亚纯函数分解理论
复变函数5.3第三节、整函数与亚纯函数
第五章
第三节、整函数与亚纯函数
整函数的概念
如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就
称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤 立奇点。在C上，f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展 式也就是其泰勒展式：
f (z) nzn, n0
当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去 奇点；当f(z)是 n( 1) 次多项式时，无穷远点是 它的n阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z) 的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。
R | z |
内解析。在 | z | R 上，f(z)只可能有有限个极点
，因为否则极点的极限点既不是极点，而且函 数也不可能在这点解析，这是不可能的。因此 f(z)只可能有有限个极点，设为
z1, z2,..., z p
亚纯函数的刻画
此外，无穷远点是可去奇点或极点。在每一个 有限点附近把f(z)展开为洛朗级数，并且设在点
而当无穷远点是可去极点时，令 g(z) 0.
令
F(z) f (z) R(z)
其中 R(z) h1(z) h2 (z) ... hp (z) g(z)
是一个有理函数。函数F(z)除去 z1, z2 ,..., z p在
有可去奇点外，在其余各点解析；这是因为由
于展式的唯一性，F(z)在 z1, z2 ,..., z p 及
那 么 z 是 f(z)-g(z) 的 可 去 奇 点 。 因 此 ， f(z)=g(z)+C，其中C为一个常数。
定理的必要性显然成立。
亚纯函数的概念
如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，
到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。
某一类迭代级亚纯函数与整函数的复合
Ｋ （ ｇ ） （ ＞ ０ ａ＞ １ 且 ｇ Ｏ ： １ 那 么 有 １ ｒ Ｋ ｏ ， ） （ ）＝ ， ＝ 而
一 。 。 』 Ｌｒ，
Ｋｌ（ ≤ Ｔ（ ， ） Ｋ２‘ ’Ｏ ＫＩ Ｋｚ 。 ， ｅｏ １ ｇ ｒｇ ≤ ｅ。 。（ ＜ ｇ ＜ ＜ 。
０＜ 口＜ １ ， 么有 ）那
函数 ， 当 ｒ充分 大时有 则
丁（ （ ） ≤ （ ＋ 。 １） ｇ） １ （ ） Ｔ Ｍ （ ＇）， （ ｒｇ ， ）
（． ） ２ １
引理 ２ ２ｎ ．
假 设 ｇ ）是 超 越 整 函数 满 足 （
』 ）一 Ｐ＜ ｏ ｇ ２ 是 超越 整 函数满 足 Ｔ（ ， ）一 Ｄ （ 。， （ ） ｒｇ
了 复 合 函 数 ， ｇ ｚ ） 增 长 性 ， 广 了原 有 的一 些 结 果 。 （（）的 推
关 键 词 ： 纯 函 数 ； 函数 ； 代 级 亚 整 迭
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
Ｃｏ ｐ ｓ ｔｏ ｆ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｏ ｏ ｐ ｃ ｆ ｎ ｔｏ ｍ ｏ ｉｉ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｍ ｒ ｍ ｒ ｈｉ ｕ ｃ ｉ ｎｓ
近几 年来 国内外 一些 学着 开始 研究 了当 内外 函 引理 ２ ４ ．［ 假 设 ， ２ ， （ ）是 整 函数 满 足 （）ｇ ｚ ， 当 则
数均 为迭 代级 亚 纯 函数或 整 函数时 ， 复合 函数 厂 ｇ （）
亚纯函数的分担值与惟一性
亚纯函数的分担值与惟一性
付德刚;尚海涛;吴春
【期刊名称】《重庆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2007(30)3
【摘要】探讨了涉及fn(f-1)f′与gn(g-1)g′一类微分多项式IM分担1的亚纯函数的惟一性问题,得到了一个新的惟一性定理,推广并发展了方明亮等人的结果.
【总页数】5页(P83-86)
【关键词】亚纯函数;惟一性;分担值;亏量
【作者】付德刚;尚海涛;吴春
【作者单位】重庆大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.52
【相关文献】
1.CM分担三个公共小函数对的亚纯函数的惟一性 [J], 李效敏
2.亚纯函数的n阶导数分担1值点的惟一性 [J], 张瑜琦
3.关于亚纯函数及其导函数弱权分担小函数的惟一性 [J], 吴凤芹;徐焱
4.具有分担三个值集的亚纯函数的惟一性 [J], 别荣军;王新利
5.分担两个公共值集的亚纯函数的惟一性问题 [J], 张瑜琦;李纯红
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关于亚纯函数组的几个定理
（ ｒ ） 及 满足 恒等 式 ∑ｆ ｊ （ ｚ ） 三。 （ ｚ ）
作者简介 ： 肖淳（ １ ９ ８ ４ 一） ， 男， 四川 内江人 。 湛江师 范学院数 学与计算科学 学院助教 ， 从 事计算数 学研 究．
１ ２ 其 中， ＜１ ， 则
湛 江 师范学 院学报 （ 自然科 学）
第３ ４ 卷
三 １
本 文改 进 和推广 了上述 定理 ， 证 明了 ： 定理 １ 设 厂 Ｊ （ 一１ ， ２ ， ３ ） 为亚 纯 函数 ， 口 （ ｚ ） 为厂 （ ） 非零 小 函数 ， ， １ 不 为 常数 ， 且 ＾≠Ｃ ｎ （ ｚ ） Ｃ为常 数 ，
三口 （ ｚ ）
显然 ， 定理 Ａ 与 Ｂ 分别是 定理 １ 与 ２的特殊情 况 ， 即当 ｎ （ ｚ ） 一１时 ， 定 理 １与 ２分别 是 定理 Ａ 与 Ｂ ． 因此本
文 的结果更 广 泛更 一般．
２ 引理 及 其 证 明
引理 １ （ ［ ３ ］ ） 设 厂 Ｊ （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， …， ｎ ） 为＇ ２ 个线 性无 关 的亚纯 函数 ， ａ （ ｚ ） 为 非零 函数 ， 且 Ｔ（ ｒ ， 口 （ ｚ ） ） ＝Ｓ
１ ≤ ≤３
厂 ２ 三口 （ ｚ ） 或ｆ ３ 兰口 （ ｚ ） 定理 ２ 设 厂 Ｊ （ ＝１ ， ２ ， …， 扎 ） 为亚 纯 函数 ， 口 （ ） 为 厂非零 小 函数 ， ＾（ 一１ ， ２ ， …， 一１ ） 不 为常 数 ， 且 ≠
Ｃ ａ （ ｚ ） ， （ 一１ ， ２ ， …， 一 １ ） ， Ｃ 为 常 数及∑ 厂 Ｊ 兰口 （ ｚ ） ， （ ≥３ ）
２ ０ １ ３年 ６月 第 ３ ４卷 第 ３期
weierstrass分解定理
Weierstrass分解定理详解摘要：本文档旨在详细介绍Weierstrass分解定理，这是一个在复分析领域中非常重要的结果。
该定理提供了一种将亚纯函数分解为简单因子的系统方法，这些因子涉及该函数在其定义域内的奇点。
本文档将从定理的陈述开始，然后详细解释其证明过程，接着讨论其在数学中的多种应用，并以一些示例来具体说明其使用。
I. 引言A. 复分析简介复分析是数学的一个分支，它研究复变量的复值函数。
这个领域的一个重要特点是复函数往往具有比实函数更加丰富的结构，例如，它们可以有所谓的“奇点”，在这些点上函数不满足常规的连续性或可微性条件。
B. 亚纯函数的定义与性质亚纯函数是指在复平面上除了一些孤立奇点外处处解析的函数。
这些函数在奇点附近可能表现出复杂的行为，包括无穷大的增长或不可导的行为。
C. Weierstrass分解定理的历史背景Weierstrass分解定理由德国数学家Karl Weierstrass提出，它是复分析领域的基石之一，对后续的数学研究产生了深远的影响。
II. Weierstrass分解定理的陈述A. 定理的正式表述Weierstrass分解定理指出，任何亚纯函数都可以表示为其定义域内所有奇点处的Laurent级数展开的和。
B. 定理中的关键概念解析1. 亚纯函数：在复平面上除了有限个孤立奇点外处处解析的函数。
2. 极点与本性奇点：极点是亚纯函数在某些孤立点处的特殊类型的奇点，而本性奇点则是更一般的奇点类型。
3. 分解的概念：将一个复杂的函数表达为一系列更简单的部分的过程。
III. 定理证明A. 预备知识概述1. 复微分方程：研究复变函数及其导数之间关系的方程。
2. 留数定理：用于计算围绕一条闭合路径的复积分的技术。
B. 主要证明步骤1. 构造辅助函数：通过考虑原函数与其在各奇点附近的局部行为的关系来构造辅助函数。
2. 确定辅助函数的性质：证明辅助函数是整函数（即处处解析的复函数）。
亚纯函数及其导数分担小函数集的唯一性
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ — １ １ ６ １０ －８ ２２ １）２０ ４ — ０
亚纯 函数及 其导数 分担小 函数 集 的唯一 性
赵 小珍
