第4节 整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.mm m c c z c zc +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0nnn f z czz ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===，故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) R e (),f z R e (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C≡，即2()()Cf z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个nc 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),M f a R '≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得R e ()(),f z MF z ee =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()nn n p z a z a za -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于10lim ()lim (),nn nz z a a p z z a zz→∞→∞=+++=∞1lim0,()z p z →∞=故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设1()Mp z ≤(正常数)，从而，在z 平面上11,()M p z <+于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),nn g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11ze -是一个超越亚纯函数．证11ze -有无穷多个极点：2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b=+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=-都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b=+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),nn f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).nn n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
分担四个值的亚纯函数
分担四个值的亚纯函数
1 亚纯函数
亚纯函数是一种关于数学函数在一个给定闭区间上多维函数的一种变体。
它是一种不用计算，可以把闭区间上的函数值均匀分担到四个值的方法。
由于它可以把多维函数的值最大化，因此被广泛的应用于数学计算，机器学习，人工智能等领域。
2 工作原理
亚纯函数的工作原理是通过将多维函数的四个值均匀分担到给定的闭区间上，使得该函数的总体值最大化。
举个简单的例子，如果一个函数在[0,1]范围内为4个值，那么用亚纯函数可以将这4个值均匀分担在这个区间上。
这样，这个函数的最大值可以最大化。
3 应用
亚纯函数技术在数学计算，机器学习，人工智能等领域都有广泛的应用。
在数学计算中，亚纯函数技术主要用于求解控制问题，其中包括线性规划，非线性规划等，也包括最优控制问题的求解。
在机器学习中，亚纯函数技术用于构建机器学习模型，满足特定的预测函数。
亚纯函数技术可以加快求解过程，提高模型的准确性。
在人工智能领域，亚纯函数技术可以用于任务规划，搜索和对抗学习等，它可以加快模型的学习速度，提高结果的准确性。
4 优缺点
但是，亚纯函数技术还是存在一些优点和缺点。
其优点是不用计算，能够有效的将多维函数的值最大化，使之的总体值得到最大化。
缺点是由于把值最大化，可能出现偏差，即模型会偏离准确性，这可能引起一些预期外的结果。
因此，在使用亚纯函数技术时，我们要特别注意它的优缺点，以免出现意料之外的错误结果。
第4节 整函数与亚纯函数
解 因为f ( z) sin 2 z在z平面上解析, 故f ( z)为整函数; n 1 2 n 1 (1) 2 1 2 z 2 n (0 z ) 而 sin z (1 cos 2 z ) 2 (2n)! n 1 在点的主要部分有无限项,所以是它的本质奇点;
则 (1) 当m n时, z 必为f ( z )的m n阶极点;
(2) 当m n时, z 必为f ( z)的可去奇点,只要置 P( z ) f () lim , z 就是f ( z )的解析点. z Q( z )
(3) Q( z)的零点必为f ( z)的极点.
即sin 2 z为超越整函数. 3 2 因为g ( z ) z 2 z 1 在z平面仅以z 0为极点, z 所以g ( z)为亚纯函数, 且g ( z)在扩充z平面上以为二阶极点, 故g( z)为有理函数.
例3 试证f ( z)是单叶整函数的充要条件是
f ( z ) az b (a 0).
