实数指数幂及其运算

⑴ ar· as=ar+s (a>0,r,s∈Q)； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
练习
①8 8 8
2 3
1 3 2
3 5
2 5
3 2 5 5
8
②8 （8 ） 2 4
2
③3 3 3 3
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.
27=128
2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 2 6 a (5)a 的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64 偶次方根
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 81 3
4
64的6次方根是2，-2.
6
记作： 64 2.
5
2 的不足近似值
2 的不足近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 171 305 461 508 516 517 517 039 174 907 928 765 705 736
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
2 (2 x 1) 2| x2| 4x 4x 1 2 | x 2 |
| 2 x 1 | 2 | x 2 | (2 x 1) 2[( x 2)] 2 x 1 2 x 4 3.
整理巩固 要求：整理巩固探究问题
平方差公式:
0.0001 10 4
a 2 2 1 2 a b c bc
2
回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2 (-2) =4 ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
完全平方式: 立方和公式: 立方差公式: 落实基础知识 2 2 a b (a b)(a b)
2 2 2 2
(a b) a 2ab b (a b) a 2ab b
3 3 3 2 3 2
2 2 2
a b (a b)(a ab b ) a b (a b)(a ab b )
2
2 52
2 的过剩近似值
5
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
4
5
(2) 2;
2 2 2
⑵ （ 3 ） [ ( 3) ] 9 9;
(3) （ 2 3 ） | 2 3 | 3 2;
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 ） 3 2.
2
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1)
3 6 2 3 1 4 3
3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 3 6
1 2
1 3
1 6
3 9
2
④（a b ） （a ） （b ） a b
2
2 3 3
1 4 3
3 4
（b ） ⑤（a b ）（a b ） （a ） a b
1 2
1 2
1 2
1 2
24=16 (-2)4=16 25=32
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a
xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
a a
n
m n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果：
2 6 6 =-1 ； ( 1 ) ( 1 ) 1 =1. 这就说明 ( 1) 1 分数指数幂在底数小于0时无意义.
(a 0, m、n N ，m n， )
*
(a ) a
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n
m<n
a 3 3 0 a a 1 3 a 3 1 a 35 2 a a 2 5 a a
3
a ？0
将正整数指数幂推广到整数指数幂
a 1 （a 0） 1 n a n （a 0，n N ） a
规定： 0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指 数幂没有意义.
⒋有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后，指 说明：若 a>0 ， p 是一个无理数，则 ap 表示 数的概念就从整数指数推广到有理数指 一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性 数 . 上述关于整数指数幂的运算性质，对 质，对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 于有理指数幂也同样适用，即对任意有 范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然 理数 r，s，均有下面的性质： 是下述的 3条.
(n a) n a
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( a ) a
n n
(1)
如果x n a, 那么
n a , n 2k 1, k N , x n a , a 0, n 2 k , k N .
根指数
n
a
根式
被开 方数
-8 9 ( 8) ____. ( 9) ____,
2 3 3
由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.
0
练习:
8 1
0
0
（ 8） 1
0
（a b）
1
2
10
3
1 10 3 0.001
1 6 1 1 1 3 3 3 （ ） 64 （2 x） 3 1 2 x 6 1 2 ( ) 8x
x 2 x 6 （ 2 ） 4 r r
3
Байду номын сангаас
64 1 4 6 r x 6 1 x r4
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n
a a.
n
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
公式3.
n
a | a | .
n
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
1 2 2
1 2 2
⑥（a b ） a b 2a b
1 2
1 2 2
1 2
1 2
思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？
思考2:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5 的大小如何确定？我们又应如何 理解它呢？
例1.求值：
5 2 6 7 4 3 6 4 2.
解：原式 ( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
| 3 2 | | 2 3 | | 2 2 |
( 3 2 ) (2 3 ) (2 2 )
3 2 2 3 2 2 2 2.
例2．如果 2 x 5 x 2 0, 化简代 数式 4 x 2 4 x 1 2 | x 2 | . 解： 2 x 2 5 x 2 0, 2 2 x 5 x 2 0, 解之，得 1 x 2. 2
2
所以
2
2 x 1 0, x 2 0.
指数
(1)幂的概念: 幂
a a a ......a
n
n个a (2)幂的运算法则: 底数 ①同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 ，即
a a a
m n
mn
m a mn ②同底数幂相除，底数不变，指数 相减 ，即 a n a 相乘 ③幂的乘方，底数不变，指数 ，即 m n mn
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b) m a mb m
2 3 3 2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b 和的立方公式： 3 3 2 2 3 差的立方公式： (a b) a 3a b 3ab b
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32
8的3次方根是2.
3 记作： 8 2.
3 8 2. -8的3次方根是-2. 记作： 5 -32的5次方根是-2.记作： 32 2.
7 128 2. 128的7次方根是2. 记作：
27=128
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.
5
2 2,
5
3
（ 2） 2.
3
结论:an开奇次方根,则有 n a n a.
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有
n
an | a | .
式子 n a n 对任意a ∊ R都有意义.
1 3
3
2 6
⒉负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下， 回忆负整数指数幂的意义： 1 总表示正数，而不是负数 , 负号只是出现 － n a = n ( a≠0,n∈N*). 在指数上. a
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是：
m n
a

1 a
m n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). n m a