计算几何学概论
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
计算机科学中的计算几何学
计算机科学中的计算几何学计算几何学是计算机科学中一个重要的领域，它涵盖了许多与图形和几何有关的问题，例如计算多边形的面积和周长、求解几何元素之间的关系和位置、以及生成三维图形等等。
计算几何学在许多应用领域中都有广泛的应用，例如计算机辅助设计、虚拟现实、机器人技术等等。
在计算几何学中，最基本的问题是如何表示和存储几何对象。
传统的方式是使用点、线和面等基本元素来描述几何对象。
对于平面几何问题，经典的数据结构是平面直角坐标系（Cartesian coordinates）和极坐标系（polar coordinates）。
在三维几何问题中，一般使用欧几里得空间（Euclidean space）或齐次坐标系（homogeneous coordinates）来表示和计算。
此外，还可以使用参数曲线和曲面等高级数据结构来描述更复杂的几何对象。
计算几何学中的许多问题都涉及到了求解几何元素之间的关系和位置。
其中最常见的问题之一是交点问题（intersection problem），即求解两条或多条直线或曲线在二维或三维空间中的交点。
还有一类常见问题是求解点与线、点与面之间的位置关系。
例如，如何判断一个点是否在一个多边形内部？如何判断两个三角形是否相交？这些问题的解决方法涉及到了许多经典的算法，例如扫描线算法（scanline algorithm）、凸包算法（convex hull algorithm）和线性规划算法（linear programming algorithm）等等。
计算几何学的另一个重要领域是计算几何优化。
它涉及在给定约束条件下求解几何问题的最优解。
例如，在给定的几何对象中，如何找到包含最大面积的矩形？如何找到通过给定点的最短路径？这些问题需要一些经典的数学工具和算法，例如拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）、离散化技术（discretization）和动态规划算法（dynamic programming algorithm）等等。
数学中的计算几何
数学中的计算几何在数学中，计算几何是研究几何形状与其数值特征、运算关系之间的相互关系的分支学科。
它基于代数与几何的结合，通过运用代数工具来研究几何问题。
计算几何在众多领域中得到了广泛的应用，例如计算机图形学、机器人学以及物理学等等。
本文将探讨数学中的计算几何以及其在现实生活中的应用。
一、计算几何的基本概念计算几何的基本概念包括点、线、平面和空间等概念。
在计算几何中，点是最基本的元素，被定义为没有大小和形状的位置。
线由一系列的点组成，它们是无限延伸的。
平面是由无限多个点和线组成的，具有二维特性。
而空间则是由无限多个点、线和平面组成的，具有三维特性。
二、计算几何的基本运算在计算几何中，有一些基本的运算，包括点的坐标表示、距离计算、向量运算和曲线方程等。
1. 点的坐标表示为了方便计算，在计算几何中通常使用坐标系统来表示点的位置。
对于二维空间中的点，我们使用笛卡尔坐标系，即通过横轴和纵轴的交点来确定点的位置。
通过该坐标系，我们可以用一对有序实数来表示二维空间中的每一个点。
2. 距离计算在计算几何中，我们可以通过坐标表示来计算两个点之间的距离。
对于二维空间中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
同样地，对于三维空间中的点，距离的计算方法与二维类似，只是多了一个坐标方向。
3. 向量运算在计算几何中，向量是用来表示具有大小和方向的量。
我们可以用向量来表示平移、旋转和缩放等操作。
向量的加法、减法、数量积和向量积等运算在计算几何中都有着重要的应用。
4. 曲线方程计算几何中，我们经常需要研究曲线的性质及其与其他曲线的关系。
通过方程的表示，我们可以了解曲线的形状、位置和运动等特征。
常见的曲线方程包括直线方程（斜截式、截距式和点斜式）、圆方程（标准式和一般式）以及椭圆、双曲线、抛物线的方程等。
三、计算几何在现实生活中的应用计算几何作为数学的一个分支，几乎在各个领域中都有着广泛的应用。
计算几何学
计算几何学
计算几何学是一门新兴的学科，它融合了计算机科学与几何学，服务于空间数据处理，使空间数据可用于计算机解决方案。
这门学科在近十年中取得了很大的发展，它可以用于解决复杂的空间问题，从而为社会和经济的发展提供重要的支持。