（ 宁德 师 范 学 院 数 学 系，福 建 宁 德 ３２ ０ ） ５１０
摘要 ：研究 了亚纯函数及其 ｋ阶导数权分担小 函数集的唯一性， 得到了： ｋｎ 设 ， 为正整数，． ｇ为开平面上 厂 ，
中计 ｍｉ（ ｋ ） ｎｍ， ＋１次，同样 也有 （ ，）Ｅ Ｓ ｇ ． ｇ ， （， ） Ｎｏｒａ 表示 ｆ—ａ ｇ—ａａ∈Ｓ 的公 共零 点 的 （，） 与 （ ）
面上 非 常数 亚纯 函数 ，称 另一 亚纯 函数 口ｚ 为 厂和 （）
ｇ的小 函数，如果 ｒ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 且 ｒ ｒａ ＝ｓｒｇ ． （，） （， ） （，） （， ） 设 厂为 非 常 数 亚 纯 函 数 ， ｋ为 正 整 数 ，用 Ｎ１ ｒ 、， （
１（ 口）表 示 厂 ／ ｆ一 ） 一ａ的 单 级 零 点 的 计 数 函 数 ， Ｎｋ（，／ 口） 示 ｆ— ）ｒ１ ｆ一 ）表 （ ａ的重数 ≤ ｋ的零 点 的计 数 函 数 ，每 个 零 点 只 计 １ 次 ．此 外 ， （， ） 示 ｓ ｒ厂 表 Ｓ ｒｆ （， ）＝ｏＴ ｒ＿ ） 。， （ （， ） ｒ ｏ， ） 厂（ Ｅ ，这 里 Ｅ表 示 线性
层 口ｚ， ） Ｅ （（） ‘ ＝Ｅ （（） ‘ ，如果 （（） 且 ｔ ｚ， ） ｔ ｚ， ） ｇ ｂ ， ｂ ｇ
２ 口ｆ ＋（ 十 ） （ ， ） ＋ ， ＋（， ） ４Ｏ ∞ ｆ ＞ｋ ５
则 称 ／与 ｇ Ｃ Ｉ 分担 集合 Ｓ； Ｍ（ Ｍ）
（ ）如果 ｉ ｉ
测度为有 限的集合． 令
亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它是指在复平面上的亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
这个定理在复分析中有着广泛的应用，特别是在解析数论和物理学中。
我们需要了解什么是亚纯函数。
亚纯函数是指在复平面上除了有限个孤立奇点外，都是解析的函数。
孤立奇点是指在某个点处函数不解析，但是在该点的邻域内函数是解析的。
亚纯函数可以看作是解析函数和多项式函数的组合。
亚纯函数第一基本定理告诉我们，亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
极点是指在某个点处函数趋于无穷大，而零点是指在某个点处函数等于零。
这个定理的证明可以通过利用亚纯函数的Laurent 级数展开来完成。
这个定理的应用非常广泛。
在解析数论中，亚纯函数第一基本定理可以用来证明黎曼猜想的一些特殊情况。
在物理学中，亚纯函数第一基本定理可以用来计算量子场论中的费曼图。
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它告诉我们亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
这个定理在解析数论和物理学中有着广泛的应用。
半纯函数的无穷级数展开
亚纯函数的无穷级数展开我们知道，如果ƒ()z 在0z 的邻域内全纯，则ƒ()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞=；如果z 。
是ƒ(z)的一孤立奇点，它可以在z 。
的去心邻域展成Laurent 级数()nn n z z a ∑+∞-∞=-0。
亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。
这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。
设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即)()()(z g Z h z f =. 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下()()...)(21z z z z a z g --=由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式，()()∑∞-=k n k kkz z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数)即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论。
下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。
由于tgz ＝ctg （2π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法即可。
我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。
这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。
因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得()()⋅⋅⋅+⋅⋅⋅---⋅=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 32121sin cos sin (1)若12+=n m 是奇数，用公式()kk x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数的偶次幂后，得()()xP x x n 2sin sin 12sin ⋅=+ （2）其中()u P 为一个n 次幂整多项式。
两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性
收稿日期:２０２３Ｇ０３Ｇ２６.基金项目:江西省自然科学基金资助项目(２０２３２B A B ２０１００７).作者简介:付雨欣(１９９９),女,硕士生.㊀∗通信作者:蒋业阳(１９８０ ),男,副教授,博士,硕士生导师.E Ｇm a i l :j y y a n g１０１８＠１２６．c o m．付雨欣,蒋业阳,刘康．两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性[J ]．南昌大学学报(理科版),２０２４,４８(１):１４Ｇ２３．F U Y X ,J I A NG Y Y ,L I U K．T h eE x i s t e n c eo fM e r o m o r p h i cS o l u t i o n s f o rT w oN o n l i n e a rC o m p l e xD e l a y ＧD i f f e r e n t i a lE qu a Ｇt i o n s [J ]．J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e ),２０２４,４８(１):１４Ｇ２３．两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性付雨欣,蒋业阳∗,刘康(江西科技师范大学大数据科学学院,江西南昌㊀３３００３８)㊀㊀摘要:研究了两类非线性复域时滞微分方程,f n＋ðnj ＝１ωjfn －j(f ᶄ)j ＋q (z )e Q (z )f (k )(z ＋c )＝p １(z )e λz＋p ２(z )e －λz 与f n ＋ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)j ＋q ~(z )e Q (z )f (k )(z ＋c )＝u (z )e v (z )亚纯函数解的存在性,进而研究解存在情况下解的表示形式与增长性,其中n ,k 是满足n ȡ２,k ȡ０的两个正整数,c ,λʂ０为常数,w j (j ＝１, ,n )为不全为零的常数,q (z ),p i (z )(i ＝１,２)为非零有理函数,Q (z ),v (z )为非常数多项式,q ~(z ),u (z )为增长级小于１的非零亚纯函数.结果推广了之前的一些结论,并给出一些例子说明这些解的存在性.关键词:复域时滞微分方程;N e v a n l i n n a 理论;亚纯函数解;H a d a m a r d 因子分解定理中图分类号:O １７５㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００６Ｇ０４６４(２０２４)０１Ｇ００１４Ｇ０１０T h e e x i s t e n c e o fm e r o m o r ph i c s o l u t i o n s f o r t w on o n l i n e a r c o m p l e xd e l a y Ｇd i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s F U Y u x i n ,J I A N G Y e y a n g ∗L I U K a n g(１．