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
f ( z ) cn z n ,0 z
n 0
(5.14)
f ( z ) c0 c1 z
cn z n
, 0 z
(5.14)
2 定理5.10 若f ( z)为整函数, 则 (1) z 为f ( z )的可去奇点 f ( z ) 常数c0 ; ( f ( z)在z 的主要部分为零,即无正幂)
整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告
整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告开题报告：整函数与亚纯函数的分担值问题一、研究背景在复变函数理论中，有着一个重要的问题，称为整函数与亚纯函数的分担值问题。
该问题研究的主要是整函数与亚纯函数在复平面上的取值，即它们在复平面上的零点、极点、奇点等分布情况。
对于整函数，其在整个复平面上的取值主要由其在无穷远处的阶次决定，可以用一些基本的定理如孤立奇点定理、推论等来讨论其在复平面上的分布情况。
而对于亚纯函数，它的分布情况则较为复杂，因为它存在无穷远处的极点和本点的分布，需要用一些高级的定理如黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等来进行讨论。
二、研究内容与研究方法本文主要研究整函数与亚纯函数的分担值问题，具体内容包括：1.整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况。
2.利用孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理来讨论整函数与亚纯函数的分担值问题。
3.根据整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况，提出一些有意义的结论和应用。
本文的研究方法主要包括：1.对于整函数的分担值问题，采用复分析中的基本定理和方法，如孤立奇点定理、分析技巧等。
2.对于亚纯函数的分担值问题，采用黎曼-罗希定理和亚纯延拓定理等高级定理进行推导和分析。
3.通过构造一些具体的例子和应用，进一步验证结论的正确性。
三、研究意义整函数与亚纯函数的分担值问题是复变函数理论中的重要问题，对于理解整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况具有重要意义。
此外，本文研究的整函数与亚纯函数的分担值问题还可以为其他相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。
例如，在代数几何中，对于代数簇的零点和极点问题也可以类比使用复分析中的方法和定理来研究。
四、预期成果通过对整函数与亚纯函数的分担值问题进行深入的研究，本文将会得出以下预期成果：1.深入理解整函数与亚纯函数的分布情况，在复平面上建立起它们的分担值模型。
2.掌握关于孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理，从而能够熟练地运用它们进行分析推导。
第五章 洛朗级数
第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式双边幂级数设级数()()() +-++-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c c a z c 100 （1*）它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤<R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 1；考虑函数项级数()() +-++-----n n a z c a z c 11 （2*） 作代换az -=1ξ 则（2*）即为 +++--n n c c ξξ1，它在收敛圆⎪⎭⎫⎝⎛+∞≤<<rr 101ξ内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2，从而（2*）在区域()+∞<≤>-r r a z 0内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2；当且仅当R r <时，（1*）（2*）有共同的收敛区域()+∞≤<≤<-<R r R a z r H 0:，此时，称()∑∞=-0n n n a z c 为双边幂级数。
关于双边幂级数的性质，见p185 定理1.5 定理1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:+∞≤<≤<-<R r R a z r H 内解析，那么在H 内,)()(∑+∞-∞=-=n n na z cz f其中，,...)2,1,0(,)()(211±±=-=⎰+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数，并且展式是唯一的。
证明：H z ∈∀，作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环21':ρρ<-<a z H 内，于是()z f 在圆环'H 内解析。