计算几何学的两个基本概念是空间数据处理和空间关系建模。
空间数据处理是一种技术，它可以利用计算机程序对现实世界中的空间数据进行处理和分析。
空间数据可以是植被分布、气象状况、流域洪水、地形等，可以用以辅助决策和计划。
空间关系建模是一种技术，它可以通过创建和分析相关空间数据，发现其间的关系，用于识别或预测现象。
计算几何学有多种应用。
在数据可视化方面，它可以帮助建立视觉化的空间数据模型，用于显示和展示空间数据，如地图或图表。
在空间分析方面，计算几何学可以为几何分析提供更精确的参数，如距离和方向等，可以将空间数据分析应用到实际问题中以解决复杂的空间问题。
此外，计算几何学在图像处理和空间数据挖掘方面也非常有用，可以帮助用户分析、收集和探索用户感兴趣的空间相关信息。
计算几何学的发展也带来了新的挑战。
它的应用需要大量的数据，而数据的质量也有很大的影响，空间数据的采集和存储仍然存在一定的难度，并且缺乏有效和安全的空间数据共享平台。
另外，计算几何学的算法也比较复杂，它们经常需要计算机科学家以及地理学家的技术支持，有时还需要大量的资源来完成。
计算几何学为社会和经济发展提供了重要的支持，它给人们提供了一种新的、高效的方式来建模、处理和分析空间数据。
虽然计算几何学仍然有一些需要解决的挑战，但它给社会和经济提供了重要的支持，使得空间数据可以用于计算机解决方案，这给人们带来了方便。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
计算几何 算法与应用 第3版
计算几何算法与应用第3版（原创实用版）目录1.计算几何学概述2.计算几何：算法与应用第三版的主要内容3.计算几何的应用领域4.计算几何算法的设计与分析5.计算几何的未来发展趋势正文一、计算几何学概述计算几何学是计算机科学与几何学相结合的一门学科，它主要研究如何使用算法来解决几何问题。
计算几何学的产生可以追溯到 20 世纪 70 年代末，它从算法设计与分析中孕育而生，并逐渐形成了自己的学术刊物和学术会议。
二、计算几何：算法与应用第三版的主要内容《计算几何：算法与应用》第三版是由 Mark de Berg、Otfried Cheong、Marc van Kreveld 和 Mark Overmars 等人编写的一本关于计算几何的经典教材。
全书共分 11 章，内容包括预备知识、几何查找（检索）、多边形、凸壳及其应用、Voronoi 图、三角剖分及其应用、交与并及其应用、多边形的获取及相关问题、几何体的划分与等分、算法的运动规划、几何拓扑网络设计、随机几何算法与并行几何算法等。
三、计算几何的应用领域计算几何在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、图像处理、计算机辅助设计、虚拟现实、地理信息系统、机器人学等。
在这些领域中，计算几何算法可以用来解决诸如几何形状的建模、几何关系的计算、几何图形的裁剪和划分等问题。
四、计算几何算法的设计与分析计算几何算法的设计与分析是计算几何学的核心内容。
设计一个好的计算几何算法，需要对几何问题进行深入的理解，并运用计算机科学的知识来巧妙地解决问题。
在算法的分析方面，主要涉及到算法的正确性、时间复杂度和空间复杂度等方面的研究。
五、计算几何的未来发展趋势随着计算机技术的不断发展，计算几何也在不断地拓展新的领域和应用。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
计算几何
2.3.1 判断线段相交和求交点坐 标
判断线段相交和求线段交点是解决 几何问题的基础和基本手段
这两个操作在几何问题中大量应用
而判断线段是否相交是更常见的问 题，在很多情况下只是判断线段是否 相交，而不是求其交点
2.3.2 线段的规范相交和非规范 相交
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（1）是规范相交，其它是非规范相交。非规范相交 的情况还有很多。通常只考虑规范相交
第11章 计算几何
1. 计算几何概述 2. 计算几何的基本问题 3. 凸包及其应用 4. 求线段集的两两交点
1. 计算几何概述
在计算机图形学、图形用户接口、可视化技术、计算机辅 助设计、模式识别等领域，需要快速的几何算法
解析几何是一个选择。解析几何把所有的几何问题转换成 纯粹的代数问题，而代数问题是可以用计算机解决的
2.6.1 多边形面积的计算公式
N 2
S S p1 pi1 pi2
P1 P6
i 1
N2 1
xi1 x1
i1 2 xi2 x1
