a>0, （１） a
3 a2 1 a2
1 a2
a
1 2
=3，求下列各式的值: ；
1 2
a
1 2
1
７
（2）a a
（3）
3 a 2 1 a 2
2 3
1 3
3
a (a ) ( a )
2 3 1 3 2
a
1 2 3
又a
1 2 3
(a ）
2 3 2
1 3
3
a
2
还可以看出， ( a)
3
a
2
规定：一般地， a
m n
n
am
（ a 0 ， m, n 均为正整数） 。 这就是正数的分数指数幂的意义。 规定： a
m n
25=32 ````
-2 叫4的平方根 2， 2叫8的立方根 -2叫-8的立方根 2叫32的5次方根 ````
2n=a
2叫a的n次方根
（１）n次方根的定义
若x a(n 1, 且n N ),
3.1.1实数指数幂及其运算
(2) (10)2 | 10 | 10
(3)4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b(a b)
例2：求下列各式的值： (1)3 (8)3 4 (3 )4
(2)(5 a b )5 (6 b a )6 (b a)
一、根式：
1.n次方根： (1)定义：
一般地，如果 xn a，那么x叫做a 的n 次方根，其中n 1 且nN 。
(2)个数：
◇当n是奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的n次
方根是一个负数。
注：a的n 次方根用符号n a 表示
◇当n是偶数时：
●正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；
|
1
0.01 |2
8
9
(2)化简：3 a 2 a3 3 a7 3 a13 (a 0)
解：(1)原式=（0.43）13
1
(2)4
（24）0.75
1
（0.12）2
0.41 1 1 1 0.1 16 8
143
80
19
1( 3 )
1( 7 )
113
(2)原式= [a3 2 a3 2 ] [a 2 3 a 2 3 ]
9 3 7 13
a6 6 6 6 a0 1
1
例11：已知a 2
1
a 2
3，求 a
a1, a2
a2 的值
1
解：a 2
1
a 2
3
1
(a 2
1
a2
)2
9
a 2 a1 9 a a1 7 又(a a1)2 49 a2 2 a2 49 a2 a2 47
3.1.1 实数指数幂及其运算
张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1．整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于 ，即 (2)正整数指数幂的运算法则：=n m a a .① ；=÷n m a a ② );0,(=/>a n m =nm a )(③ ；=n ab )(④ ；=n ba)(⑤ ).0(=/b(3)整数指数幂：规定：=0a ==/- na a ),0( ⋅∈=/*),0(N n a 2．根式(l)n 次方根：一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中 ． (2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即：=n n a )(② ⋅∈>*),1(N n n③当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a3．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：=nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数）． 正数的负分数指数幂的意义是：=-nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数） (2)运算性质：,)(,)(,.r r r r rs s r s r s b a ab a a a a a ⋅===+其中要点核心解读1．关于分数指数幂的概念n n n n a a 与))(1(这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别．(2)关于分数指数幂需要注意：①在条件*,,,0N n m a ∈>1>n 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，③分数指数幂不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法．2．关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位．(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， ②除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算．(4)根式的运算应该注意的几点： ①注意根式的符号：a ．n 为奇数时，n n a R a ,∈与a 的符号一致；b ．n 为偶数时，.0,0,0≤-≥≥n n n n a a a ②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m 、n 都是正整数，且性质②中限定m>n ，为了取消m>n 的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a>0及6>0.典例分类剖析考点1 整数指数幂的运算[例1] 化简下列各式：;)()())(1(23425232b a b a b a ÷⋅-- ⋅--4301.01.0)2([解析] (1)由题目可获取以下主要信息： 两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。
《实数指数幂及其运算法则》课件
实数指数幂的定义
• 真数指数幂的概念及特点 • 如何计算实数指数幂
同底数幂的乘法运算法则
• 解释同底数幂的乘法运算法则 • 举例演示同底数幂的乘法运算
同底数幂的除法运算法则
• 介绍同底数幂的除法运算法则的原理 • 通过实例演示同底数幂的除法运算
幂的乘法运算法则
• 解释幂的乘法运算法则的规则 • 提供实际的例子演示幂的乘法运算
幂的除法运算法则
• 说明幂的除法运算法则的概念 • 使用具体案例演示幂的除法运算
幂的幂的运算法则
• 讲解幂的幂的运算法则的原理 • 通过实际问题演示幂的幂的运算
指数函数的定义
• 描述指数函数的概念和定义 • 提供指数函数的数学表达式
指数函数的图像
• 展示指数函数的特点和图像形态 • 比较不同指数函数的图像
实数指数幂及其运算课件
当堂检测：
an
(a>0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)；
跟踪练习：
四、有理指数幂的运算法则 (1)aαaβ＝ aα＋β(a>0，α，β∈Q)； (2)(aα)β＝ aαβ (a>0，α，β∈Q)； (3)(ab)α＝ aαbα (a>0，b>0，α∈Q)．
精讲点拨： 例题：化简下列各式
课堂小结：
(1)在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数 指数幂，再进行运算．
(2)(am)n＝amn
(m，n∈ )；
am (3) an
＝ am－n
(a≠0，m，n∈
)；
(4)(ab)m＝ am·bm (m∈ ).