由柯西积分公式()()ζζζπττd zf i z f ⎰-+-=1221 ()()nn n a z c d z f i -=-∑⎰+∞=0221ζζζπτ，其中()()ζζζπτd a f i c n n ⎰+-=2121 () ,1,1,0-=n 现考虑()()ζζζπζζζπττd z f i d z f i ⎰⎰-=--112121 ()()az aaz f z f ----=-ζζζζ11而沿1τ，1<--az a ζ，nn a z a az a ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛--=---∴011ζζ（在1τ上一致收敛）由于函数()ζζ-z f 沿1τ有界，所以()()()()n nn a z a a z f z f ---=-∑∞+=ζζζζ0 ∴()()()()∑⎰⎰+∞=----=-01112121n nn d a f i a z d z f i ττζζζπζζζπ ()()()ζζζπτd a f i a z n n n∑⎰-∞-=+--=11121故当H z ∈：()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f ，其中()()ζζζπρτd a f i c n n ⎰+-=121() ,1,0±=n 展式的唯一性：设()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f '任意取某正整数m ，在ρτ上有界，()()()∑+∞-∞=--+-=-∴n m n n m a z c a z z f 1'1()()()∑⎰⎰+∞-∞=--+⋅=-=-n m m n nm c i dz a z c dz a z z f '1'12ρρττπ()()⎰+-=∴ρτπdz a z z f i c m m 1'21() ,1,0±=m ，故() ,1,0'±==n c c n n，展式唯一。
亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
某一类迭代级亚纯函数与整函数的复合
Ｋ （ ｇ ） （ ＞ ０ ａ＞ １ 且 ｇ Ｏ ： １ 那 么 有 １ ｒ Ｋ ｏ ， ） （ ）＝ ， ＝ 而
一 。 。 』 Ｌｒ，
Ｋｌ（ ≤ Ｔ（ ， ） Ｋ２‘ ’Ｏ ＫＩ Ｋｚ 。 ， ｅｏ １ ｇ ｒｇ ≤ ｅ。 。（ ＜ ｇ ＜ ＜ 。
０＜ 口＜ １ ， 么有 ）那
函数 ， 当 ｒ充分 大时有 则
丁（ （ ） ≤ （ ＋ 。 １） ｇ） １ （ ） Ｔ Ｍ （ ＇）， （ ｒｇ ， ）
（． ） ２ １
引理 ２ ２ｎ ．
假 设 ｇ ）是 超 越 整 函数 满 足 （
』 ）一 Ｐ＜ ｏ ｇ ２ 是 超越 整 函数满 足 Ｔ（ ， ）一 Ｄ （ 。， （ ） ｒｇ
了 复 合 函 数 ， ｇ ｚ ） 增 长 性 ， 广 了原 有 的一 些 结 果 。 （（）的 推
关 键 词 ： 纯 函 数 ； 函数 ； 代 级 亚 整 迭
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
Ｃｏ ｐ ｓ ｔｏ ｆ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｏ ｏ ｐ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ｍ ｏ ｉｉ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｍ ｒ ｍ ｒ ｈｉ ｕ ｃ ｉ ｎｓ
近几 年来 国内外 一些 学着 开始 研究 了当 内外 函 引理 ２ ４ ．［ 假 设 ， ２ ， （ ）是 整 函数 满 足 （）ｇ ｚ ， 当 则
数均 为迭 代级 亚 纯 函数或 整 函数时 ， 复合 函数 厂 ｇ （）
5.5整函数与亚纯函数的概念
f ( z )在 点 ∞ 的 正 则 部 分 是 c 0 , f ( z )在点∞的主要部分是：
∑c z
n =1 n
∞
n
= c1 z + c2 z + c3 z + L
2 3
n= 0 为一整函数， 为一整函数，则 (1) z=∞为其可去奇点的充要条件为： 为其可去奇点的充要条件为： 为其可去奇点的充要条件为
复变函数论
Functions of One Complex Variable
湖南第一师范学院数理系
第五章 解析函数的洛朗展 式与孤立奇点
§5.1 解析函数的洛朗展式 §5.2 解析函数的孤立奇点 §5.3 解析函数在无穷远点的性质 §5.4 整函数与亚纯函数的概念 平面向量场—解析函数的应用 §5.5*平面向量场 解析函数的应用
§5.4 整函数与亚纯函数的概念
1. 整函数 在整个z平面上解析的函数称 为整函数. 为整函数 它只以z=∞为孤立奇点. 为孤立奇点 设整函数 f (z) 在孤立奇点z=∞的去心 的去心 邻域内的洛朗级数为： 邻域内的洛朗级数为： ∞
f ( z) = ∑cn z (0 ≤| z |< +∞)
n )是彼此互质的m, n次多项式. m > n ⇒ z = ∞为f ( z)的(m − n)阶极点； m ≤ n ⇒ z = ∞为f (z)的可去奇点； ∞为 Qn ( z )的零点为f ( z )的极点.