S c h o o l o fB i g D a t aS c i e n c e ,J i a n g x i S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y N o r m a lU n i v e r s i t y ,N a n c h a n g ３３００３８,C h i n a )A b s t r a c t :T h i s p a p e r s t u d i e d t h e e x i s t e n c eo fm e r o m o r p h i c s o l u t i o n s t o t w on o n l i n e a r c o m p l e xd e l a y Ｇd i f f e r e n t i a l e qu a t i o n s f n＋ðnj ＝１ωjf n －j(f ᶄ)j ＋q (z )e Q (z )f (k )(z ＋c )＝p １(z )e λz ＋p ２(z )e －λz ,a n d f n ＋ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)j ＋q ~(z )e Q (z )f (k )(z ＋c )＝u (z )ev (z ),w h e r e n ȡ２,k ȡ０a r e p o s i t i v e i n t e g e r s ,c ,λʂ０a r e c o n s t a n t s ,ωj (j ＝１, ,n )a r e c o n s t a n t s s u c h t h a t ωj (j ＝１, ,n )a r e n o t a l l z e r o ,q (z ),p i (z )(i ＝１,２)a r e n o n Ｇv a n i s h i n g r a t i o n a l f u n c t i o n s ,Q (z ),v (z )a r e n o n Ｇc o n s t a n t p o l y n o m i a l s ,q ~(z ),u (z )a r en o n Ｇv a n i s h i n g m e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t ho r d e r l e s st h a n１．F u r t h e r m o r e ,i n v e s t i g a t e dt h ef o r m o fe x i s t e n c ea n d g r o w t ho f t h e s o l u t i o n s ．O u r r e s u l t s i m p r o v e da n d g e n e r a l i z e d s o m e p r e v i o u s r e s u l t s ．S o m e e x a m pl e sw e r e g i v e n ．K e yw o r d s :c o m p l e xd e l a y Ｇd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ,n e v a n l i n n a t h e o r y ,m e r o m o r p h i c s o l u t i o n s ,h a d a m a r d f a c t o r i z a t i o n t h e o r e m．１㊀引言与主要结果㊀㊀假设读者熟悉N e v a n l i n n a 理论的标准符号和基本结果,如m (r ,f ),N (r ,f ),T (r ,f )和S (r ,f )等,更多细节参见文献[１－２].一个亚纯函数a (z )被称为f (z )的小函数当且仅当T (r ,a )＝o {T (r ,f )},(r －ɕr ∉E ),其中E 为一个有穷线性测度集合.此外,用符号σ(f )来代表f 的增长级,用符号λ(f )来代表f 的零点收敛指数.下文用P d (z ,f )来表示f (z )的时滞微分多项式,即:关于f ,f 的位移f (z ＋c j )(c j ɪℂ,j ɪI )I 为一个有穷指标集合,f 和f 的位移的各阶导数的多项式,次数为d 且以f 的小函数为系数.过去数年间,除了研究微分方程理论,许多数学工作者对于用N e v a n l i n n a 理论来探索差分方程理论中与微分方程相应的概念越来越感兴趣[３－１２].例如,K a c Ｇv a n M o e r b e k e 方程,也被称为是离散K o r t e w e gＧd eV r i e s 方程,即:dd tu (x ,t )＝u (x ,t )[u (x ＋１,t )－u (x －１,t )](１．１)第４８卷第１期２０２４年２月㊀㊀㊀㊀㊀㊀南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e )V o l ．４８N o ．１F e b ．２０２４㊀其中u (x ,t )是一个ℝ２ңℝ的函数,该方程是研究等离子体中L a n g m u i r 振荡谱的过程中不可或缺的一部分[１２].为了使得研究更加容易,Q u i s pe l 等[８]通过减少方程(１．１)中自变量的个数,得到了仅有一个自变量的时滞微分方程:αf (z )＋βf ᶄ(z )＝f (z )[f (z ＋１)－f (z －１)](１．２)其中α,β为常数.２０１４年,H a l b u r d 和K o r h o n e n [６]用N e v a n l i n n a 理论对方程(１．２)进行了更深入的研究.渐渐地,研究复时滞微分方程理论在复分析领域内成为一个热门课题.２００４年,Y a n g 和Li [１３]发现方程f ３＋３４f ᵡ＝－１４si n ３z (１．３)仅存在三个非常数整函数解:f １(z )＝s i n z ,f ２(z )＝３２c o s z －１２s i n z ,f ３(z )＝－３２c o s z －１２s i n z .后来,Y a n g 和La i n e [１１]考虑了方程(１．３)相对应的差分方程f ３＋q (z )f (z ＋１)＝c s i n b z ,(b ,c ɪℂ\{０})(１．４)若q (z )为非常数多项式,则方程不存在整函数解;若q (z )为非零常数,当且仅当b ＝３πn ,n ɪℤ\{０}且q ３＝(－１)n ＋１２７４c ２时,方程存在三个互异的有穷级整函数解.在方程(１．３)和方程(１．４)中,因为c s i n b z ＝c ２ie b i z－c ２ie－b i z ,所以许多复分析学者[１４－１７]研究了微分方程f n (z )＋P d (z ,f )＝p １e α１z ＋p ２e α２z (１．５)在d ɤn －２时的一些结论,其中P d (z ,f )是关于f 的微分多项式.特别地,２０２０年,L i u 和M a o 得到了d ɤn －１时的结果.定理A [１８]㊀设n ȡ２为整数,P d (z ,f )是关于f 的次数d ɤn －１的微分多项式,其中系数为多项式,且p j ㊁αj (j ＝１,２)为非零常数满足α１α２ɪt n ,n t :１ɤt ɤn －１{}若微分方程(１．５)存在一个满足N (r ,f )＝S (r ,f )的亚纯函数解f ,则下列结论之一成立:(１)f (z )＝γ１(z )＋c １e α１z n,α１α２＝n t ,(２)f(z )＝γ２(z )＋c ２e α２z n ,α１α２＝t n ,其中γj 为f 的小函数,c j 为满足c nj ＝p j (j ＝１,２)的常数.自然地,复分析学者们开始思考方程(１．５)在d ＝n 时解的存在性,注意到:(f n )ᶄ＝n f n －１f ᶄ.２０２１年,C h e n 等[４]考虑了P d (z ,f )含有f n －１f ᶄ时的情形,即:f n ＋ωf n －１(z )f ᶄ(z )＋q (z )e Q (z )f (z ＋c )＝p １e λz ＋p ２e －λz (１．６)其中n 为正整数,c ,λ,pi (i ＝１,２)为非零常数,ω为常数,q (z )≢０为多项式,Q (z )为非常数多项式.通过观察W e n 等[９]和C h e n 等[３]所得到的解的表示形式,他们考虑了将方程(１．６)的整函数解刻画为Γ０＝{e α(z):α(z )为非常数多项式}时的情况,并证明了下述结论.定理B [４]㊀若f (z )为方程(１．６)的一个有穷级超越整函数解,则:(１)当ωʂ０且n ȡ４,或ω＝０且n ȡ３时,则f (z )满足σ(f )＝d e g Q ＝１;(２)当n ȡ１且f (z )为方程(１．６)的一个属于Γ０的解,则f(z )＝e λz n ＋B ,Q (z )＝－n ＋１nλz ＋b 或者f (z )＝e －λz n ＋B ,Q (z )＝n ＋１nλz ＋b 其中b ,B ɪℂ.此外,对于n ＝２时的情况,一些复分析学者讨论了部分特殊方程的解.徐玲等[１０]研究了形如(f ᶄ)２＋f ２(z ＋c )＝p (z )的F e r m a t 型方程整函数解,其中p (z )为多项式.２０２２年,G u n d e r s e n 等[１９]受到三角恒等式(c o s z )２－(s i n z )２＝c o s ２z 的启发,讨论了微分方程f ２－(f ᶄ)２＝co s ２z 的解,并证明了该方程仅存在四个整函数解:f (z )＝ʃc o s z ,ʃi s i n z .