课内探究：
因为aa33＝1，aa24＝a12，所以 a0＝1，a－2＝a12.
推广一： 二
三、分数指数幂
1．a的n次方根的意义
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)， 则x叫做 a的n次方根 ．求a的n次方根，叫做把a开n次
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课前检测： something
计算：
a3 a3=
，
a2
a4=
.
课前回顾：
一、正整数指数幂
1．正整指数幂
an＝a a a.an 叫做 a 的 n次幂，a 叫做幂的
n个
底数 ，n 叫做幂的 指数 ，并规定 a1＝a.
2．正整数指数幂的运算法则
(1)am·an＝ am＋n (m，n∈ N+ )；
跟踪练习：
2、分数指数幂探究
若把整数指数幂的运算法则推广到正分数 指数幂，则有下列各式成立：
实数指数幂及其运算法则
实数指数幂及其运算法则实数指数幂是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍实数指数幂的定义、性质以及运算法则。
一、实数指数幂的定义。
实数指数幂指的是形如a^b的数，其中a为实数，b为实数。
其中a称为底数，b称为指数。
当指数为正整数时，实数指数幂可以用连乘的形式表示，即a^b=aa...a，其中a出现了b次。
当指数为零时，实数指数幂定义为1。
当指数为负整数时，实数指数幂可以用连除的形式表示，即a^(-b)=1/(a^b)。
当底数为正数且指数为实数时，实数指数幂可以用连续开方的形式表示，即a^b=sqrt(sqrt(...(sqrt(a))...)，其中开方的次数为b。
二、实数指数幂的性质。
1.相同底数的实数指数幂相乘，指数相加。
即a^m a^n =a^(m+n)。
2.相同底数的实数指数幂相除，指数相减。
即a^m / a^n =a^(m-n)。
3.不同底数的实数指数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m b^m = (ab)^m。
4.不同底数的实数指数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m / b^m = (a/b)^m。
5.实数指数幂的乘方，指数相乘。
即(a^m)^n = a^(mn)。
6.实数指数幂的除法，指数相除。
即(a^m)^n = a^(m/n)。
7.任何数的零次幂都等于1。
即a^0 = 1。
8.任何数的一次幂都等于它本身。
即a^1 = a。
以上性质是实数指数幂运算的基本法则，可以帮助我们简化实数指数幂的运算，并且也可以推广到复数指数幂的运算中。
三、实数指数幂的运算法则。
实数指数幂的运算法则包括加减、乘除、乘方和开方等运算。
1.加减法。
对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加减运算。
例如，2^3 + 2^4 = 2^7，2^5 2^3 = 2^2。
2.乘法。
对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加法运算。
例如，2^3 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
实数指数幂及其运算(56张PPT)高一数学人教B版必修第二册
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
实数指数幂及其运算完整版
精选ppt
1
复习引入
1 初中学习的正整数指数
2 正整数指数幂的运算法则
（1）amanamn (2) (am)n amn (3) aamn amn(mn,a0) (4) (ab)mambm
精选ppt
2
思考讨论
规定： a0 1(a0)
ana1n(a0,nN)
精选ppt
3
分数指数
❖ 1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念
1 1 3
(1)a2a4a 8
1
(2)(x2
1
y3
)6
8a3
(3)( 2
7b6
1
)3
(4)2x13(1x13
2
2x 3)
2
精选ppt
17
3 、下列正确的是（）
1
A 、 x ( x ) 2 ( x 0 )
B、
1
x3
3
x
C
、(
x
)
3
4
4
( y )3(x, y
0)
y
x
1
D 、6 y 2 y 3 ( y 0 )
（ 16） － 3 4＝ （ 2） 4 （ － 3 4） ＝ （ 2） － 3＝ 27。
81
3 精选ppt
38
12
练习:求值：
912，6432
,
(
1
1
)5
32
精选ppt
13
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2 a,a 33a2, aa(式 中 a0 )
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
第章实数指数幂及其运算【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
[跟进训练]
1．(1)4 －34的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．81
(2)若 x6＝2 021，则 x＝________.