Pm ( z ) ， (必要性 设 f ( z ) = 必要性) 必要性 Qn(z)
e 、 z、 z都是超越整函数. sin cos
z
2. 亚纯函数 在z平面上除极点 外无其他类型奇点的单值解析函数称 为亚纯函数. 为亚纯函数 整函数是特殊的亚纯函数. 整函数是特殊的亚纯函数. 定理5.11 函数 f (z) 为有理函数 定理 的充要条件为： 的充要条件为：f (z) 在扩充复平面上除 极点外没有其他类型的奇点. 极点外没有其他类型的奇点
整函数与亚纯函数
整函数与亚纯函数是复变函数理论中的重要概念。
它们分别描述了复平面上的解析函数的不同性质和特点。
在这篇文章中，我们将简要介绍这两种函数，并且探讨它们的一些基本性质，以及它们在数学和物理中的应用。
整函数是指在复平面上解析的函数，也就是说，在复平面的每个点都存在有限的导数。
整函数有很多重要的性质，其中最重要的是它可以展开成无限级数的形式。
这种展开称为Laurent级数。
Laurent级数可以分成两个部分：主部和余部。
主部是一个有限项的多项式，而余部则是一个在解析圆盘外部无穷远远小于圆周周长的级数。
这很重要，因为它说明了整函数的性质：整函数在无穷远处的行为非常好，因为它的余项趋向于零。
另一方面，亚纯函数是指在复平面上解析的函数，但是在某些点处有极点。
极点是指函数在这个点上发散，但是在这个点的某个邻域内还是解析的。
亚纯函数的一个重要性质是它可以展开为Laurent级数，但是它只含有负次幂的项，也就是余部。
主部是不存在的。
这就说明了亚纯函数在某些点处发散，没有好的行为。
Laurent级数的形式也意味着，亚纯函数可以被分解成一个整函数和一个多项式的比值。
这个多项式的次数就是极点的阶，也就是它在这个点上的发散程度。
这个性质很重要，因为它揭示了亚纯函数的复杂性：它除了有无限项的级数展开之外，还有构成它的整数与多项式之间的关系。
整函数和亚纯函数在数学和物理中都有广泛的应用。
例如，在复分析中，Laurent级数可以用来证明柯西积分定理和留数定理。
在实际计算中，很多特殊函数，例如椭圆函数和贝塞尔函数，都是整函数和亚纯函数的组合。
在物理中，整函数和亚纯函数也非常有用。
例如，在量子场论中，格林函数就是一个复变函数，因此它可以用整函数和亚纯函数的工具来求解。
此外，在统计物理中，复变函数也有着很广泛的应用，因为它们可以用来描述相变现象和临界现象等。
在结尾我们重申，整函数和亚纯函数是复变函数理论中非常重要的概念。
通过体会它们的区别和性质，我们可以更深入地理解解析函数和级数展开的概念，掌握一些高级复变函数的计算工具，并在更广泛的物理和数学领域中学以致用。
亚纯函数的一个唯一性定理
亚纯函数的一个唯一性定理
函数是数学中最基本的元素，每一个函数都有独特的特点。
亚纯函数是一种特殊类型的函数，其中输入的参数的值不会影响函数的返回值，也就是说每一个输入值都得到相同的输出值，这种函数对程序的执行具有重要的作用。
亚纯函数的一个唯一性定理是，当两个不同的亚纯函数存在时，它们之间必然存在一个至少为三个参数的不同。
也就是说，当存在并且不等价的两个亚纯函数时，这两个函数在至
少三个参数上必须有所不同，否则它们实际上只有一个函数。
具体来说，假设存在一组参数序列{a[1], a[2],…,a[n]}，他们不等价的两个亚纯函数F(a[1],
a[2],…,a[n])和G(a[1], a[2],…,a[n])。
此时，若a[i]满足F(a[1], a[2],…,a[n]) = G(a[1],
a[2],…,a[n])，则必然存在至少三个参数的不同，且其形式为：F(a[1], a[2],…,a[n])≠G(a[1],
a[2],…,a[n])，a[i]不同。
本定理对亚纯函数的重要性是不可忽视的，它表明了何时有两个不同的函数，以及当必须
改变多少输入参数，才能形成一个新的函数。
此类定理有助于搞清程序中函数的正确性，
从而能正确地根据函数执行程序。