yi1 y1 yi2 y1
N2 1 i1 2
x1 xi1 xi2
y1 1 yi1 1 yi2 1
P2 P3
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形
但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
P1
P7
P6
P2 P5
P4
P3
简单多边形
P4 P1
P3
P2
复杂多边形
P4 P2
P3
计算几何基础
计算几何基础计算几何是计算机科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法和理论。
它在计算机图形学、机器人技术、地理信息系统、计算机辅助设计等众多领域都有着广泛的应用。
想象一下，我们在电脑上玩的各种 3D 游戏，游戏中的场景构建、角色移动，都离不开计算几何的支持。
又或者在地图导航中，为我们规划出最优的路线，这背后也是计算几何在发挥作用。
那么，计算几何到底包括哪些基础内容呢？首先是点、线、面等基本几何元素的表示和运算。
在计算几何中，点通常用坐标来表示，比如在二维平面中，一个点可以用(x, y)来表示；在三维空间中，则用(x, y, z)表示。
而线可以通过两个点来确定，面可以通过三个不共线的点来确定。
对于点和点之间的距离计算，这是一个基础且重要的操作。
在二维平面中，两点(x1, y1)和(x2, y2)之间的距离可以通过勾股定理计算得到，即：d ＝√（（x2 x1)²＋（y2 y1)²) 。
在三维空间中，距离的计算方式类似，只是多了一个维度的分量。
线的表示方式有多种，比如直线可以用点斜式、两点式等方程来表示。
而判断两条直线是否相交，也是常见的问题。
通过求解方程组，如果有解且解在合理的范围内，就说明两条直线相交。
再来看看多边形。
多边形是由一系列首尾相连的线段组成的封闭图形。
对于多边形，我们需要考虑它的面积计算、是否为凸多边形等问题。
计算多边形面积的方法有多种，比如可以将多边形分割成多个三角形，然后分别计算三角形的面积再求和。
判断一个多边形是否为凸多边形也有相应的算法，通常是通过检查多边形的每个内角是否小于180 度来判断。
向量在计算几何中也扮演着重要的角色。
向量可以表示方向和大小，通过向量的运算，我们可以方便地处理几何对象的平移、旋转等操作。
比如，两个向量的点积可以用来计算它们之间的夹角，而叉积可以用来判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。
计算几何中还有一个重要的概念——包围盒。
包围盒是一个能够完全包含几何对象的简单几何体，常见的有轴对齐包围盒（AABB）和包围球。
《计算几何讲》课件
直角三角形任意直角边的平方等于其斜边的平方和另一直角边的平方。
2
平行线之间的距离
平行线之间的距离等于任意一点到另一平行线的垂直距离。
3
角平分线定理
角的平分线将其对边按相同比例分割。
5. 计算几何的解题策略
1 画图
将问题转化为几何图形，并标注所需信息。
2 利用定理和公式
运用已知的几何定理和公式来解题。
《计算几何讲》PPT课件
计算几何是研究几何图形的性质及其计算方法的分支学科，应用广泛于计算 机图形学、CAD、计算机辅助几何设计等领域。
1. 计算几何的定义
计算几何是研究在计算机上对几何图形及其性质进行表示、计算和处理的学 科。
2. 计算几何的应用
1 计算机图形学
用于生成和显示三维几何 图形，比如动画、游戏和 虚拟现实。
于设计和模拟工程和建 筑物，提高效率和准确性。
用于绘制几何图形、计算 测量和设计规划。
3. 计算几何的基本概念
点
几何图形的基本元素，没有大 小和方向。
线段
由两个点确定的线段，有长度 和方向。
直线
无限延伸的线段，由无数个点 确定。
4. 计算几何的相关定理
1
直角三角形的勾股定理
3 逻辑推理
通过观察几何图形的性质和关系，进行推理和解答。
6. 计算几何的实例讲解
三角形的分类
介绍三角形的分类及其特点，给 予示例演示。
内切圆和外接圆
讲解几何图形中内切圆和外接圆 的性质及应用。
平行线与角度
解释平行线与角度之间的关系及 相关定理。
7. 结论与总结
计算几何是一个有着广泛应用和丰富理论的学科，掌握计算几何的基本概念和解题策略，将有效提高问题解决 的能力。
计算几何中的基本概念与应用
计算几何中的基本概念与应用计算几何，是一个以计算方法为基础，通过数学分析来研究图形的几何学分支。
它是一个涉及到大量的数学知识的领域，除了基本的几何知识之外，还需要掌握一些各种各样的数学方法。