不久,G a o 等[２０]考虑了更为一般的两项微分方程f ２＋a (f ᶄ)２＝p １e λz ＋p ２e －λz (１．７)其中a ,pi (i ＝１,２)与λ为非零常数,满足９a λ２＋４ʂ０,则方程(１．７)存在整函数解当且仅当a λ２＋１＝０或a λ２－４＝０成立.观察发现:方程中(１．６)的f n －１f ᶄ与方程(１．７)中的(f ᶄ)２都具有与f n －j (f ᶄ)j相同的形式.我们５１ 第１期㊀㊀㊀㊀㊀付雨欣等:两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性考虑d ＝n 时更一般的情况,即研究方程f n＋ðnj ＝１ωj fn －j(f ᶄ)j ＋q (z )e Q (z )f (k )(z ＋c )＝p １(z )e λz ＋p ２(z )e －λz (１．８)的亚纯函数解的表示形式.引入集合Γᶄ０＝{r (z )e α(z ):r (z )为非零有理函数,α(z )为非常数多项式}㊀㊀定理１㊀假设n ȡ２,k ȡ０为整数,c ,λʂ０为常数,ωj (j ＝１, ,n )为不全为零的常数,Q (z )为非常数多项式,q (z ),p i (z )(i ＝１,２)为非零有理函数,则(１)方程(１．８)的所有亚纯函数解f (z )都是超越的;(２)若方程(１．８)存在一个满足m a x λ(f ),λ(１f ){}＜σ(f )的有穷级超越亚纯函数解f (z ),则σ(f )＝d e g Q ＝１;(３)若方程(１．８)存在一个属于Γᶄ０的解f (z ),则下列结果之一成立:f (z )＝r (z )e λz n ＋Bn Q (z )＝－n ＋１n λz －１n(λc ＋B )＋b其中r (z )满足e Br n (z )＋ðnj ＝１ωjr n －j (z )r ᶄ(z )＋r (z )λn æèçöø÷jéëêêùûúú＝p １(z )且b ,B ɪℂ;或者f (z )＝r (z )e －λz n ＋BnQ (z )＝n ＋１n λz ＋１n(λc －B )＋b其中r (z )满足e Br n (z )＋ðnj ＝１ωj r n －j (z )r ᶄ(z )＋r (z )－λn æèçöø÷j éëêêùûúú＝p ２(z )且b ,B ɪℂ.注记１㊀特别地,若f (z )为方程(１．８)的一个属于Γ０的解,则下列关系之一成立:p １(z )＝e B１＋ðnj ＝１ωj λn æèçöø÷jéëêêùûúú,p ２(z )＝e bq (z )G (z ＋c )或者p １(z )＝e bq (z )G (z ＋c ),p ２(z )＝e B１＋ðnj ＝１ωj －λn æèçöø÷j éëêêùûúú其中G (z ＋c )为多项式这意味着p １(z )和p ２(z )中至少有一个为常数.下述例子１．１与例子１．２表明了结论(２)解的存在.例子１．１㊀f (z )＝e z是下述时滞微分方程的一个超越整函数解.f ３＋f ２f ᶄ＋f (f ᶄ)２＋１２z e －４z f (３)(z ＋l o g ２)＝３e ３z ＋ze －３z 容易得到:m a x λ(f ),λ１f æèçöø÷{}＝０＜σ(f )＝d e g Q ＝１.显然,p １(z )＝３为常数,p ２(z )＝z 为多项式.例子１．２㊀f (z )＝１zez是下述时滞微分方程的一个超越亚纯函数解.f ２＋２f f ᶄ－(f ᶄ)２＋１２ze －３zf (z ＋l o g ２)＝－１z ４＋２z ２æèçöø÷e ２z ＋１z z ＋l o g２()e －２z 容易得到:σ(f )＝d e g Q ＝１.f (z )＝１ze z与结论(３)中的结果之一符合.C h e n 等还讨论了当方程(１．６)的右边仅有一项的情况,并得到了下述结论.定理C [４]㊀设n 为整数,c ʂ０,ω为常数,当ωʂ０时,且n ȡ３或当ω＝０时且n ȡ２;c ʂ０为常数,q ~(z ),Q (z ),u (z ),v (z )为非常数多项式.假设f (z )为方程f n ＋ωf n －１(z )f ᶄ(z )＋q ~(z )e Q (z)f (z ＋c )＝u (z )e v (z )(１．９)的一个有穷级超越整函数解,则每个解f (z )都满足下列结果之一:(１)σ(f )＜d e g v ＝d e g Q ,且f ＝C e －zω,其中C 为常数;(２)σ(f )＝d e g Q ȡd e g v .注记２㊀L i 等[６]考虑了当n ＝２且ωʂ０时,方程(１．９)满足λ(f )＜σ(f )的解的存在性和表示形式.接下来,我们也考虑了方程(１．８)等号右边仅有一项指数函数项时的情形,即考虑方程f n＋ðnj ＝１ωj f n －j (f ᶄ)j ＋q ~(z )e Q (z )f (k )(z ＋c )＝u (z )ev (z )(１．１０)并得到了下述结论.定理２㊀假设n ȡ２,k ȡ０为整数,c 为常数,w j(j ＝１, ,n )为不全为零的常数,q ~(z ),u (z )为增长６１ 南昌大学学报(理科版)２０２４年㊀级小于１的非零亚纯函数,Q (z ),v (z )为非常数多项式,则(１)方程(１．１０)的所有亚纯函数解f (z )都是超越的;(２)若f (z )为方程(１．１０)的一个满足m a x λ(f ),λ(１f){}＜σ(f )的有穷级超越亚纯函数解,则下列其中一个结果成立:(ⅰ)σ(f )＜d e g Q ＝d e g v ,且f ＝C e ηz ,其中C 为非零常数,η为方程１＋ðnj ＝１ωjz j＝０的一个解;(ⅱ)σ(f )＝d e g Q ＝d e g v .上述例子１．３与例子１．４展示了结论(２)解的存在性.例子１．３㊀f (z )＝２e －z为下述时滞微分方程的一个超越整函数解.f ３＋４f ２f ᶄ＋３f (f ᶄ)２＋e z ２＋z ＋１f ᶄ(z ＋１)＝－２e z ２这里有ω１＝４,ω２＝３.容易得到:m a xλ(f ),λ(１f){}＝０＜σ(f )＝１＜d e g Q ＝d e g v ＝２,且f (z )＝２e －z,其中C ＝２,η＝－１.显然,－１是方程１＋４z ＋３z ２＝０的一个解.例子１．４㊀f (z )＝ez ２＋z为下述时滞微分方程的一个超越整函数解.f ２＋(f ᶄ)２－２z e z ２＋３z f ᶄ(z －１)＝(６z ＋２)e ２z ２＋２z容易得到:m a x λ(f ),λ(１f){}＝０＜σ(f )＝d e g Q ＝d e gv ＝２.注记３㊀当c ＝０时,由定理的证明过程,可知定理１和定理２的结论仍然成立.例子１．５㊀f (z )＝e－z为下述微分方程的一个超越整函数解.f ２＋f f ᶄ＋(f ᶄ)２＋１z e ５z f ３(z )＝e －２z ＋１ze ２z 容易得到:σ(f )＝d e g Q ＝１,这表示了定理１的结论(２)解的存在性.例子１．６㊀f (z )＝１zez为下述微分方程的一个超越亚纯函数解.f ２＋f f ᶄ－２(f ᶄ)２－３z ２e z f ᶄ＝１z４e２z 容易得到:σ(f )＝d e g Q ＝d e g v ＝１,这表示了定理２的结论(ⅱ)解的存在性.２㊀引理㊀㊀引理２．１[２]㊀设f j (z )(j ＝１,２, ,n )(n ȡ２)为亚纯函数,g j (z )(j ＝１,２, ,n )为整函数,满足下列各条件:(１)ðnj ＝１f j (z )e g j (z )ʉ０.(２)当１ɤj ＜k ɤn 时,g j (z )－g k (z )非为常数.(３)当１ɤj ɤn ,１ɤh ＜k ɤn 时,T (r ,f j )＝o {T (r ,e g h －g k)}(r ңɕ,r ∉E １)则f j (z )ʉ０(j ＝１,２, ,n ).引理２．２[２１]㊀设f (z )为超级小于１的亚纯函数,且c ɪℂ\{０},则T (r ,f (z ＋c ))＝T (r ,f (z ))＋S (r ,f (z ))㊀㊀引理２．３[２]㊀设f 在开平面上亚纯,n 为正整数,则f (z )与f (n )(z )具有相同的增长级.引理２．４[２]㊀设f (z )为开平面上非常数亚纯函数,k 为正整数,Ψ(z )＝ðki ＝０a i (z )f (i )(z ),这里a i (z )(i ＝０,１, ,k )均为f (z )的小函数,则m r ,Ψf æèçöø÷＝S (r ,f )㊀㊀引理２．５[２]㊀设f j (z )(j ＝１,２,３)于开平面亚纯,且f １(z )不为常数.如果ð３j ＝１f j(z )ʉ１且ð３j ＝１N r ,１f j æèçöø÷＋２ð３j ＝１N －(r ,f j )＜(λ＋o (１))T (r )(r ɪI )其中λ＜１,T (r )＝m a x １ɤj ɤ３{T (r ,f j )},I 表示r 在(０,ɕ)中具有无穷线性测度的一个集合.则f ２ʉ１或f ３ʉ１.引理２．６[２２]㊀设f 为方程f nP (z ,f )＝Q (z ,f )的一个有穷级非常数亚纯函数解,其中P (z ,f ),Q (z ,f )为关于f 的微分多项式且系数为f 的小函数.