信号与系统第二章资料
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统-2章-简明版本
t ln 2 t ln 2
；
(t t 0 ) [ (t t 0 )] n
n 为正整数。
不难画出相应的波形,见图 2.5。
2 (t)
2
( ) t
1
(t 2 )
1 0 2
0
t
0
t
(2t)
1
t
0
2
t
(et 2 )
1 0 ln 2
(2 ) t
1
t
0
t
( t) 2
d (t ) dt
（2.7）
(t )
1 0
(t ) ' (t )
(1)
t
图 2.13 冲激信号与阶跃信号的关系
0
t
冲激信号的强度等于阶跃的幅度。
2. 性质 （1） (t ) 为偶函数，即有
(t ) (t )
(t t 0 ) (t 0 t )
（2.8）
1 ( e 2) 0
t
；
；
1 e t 2 1 et 2 0 0 e t 2 0 1 2t 0 1 t 0 (t ) ； ( 2t ) 0 2t 0 0 t 0 1 2t 0 1 t 0 (2t ) (t ) ； 0 2t 0 0 t 0 1 2t 1 0 1 t 0.5 (2t 1) ； 0 2t 1 0 0 t 0.5 et 2 0
[ (t t 0 ) (t t1 )] 表示， t 0 为起始时间， t 1 为终止时间， x(t )[ (t t 0 ) (t t1 )] 是保
x(t )
x (t ) (t t0 )
信号与系统 第二章ppt剖析
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
信号与系统 第二章 第3讲
第二节 起始点的跳变
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
《信号与系统》第二章总结
其中零状态响应rzs (t )由初始态为零时的方程求解而定 即rzs (t ) = rzsh (t ) + rzsp (t )
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
信号与系统第二章ppt课件
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
信号与系统第四版第二章
该过程可借助数学描述
第 2章 连续系统时域分析
分析
中的 表示 到
在
中
章 连续系统时域分析
数学描述
设 则 代入方程 得出 即 即
所以得
第 2章 连续系统时域分析
例2-3-3
代入微分方程， 得 （1）将e(t)代入微分方程，t≥0得 ） 代入微分方程
iL(0+ ) ≠ iL(0− )
第 2章 连续系统时域分析
例2-3-2
第 2章 连续系统时域分析
三．冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理： 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的 及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项） 可以不管其他项） 例：
第 2章 连续系统时域分析
(3)
换路前
第 2章 连续系统时域分析
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有
第 2章 连续系统时域分析
(4)
求得 要求的完全响应为
第 2章 连续系统时域分析
几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 激励函数 响应函数r(t)的特解 响应函数 的特解
第 2章 连续系统时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析 §2.1 引言 系统数学模型的时域表示
时域分析方法:不涉及任何变换， 时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统 的微分、积分方程式，这种方法比较直观， 的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概 念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。 念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
信号与系统 第2章(3-5)
X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
信号与系统(第二章)教材
② 0 n 4 时，
③ 4 n 6 时，
④ 6 n 10 时， ⑤ n 10 时，
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n) 与 h(n) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x(k)与 h(n k) 的宗量之
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
例：求 aku(k) u(k 4)
aku(k) u(k 4) aiu(k) u(k 4 i) i
k 4
u(k 4) ai (1 a a2 ... ak4)u(k 4) i0
ak4 1u(k 4) a 1
例： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
第2章 线性时不变系统
主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号
用 (t)表示连续时间信号
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
response )
[n]
LTI
h[n]
时不变性
[n]
[n k]
③ 4 n 6 时，
④ 6 n 10 时， ⑤ n 10 时，
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n) 与 h(n) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x(k)与 h(n k) 的宗量之
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
例：求 aku(k) u(k 4)
aku(k) u(k 4) aiu(k) u(k 4 i) i
k 4
u(k 4) ai (1 a a2 ... ak4)u(k 4) i0
ak4 1u(k 4) a 1
例： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
第2章 线性时不变系统
主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号
用 (t)表示连续时间信号
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
response )
[n]
LTI
h[n]
时不变性
[n]
[n k]
《信号与系统》总结：第二章1
冲激偶卷积
四.电路元件的运算模型
元件名称
电路符号
时域
电路符号
频域
电路符号
复域
关系
运算模型
运算模型
运算模型
电阻
电容
电感
五.连续时间系统时域分析
1. 2.