在这篇文章中，我将会介绍计算几何中的基本概念及其应用。
1. 点、直线和向量在计算几何的领域中，最基本的概念就是点、直线和向量。
点是最基本的图形，在计算几何中，点通常用坐标来表示。
直线是由无数个点连成的线段，它通常以斜率截距式来表示。
向量也是一种基本的概念，它可以表示两个点之间的距离和方向。
这三种基本概念在计算几何中都有重要的应用。
例如，我们可以使用点和向量来表示线段，使用向量来表示两个点之间的距离。
在计算几何中，我们也可以使用向量来表示两个平面之间的夹角，从而可以计算出两个平面的交角。
2. 多边形和三角形在计算几何的领域中，多边形和三角形是非常重要的概念。
三角形是一个由三个点和它们所组成的线段组成的图形。
多边形则是一个由多个点和线段组成的图形。
在计算几何中，我们通常使用多边形的面积和周长来进行分析和计算。
例如，在计算几何中，我们可以使用三角形的面积公式来计算出三角形的面积，进而计算出其周长。
同样的，我们也可以使用多边形的面积公式来计算出多边形的面积和周长。
这些计算方法对于计算几何中三角形和多边形的应用非常重要。
3. 圆和椭圆圆和椭圆也是计算几何领域中一个非常重要的概念。
圆是一个由一个确定的点到平面上距离相等的所有点组成的图形。
椭圆则是一个由两个点到平面上距离和长度之和相等的所有点组成的图形。
在计算几何中，我们通常使用圆和椭圆的半径、周长和面积来分析和计算。
例如，我们可以使用圆的面积公式来计算出圆的面积和周长，进而使用这些数据来计算出圆的半径和直径。
4. 矩形和正方形矩形和正方形是计算几何中另外两个非常重要的概念。
矩形是一个具有四个直角的平面上的图形，它的两个对立面是相等的。
正方形则是一种特殊的矩形，它的四个边都是相等的，所有的直角都是相等的。
计算几何课件
• 向量形式与解析形式的关系
•
− , − , − ⋅ , , = 0 ⟹ + + + = 0
• Dist =
− ⋅
=
+++
2 + 2 + 2
• 性质：参数表示与隐式表示；自动适用于二维
2024/3/11
• 是直线/射线上一点， 是直线/射线的方向向量
• 线段： = 1 + 2 − 1 = 1 − 1 + 2 , ∈ 0,1
• 1 , 2 分别是线段的两个端点
2024/3/11
1
Computational Geometry
2
5
点、线、面的表示
1
• 面的表示
计算几何
Computational Geometry
主讲人：x
2024 年 3 月 18 日
什么是计算几何
2024/3/11
Computational Geometry
2
什么是计算几何
• 计算几何：✗数学 ✓计算机
• 起源于 1971 年，计算机图形学 (CG) 与计算机辅助设计 (CAD) 的推动
• = + = +
2024/3/11
• =
• ≥ 0, Dist = ℎ
• 点在直线上的投影
• ⋅+
• 点 ；直线 = +
ℎ
− ⋅
2
Computational Geometry
7
线与线的位置关系 (2D)
• 共端点射线/线段的绕序
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是现代计算机科学、数学与工程技术中的一个重要分支。
它研究空间中各种几何对象的表示、存储、处理与运算。
伴随着计算机技术的发展，计算几何的应用也越来越广泛，从计算机图形学、CAD （计算机辅助设计）到模式识别与机器学习等领域均有涉及。
本文将从基本概念入手，逐步深入，探讨计算几何的基本理论、主要算法以及实际应用中的重要性。
计算几何的基本概念在讨论计算几何之前，我们首先需要理解一些基本的几何概念和术语。
计算几何主要关注以下几个方面：1. 点、线、面和多边形点是最基本的几何元素，通常用坐标表示。
在二维空间中，我们用坐标 (x, y) 来表示一个点；而在三维空间中，则使用 (x, y, z)来表示。
此外，线由两个点确定，面则由三条边围成的区域形成。
多边形是由有限条线段首尾相连形成的闭合图形，例如三角形、矩形等。
2. 几何变换几何变换是对几何对象进行的位置、大小和方向的改变。
常见的变换包括平移、旋转和缩放。
通过这些变换，可以实现对象的重新定位以及调整其尺寸以适应不同的应用场景。
3. 几何算法几何算法是处理和分析几何对象的步骤和方法。
这些算法解决诸如点与线的关系、点是否在多边形内等问题。
高效的几何算法能够提高计算效率，对于大规模数据处理尤为重要。
计算几何中的重要算法在计算几何中，有一些关键算法为我们解决复杂问题提供了必要工具。