(3)已知4 a＋14＝－(3 a＋1)3，则实数 a 的取值范围是 ________．
(1)A (2)±6 2 021 (3)(－∞，－1] [(1)4 －34＝|－3|＝3. (2)因为 x6＝2 021，所以 x＝±6 2 021. (3)因为4 a＋14＝|a＋1|，(3 a＋1)3＝a＋1， 所以|a＋1|＝－(a＋1)，所以 a＋1≤0，即 a≤－1.]
[解] (1)
(2) 614－ 3 338－( 2－1)0＋(－1)2 021＋2－1 ＝ 245－ 3 287－1－1＋21 ＝52－32－32＝－12.
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算．
所以 1－6x＋9x2＝ 1－3x2＝|1－3x|＝1－3x. (2)因为(±9)2＝81，所以 81 的平方根为±9，即 a＝±9，又(－2)3 ＝－8， 所以－8 的立方根为－2，所以 b＝－2， 所以 a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7.
(3)要使 4 a－1 3有意义，则a－1 3＞0，且 a－3≠0，即 a＞3.]
角度二 指数式的条件求值问题
[探究问题]
1．把
a＋ 1a2，a＋1a2 分别展开是什么？
[提示]
a＋ 1a2＝a＋1a＋2，a＋1a2＝a2＋a12＋2.
2.a＋1a2 和a－1a2 有什么关系？ [提示] a＋1a2＝a－1a2＋4.
【例 4】 已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值： (1)a2＋a－2；(2)a －a . [解] (1)因为 a＋a－1＝5， 所以 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2 ＝52－2＝23. (2)因为a －a 2＝a＋a－1－2＝5－2＝3， 所以 a －a ＝± 3.
人教B版高中数学必修一学第三章实数指数幂及其运算讲解与例题
3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n nn a a a a a =⋅⋅⋅⋅L 14243个叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：①a m·a n＝a m ＋n；②(a m )n＝a mn；③a m an ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m ＝a m b m.其中m ，n ∈N ＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn.其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6)＝a －12b －12. 2．根式如果存在实数x ，使得x n＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．当n a 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：＝|a＋1|，∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1)．∴a＋1≤0，即a≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：+；.解：(1)原式＝(－2)＋－2|＋－2)＝－2＋(2)＋－2)＝－2.(2)＝(1)＋－1)＝.辨误区根式运算应注意的问题利用na n的性质求值运算时，要注意n的奇偶性．特别地，当n为偶数时，要注意a的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：①1na＝na(a＞0)；②mna＝(na)m＝na m⎝⎛⎭⎪⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=mnmnaa-⎝⎛⎭⎪⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．mna与na m表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像14()a-＝4－a中的a，则需要a≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；(3)(ab)α＝aαbα(其中a＞0，b＞0，α，β∈Q)．析规律有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b+⋅-＝a－b(a＞0，b＞0)；111122222()2a b a b a b±=+±(a＞0，b＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭.解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯--- ⎪-⎝⎭.(2)33344344481=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a a a a a --⋅4．无理指数幂(1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即：①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)；②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)． 【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+⋅.解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅⋅.(2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可． 