若微分多项式Q (z ,f )关于f 的次数最多为n ,则有m (r ,P (z ,f ))＝S (r ,f )(r ң＋ɕ)㊀㊀注记４㊀当P (z ,f ),Q (z ,f )为关于f 的时滞微分多项式时,引理２．６仍然成立[２３].引理２．７[２]㊀设f (z )为开平面上非常数亚纯函数,p (f )＝a ０f n ＋a １f n －１＋ ＋a n ,其中a ０(≢０),a １, ,a n 均为f (z )的小函数,则T (r ,p (f ))＝n T (r ,f )＋S (r ,f )７１ 第１期㊀㊀㊀㊀㊀付雨欣等:两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性３㊀定理的证明㊀㊀定理１的证明㊀(１)假设f(z)为方程(１．８)的一个有理函数解.若f(z)ʉ０,把它代入方程(１．８),可以得到p１(z)eλz＋p２(z)e－λzʉ０.由引理２．１,可以得到p１(z)ʉ０,这与假设p１(z)≢０矛盾.若f(z)≢０,方程(１．８)可写为:d１(z)e０＋q(z)d２(z)e Q(z)＝p１(z)eλz＋p２(z)e－λz(３．１)其中d１(z)＝f n＋ðn j＝１ωj f n－j(fᶄ)j为有理函数且d２(z)＝f(k)(z＋c)为有理函数.由引理２．１,可以得到p１(z)ʉ０或p２(z)ʉ０,这与假设矛盾.因此,结论(１)得证.(２)假设f(z)为方程(１．８)的一个满足m a x λ(f),λ(１f){}＜σ(f)的有穷级超越亚纯函数解.为了方便,将方程(１．８)改写为f n＋ðn j＝１ωj f n－j(fᶄ)j＋q e Q f(k)c＝p１eλz＋p２e－λz(３．２)其中f(k)c＝f(k)(z＋c).情况１㊀σ(f)＜１.由引理２．２和引理２．３,可以得到σ(f)＝σ(fᶄ)＝σ(f c)＝σ(f(k)c).由(３．２)可以得到σ(e Q)＝σp１eλz＋p２e－λz－f n＋ðn j＝１ωj f n－j(fᶄ)j[]q f(k)cæèççöø÷÷ɤm a x{σ(f),σ(eλz),σ(q),σ(p１),σ(p２)}＝σ(eλz)因此,d e g Qɤσ(eλz)＝１.由假设可知,Q(z)为一个非常数多项式,则d e g Q＝１.对(３．２)进行微分,可以得到n f n－１fᶄ＋ðn－１j＝１[(n－j)ωj f n－j－１(fᶄ)j＋１＋jωj f n－j(fᶄ)j－１fᵡ]＋nωn(fᶄ)n－１fᵡ＋A e Q＝(pᶄ１＋p１λ)eλz＋(pᶄ２－p２λ)e－λz(３．３)其中A＝qᶄf(k)c＋q Qᶄf(k)c＋q(f(k)c)ᶄ.由(３．２)与(３．３),消去eλz和e－λz,可得B e２Q＋C e Q＋D＝０其中A１＝f n＋ðn j＝１ωj f n－j(fᶄ)j,A２＝n f n－１fᶄ＋ðn－１j＝１[(n－j)ωj f n－j－１(fᶄ)j＋１＋jωj f n－j(fᶄ)j－１fᵡ]＋nωn(fᶄ)n－１fᵡ,A３＝p１pᶄ２－pᶄ１p２－２p１p２λ,A４＝p１A２－(pᶄ１＋p１λ)A１,A５＝p１A－(pᶄ１＋p１λ)q f(k)c,B＝q f(k)c A３A５－p２A２５,C＝A１A３A５＋q f(k)c A３A４－２p２A４A５,D＝A１A３A４－p２A２４－p１A２３由引理２．１,可得D(z)ʉ０,即A１A３A４－p２A２４－p１A２３ʉ０(３．４)注意到nȡ２,将(３．４)改写为f n‹p１n fᶄf＋ðn－１j＝１(n－j)ωj fᶄfæèçöø÷j＋１＋éëêê{jωj fᶄfæèçöø÷j－１fᵡfùûúú＋nωnfᶄfæèçöø÷n－１fᵡf}－(pᶄ１＋p１λ)１＋ðn j＝１ωj fᶄfæèçöø÷jéëêêùûúú›[p１(pᶄ２－p２λ)A１－p１p２A２]＝p１(p１pᶄ２－pᶄ１p２－２p１p２λ)２(３．５)结合假设m a xλ(f),λ(１f){}＜σ(f)与引理２．４,可以得到T r,f(i)fæèçöø÷＝m r,f(i)fæèçöø÷＋N r,f(i)fæèçöø÷ɤS(r,f)＋N r,f(i)()＋N r,１fæèçöø÷＝S(r,f)(３．６)其中i＝１,２.因此,fᶄf和fᵡf为f的小函数.将(３．５)改写为f n P d(z,f)＝p１(p１pᶄ２－pᶄ１p２－２p１p２λ)２(３．７)其中P d(z,f)为关于f的微分多项式,且以f的小函数为系数.子情况１．１㊀若P d(z,f)≢０,由引理２．６和(３．７)可得m(r,P d(z,f))＝S(r,f)和m(r,f P d(z,f))＝S(r,f)因此,可以得到T(r,f)＝m(r,f)＋N(r,f)ɤm(r,f P d(z,f))＋m r,１P d(z,f)æèçöø÷＋S(r,f)ɤT(r,P d(z,f))＋S(r,f)＝m(r,P d(z,f))＋８１ 南昌大学学报(理科版)２０２４年㊀N (r ,P d (z ,f ))＋S (r ,f )＝S (r ,f )这是不可能的.子情况１．２㊀若P d (z ,f )ʉ０,则(３．７)由可得p １(p １p ᶄ２－p ᶄ１p ２－２p １p ２λ)２ʉ０则p ᶄ２p ２＝p ᶄ１p １＋２λ.通过积分,可以得到p ２(z )＝τ１p １(z )e ２λz其中τ１为非零常数.由假设p １(z )和p ２(z )为非零有理函数,可以得到一个矛盾.情况２㊀σ(f )＞１.令T (z )＝p １(z )e λz＋p ２(z )e －λz ,H (z )＝q (z )f (k )(z ＋c ).将(３．２)改写为f n＋ðnj ＝１ωj f n －j (f ᶄ)j ＋H e Q＝T (３．８)㊀㊀对方程(３．８)进行微分,可得n f n －１f ᶄ＋ðn －１j ＝１[(n －j )ωj f n －j －１(f ᶄ)j ＋１＋j ωj fn －j(f ᶄ)j －１f ᵡ]＋n ωn (f ᶄ)n －１f ᵡ＋L e Q ＝Tᶄ(３．９)其中L (z )＝H ᶄ＋Q ᶄH .结合(３．８)与(３．９)并消去eQ,可得f n‹q f(k )cn f ᶄf ＋ðn －１j ＝１(n －j )ωj f ᶄf æèçöø÷j ＋１＋éëêê{j ωj f ᶄf æèçöø÷j－１f ᵡf ùûúú＋n ωn f ᶄf æèçöø÷n －１f ᵡf}－q ᶄf (k )c ＋q f (k )c ()ᶄ＋Q ᶄq f (k )c []１＋ðnj ＝１ωj f ᶄf æèçöø÷jéëêêùûúú›＝T ᶄH －T L (３．１０)其中T ᶄH －T L 为关于f 的时滞微分多项式,且次数不超过１.注意到n ȡ２,结合(３．６),将(３．１０)改写为f nφ(f )＝T ᶄH －T L 其中φ(f )为关于f 的时滞微分多项式,且系数为f 的小函数.子情况２．１㊀若φ(f )≢０,结合引理２．６的注记４和(３．１１),可得m (r ,φ(f ))＝S (r ,f )和m (r ,f φ(f ))＝S (r ,f )运用与子情况１．１相似的方法,可以得到一个矛盾.子情况２．２㊀若φ(f )ʉ０,由可得T ᶄH －T L ʉ０.因此,q ᶄq ＋(f (k )c )ᶄf (k )c＋Q ᶄ＝T ᶄT 通过积分可得f (k)c ＝τ２T qe －Q(３．１２)其中τ２为一个非零常数.将(３．１２)代入(３．２),可得f n＋ðnj ＝１ωj f n －j (f ᶄ)j＝(１－τ２)T (３．１３)㊀㊀子情况２．２．１㊀若f n ＋ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)jʉ０,可以得到１＋ðnj ＝１ωj f ᶄf æèçöø÷jʉ０若fᶄf不为常数,令l ＝m a x {j :ωj ʂ０,j ＝１,,n }.由引理２．７可得０＝T r ,１＋ðnj ＝１ωjf ᶄf æèçöø÷j æèçöø÷＝l T r ,f ᶄf æèçöø÷＋S r ,f ᶄf æèçöø÷因此,可以得到T r ,f ᶄf æèçöø÷＝０,这是不可能的,则f ᶄf 为常数.所以f ᶄf ＝η,其中η为方程１＋ðnj ＝１ωj z j＝０的一个解.通过积分,可以得到f ＝τ３e ηz ,其中τ３为一个非零常数.因此,可以得到σ(f )＝１,这与假设σ(f )＞１矛盾.子情况２．２．２㊀若f n ＋ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)j≢０,则τ２ʂ１.由(３．６)和(３．１３)得σ(f )＝σ(f n)＝σf n １＋ðnj ＝１ωj f ᶄf æèçöø÷jéëêêùûúúæèçöø÷＝σ((１－τ２)T )ɤσ(e λz)＝１因此,这与假设σ(f )＞１矛盾.情况３㊀σ(f )＝１.由(３．２)可得σ(e Q)＝σp １e λz＋p ２e－λz －f n＋ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)j []q f (k )cæèççöø÷÷ɤm a x {σ(f ),σ(e λz),σ(q ),σ(p １),σ(p ２)}＝m a x {σ(f ),σ(e λz)}＝１因此,可以得到d e g Q ɤ１.由假设Q (z )为非常数多项式,可得d e g Q ＝１.因此,σ(f )＝d e g Q ＝１.结论(２)得证.(３)假设f (z )为方程(１．