以下将介绍其中几个广泛应用且基础的重要算法。
1. 凸包算法凸包是指能够包含一组点的最小凸多边形。
凸包问题在许多领域都有广泛应用，包括数据可视化、模式识别等。
著名的求解凸包的算法包括Graham扫描法和Jarvis行侠法等。
Graham扫描法具体步骤如下： - 将所有点按照x坐标排序，如果x坐标相同则按照y坐标排序。
- 选定左下角点为起始点，按极角顺时针排序。
- 利用栈结构循环判断当前点与栈顶两点所组成的角度来维护凸包。
此算法在时间复杂度上表现良好，通常为 (O(n n))。
第六章计算几何学.ppt
• 设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 ) 。矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )。矢量加法的几何意义是以向量 P、Q为邻边的平行四边形的对角线
Q
P+Q Q
P O
图8-2 两个矢量
P
O
图8-3 矢量加法的几何意义
矢量减法定义为： P − Q = ( x1 − x2 , y1 − y2 )
int inside_polygon(point p,int n,point *pt){ //设多边形有n个顶点，pt是顶点数组
point p1; int i=0,count; while (i<n){ //随机取一个足够远的点p1
p1.x=rand()+offset,p1.y=rand()+offset; //以p为始点、p1为终点作射线L;
return (fabs(area)-OnEdge(n,p))/2+1; }
6.2 基本算法
1．判断线段和直线是否相交 2．判断矩形是否包含点 3．判断线段、折线、多边形是否在矩形中 4．判断矩形M1是否在矩形M2中 5．判断圆是否在矩形中 6．判断点是否在多边形中 7．判断线段是否在多边形内 8．判断折线是否在多边形内 9．判断多边形是否在多边形内 10．判断矩形是否在多边形内 11．判断圆是否在多边形内 12．判断点是否在圆内 13．判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 14．判断圆是否在圆内
=0 O、A、B共线
<0 OB在OA的顺时针方向 叉积符合右手法则（通过正负号，判断两矢量的顺逆关系）
3、任意三点A、B、C组成的向量AB、AC的叉积
计算几何课件知识讲解
POJ 1292
平面上有一些墙，人可以在墙上走，也可以 在两堵墙间架木板走到另一堵墙上，求从起 点到终点至少要带多长的木板
主要问题在于求两条线段的距离：若相交则 为0，否则可转化为点到线段的距离
POJ 3944
空间内有一些可反射光线的球，现从某一点 向某一方向射出一束光，求光线与球的最后
若共面，问题转化为二维：分两种情况考虑： 一个三角形的顶点在另一个三角形内（利 用叉积） 一个三角形的边与另一个三角形的边相交 （利用线与线的交点）
先判断是否有唯一解（不平行），再利用叉 积求解
CPoint intersect(CLine l, CLine m, string msg) {
double x = area(m.a – l.a, l.b – l.a);
double y = area(l.b – l.a, m.b – l.a);
if (isZero(x + y)) {
}
CVector operator -(CVector p, CVector q) { return CVector(p.x - q.x, p.y - q.y, p.z - q.z);
}
CVector operator *(double k, CVector p) { return CVector(k * p.x, k * p.y, k * p.z);
CVector n = normal(s);
double x = project(l.b – l.a, n);
if (isZero(x)) {
if (isZero(dist(l.a, s))) msg = “共面n”;
else msg = “平行”;
计算几何基础知识讲义
