离散数学(上)模拟题

离散数学（上）模拟题

1、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）

1. 用命题逻辑把下列命题符号化

a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b) 我今天进城，除非下雨。

c) 仅当你走，我将留下。

2. 用谓词逻辑把下列命题符号化

a) 有些实数不是有理数

b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得

f(a)=b.

2、简答题（共6道题，共32分）

1. 求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范

式，并写出所有成真赋值。（5分）

2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）

a) xy(x+y=4)

b) yx (x+y=4)

3. 求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分）

4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）

a) （AB）－C=(A-B) (A-C)

b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|

5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）

a) A上有多少种不同的等价关系？

b) 从A到A的不同双射函数有多少个？

6. 设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小

元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、

下确界，(5分)

f g

d e

b c

a

图1

7. 已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求

下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即

可）(6分)

3、证明题（共3小题，共计40分）

1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10

分）

a) A→(B∧C),(E→F)→C, B→(A∧S)B→E

b) x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，xR(x) xP(x)

2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R

满足：<,>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且

∈R2。试证明：R是A×B上的等价关系。（10分）

3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。（10分）

4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个

元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：rs≥n2。（10分）

4、应用题（10分）

在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b, a→c, b→g, g→b, c→f, f→e, b→d, d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。