综上所述，亚纯函数的唯一性定理是一种有用的定理，有助于了解程序中多个不同函数之间的联系，以及设计函数的正确性。
本定理的重要性在于，它可以确定在形成新的函数前，必须改变多少输入参数，从而有助于正确定位和执行程序中的函数。
分担三个公共值的亚纯函数
分担三个公共值的亚纯函数
以分担三个公共值的亚纯函数为标题，讨论了一种特殊的多项式函数，可以把三个公共值分散开来。
这种特殊的函数被称为亚纯函数。
亚纯函数的特征在于它们的多项式形式：亚纯函数的标准形式如下：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c为实数，x表示变量。
在这种形式中，函数中的三个系数a, b, c也被称为“公共值”。
由于函数中的变量是幂指数类型的，所以亚纯函数也被称为“二次函数”，“二次曲线”或“椭圆曲线”。
因此，亚纯函数也可以称为“椭圆曲线函数”，它产生的曲线在平面上具有特殊的形状，可以被称为“椭圆”。
亚纯函数的值的范围取决于它的三个公共值a, b, c，只有当它们满足特定的要求时，才能使函数范围有限。
例如，当a > 0时，函数曲线具有最小值，反之如果a < 0，则有最大值。
亚纯函数的特点在于，它可以使三个公共值a, b, c被分散到不同的区域，从而实现特定的效果。
例如，当a, b, c的值分别满足a > 0，b = 0，c = 0时，函数的曲线就可以以椭圆的形式表达出来。
由于它可以把三个公共值分散开来，所以亚纯函数的范围有一定的灵活性，可以满足特定的应用需要。
此外，亚纯函数也可以用来模拟物理现象。
例如，如果a > 0，b=0，c > 0，则表示重力势场，即重力源和受其影响的物体之间的相互作用；如果a = 0，b < 0，c > 0，则可以用来模拟水中的流动。
总之，亚纯函数具有极大的现实意义，可以为工程计算提供有效
的帮助，同时还可以作为数学建模工具，用来模拟物理现象。
复变函数的全纯性与亚纯性
复变函数的全纯性与亚纯性复变函数是数学中一个重要的分支，涉及到全纯性与亚纯性的讨论。
全纯性是指在复平面上定义的函数，其复导数处处存在且连续。
而亚纯性则是指在复变函数上，存在孤立奇点，但在此奇点附近函数能展开为解析函数的级数的性质。
本文将详细探讨复变函数的全纯性与亚纯性。
一、复变函数的定义复变函数通常是指将复平面上的复数域上的函数f(z)映射为复平面上的复数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中z=x+yi。
简单来说，这意味着复变函数拓展了实变函数的范围，允许定义和处理更多的函数和问题。
二、全纯性简介全纯函数是指在充分小的领域内N(z)内有解析导数的函数。
在数学的复分析中，全纯性是一个非常重要的性质。
一个函数f(z)如果在定义域内处处有解析导数，则称它是全纯的。
对于复平面上的全纯函数而言，设f(z)在点z0处全纯，则存在一个复数A，使得当z在z0趋近时，f(z)可以被展开成收敛于点z0的幂级数：f(z) = Σn=0 ∞ cn(z-z0)n展开式中的幂级数被称为“泰勒级数”或“幂级数展开”，其中系数cn可以通过求f(z)在z0处的洛朗级数来得到。
三、亚纯性简介与全纯函数不同，亚纯函数是在复平面上随处可微且有限的函数。
假设有两个数列{a_n}和{b_n}，满足：a_n与b_n是复数序列，当n→∞时序列a_n和b_n都趋于0，则函数f(z)在点a/b处具有的“孤立奇点展开性质”可以表示为：f(z) = Σn=0 ∞ cn(z-a/b)ⁿ亚纯函数还具有“极点”与“本性奇点”这两个特征，一般使用洛朗级数的展开形式来描述。
在极点处，洛朗级数展示出一个有限的数量，且前n项为多项式的形式。
在本性奇点处，洛朗级数有无限项，也没有多项式项存在。
四、全纯性与亚纯性的思考全纯函数和亚纯函数具有很多重要的性质，因此在复分析和复几何中它们是基本的对象。
在数学和物理中，全纯性非常重要，特别是它是任何小区域内的物理量的局限对称的原因之一。
复变函数论第5章第4节
z
都是超越整函数 .