计算几何基础知识讲义一．基础知识1.两点间的距离公式：已知：平面上的两点的直角坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则P1和P2两点间的距离为 d=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)) 2.线段的中点坐标公式：已知：平面上的两点的直角坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则线段P1P2的中点坐标为 x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2 3.直线的斜率公式：已知：平面上的两点的直角坐标分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2),则线段P1P2所在的直线的斜率为 k=（y2-y1)/(x2-x1) 4.直线的点斜式方程:已知：直线过点P0(x0,y0)，斜率为k,则该直线所在的方程为 y=k(x-x0)+y0=kx+y0-kx0=kx+b(与y 轴交点的纵坐标:纵截距) 5、三角形面积2ABC AB AC S ⨯=。
当然，还有其他的许多方法，包括大家熟知的1sin 2S ab C =以及Hero 公式。
Hero 公式是令2a b cp ++=，则()()()S p p a p b p c =---。
6、多边形面积计算如果一个多边形的顶点是按逆时针（顺时针也可）顺序排列的，那么我们可以找到一种简洁的面积算法。
例如右图是一个四边形P 1P 2P 3P 4，设P 5=P 1 ，x i 是各点在x 轴上的射影。
我们称P i X i X i+1P i+1是一个“有向梯形”，并定义其面积为：“有向梯形”的面积是可正可负的，这就是称其“有向”的原因。
而整个四边形的面积则是： 这个面积就是正数了。
对于各种特殊的四边形，这个算法仍然成立。
这些例子如凹四边形（图2），被x 轴切割的四边形（图3），注意图3中有向梯形P 1X 1X 2P 2实际上并不是严格的梯形，但这并不影响结果的正确性，这就是“有向梯形”带符号的好处。
这个面积算法对按逆时针排列顶点的四边形的计算结果为正，而对按顺时针排列顶点的四边形的计算结果为负。
计算几何学
计算几何学
计算几何学是一门广受欢迎的研究领域，涉及应用数学原理和计算方法，研究计算机科学的基础理论和实际应用。
它的发展始于20
世纪70年代初，它的起源可以追溯到早期的人工智能和机器人研究。
计算几何学的研究旨在利用有限元数学、计算机图形学、计算机视觉以及机器人学与传感技术来实现复杂的几何形态建模、分析和控制任务。
传统的几何学在描述几何形态时有一定的局限性，它只能描述两维或者三维几何形态。
计算几何学利用数学技术来分析高维空间中的几何形态，特别适用于对空间几何形态的细节描述和全面分析。
计算几何学涉及几何建模、几何优化、几何可视化、几何分析和几何检验等多个方面的技术，可以帮助我们更好地理解和控制几何形态。
计算几何学有很多实际应用，它可以用于分析工程中的几何形态，帮助工程师选择最合适的材料和设计模型。
它也可以用于生物学中的生物形态分析，有助于研究器官的发育和功能，以帮助研究人员设计最佳的器官移植方案。
此外，计算几何学还可以用于机器人领域，利用几何学技术可以设计和控制更加灵活的机器人，使机器人可以完成更复杂的任务。
计算几何学是一个快速发展的研究领域，近年来，计算几何学实现了更高级的技术，如计算机视觉和数学建模技术，这些技术在更广泛的领域有着广泛的应用。
未来，计算几何学将为现代社会和技术领域提供更多的发展，它将是推动新一代技术的重要力量。
总的来说，计算几何学是一个广阔的研究领域，它的研究和应用范围不断拓展，并有望为现代社会和技术领域带来更多发展。
计算几何学是一项有前景的学科，未来将继续发挥重要作用，为我们提供更多的解决方案和新的发现。
计算几何算法概览
计算几何算法概览一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：三、算法介绍如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
设二维矢量P=(x1,y1)，Q=(x2,y2)，则矢量加法定义为：P+Q=(x1+x2,y1+y2)，同样的，矢量减法定义为：P-Q=(x1-x2,y1-y2)。
显然有性质P+Q=Q+P，P-Q=-(Q-P)。
计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。
设矢量P=(x1,y1)，Q=(x2,y2)，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P×Q=x1*y2-x2*y1，其结果是一个标量。
显然有性质P ×Q=-(Q×P)和P×(-Q)=-(P×Q)。