高阶冲激信号
冲激偶信号
说明：1. 量纲是 2.强度 的单位是
3. 是奇函数
筛选特性
证明：对 两端微分
取样特性
证明：关键利用筛选特性展开
展缩特性
特别：
是奇函数
备注：1.Байду номын сангаас度变换：
三.卷积
连续时间信号
离散时间信号
卷积定义
交换率
分配率
结合率
奇异信号卷积特性
单位样值信号卷积特性
单位元特性
延时特性
积分特性
第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析
一．普通信号
普通信号
，
直流信号
实指数信号
时间常数：
虚指数信号
正弦信号
复指数信号
二、冲激信号
冲激信号
是偶函数
筛选特性
特别：
取样特性
特别：
展缩特性
证明：1. 2. 3.
阶跃信号
处可以定义为 (个别点数值差别不会导致能量的改变)
性质
1. 2.
斜坡信号
性质
四.电路元件的运算模型
元件名称
电路符号
时域
电路符号
频域
电路符号
复域
关系
运算模型
运算模型
运算模型
电阻
电容
电感
五.连续时间系统时域分析
1. 2.
高阶冲激信号
冲激偶信号
说明：1. 量纲是 2.强度 的单位是
3. 是奇函数
筛选特性
证明：对 两端微分
取样特性
证明：关键利用筛选特性展开
展缩特性
特别：
是奇函数
备注：1.Байду номын сангаас度变换：
三.卷积
连续时间信号
离散时间信号
卷积定义
交换率
分配率
结合率
奇异信号卷积特性
单位样值信号卷积特性
单位元特性
延时特性
积分特性
第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析
一．普通信号
普通信号
，
直流信号
实指数信号
时间常数：
虚指数信号
正弦信号
复指数信号
二、冲激信号
冲激信号
是偶函数
筛选特性
特别：
取样特性
特别：
展缩特性
证明：1. 2. 3.
阶跃信号
处可以定义为 (个别点数值差别不会导致能量的改变)
性质
1. 2.
斜坡信号
性质
《信号与系统》第二章
x[1]
0
n 1 n 1
x[0]
[n]
x[0] 0
n0 n0
x[1]
[n
1]
x[1]
0
n 1 n 1
x[2]
[n
2]
x[2] 0
n2 n2
[n
图2.1 一个离散时间信号分解为一组加 权的移位脉冲之和
因此 x[n] 可表示为
x[n] x[3][n 3] x[2][n 2] x[1][n 1] x[0][n]
若 n 0, 则有
ak x[k]h[n k]
0
0k n 0k
因此,对于 n 0 :
y[n]
n
ak
1 an1
k 0
1 a
对于全部 n :
1 an1
y[n] (
)u[n]
1 a
n0 n
1 1 a
图2.7 例2.3的输出响应
例2.5 一个LTI系统,其输入x[n]和单位脉冲响应h[n]如下:
第二章
线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统:卷积和
2.1.1 用脉冲表示离散时间信号
图2.1(a)是单位脉冲序列,每个脉冲的大小与x[n]所对应的时刻值相等。
图(b)~ (f)分别为 n= -2 、-1、0、1、2时的单个脉冲。即
x[2] [n
2]
x[1]
0
n 2 n 1
x[1]
[n
1]
具体地说,若令
[n k] 系统hk[n]
而输入x[n]的响应为
x[n]
x[k] [n k] 系统 y[n]
x[k]hk [n]
k
k
因为讨论的是线性时不变系统,所以 [n k] 是 [n] 的时移。同样，hk [n]
信号与系统第二章课件
(t 0)
18
连续系统的时域求解（例）
例.（2.4-1）系统 r (t ) r (t ) r (t ) e(t ) e(t ) 解： 2 1 0 1,2 0.5 j 0.5 3 求h (t)和g (t)。
1
在所选专用树的单树支割集、单连支回路方程中列方程
消去其它变量，得 i(t) 的微分方程
3 2 L C uc (t ) 1 H F 1 4
i(t ) 7i(t ) 10i(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t )
2nd.确定初始值/定解条件
i (0 ), i(0 )
[前例]
m n ( i ) ( j) ai rzs (t ) b j e (t ) j0 i 0 (k ) rzs (0 ) 0
求全响应：
13
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
§2.5 系统的零状态响应 2.