析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝⎛⎭⎪⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)11223412220.00154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式：(1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；.解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x yx yx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xy x y x y x yx yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区 化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.再将上式平方，有a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47. 由于3311332222=()()a aa a ----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a a a aa a--------++⋅--＝a ＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x ＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x ＋4－x ；(2)8x ＋8－x.解：(1)4x ＋4－x ＝(22)x ＋(22)－x＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x )2＋2·2x ·2－x ＋(2－x )2－2＝(2x ＋2－x )2－2＝52－2＝23.(2)8x ＋8－x ＝(23)x ＋(23)－x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110. 析规律 平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)．【例6－2】已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0的值．分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab 和a ＋b 的形式．又a ，b 为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab +⎧⎨⎩∵a ＞b ＞0>.又∵221==105.∴.。
实数指数幂的运算
实数指数幂的运算实数指数幂是指以实数为底数，指数为实数的幂运算。
它是数学中重要的运算之一，常见于各个领域的数学问题中。
实数指数幂的运算可以通过定义来理解。
当指数为正整数时，实数指数幂表示将底数连乘多次的结果。
例如，2的3次方表示将2连乘3次，即2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
当指数为负整数时，实数指数幂表示将底数连乘多次后再取倒数。
例如，2的负3次方表示将2连乘3次后再取倒数，即2^(-3) = 1 / (2 × 2 × 2) = 1/8。
当指数为零时，实数指数幂的结果为1，即a^0 = 1。
除了整数指数外，实数指数幂还可以拓展到分数指数和无理数指数。
对于分数指数，可以将其写为一个整数作为指数的形式，然后求开方。
例如，4的1/2次方表示对4开平方，即4^(1/2) = √4 = 2。
对于无理数指数，可以通过极限的概念来定义。
例如，e（自然对数的底数）的π次方可以通过近似的方式计算出来，约等于23.1407。
实数指数幂的运算满足一些基本的性质。
首先，对于任意实数a和b，有a^m × a^n = a^(m+n)，即相同底数的指数幂相乘等于底数不变，指数相加。
其次，对于任意实数a和b，有(a^m)^n = a^(m×n)，即指数幂的幂等于底数不变，指数相乘。
此外，对于任意实数a，有a^m × a^(-m) = 1，即指数和为0时，底数的指数幂等于1。
实数指数幂在数学和自然科学中具有广泛的应用。
在数学中，实数指数幂是指数函数的基础，它可以用来描述复利、成长率等问题。
在物理学中，实数指数幂可以描述衰减、增长和振荡等现象。
在工程学和经济学中，实数指数幂可以用来描述指数增长、指数衰减等问题。
总结起来，实数指数幂是以实数为底数，指数为实数的幂运算。
它通过连乘和取倒数的方式来计算结果，并且满足一些基本的性质。
实数指数幂在数学和自然科学中有着广泛的应用，是数学中重要的运算之一。
高中数学(人教B版)必修第二册：实数指数幂及其运算【精品课件】
(2)原式= ( − 1)2 − ( + 3)2 = | − 1| − | + 3|.
∵ −3 < < 3,∴当−3 < < 1时,原式= −( − 1) − ( + 3) = −2 − 2;
当1 ≤ < 3时,原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.
∴a,b,c均不为1.∴1<a≤b≤c.又70=2×5×7,∴a=2,b=5,c=7
随堂小测
3
1.计算 (2 − π)3 + (3 − π)2 的值为(
A.5
B.-1
3
解析
B
D.5-2π
C.2π-5
)
(2 − π)3 + (3 − π)2 = 2 − π + π − 3 = −1.
2.下列各式正确的是( D )
∴原式=
−2 − 2, −3 < < 1,
−4,1 ≤ < 3.
反思感悟
(1)化简 时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )时,关键是明确
是否有意义,只要 有意义,则( ) = .
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
÷
=
−
,
=
.
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算.
即时巩固
下列运算中正确的是( D )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
课件5：4.1.1 实数指数幂及其运算
(2)【解析】① 5 －a5＝－a.
