高等数学下第一章习题课

习题课 空间解析几何
一、 内容小结 二、实例分析
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一、主要内容
（一）向量代数
（二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积 混合积 向量积
向量的表示法
向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
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2x z 0 例. 设一平面平行于已知直线 x y z 5 0 且垂直于已知平面 7 x y 4 z 3 0 , 求该平面法线的 的方向余弦. 提示: 已知平面的法向量 n1 (7 , 1, 4) 求出已知直线的方向向量
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
a b
bx b y bz
2
2
2
a x bx a y b y a z bz 0
5、向量积 (叉积、外积) | c || a || b | sin
向量积的坐标表达式
a b ax bx
i
j ay by
4、数量积 (点积、内积) 其中 为a 与b 的夹角 a b | a || b | cos
数量积的坐标表达式
a b a x bx a y b y a z bz
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
L1 M1
L2
M0
M2
L
的方程化为参数方程
设 L 与它们的交点分别为
M1 (t1 , 2 t1 , t1 1),
M 2 (t 2 , 3t 2 4 , 2t 2 1) .
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M 0 , M1 , M 2 三点共线
M 0 M1 // M 0 M 2
t1 0 , t 2 2
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(2)点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
M0
d
n

M1
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二、典型例题
b j 2k , c 2i 2 j k , 例 已知 a i ， 0 0 0 求一单位向量 n ， 使 n c ， 且 n , a , b 共面． 0 解 设 n xi yj zk , 由题设条件得 0 x2 y2 z2 1 n 1 0 2 x 2 y z 0 n c 2 y z 0 0 n a b 1 2 2 0 解得 n ( i j k ). 3 3 3
A1 A2 B1B2 C1C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2
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线与线的关系
直线 L1：x x1 y y1 z z1 , s (m , n , p ) 1 1 1 1 m1 n1 p1 x x2 y y 2 z z 2 , s2 (m2 , n2 , p2 ) 直线 L2： m2 n2 p2
L1
L2
M0
M1 (0 , 0 , 1) , M 2 (2 , 2 , 3) M 1 L x 1 y 1 z 1 L: 1 1 2
M2
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垂直: 平行: s1 s2 0
s1 s2 夹角公式: cos s1 s2
m1m2 n1n2 p1 p2 0 m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
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面与线间的关系 平面: Ax By Cz D 0, n ( A , B , C )
s ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
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2.线面之间的相互关系
面与面的关系 平面
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )
垂直: 平行: n1 n2 0
n1 n2 夹角公式: cosθ n1 n2
k az bz
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
1. 空间直线与平面的方程
空间平面
一般式
点法式 截距式
x y z 1 a b c
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n ( A , B , C )
xx y y zz 直线: , s (m , n , p) m n p m n p 垂直：s n 0 A B C 平行： s n 0
sn 夹角公式： sin s n
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0 的平面束 方程 ( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
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空间直线
A x B y C z D 0 1 1 1 1 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0
对称式
x x0 m t 参数式 y y0 n t z z0 p t ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
例. 求直线
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
与平面
t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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例. 求直线
上的投影直线方程.
在平面
提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 ( x y z 1) 0
即 从中选择 使其与已知平面垂直： 得 1, 从而得投影直线方程 这是投影平面 y z 1 0 x y z 0
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , az 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
a {a x , a y , a z } b {bx , b y , bz } a b {a x bx , a y b y , a z bz } (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k a b {a x bx , a y b y , a z bz } (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k a {a x , a y , a z } ( a x )i ( a y ) j ( a z )k
取所求平面的法向量
所求为
i j k n s n1 1 1 2 2(3 , 5 , 4) 7 1 4 3 5 4 cos , cos , cos 51 50 50
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例. 求过点
且与两直线
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都相交的直线 L.
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ; 再写直线方程.