n (i ) r(t )求解：先求零输入响应 a r i zi (t ) 0 即解零输入方程（即齐次方程）i 0 (k ) (k ) r ( t ) r ( t ) r ( 0 ) r 经典法得解为： zi h zi (0 ) zi
8
1st. i(t ) 7i(t ) 10i(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t ) nd i ( 0 ) 14 5 ( A ) i ( 0 ) 2( A) 2 .求出初始条件 3rd.解： 2 7 10 0 1 2, 2 5
[求取h(t) ]
1. 作为一种特殊的零状态响应（经典法） 例1：系统 r(t ) 4r(t ) 3r (t ) e(t ) 2e(t ) 求 h(t ) 解： 即解 h(t ) 4h(t ) 3h(t ) (t ) 2 (t ) h ( 0 ) h ( 0 ) 0(无初始储能 )
信号与系统第二章 总结
第二章 总结一﹑LTI 连续系统响应（一）微分方程经典解法=解开方式：全解y （t ）=通解）（特解）（t y t y p n + 1﹑通解（齐次解）：令右侧为零由特征方程n a +n λ1-n a +1-n λ…+0a a 01=+λ确定通解形式，再由n 个+0初始条件确定系数。
总结：齐次解模式由系统决定，系数由n 个初始条件决定，有时与f （t ）有关。
2﹑特解：函数形式与f （t ）有关，根据f （t ）形式选择特定形式后，代入原微分方程，球的系数。
3﹑全解：） y （t ）=）（）（t y t y p n + 响应。
）又称强迫响应或受迫（响应；）又称自由响应或固有（t y t y p n (二)初始条件与-00+（1）经典系统的响应应限于到正无穷范围。
+0（2）不能将{）（-n 0y }作为微分方程初始条件。
（3）{）（+0y n }由{）（-n 0y }导出，{）（+0y n }又称导出初始条件。
（三）零输入响应与零状态响应y （t ）=）（）（t y t y zs zi + 定义求解：（1）求解zi y ：微分方程→特征方程→特征根→zi y （t ）模式→数由{）（-n 0y }确定。
（2））（t y zs 求解：经典法﹑卷积积分法。
二﹑卷积积分卷积积分及其图解计算（1）定义： （2）图解计算：∑=n 1i i i t y a ）（）（∑=m 1j j j t f b ）（）（()()()τττd 21⎰∞∞--=t f f t f ττ ),()(.111积分变量改为f t f →)()()()(.22222τττ-−−→−-−−→−→t f f f t f 平移翻转τττd )(.)(.321-⎰∞∞-t f f 乘积的积分：总结：翻卷（翻转+平移）→乘积→积分三﹑卷积的性质：（一）卷积的代数性质：（1） 交换性：（2） 分配性：（3） 结合律： (二)延时特性：卷积的延迟量等于相卷积的两函数卷积之和（三）函数与冲激函数卷积)()()(t f t t f =*δ卷积奇偶性：同偶异奇（四）卷积的导数与积分：1﹑卷积导数：[）（）（t f t f 21*]´=）（）（t f t f 21*´=）（）（，t f t f 21* 推广：）（）（）（）（）（）（t f t f t f t f n 2n 121-*=* 2、卷积积分）（）（）（）（）（）（t f dx x f dx x f t f dx x f x f 2t 1t 212t 1*=*=*⎰⎰⎰∞-∞-∞- 若y （t ）=）（）（t f t f 21*，则）（）（）（）（）（）（t f t f t y j -i 2j 1i *= （五）相关函数dt t f t f dt t f t )()()(f R 212-112•+=-•=⎰⎰∞∞-∞∞τττ）（）（ dt t f t f dt t f t )()()(-f R 212-121τττ+•=•=⎰⎰∞∞-∞∞）（）（ )-(R 2112ττR =）（ ）（）（ττ-R R 1221=自相关函数：若）（）（）（t f t f t f 21==，则R （τ）称为自相关函数。
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所示。
(4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t· ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
6
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.2
7
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
39
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 计算两个分段信号在某时刻的卷积积分值，应用图解 法求解比较方便。
当t=－1时,f2(t－τ)=f2(－1－τ)。画出f1(τ)、f2(－1－τ)波形如
30
第2章 连续信号与系统的时域分析
31
第2章 连续信号与系统的时域分析
最后整理得
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.6
33
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.7 试计算下列卷积： (1) 2*t［ε(t+2)－ε(t－1)］；
(2) ε(t)*tnε(t)；
观察乘积信号f1(τ)· f2(t－τ)波形的净面积得到。