2、亚纯函数
定义 5.6 在 z 平面上除极点外无其它 类型奇点的
单值解析函数称为 亚纯函数 .
亚纯函数族是较整函数 更一般的函数族 .
定理5.11 函数 f ( z ) 为有理函数的充要条件 为 : f (z )
在扩充 z 平面上除极点外没有其 它类型的奇点 .
证： 必要性 设 f ( z ) 为有理函数 , 则 P(z) f (z) = , Q( z )
λ1 λ2 λn
g (z 所以， 的极点 ， 所以，∞ 点是 g (z ) 的极点 ， 定理5.10， ) 由
是一个多项式 ，从而 f ( z ) 是一个有理函数 . 证毕 . 注意： 有理函数的极点至多为 有限个 , 而亚纯函数 注意： 此定理说明, 每一有理函数都是亚纯函数 . 的极点可以为有限个 , 也可以为无穷多个 . 定义 5.7 非有理函数的亚纯函数 称为 超越亚纯函数 .
§4 整函数与亚纯函数的概念
根据解析函数的孤立奇点的特征， 根据解析函数的孤立奇点的特征，可以分 出两类最简单的解析函数类. 出两类最简单的解析函数类
1、整函数 、
在第三章已定义过 , 在整个 平面解析的函数 在整个z
f (z) 称为整函数.
由泰勒定理 ，整函数 f ( z ) 在 | z |< +∞ 内有泰勒
1 例如 z 是一个超越亚纯函数 , 因为它有无穷多 e −1
个极点： 个极点： z = 2kπi ( k = 0,±1,±2,L)
其聚点 z = ∞ 是一个非孤立奇点 , 故此函数
不可能是有理函数 .
作 业:
1 1 − z e −1 z
P218 P221
4 (1) (2) (4) (7) ; 6 ; 8 (1) (3) (5). 2; 5; 7.
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
亚纯函数定义
亚纯函数定义亚纯函数的概念亚纯函数（Meromorphic Function）是在复平面上定义并且满足某些性质的函数。
它既具有全纯函数的部分性质，又允许在有限个点上有极点。
亚纯函数是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域有广泛的应用。
全纯函数回顾在介绍亚纯函数之前，我们先回顾一下全纯函数的概念。
全纯函数，又称为解析函数或可微函数，是复变函数论中的一个基本概念。
一个函数在复平面上是全纯的，如果它在其定义域的每一点都有导数。
全纯函数具有多种重要性质，包括解析性、调和性和无穷次可微性等。
亚纯函数的定义一个函数f(z)在复平面上是亚纯的，如果它满足以下两个条件：1.f(z)在其定义域上是全纯的，即在定义域的每一点都有导数；2.f(z)在有限个点上有极点，即在这些点上的值无穷大。
亚纯函数是全纯函数的一种推广，它在全纯性的基础上允许函数在有限个点上有极点，这使得亚纯函数的定义更加宽松。
亚纯函数的性质亚纯函数具有许多重要的性质，下面我们将逐一介绍。
极点和奇点亚纯函数在有限多个点上有极点，这些点被称为函数的极点。
极点是函数在某个点处取无穷大值的位置。
极点可以分为可去极点、一阶（或更高阶）极点和本性极点三种类型。
函数在某个点处的极点的阶数表示了函数在该点附近的振荡情况。
阶数越高，振荡越强烈。
阶数为1的极点也被称为简单极点。
亚纯函数的级数展开亚纯函数可以在其定义域的某个闭区域上展开为Laurent级数。
Laurent级数包含正幂次和负幂次的项，因此可以在函数的极点处展开。
Laurent级数的一般形式为：f(z) = ∑ (a_n * (z - z0)^n) + ∑ (b_n * (z - z0)^n)其中a_n和b_n是亚纯函数f(z)的系数，z0是展开点。
第一项中的a_n表示函数的正幂次项，第二项中的b_n表示函数的负幂次项。
通过展开亚纯函数的Laurent级数，我们可以研究函数在极点附近的性质和行为。
亚纯函数的留数亚纯函数在其极点处具有留数。
5.4整函数与亚纯函数
(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.