② 6 3－π6＝6 π－36＝π－3.
③
614－ 3 338－3 0.125＝ 522－ 3 323－ 3 123＝52－32－12＝12.
【答案】①－a ②π－3 ③12
首先确定式子n an中 n 的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
方法归纳 根式化简或求值的策略
a－4b2·ab213＝
a－4b2a13b23＝
a b ＝a 11 8
11
－3 3
6
b
4 3
.
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1) 方 法 ： 根 指 数
分数指数的分母，被开方数(式)的指数
分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，
A. －32＝－3
3 C.(
－2)3＝－2
)
B.4 a4＝a
3 D.
－23＝2
解析：由于 (－3)2＝3，4 a4＝|a|，3 (－2)3＝－2，
故选项 A，B，D 错误，故选 C.
答案：C
课堂探究 题型一 利用根式的性质化简求值 例 1 (1)下列各式正确的是( )
A.8 a8＝a
B．a0＝1
C. 4 －44＝－4
如果__x_n＝___a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
2．a 的 n 次方根的表示
(1)当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R. (2)当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，其中－n a表示 a
的负的 n 次方根，a∈__[0__，__＋__∞__)__.
《实数指数幂及其运算法则》ppt课件
$(uv)^n = u^n times v^n$
积的运算性质
$(u^n)v = u times u times ldots times u times v$（共n个u相乘）
积的运算性质2
$(u^n)v = u times (u^n)v$
积的运算性质3
$(ab)^{-n} = frac{1}{(ab)^n} = frac{1}{a^n times b^n}$
积的运算性质
$frac{a^m}{b^m} = (a/b)^m$
商的指数运算性质
$frac{a^m}{b^{-m}} = (a/b)^{m-n} = frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}$
总结与回顾
卑鄙！只要 your question mark keeps track of keeping your work. OMRC
Cited from: "https://www.bokephases"
总结与回顾
* "
" 输入: 6th Party View : 尾声 (疏影)
# 2nd Party View
幂运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
幂的应用
积运算可以用于计算多个数的乘积，简化计算过程。
在统计学中，积运算可以用于计算样本方差、标准差等统计量。
在物理学中，积运算可以用于计算多个物理量的乘积，如力矩、功等。
积的应用
商的应用
商运算可以用于计算两个数的比值，用于比较大小、排序等。
在经济学中，商运算可以用于计算成本效益比、投资回报率等。
尾声 (疏影): 6th Party View : 尾声 (疏影)
课件7： 3.1.1 实数指数幂及其运算
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——西萨·班·达依 尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里放1粒 麦子，第2个小格里放2粒麦子，第3个小格里放4粒麦子，以后每一小格的麦粒数都比 前一个小格增加一倍．请您把摆满棋盘上所有64格的麦子，都赏给仆人吧！”国王觉 得这个要求太容易满足了，就命令下属给他这些麦子．
新的特征：如(a±a－1)2＝a2±2＋a－2，(a12
1
＋b2
1
)(a2
1
－b2
)＝a－b，
a＋b＝(a31
＋b13
2
)(a3
－a13
1
b3
＋b32
)，
3
3
1
1
11
a2 －b2 ＝(a2 －b2 )(a＋a2 b2 ＋b)等．
2．常用的变换方法 (1)小数化分数，根式化为分数指数幂．(2)若指数是负数，则对调底数的分子和 分母并将负指数变为正指数．(3)把分数指数幂、负指数幂看做一个整体，借助 有理式中的乘法及因式分解的公式进行变形．
1
误解中忽略了题中有(－a)2
，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2]12
≠(a－1)－1.
[正解]
1
∵(－a)2
1
存在，∴－a≥0，故 a－1<0，原式＝(1－a)(1－a)－1(－a)4
1
＝(－a)4 .
指数式运算的常用技巧及变换方法
1．巧用公式
引入分数指数幂后，初中学习的平方差公式、立方差公式、完全平方公式有了
＝(
2)－1＝
2 2.
