实数指数幂及其运算

有理数指数幂
设a 0, b 0, 、 为有理数
有理指数幂运算法则:
（ ）a a a 1





（2）（a ） a （3）（ab） a b
练习
①8 8 8
2 3 3 5 2 5
3 2 5 5
8
1 2 1 3 1 6 1 1 1 1 2 3 6
a2 6a 9
变式：①
a2 2ab b2
3
②
( a b)3
小结
1：运算性质：
（ ）a a a 1 （2）（a ） a （3）（ab） a b
2.偶次方根的性质:


正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数， 负数的偶次方根无意义，零的任何次方根为零
实 a0 n a 数 a 0 不存在 a
n
n
a 0 a 0
aFra Baidu bibliotek 根式
n 根指数 a 被开方数
n
正数a的正n次方根叫做a的n次算术方根
根式性质
(1)( a ) a （n>1,n∈N+）
n n
a (2) a |a|
n n
当n为奇数时 当n为偶数时
n n
思考 ( a ) = a
n n
不一定
何时相等？
n为奇数或a 0
练习
①( 5 ) 5
4 4
②（ 5） 5
3 3
③（ 2 ） 2 8
5 3 5
3
④
2

⑤ （ 3） | 3 | 3
4 4
x a x a (a 0) 2 3 2 3 3 ( a ) a (3 a) a
立方根
若x a，则x叫a的立方根（或三次方根）
3
3 a只有一个立方根。记作 a
n次方根
若x a，则x叫a的n次方根。
n
方根 若存在实数x，使x n a（a R，n 1，n N ），
则x叫a的n次方根。 a的n次方根，叫做把a开n .求 次方，称作开方运算
偶次方根 奇次方根
n n
(a ) a
1 3 3
1 3 3
1 3 3
a
(a ) a
2 3
2 3 3
2 3 3
a
2
2
a a
分 n a a (a 0) 数 m 指 a n n a m ( n a )m 数 m 1 1 n 幂 a m n m
an a
1 n
a a
3
m (a 0, n、m N ， 为既约分数） n m (a 0, n、m N ， 为既约分数） n
1 2 2
⑥（a b ） a b 2a b
1 2
1 2 2
1 2
1 2
例1.化简下列各式：
5x y （） 1 1 1 1 1 1 2 5 3 6 ( x y )( x y ) 4 6
2 3 1 2
m m 1 2 （2） 1 1 m 2 m2
例2.化简
a
m （4）（ab）
a b
m m
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
8 1
0
（ 8） 1
0
（a b）
0
1
2
10
3
1 10 3 0.001
1 6 1 1 1 3 3 3 （ ） 1 6 1 64 （2 x） 2 x 3 2 ( ) 8x
x 2 x 6 （ 2 ） 4 r r
3
64
0.0001 10
4
1 6 r4 x 6 1 x 2 r4 a
a 2b 2c 1 2 bc
根式问题
平方根
若x a，则x叫a的平方根（或二次方根）
2
a 0时，两个平方根： ， a a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
②8 （8 ） 22 4 ③3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 ④（a b ） （a ） b ） a 2b （
1 2 1 2 1 2 1 2
1 3 2
3 9
2
2 3
1 4 3
2 3 3
1 4 3
3 4
1 2 2
⑤（a b ）（a b ） （a ） b ） a b （
m n
nm
（4）（ab）
m
a b
m m
a mn （m n，a 0） a n a a3 a 0 1 3 a 3 3 a 0
a
3 1 a3 a 3 2 5 a 35 a 2 a2 a a a
m
（ ）a ma n a m n 规定： 运算法则: 1 nm m n 0 （2）（a ） a a 1 （a 0） am （3） n a m n 1 n a a n （a 0，n N ）
复习回顾
实数分类:
正整数 整数 0
有理数 实 数 无理数 分数
负整数
整数指数幂
正整数指数幂:
指数 幂
a2 a a
n
a3 a a a
a a a ......a
底数
n个
运算法则:（ ）a m a n 1
a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a （m n，a 0） a