(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多
项式 c0 c1z cm z m (cm 0).
(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有
无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).
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z1、z2、鬃?、zn
其级数分别为l 1、l 2、鬃?、l n则函数
g(z) (z z1)1 (z z2 )2 (z zn )n f (z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.
由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.
定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数
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5.4 整函数与亚纯函数
1、整函数 2、亚纯函数
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1、整函数
在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.
设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且
可设
f (z) cn zn (0 | z | ). (5.14)
于是显然有
n0
定理5.10 若f(z)为一整函数,则
其中P(z)与Q(z)分别为z的m次多项式,且彼此互质. 则
(1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点;
(2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只
复变函数论钟玉泉第五章
在 0
z
内的洛朗级数。
例3 求函数
1
f z ez
在 0 z 内的洛朗级数。
例4
求函数
f
z
(z2
1 1)( z
3)
在
1 z 3 内的洛朗级数。
7
4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式
定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域
K-{a}： 0<|z-a|<R 内解析，点a是f(z)的奇点，
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
20
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点)、 m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z) 的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.
21
定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可 去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(3)
=>(1).
因主要部分的系数
cn
1
2i
f
a n1
d
其中 : a , 可任意小，故
cn
1
2
f
a n1
d
1
2
M
n1
2
M n
cn 0 n 1，2,
13
3. 施瓦茨(Schwarz)引理
Schwarz引理 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析, 并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆 |z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有 | f (0) |1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当)
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
关于亚纯函数的几个正规定则的开题报告
关于亚纯函数的几个正规定则的开题报告亚纯函数是指在其定义域上全纯函数的有限和或极限，通常情况下也称为亚纯解析函数。
亚纯函数在复变函数论中具有重要的地位，在实际应用中得到了广泛的应用。
本文旨在讨论亚纯函数的几个正规定则，包括亚纯函数的解析性、极点、零点、奇点、留数等问题。
首先，亚纯函数的解析性是指它是复平面上一些部分区域上的全纯函数。
由于亚纯函数的定义是全纯函数的有限和或极限，因此它们同样满足全纯函数的定义，即在其定义域上处处可导且连续。
此外，亚纯函数的解析性也意味着其可以在其定义域内展开为幂级数或洛朗级数。
其次，亚纯函数的极点和零点是亚纯函数解析性质的重要组成部分。
极点是指在其定义域上亚纯函数的某些点处取无穷大值，而零点则是指在其定义域上亚纯函数的某些点处取零。
这些点的分布通常也可以用来描述亚纯函数的性质和特征。
第三，亚纯函数的奇点是指在其定义域内的某些点处其值无定义或无穷大。
这些点通常是亚纯函数的极点和其他类型的零点，但也可能是其它复杂的特殊点。
在分析亚纯函数的性质和行为时，奇点同样是非常重要的参考对象。
最后，亚纯函数的留数是指其在奇点处的复合函数的残余值。
留数是一种求解亚纯函数在奇点处的极点和其他性质的重要方法，也通常被用来描述亚纯函数的行为和特征。
留数的计算需要复杂的数学方法和理论支持，但它对理解亚纯函数的性质和特征至关重要。
综上所述，本文将基于亚纯函数的解析性、极点、零点、奇点以及留数等方面的理论，来探讨一些关于亚纯函数的正规定则，包括亚纯函数在定义域上的全纯性质、极点和零点的分布规律、奇点的性质特征以及留数的计算方法等。
本文旨在加深读者对亚纯函数的理解和认识，为实际应用中对亚纯函数进行研究和分析提供参考和指导。
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e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函数按唯一奇点z 的不同类型而被分成三类.