８)的解且满足f (z )ɪΓᶄ０,即:f (z )＝r (z )e α(z),其中r (z )为一个非零有理函数,且α(z )为一个非常数多项式,则f(k )(z ＋c )＝[r (z ＋c )e α(z ＋c )](k )＝G (z ＋c )e α(z ＋c )(３．１４)其中G (z ＋c )为关于r (z )和α(z )的一个时滞微分多项式.显然G (z ＋c )≢０.否则,由(３．１４)可得９１ 第１期㊀㊀㊀㊀㊀付雨欣等:两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性f (k )(z ＋c )ʉ０,则σ(f )＝σ(f (k )(z ＋c ))＝０,这与假设α(z )为一个非常数多项式矛盾.因此,G (z ＋c )为一个非零有理函数.f (z )＝r (z )e α(z)与(３．１４)代入(３．２)得[r n＋ðnj ＝１ωj r n －j (r ᶄ＋r αᶄ)j ]e n α＋qG c e Q ＋αc＝p １e λz ＋p ２e －λz (３．１５)方程(３．１５)两边同时除以p ２e－λz,可得r n＋ðnj ＝１ωj r n －j (r ᶄ＋rαᶄ)j p ２e n α＋λz ＋q G c p ２e Q ＋αc ＋λz －p １p ２e ２λz ＝１(３．１６)若r n ＋ðnj ＝１ωjr n －j (r ᶄ＋r αᶄ)j ʉ０,由(３．１５)可得qG c e Q ＋αc＝p １e λz ＋p ２e －λz (３．１７)当d e g (Q ＋αc )ʂ１时,由引理２．１得p １ʉ０,这与假设p １≢０矛盾.当d e g (Q ＋αc )＝１时,令Q ＋αc ＝h １z ＋h ０,其中h １ʂ０.接下来,我们分三种情况讨论.若h １＝λ,由(３．１７)得(qG c e h ０－p １)e λz－p ２e －λz ＝０由引理２．１得p ２ʉ０,这与假设p ２≢０矛盾.若h １＝－λ,与h １＝λ情况类似,可得p １ʉ０,这与假设p １≢０矛盾.若h １ʂλ且h １ʂ－λ,则由(３．１７)与引理２．１,得p １ʉ０,这仍是一个矛盾.因此,r n＋ðnj ＝１ωj rn －j(r ᶄ＋r αᶄ)j为一个非零有理函数.令g １＝－p １p ２e ２λz,g ２＝r n ＋ðnj ＝１ωjr n －j (r ᶄ＋r αᶄ)j p ２e n α＋λz ,g ３＝q G c p ２e Q ＋αc ＋λz .显然,g １不为常数.通过计算可得N r ,１g t æèçöø÷＝O (l o gr ),N －(r ,gt )＝O (l o g r ),T (r ,g １)＝T r ,－p １p ２e ２λz æèçöø÷＝T (r ,e ２λz )＋S (r ,e ２λz)＝２λπr ＋O (l o gr )其中t ＝１,２,３.因此,T (r )＝m a x １ɤt ɤ３{T (r ,g t )}ȡT (r ,g １)＝２λπr ＋O (l o g r ).令λ０＝１２,则O (l o g r )＜(λ０＋o (１))２λπr ＋O (l o g r )æèçöø÷ɤ(λ０＋o (１))T (r )那么可以得到ð３t ＝１N r ,１g t æèçöø÷＋２ð３t ＝１N －(r ,g t )＝O (l o gr )＜１２＋o (１)æèçöø÷T (r )由引理２．５与(３．１６),可以得到g ２ʉ１或g ３ʉ１.若g ２＝r n＋ðnj ＝１ωj r n －j (r ᶄ＋rαᶄ)j p ２e n α＋λz ʉ１,则n α(z )＋λz ＝B r n(z )＋ðnj ＝１ωj r n －j (z )[r ᶄ(z )＋r (z )αᶄ(z )]j p ２(z )＝e－B 因此,α(z )＝－λn z ＋Bn,p ２(z )＝e Br n(z )＋ðnj ＝１ωj r n －j (z )[r ᶄ(z )＋r (z )αᶄ(z )]j []其中B 为常数.同时,由(３．１６)可以得到q G c p ２e Q ＋αc ＋λz ＝p １p ２e ２λz 则Q (z )＝n ＋１n λz ＋１n(λc －B )＋b ,p １(z )＝e b q (z )G (z ＋c )其中b 为常数.若g ３＝q G c p ２e Q ＋αc ＋λz ʉ１,由(３．１６)可得r n＋ðnj ＝１ωj r n －j (r ᶄ＋rαᶄ)j p ２e n α＋λz ＝p １p ２e２λz 因此,可以得到α(z )＝λn z ＋Bn ,p １(z )＝e Br n(z )＋ðnj ＝１ωj r n －j (z )[r ᶄ(z )＋r (z )αᶄ(z )]j []且Q (z )＝－n ＋１n λz －１n(λc ＋B )＋b ,p ２(z )＝０２ 南昌大学学报(理科版)２０２４年㊀e bq (z )G (z ＋c )其中B ,b 为常数.综上,结论(３)得证.定理２的证明㊀(１)假设f (z )为方程(１．１０)的一个有理函数解.当f (z )ʉ０时,代入方程(１．１０),可以得到:u (z )e v (z )ʉ０.由假设条件u (z )≢０可得到一个矛盾.当f (z )≢０时,方程(１．１０)可写为r １(z )e ０＋q ~(z )r ２(z )e Q (z )＝u (z )e v (z )(３．１８)其中r １(z )＝f n＋ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)j为有理函数且r ２(z )＝f (k )(z ＋c )为有理函数.若r １(z )ʉ０,与定理１证明过程中的子情况２．２．１类似,可得fᶄf ＝η为常数,其中η为方程１＋ðnj ＝１ωjz j＝０的一个解.通过积分,可以得到f ＝C ０eηz ,其中C ０为一个非零常数,这与假设f (z )为有理函数矛盾,从而r １(z )≢０.由引理２．１与方程(３．１８),可以得到r １(z )ʉ０,这与假设矛盾.因此,结论(１)得证.(２)假设f (z )为方程(１．１０)的一个满足m a x λ(f ),λ(１f){}＜σ(f )的有穷级超越亚纯函数解.由H a d a m a r d 因子分解定理,f (z )可写为如下形式f (z )＝c (z )d (z)e b (z )＝:a (z )e b (z )(３．１９)其中c (z )≢０为f (z )的零点的典型乘积且满足σ(c )＝λ(c )＝λ(f )＜σ(f ),d (z )≢０为f (z )的极点的典型乘积且满足σ(d )＝λ(d )＝λ(１f)＜σ(f ),b (z )为满足d e g b ＝σ(f )的多项式.因此,σ(a )ɤm a x {σ(c ),σ(d )}＝m a x λ(f ),λ(１f){}＜σ(f ).显然,b (z )为非常数多项式,则d e gb ȡ１.为了方便,令d e g b ＝t .假设b (z )＝b t z t＋b t －１z t －１＋＋b ０,其中b t ʂ０.由(３．１９)可得f(k )(z ＋c )＝[a (z ＋c )e b (z ＋c )](k )＝G (z ＋c )e b (z ＋c )(３．２０)其中G (z ＋c )为关于a (z )和b (z )的时滞微差分多项式.显然,G (z ＋c )≢０.否则,由(３．２０)可得f (k )(z ＋c )ʉ０,那么σ(f )＝σ(f (k)(z ＋c ))＝０,这与假设b (z )为一个非常数多项式矛盾.由引理２．２和引理２．３,可以得到σ(a )＝σ(a c )＝σ(a (i )c ),σ(b )＝σ(b c )＝σ(b (i )c )＝０,其中a c ＝a (z ＋c ),b c ＝b (z ＋c )且i ＝１, ,k .因此,σ(G c )ɤm a x {σ(a ),σ(b )}＝σ(a )＜σ(f )㊀㊀将方程(１．１０)简写为f n＋ðnj ＝１ωj f n －j (f ᶄ)j ＋q ~e Qf (k )c ＝ue v(３．２１)其中f(k )c＝f (k )(z ＋c ).由引理２．２和引理２．３,可知σ(f )＝σ(f c )＝σ(f ᶄ)＝σ(f (k )c ).因此,由(３．２１)可得σ(e v )＝σf n ＋ðnj ＝１ωj f n －j (f ᶄ)j ＋q ~e Q f (k )c u æèççöø÷÷ɤm a x {σ(f ),σ(u ),σ(q ~),σ(e Q )}＝m a x {σ(f ),σ(e Q)}因为σ(e v )＝d e g v ,σ(e Q)＝d e gQ ,可以得到d e g v ɤm a x {σ(f ),d e g Q }(３．２２)因此,我们将整个证明分成三种情况来考虑.将(３．１９)和(３．２０)代入(３．２１)到中,可以得到an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n b ＋q ~G c e Q ＋b c＝u e v (３．２３)㊀㊀情况１㊀σ(f )＜d e g Q ,由(３．２２)可得d e g v ɤd e gQ .由方程(３．２１)可得T (r ,e Q )＝T (r ,q ~e Qf (k )c )＋S (r ,e Q)＝T r ,u e v－f n－ðnj ＝１ωjf n －j (f ᶄ)j ()＋S (r ,e Q)ɤT (r ,e v )＋S (r ,e Q)则d e g Q ɤd e g v .由此可得d e g Q ＝d e gv .