3
6
3．( 6 a9)4·( 3 a9)4 的结果是 ( C )
实数指数幂及其运算法则
练习３：化简下列各式 (课后练习) 5x y
1 - 1 2 2 3 1 2 1 3 1 6
（1）
1 5 （ - x y ）（ - x y ） 4 6
m + m- 1 + 2 （2） 1 1 m
2
+ m2
总结：
• 1
a a
0
= 1
（a 0）
• 2 • 3
- n
1 （a 0，n N ） = n a
山阳职教中心 陈新芳
实数分类:
有理数 整数 分数
正整数 0 负整数
实 数 无理数
在初中学过整数指数幂概念及运算，这节我们将其推广 到实数指数幂及运算。
1 整数指数幂
正整数指数幂:
a2 a a
指数
n
a3 a a a
规定： a
１
幂
a a a ......a
底数
＝a
n个
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 2
1 2 2
⑥（a b ） a b 2a b
1 2
1 2 2
1 2
1 2
无理数指数幂
例： 3 2 是一个什么样的数？
用 1.4 ， 1.41 ， 1.414 ，（ ..... 2的不足近似值）；
3 ， 3 ， 3
和
1.5 1.42
1.4
1.41
1.414
将正整数指数幂推广到整数指数幂
规定： a 0 1 （a 0） 1 n a n （a 0，n N ） a
• 运算法则(m,n∈z) (1) am·an=am+n (2) (am)n=amn
高中数学人教B版必修13. 实数指数幂及其运算 精品课件
4 a12 4(a3)4 a3 a 4
10
5 a10 5(a2)5 a2 a 5 (a 0)
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算 课件
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算 课件
求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算
偶次方根 奇次方根
实 a0
数
n a
a a0 不存在
n a 0
n a 0
n a 根式 n 根指数 a 被开方数
正数 a的正次方a根 的n次 叫算 做术方根
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算 课件
分数指数幂
2、练习填空: (1)25的平方根等于_______;(2) 16的四次方根等于_______ (3)-32的五次方根等于_____;(4) 27的立方根等于________
数学 1
3.1.1 实数指数幂及其运算
第一课时 整数指数幂与分数指数幂
情境引入：整数指数幂
折纸问题：
将纸对折的过程中，对折一次，一张纸变成2层； 经过两次对折，变成4层；依此类推，问经过6次对折、 8次对折、x次对折后共有多少层纸？
若每2秒钟折纸一次，x秒后共有多少层纸？ 、
学习目标
1.理解n次方根的概念及n次方根的性质，理解分数指 数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。 2.掌握根式、分数指数幂的运算，会进行有理数范围 内的幂的运算。 3.培养学生利用概念、性质分析解决问题的能力。感 受由特殊到一般的数学思想方法，培养对数学的热爱。
整数指数幂
整数指数幂:
运算法则:
实数指数幂及其运算法则
实数指数幂及其运算法则今天，我们将探讨实数指数幂及其运算法则。
实数指数幂是数学中一个重要的概念，它在各种数学问题中都起到重要的作用。
实数指数的运算法则也是一个重要的概念，它使得数学运算更加方便、准确。
本文将主要介绍实数指数幂及其运算法则。
一、实数指数幂概念实数指数幂是一个重要的概念，它可以让我们更容易地表达数量之间的关系。
实数指数幂表示一个数量的乘方，也就是说，一个数量可以被乘以自身多次来表示它的指数幂。
例如，25可以被乘以自身2次，可以写成25^2，这就表示它的实数指数幂。
实数指数幂可以被分为两种类型，一种是正数指数幂，另一种是负数指数幂。
正数指数幂表示一个数量被乘以自身多次，负数指数幂则表示这个数量被除以自身多次。
例如，25的-2次幂可以写成25^-2，这意味着25被除以自身2次，即1/25^2。
二、实数指数幂的运算法则实数指数幂的运算法则是有关实数指数幂求值和运算的准则，它们是数学中常用的一些规则，可以使求值及运算更准确、方便。
1、乘法法则乘法法则是指两个指数幂（a^m a^n）的乘积可以表示为a^(m+n)。
例如，2^3*2^2 = 2^(3+2) = 2^5。
2、除法法则除法法则是指两个指数幂（a^m a^n）的商可以表示为a^(m-n)。
例如，2^5/2^2 = 2^(5-2) = 2^3。
3、乘方法则乘方法则是指连乘的几个实数指数幂（a^m a^n a^v）可以表示为a^(m+n+v)。
例如，2^3 * 2^2 * 2^4 = 2^(3+2+4) = 2^9。
4、指数乘方法则指数乘方法则是指幂的幂（(a^m)^n）可以表示为a^(m*n)。
例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6。
5、零次幂法则零次幂法则是指一个数的零次幂（a^0）等于 1。
例如，2^0 = 1。
6、负数次幂法则负数次幂法则是指一个数的负数次幂（a^-n）等于1除以它的n 次幂（1/a^n）。
例如，2^-3 = 1/2^3 = 1/8。
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24=16 (-2)4=16 25=32
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a
xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
a a
n
m n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果：
2 6 6 =-1 ； ( 1 ) ( 1 ) 1 =1. 这就说明 ( 1) 1 分数指数幂在底数小于0时无意义.