一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。
叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若P×Q 0,则P在Q的顺时针方向。
若P×Q 0,则P在Q的逆时针方向。
若P×Q=0,则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。
计算几何与图形学的数学基础
计算几何与图形学的数学基础计算几何与图形学是数学领域中涉及几何形状、图形和其它与空间相关概念的分支。
它们提供了许多重要的数学基础和理论，对于解决实际问题、工程应用以及计算机图形学的发展都具有重要意义。
本文将介绍计算几何与图形学的一些数学基础。
一、点、线、面的几何性质计算几何与图形学研究的对象主要是点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在几何学中，点是没有大小和形状的，用来描述位置；线是由无数点构成，是长度无限延伸的物体；面是由无数线构成的，是二维的，有面积的物体。
这些基本的几何要素有着特定的性质和运算规则，在计算几何与图形学中扮演着重要的角色。
二、向量和坐标系向量是计算几何与图形学中的重要概念，它可以表示空间中的方向和大小。
向量常用于描述点之间的位置关系和线段的方向。
在计算几何中，向量可以进行加法、减法和数乘等运算，这些运算有助于解决几何问题。
坐标系是用来标定点的位置的一种方法。
二维空间中常使用直角坐标系，通过横纵坐标来确定点的位置；三维空间则使用三维直角坐标系，通过三个坐标轴来确定点在空间中的位置，坐标轴互相垂直。
三、曲线和曲面在计算几何与图形学中，曲线和曲面是常见的几何对象。
曲线可以由参数方程或者隐式方程来描述，比如常见的直线、圆形、椭圆等；曲面是由参数方程或隐式方程描述的，如球面、圆柱面、锥面等。
曲线和曲面的性质和形状可以通过不同的数学工具和方法进行分析和计算。
四、投影与变换投影是计算几何中重要的概念之一，它描述了物体在不同角度和位置下在平面上的映射。
常见的投影包括平行投影和透视投影。
平行投影是指物体投影到平行于观察方向的平面上，透视投影则考虑了物体与观察者之间的距离和角度。
变换是计算几何与图形学中的关键技术之一，它包括平移、旋转、缩放和扭曲等操作，可以改变几何对象的形状和位置。
五、计算几何与图形学的应用计算几何与图形学的数学基础被广泛应用于众多领域。
在工程领域，它们被用于建筑设计、机械制造和飞行器设计等方面，帮助人们解决实际问题。
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算法只能判断是否相交，不能求交点个数！ for每个
3 c O(nlogn)
端点p
1a
4
6
7
8
左端点
右端点
b
d
2
5
Ta 序y
列
ac ba
b 不不 相相 交交
cc c ab b bd d 不不 相 相相 交
交交
将线段插入T中
判断它的上下 相邻元素是否
相交
判断是否与其 相邻元素相交
计算几何学
朱成名 2014/4/18
大纲
计算几何的基本工具 计算几何的常见问题 总结
叉积 点积 线段方面的问题 凸包方面的问题 最远/近点对问题
2
计算几何的基本工具
叉积(向量积)
已知有向线段 op1 =(x1,y1),op2 =(x2,y2). op1 和 op2 的叉积为：op1 × op2 = op1 × op2 ×sin(α)。
右端点
交点 count++
判断是否与 其相邻元素
相交
是
交点
c b 插入
b
顶点
序列
否 处理 下一 个顶
点
O(nlogn)
判断它 交换相交
的上下 线段位置，
相邻元 判断是否
素是否 与其相邻
相交 位置相交
否
删是是 否
除 交点
处理下
插入 一个顶
顶点
点
序列
13
大纲
计算几何的基本工具 计算几何的常见问题 总结
p2(x2,y2)
op1×op2 ＞0，表示op1到op2成逆时针， 即op2在op1的左边。
p1(x1,y1)
O(0,0)
op2×op1 ＜ 0
若op1×op2 = 0，则表示op1和op2共线(同向或反向)。
p2(x2,y2)
p2(x2,y2)
p1(x1,y1)
O(0,0)
共向
O(0,0)
p1(x1,y1)
计算叉积op1×op2。
若>0,即op2在op1的左边， 因此在p1点向左转。
若<0,即op2在op1的右边， 因此在p1点向右转。
p2(x2,y2)
左