因此d e g b ＝σ(f )＜de g Q ＝d e g v ㊀㊀d e g (Q ＋b c －v )ȡσ(f )时,由引理２．１和(３．２３),可得u (z )ʉ０,这与假设矛盾.当d e g (Q ＋b c －v )＜σ(f )时,令Q (z )＋b (z ＋c )－v (z )＝τ(z ),其中τ(z )为一个满足d e g τ＜σ(f )的多项式.将方程(３．２３)改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n b ＋(q ~G c e τ－u )e v＝０由引理２．１,可以得到a n＋ðn j ＝１ωj a n －j (a ᶄ＋a bᶄ)j ʉ０则１＋ðnj ＝１ωj (a ᶄa ＋b ᶄ)j ʉ０.假设a ᶄa ＋b ᶄ不为常数,令l ＝m a x {j :ωj ʂ０,j ＝１,,n }.由引理２．７可得０＝T r ,１＋ðnj ＝１ωj (a ᶄa ＋b ᶄ)j æèçöø÷＝１２ 第１期㊀㊀㊀㊀㊀付雨欣等:两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性l T (r ,a ᶄa ＋b ᶄ)＋S (r ,a ᶄa＋b ᶄ)则T (r ,a ᶄa ＋b ᶄ)＝０,这与假设矛盾,所以a ᶄa＋b ᶄ＝η为常数,其中η为方程１＋ðnj ＝１ωjz j＝０的一个解.通过积分,可以得到a (z )＝Ce ηz －b (z )(３．２４)其中C 为非零常数.若d e gb ＞１,由(３．２４)可得σ(a )＝d e g b ＝σ(f ),这与假设σ(a )＜σ(f )矛盾.若d e g b ＝１,令b (z )＝b １z ＋b ０,其中b １ʂ０.当b １ʂη时,由(３．２４)有σ(a )＝d e g b ＝σ(f ),这仍是一个矛盾;若b １＝η,由(３．２４)可得a (z )＝C e －b ０,则f (z )＝C e ηz .因此,结论(i )得证.情况２㊀σ(f )＞de g Q ,由(３．２２)可得d e g v ɤσ(f ).子情况２．１㊀d e g v ＜σ(f ),可得d e g v ＜σ(f )＝d e gb ＝t .因此,将(３．２３)改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j(a ᶄ＋a b ᶄ)j []e n h １e n b tz t ＋q~G c e h ２e bt z t＝u e v 其中h １(z )和h ２(z )为次数最高为t －１的多项式且满足h １(z )＝b t －１z t －１＋ ＋b ０,h ２(z )＝Q (z )＋(b t －１＋b t t c )z t －１＋ ＋b ０＋b １c .由引理２．１得u ʉ０,这与假设u ≢０矛盾.子情况２．２㊀d e g v ＝σ(f )＝d e g b ＝t ,令v (z )＝v t z t ＋v t －１z t －１＋ ＋v ０,其中v t ʂ０.因此,将(３．２３)改写为a n ＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n h １e n b tz t＋q~G c e h ２e b t z t＝u e h ３e vt z t其中h １与h ２如上定义,h ３＝v t －１z t －１＋ ＋v ０是次数最高为t －１的多项式.若v t ＝b t ,将(３．２５)改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n h １e n b tz t＋q~G c e h ２－u e h ３()e b tz t ＝０结合引理２．１,可以得到a n ＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j ʉ０.通过与情况１中类似的步骤,可以得到(３．２４).因为d e g b ＝σ(f )＞de g Q ,所以d e g b ＞１,则σ(a )＝d e g b ＝σ(f ),这与假设σ(a )＜σ(f )矛盾.若v t ＝n b t ,则将(３．２５)改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n h １－u e h ３{}e n b tz t＋q ~G c e h ２e bt z t＝０结合引理２．１,可以得到:q ~G c e h ２ʉ０.由q ~≢０且G c ≢０,这是矛盾的.若v t ʂb t 且v t ʂn b t ,结合引理２．１和(３．２５)可以得到u ʉ０,这仍是一个矛盾.情况３㊀σ(f )＝d e g Q ,那么d e g v ɤd e g Q ＝σ(f )＝d e g b .断言d e g v ＝d e g Q .如若不然,当d e g v ＜d e g Q 时,令Q (z )＝q t z t ＋q t －１z t －１＋ ＋q ０其中q t ʂ０,将改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n h １e n b tz t＋q~G c e h ４e (q t ＋b t )z t ＝u e v (３．２６)其中h １如上定义,h ４＝(qt －１＋b t －１＋b t t c )z t －１＋ 是次数最高为t －１的多项式.若q t ＝－b t ,将(３．２３)改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n h １e n b tz t＝(u e v －q~G c e h ４)e ０结合引理２．１,可以得到a n＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j ʉ０.通过与情况１中类似的步骤,可以得到(３．２４).因为d e g b ＝σ(f )＝d e g Q ＞d e g v ,所以d e g b ＞１,可得σ(a )＝d e g b ＝σ(f ),这与假设σ(a )＜σ(f )矛盾.若q t ＝(n －１)b t ,将(３．２６)改写为an＋ðnj ＝１ωja n －j (a ᶄ＋ab ᶄ)j []e n h １＋{q~G c e h ４}e n b tz t ＝u e v 结合引理２．１,可得u ʉ０,这与假设u ≢０矛盾.若q t ʂ－b t 且q t ʂ(n －１)b t ,结合引理２．１和(３．２６)可以得到u ʉ０,这与假设u ≢０矛盾.因此,证得d e g v ＜d e g Q 时存在矛盾,则有d e g v ＝d e gQ ＝σ(f ).参考文献:[１]㊀L A I N E I ．N e v a n l i n n a t h e o r y a n d c o m p l e x d i f f e r e n t i a l e Ｇq u a t i o n s [M ]．B e r l i n :W a t e r d eG r u yt e r ,１９９３．[２]仪洪勋,杨重骏．亚纯函数唯一性理论[M ]．北京:科学出版社,１９９５．[３]C H E N M F ,G A O ZS ,Z HA N GJL ．E n t i 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r,２０２２．(责任编辑:邓中书)３２第１期㊀㊀㊀㊀㊀付雨欣等:两类非线性复域时滞微分方程亚纯函数解的存在性。
分担三个公共值的亚纯函数
分担三个公共值的亚纯函数
以分担三个公共值的亚纯函数为标题，讨论了一种特殊的多项式函数，可以把三个公共值分散开来。
这种特殊的函数被称为亚纯函数。
亚纯函数的特征在于它们的多项式形式：亚纯函数的标准形式如下：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c为实数，x表示变量。
在这种形式中，函数中的三个系数a, b, c也被称为“公共值”。
由于函数中的变量是幂指数类型的，所以亚纯函数也被称为“二次函数”，“二次曲线”或“椭圆曲线”。
因此，亚纯函数也可以称为“椭圆曲线函数”，它产生的曲线在平面上具有特殊的形状，可以被称为“椭圆”。
亚纯函数的值的范围取决于它的三个公共值a, b, c，只有当它们满足特定的要求时，才能使函数范围有限。
例如，当a > 0时，函数曲线具有最小值，反之如果a < 0，则有最大值。
亚纯函数的特点在于，它可以使三个公共值a, b, c被分散到不同的区域，从而实现特定的效果。
例如，当a, b, c的值分别满足a > 0，b = 0，c = 0时，函数的曲线就可以以椭圆的形式表达出来。
由于它可以把三个公共值分散开来，所以亚纯函数的范围有一定的灵活性，可以满足特定的应用需要。
此外，亚纯函数也可以用来模拟物理现象。
例如，如果a > 0，b=0，c > 0，则表示重力势场，即重力源和受其影响的物体之间的相互作用；如果a = 0，b < 0，c > 0，则可以用来模拟水中的流动。
总之，亚纯函数具有极大的现实意义，可以为工程计算提供有效
的帮助，同时还可以作为数学建模工具，用来模拟物理现象。
亚纯函数值分布理论的若干研究