3 6 2 3 1 4 3
3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 3 6
1 2
1 3
1 6
3 9
2
④（a b ） （a ） （b ） a b
2
2 3 3
1 4 3
3 4
（b ） ⑤（a b ）（a b ） （a ） a b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 3
3
2 6
⒉负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下， 回忆负整数指数幂的意义： 1 总表示正数，而不是负数 , 负号只是出现 － n a = n ( a≠0,n∈N*). 在指数上. a
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是：
m n
a
1 a
m n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). n m a
例2．如果 2 x 5 x 2 0, 化简代 数式 4 x 2 4 x 1 2 | x 2 | . 解： 2 x 2 5 x 2 0, 2 2 x 5 x 2 0, 解之，得 1 x 2. 2
2
所以
2
2 x 1 0, x 2 0.
0.0001 10 4
a 2 2 1 2 a b c bc
2
回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2 (-2) =4 ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
2
2 52
2 的过剩近似值
5
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
(n a) n a
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( a ) a
n n
(1)
5
2 的不足近似值
2 的不足近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 171 305 461 508 516 517 517 039 174 907 928 765 705 736
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n
a a.
n
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
公式3.
n
a | a | .
n
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
2 3 3 2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b 和的立方公式： 3 3 2 2 3 差的立方公式： (a b) a 3a b 3ab b
4
5
(2) 2;
2 2 2
⑵ （ 3 ） [ ( 3) ] 9 9;
(3) （ 2 3 ） | 2 3 | 3 2;
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 ） 3 2.
2
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1)
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.
27=128
2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 2 6 a (5)a 的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
规定： 0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指 数幂没有意义.
⒋有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后，指 说明：若 a>0 ， p 是一个无理数，则 ap 表示 数的概念就从整数指数推广到有理数指 一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性 数 . 上述关于整数指数幂的运算性质，对 质，对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 于有理指数幂也同样适用，即对任意有 范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然 理数 r，s，均有下面的性质： 是下述的 3条.
5
2 2,
5
3
（ 2） 2.
3
结论:an开奇次方根,则有 n a n a.
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有
n
an | a | .
式子 n a n 对任意a ∊ R都有意义.
a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64 偶次方根
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 81 3
4
64的6次方根是2，-2.
6
记作： 64 2.
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
完全平方式: 立方和公式: 立方差公式: 落实基础知识 2 2 a b (a b)(a b)
2 2 2 2
(a b) a 2ab b (a b) a 2ab b
3 3 3 2 3 2
2 2 2
a b (a b)(a ab b ) a b (a b)(a ab b )
0
练习:
8 1
0
0
（ 8） 1
0
（a b）
1
2
10
3
1 10 3 0.001
1 6 1 1 1 3 3 3 （ ） 64 （2 x） 3 1 2 x 6 1 2 ( ) 8x
x 2 x 6 （ 2 ） 4 r r
3
64 1 4 6 r x 6 1 x r4
指数
(1)幂的概念: 幂
a a a ......a
n
n个a (2)幂的运算法则: 底数 ①同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 ，即