42
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.9 已知信号f1(t)和f2(t)波形如题图2.5所示，试计算 f1(t)*f2(t)。
题图 2.5
第2章 连续信号与系统的时域分析
第2章
连续信号与系统 的时域分析
1
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.1 对下列信号，当τ→0(τ>0)时，f(t)→δ(t)，试确定系数 值K(提示: 利用 的特点求解)。
2
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) 因为
对上式两边从－∞到∞取积分，考虑到
求得 所以
10
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.3-1
11
第2章 连续信号与系统的时域分析
(2)
波形如题解图2.3-2所示。
12
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.3-2
13
第2章 连续信号与系统的时域分析
(3)
波形如题解图2.3-3所示。
14
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.3-3
所以，卷积积分
y1(t)=2*f1(t)=2S=－3
(2) 因为ε(－∞)=0,故可应用卷积的微积分性质简化公式得
36
第2章 连续信号与系统的时域分析
(3) 因为ε(－∞)=0, 故有
所以
37
第2章 连续信号与系统的时域分析
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有
所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
15
第2章 连续信号与系统的时域分析
(4) 用图解法求卷积积分。求解过程及f4(t)*f5(t)波形如题解 图2.3-4所示。
题解图 2.3-4
16
第2章 连续信号与系统的时域分析
因为17Βιβλιοθήκη 第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
18
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.4 计算卷积积分f1(t)*f2(t)：
(3) e－tε(t)*δ′(t)*ε(t)； (4) e－2tε(t)*δ″(t)*tε(t)。
34
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) 画出f1(t)=t［ε(t+2)-ε(t-1)］波形如题解图2.7 所示。
题解图 2.7
35
第2章 连续信号与系统的时域分析
由于f1(t)波形净面积
S=－2+0.5=－1.5
24
第2章 连续信号与系统的时域分析
先计算
再应用卷积时移性质，求得
25
第2章 连续信号与系统的时域分析
(10) 因为
所以
26
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.5 已知f(t)如题图2.2(a)所示。试用f(t),δT(t)= 进行两种运算(相乘和卷积)，构成题图2.2(b)和 (c)所示的f1(t)和f2(t)。 解
27
第2章 连续信号与系统的时域分析
题图 2.2
28
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.6 f1(t)和f2(t)如题图2.3(a)和(b)所示，试用图解法求卷积 积分f1(t)*f2(t)，并画出其波形。
题图 2.3
29
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
19
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 应用卷积性质和公式计算卷积积分。
20
第2章 连续信号与系统的时域分析
21
第2章 连续信号与系统的时域分析
结合题解图2.4,求得
所以
22
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.4
23
第2章 连续信号与系统的时域分析
(9) 将f1(t)、f2(t)改写为
题解图2.8(a)所示, 两波形重叠区间为［－2,0］,求得
40
第2章 连续信号与系统的时域分析
题解图 2.8
41
第2章 连续信号与系统的时域分析
同理，当t=0和1时，分别画出f1(τ)、f2(t－τ)波形如题解图 2.8(b)、(c)所示，并在相应重叠区间上计算卷积结果，得
自然，根据积分运算的几何意义，上述结果也可通过直接
2.3 各信号波形如题图2.1所示，计算下列卷积，并画出其 波形。
(1) f1(t)*f2(t)；
(2) f1(t)*f3(t)； (3) f4(t)*f3(t)； (4) f4(t)*f5(t)。
8
第2章 连续信号与系统的时域分析
题图 2.1
9
第2章 连续信号与系统的时域分析
解
波形如题解图2.3-1所示。
3
第2章 连续信号与系统的时域分析
(2) 因为
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2；
(2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c)