p1(x1,y1)
右
O(0,0)
若=0,即op2与op1共线。
7
2.判断两条线段是否相交？ 方法：检查每条线段是否跨越了包含另一条线段的直线。
c(x3,y3)
p10
p6 p3
性质：
p7 p1
p2
凸包上按逆(顺)时针方向的连续顶点所构成
的夹角只包含左(右)转。 15
2.求凸包
Graham扫描法 Jarvis步进法
e ad
前提：无垂直线段； 没有三条输入线段相交于一个点。
c
b
T 序
y
aaadde e bc a a d d
列
bc c c c
bbb b
设一序列T，当线段的左端点遇到 扫除线时,线段就按交点的y值递减 的插入到序列T中, 当其右端点遇 到扫除线时离开序列T。
11
对每条线段端点按x坐标从小到大排序，若x相同，左端点
c(x3,y3)
d(x4,y4) b(x2,y2)
(二) ad · db ＜0
此时ab ×ad=0，但只有(一)是相交的。 即知道某条线段端点在另一线段所在直线上时，需要判 断该点是否在另一线段上。 方法一：Xa<=Xd<=Xb and Ya <=Yd<=Yb;
方法二 ： ad · db>0 ( db （ad）指向ad (db)的前方 ) 9
反向
4
计算几何的基本工具
点积(数量积)
已知有向线段 op1 =(x1,y1),op2 =(x2,y2)。 op1 和 op2 的点积为：op1 · op2 = op1 ×cos(α)× op2 。 几何意义：是op1在 op2 上的投影与op2 长度的乘积。
另一种定义：op1 · op2 = x1x2 + y1y2 = op2· op1
判断两条线段是否相交？
ab ×ad与ab ×ac结果异号； 真 return
c
&& cd ×ca与cd ×cb结果异号
true
b
假
有同号
无同号，有0
是
a
d
return
交点是否在 否 是否还存
false
线段上
在0
是
否
return true
return false
10
3.判断任意一对线段是否相交？
使用"扫除"的技术,即假设一条垂直扫除线沿X 轴方向从左 到右移动,每遇到线段端点,就进行一定的操作。
叉积 点积 线段方面的问题 凸包方面的问题 最远/近点对问题
14
计算几何的常见问题
凸包方面的问题
1.凸包的概念 ？ 引入：篱笆围树，求最小篱笆周长，就是求这些树的凸包！
定义：
平面上给定的点集Q，它的凸包
p9
是指一个最小凸多边形，满足Q p12 p11
p8 p5
中的点或者在多边形边上或者
p4
在其内。
几何意义：是以op1和 op2为边的平行四边形的有向面积。
另一种定义：op1
×
op2
=det
x1,x2 y1,y2
= x1y2 – x2y1 x2,x1
= －det y2,y1
p(x1+x2,y1+y2) p2(x2,y2)
α
= － op2 × op1
O(0,0)
p1(x1,y1)
3
右手法则可快速判断两个平面向量叉积的方向，继而判断两 个向量的相对位置关系。
即点c、d分别在线段A所在直 线段ab和线段cd相交
线的两侧,同时点a、b分别在B ac和ad分别在A所在直线
所在直线的两侧，则可以确 的左右两侧。
定A与B相交.
即点c、d分别在线段A
所在直线的两侧
8
特殊情况：
c(x3,y3)
b(x2,y2)
a(x1,y1)
(一)
d(x4,y4)
a(x1,y1)
ad · db ＞0
删除
是
return true
否否
比较下一 个端点
是
return true
12
能求交点个数的算法！
顶点序列： 1 2 3 Q41 Q542 654 65 6
for每个 顶点
3c
2 a 1
b Q1
Ty 序 abc c
列
ab a
相 交
a 不 相
b 相 交
交
4 Q2
aa cc bb 不 相 交
5 6
左端点 插入T中
p1(x1,y1)
O(0,0) α
p2(x2,y2)
cos(2 Π － α) = cos(－ α）= cos(α)
5
大纲
计算几何的基本工具 计算几何的常见问题 总结
叉积 点积 线段方面的问题 凸包方面的问题 最远/近点对问题
6
计算几何的常见问题
线段方面的问题 1.判断连续线段是向左转还是向右转？
B
A
a(x1,y1)
b(x2,y2) d(x4,y4)
若aabb××aacd与和aba×b×ada的c结结果果为异异号号，
acbd××caad与＞cd0×,即cba的d在结a果b为的异左号边； ab×ac＜0,即ac在ab的右边。
ab×ad＜0,即ad在ab的右边； ab×ac＞0,即ac在ab的左边。