z
注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
注 亚纯函数可表成两个整函数的商,也可表成部分 分式.
3 定义5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数. 例1 考察函数f ( z ) z 1 的类型. e 1 解 ez 1 的零点为f ( z)的奇点,
本节结束
谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
(3) f ( z)为一多项式,
f ( z) c0 c1z
cn z ,
n
对每个A , 由代数学基本定理, f ( z) A有且仅有n个根, 由f ( z)的单叶性, n 1,
故必有 f ( z) c0 c1z, c1 0.
作业
• P220 • P223 9, 10 14,
z
整函数更一般函数族
ห้องสมุดไป่ตู้
2 定理5.11 一函数f ( z )为有理函数的充要条件是 : f ( z )在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点.
P( z ) , 证明 “ 必 要 性 设有理函数 f ( z ) Q( z ) ” 其中P( z)与Q( z)分别为z的m次与n次多项式, 且彼此互质.
f ( z ) cn z n ,0 z
n 0
(5.14)
f ( z ) c0 c1 z
cn z n
, 0 z
(5.14)
2 定理5.10 若f ( z)为整函数, 则 (1) z 为f ( z )的可去奇点 f ( z ) 常数c0 ; ( f ( z)在z 的主要部分为零,即无正幂)
证明 “ 充 分 性 由于函数 w f ( z ) az b 1 ” 1 及其反函数 z f ( w) ( w b) 都是单值函数, a 所以f ( z) az b (a 0)为单叶整函数.
则f ( z)可分为三类, “ 必 要 性 设f ( z)为单叶整函数, ” (1) f ( z ) 常数c, 这与假设相矛盾.
2 2
解 因为f ( z) sin 2 z在z平面上解析, 故f ( z)为整函数; n 1 2 n 1 (1) 2 1 2 z 2 n (0 z ) 而 sin z (1 cos 2 z ) 2 (2n)! n 1 在点的主要部分有无限项,所以是它的本质奇点;
“ 充 分 性若f ( z)在z平面除极点外无其它类型的奇点, ” 则这些极点的个数只能是有限个, 若不然,这些极点在
扩充z平面上的聚点就是f ( z)的非孤立奇点, 矛盾.
令f ( z)在z平面上的极点为z1, z2 , , zk ; 其阶为1 , 2 , , k ;
k 1 g ( z ) ( z z ) ( z z ) f ( z), 则函数 1 k
即sin 2 z为超越整函数. 3 2 因为g ( z ) z 2 z 1 在z平面仅以z 0为极点, z 所以g ( z)为亚纯函数, 且g ( z)在扩充z平面上以为二阶极点, 故g( z)为有理函数.
例3 试证f ( z)是单叶整函数的充要条件是
f ( z ) az b (a 0).
(2) f ( z) c0 c1z cn z n ,(0 z ) 它的惟一奇点是本质奇点z , 由Picard定理,
对每个A ,除掉可能一个值A A0外,
必有趋于的无限点列{zn }, 使f ( zn ) A(n 1, 2, ),
这与函数的单叶性假设相矛盾.
则 (1) 当m n时, z 必为f ( z )的m n阶极点;
(2) 当m n时, z 必为f ( z)的可去奇点,只要置 P( z ) f () lim , z 就是f ( z )的解析点. z Q( z )
(3) Q( z)的零点必为f ( z)的极点.