二十世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna引入了亚纯函数特 征函数的概念并建立了著名的Nevanlinna理论.近半个世纪以来, 亚纯函数值分布论取得不断地发展与完善,成为复分析的一个重 要分支.至今,亚纯函数值分布论及其应用仍是数学工作者一直 关注的研究方向,尤其是复微分方程理论和亚纯函数唯一性理论. 本文主要利用亚纯函数Nevanlinna理论研究了一类非线性复微 分方程的亚纯解以及亚纯函数的周期性.论文的结构如下:第一 章预备知识.介绍Nevanlinna的基本理论和一些常用符号,以及 亚纯函数唯一性理论中的几个经典结果.第二章研究一类非线性 复微分方程的亚纯解.首先,介绍了杨重骏,李平,廖良文等关于 涉及指数函数型的复微分方程的解的研究结果,而后在此基础上
角域内亚纯函数及其导数的分担值
厶
关 于 亚 纯 函 数 的 唯 一 性 ， 自 从 １ ２ 年 ９９ Ｎｅ ａ ｌ ｎ 证 明 了其 著名 的五 值 定理 以来 ， ｖ ｎｉ ａ ｎ 国内外
学者 在这 方 面 做 了 许 多 完 美 的 工 作 。 近 ， 建 ］最 郑 华ｌ 首次研 究 了两个 亚 纯 函数 在 角域 内满 足 分 担 ＿ ３
兰 ７） （，） （， ＋Ｑ ｒ ≤ｓｒ厂 ＋ｃｒ ， ，
易 ｒ ，
Ｂ（ ， ） Ｃ（ ， ） Ｄ（ ， ） Ｓ ｒ ｎ 简 计 之 。 了证 明 ｒ 口 ， ｒ口 ， ｒ ｎ ， （ ， ） 为 本 文 的主要 结果 ， 还要 介绍 如下 几个 引理 。 引理 １ 设 厂 ｚ 是 区域 Ｘ（ ，） 的亚纯 函 ’ （） ａｆ 上 ｉ 数， 则对 任意 复数 口 下 列 等式 成 立 Ｓ ｒ。 ， （ ，）一 Ｓ ｒ （， ， ＋ｅ ｒ 口 ， 中 ｅｒ ｎ ＝０（ ） ｒ ∞ ） ） （ ，）其 （ ， ）＝ ＝ １（ 一 。 引理 ２’ 设 厂 是一个 亚 纯 函数 ， ａ ｐ （ ［ （） Ｘ（ ，） ＝ ＝ Ｃ， 则
・３ ０ ・ ４
南 昌大 学 学 报 （ 科 版 ） 理
２ １ 正 ０１
从原 点 出发 的射线 ａｇ ｒｚ一 ０ 为 ｆ（ ）的一 条 无 限 称 级 Ｂ ｒｌ 向 ， ｏｅ方 如果 对任 意 的正数 ｅ 和任 意 复数 ａ ∈
Ｃ， 能有两 个例 外值 ， 可 成立 不等 式
第３ ５卷 第 ４期
２１ ０ １年 ８月
南 昌大 学学 报 （ 科 版 ） 理
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｎ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｆＮａ ｃ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ Ｓ
亚纯函数论
亚纯函数论介绍如下:亚纯函数论是复变函数论的重要分支，主要研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数，又称为亚纯函数。
亚纯函数在数学、物理等领域中有广泛的应用，如控制论、量子场论等。
下面分别介绍亚纯函数的相关概念和基本性质。
一、亚纯函数的相关概念1.极点和本性奇点对于复变函数f(z)，若在z0处f(z)有有限的极限，则称z0为f(z)的极点。
若在z0处f(z)无极限，则将z0分为可去奇点、极点和本性奇点三种情况。
当z0为可去奇点时，f(z)在z0处可以连续地延拓；当z0为极点时，f(z)在z0处的振荡趋于无穷大；当z0为本性奇点时，f(z)在z0处的振荡不收敛或收敛缓慢，且对应的留数不为0。
2.费马引理和歧角定理费马引理指的是若f(z)在D中解析，并在D的边界上取相等实数值，则f(z)必在闭包中的D 内始终取该实数值。
歧角定理指的是若f是D中的亚纯函数，则在任意封闭曲线上，f的交角相同。
3.亚纯函数的级数展开式对于一般的复变函数f(z)，在一些不好进行解析运算的情况下，可以将它展开成亚纯函数的级数展开式，如洛朗级数展开、幂级数展开等。
二、亚纯函数的基本性质1.亚纯函数的导数仍为亚纯函数。
2.亚纯函数f(z)的留数定理：若f(z)在D内除极点外解析，C为D内一封闭曲线，n为C中面积不为0的简单闭曲线的环向数，则f(z)在D内所有极点的留数之和等于n次C沿着正方向的积分，即Res(f,z)= 1/2πi∫Cf(z)dz3.埃尔米特函数和齐次亚纯函数：埃尔米特函数是保持希尔伯特模长不变的线性算子，齐次亚纯函数定义为除了常数外，各项次数相等的亚纯函数。
总之，亚纯函数论是复变函数论的重要分支，研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数。
亚纯函数的级数展开和留数定理是亚纯函数论的重要基本性质。
通过亚纯函数论的研究，可以深入了解复变函数的性质，为实际问题的求解提供数学工具。
关于三级极点的亚纯函数的分解
＋ ７ ＋ １ ｚ （ ） 。
且 Ｊ 。＜ ｌ 。｝ ＝
证 明 ： 因 为
关 键词 ： 亚纯函 整函 级； 点 数； 数； 极
中图分 类号 ： Ｏ ７． １ ５ ４
文献 标识码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ８ ６９ ２ ７ ０－ ０・ ０ ． ５・ ０ ） ２ ０７ ４ ０９ （０ ・ ０ ０
１ 引言 与 结 果
我 们知 道在 整个 闭平 面 只有 有 限个极 点 的亚纯 函数 ， 是一 个有 理 函数且 能够 进行 分解． 在考虑 有 （） 现 无 穷 多个极 点的 亚纯 函数 ， 时无 穷远 点是 这些极 点 的唯一极 限点 ． 此 因此我 们可 以把无 穷 多个 极点 按其模 的
、
，
１
、
定理１ 设， ） （ 是亚纯函 Ｚ一０ ｌ ｚ 数， ｏ ， ， ， 互 极点， Ｚ …为 异的 若Ｇ（
极 点 — （ 一 ０ １ ２ ， ， …）邻 域 内 Ｌ ｎ ｅ ｔ 开式 的奇异 部分 ， ： ａ ｒｎ 展 则
） 一０１ …） （） （ ，， 是， 在 ２
Ｖｏ ． ６， ． １２ Ｎｏ ２
２０ ０ ７年 ６月
Ｊ ２ ０ ｕ ０７
关于 三级极 点的亚纯 函数 的分解
田宏根 ， 刘 芳 园
（ 新疆 师 范大 学 数 理 信息 学 院 ， 新疆 乌鲁 木 齐 ８ ０ ５ ） ３０４ 。
摘 要 ： 文章对亚纯函 ｆ ） 极点全是三级极点的特殊情形进行了 数 （的 ｚ 研究， 并给出了 部分分式分解的具体表示法及证
一 ０ １２ …）的 Ｌ ｕｅｔ ， ，， ａ ｒｎ 展开 式 的 主部 为 ：
Ｇ １） ＋ 七 一 南
复差分方程组的亚纯解
Ｎｏ． ２ ２ ２ ０１
复 差分 方 程 组 的 亚纯 解
王 钥 ， 高凌 云
（ 暨南 大学 数学 系 ， 东 广 州 ５ ０ ３ 广 １６ ２） 摘 要 ： 用亚纯 函数 的 Ｎ ｖ ｎｉｎ 利 ｅａ ｌ ａ值 分布理 论和 差 分 方程 的研 究技 巧 ， 究 了一 类 复 差分 方程 ｎ 研
引理 ３ 设 。 为有 限级为 Ｐ的非常数 的亚 纯 函数 ，
｛㈩（） 为 。 。 。｝ 的小 函数 ， 若
（， ） ｚ 。 ＝∑ ｎ ㈤（
ｗ（＋，） … ｚ ｃ ｉ ）ｌ ｌ
近 年来 ， 大 量 复 微 分 方 程 解 的存 在 性 的 研 继 究 之 后 ，许 多 数 学 工 作 者 利 用 亚 纯 函 数 的 Ｎ ｖ ｎｉｎ 值 分布 理论 又研究 了复差 分方 程解 的存 ｅａｌ ａ ｎ 在性 。］得 到 了一些 重要 结果 ， 中有 ： ， 其
ｏ ∑ （，） ｛ ｒ ｉ＋∑ Ｔｒｊ｝ ａ （，）。 ｂ
引理 ２５ 设 为 有 限级 为 Ｐ的 非 常 数 的 亚 纯 函
２８ ３
江 南 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
（ ２＋１ （ １＋１ Ａ ）Ａ ）≤ Ａ ｌ 。 ２ ０ Ａ
上式 是一个 矛盾 。 定理 １证毕 。
定 理 ２的证 明 设 （ Ｗ ） 方程 组 （ ）中有 限级 Ｗ ， 是 ３ 为 Ｐ＝Ｐ Ｗ ）＝Ｐ ）的亚 纯解 ， （ （ 由引 理 １ 引理 ４ 和
可 以得到 ：
先 介绍 文 中一些基 本概 念和符 号 。
假设 Ｗ是非 常数 的有 限级 亚纯 函数 ， 亚纯 函 若 数 ｇ满足 （ ， ）＝Ｓ ｒＷ） 对 于所 有 的 ｒ ｒｇ （， ， 除去 一对
一类亚纯函数的分解
２ 任 的 整 ｎ ｍ 一 有 （ 在 常 使 对 切， ｌ Ｉ ， ） ） 意 正 数 ， ￣ － 致 界即 正 数 ， 一 有 ≤ ； 对 辱 ｌ ： 存 得 都 辱 ∈
３ｌ ）ｍ ｉ
１ ． ０
，
其中 表示 的长度 ，＝ ，， ｎ ２ …，‘
一 一ｅ （ｓ） ） ｚ Ｒ（ ． 荆 ） ｆ －
砉 （
２ 应 用 堂 仍Ｉ Ｉ
例： 求 一 的分解 式．
一 （ 石 ） 譬 篷 出 ） ） 』 ｓ ＋ ＋ ） 一
其中 。 为 ） 的一个非零解析点 ， ’ Ｃ 分 别为 ） ｂ 和＿ Ｃ 和 ’ 在 ｋ ６处的洛朗展开式的负二次项的系数．
口Ｌ ．ｕ
米 塔一 夫勒 给 出了下 面 的 定 理 Ａ． 列
定理 Ａｔ 设 ） － 是亚纯 函数 ， ＝ ， ， ， ｚ Ｏ彳 … 为互异 的极点 ， Ｇ （ ： ） ｏ 。２ 若 —Ｌ 是 ） 在极点 邻域 内洛
— Ｚｎ
朗 展开 式 的 主要 部分 ， 则
彳＝ （）Ｇ（一＋ ｌＧ（Ｌ ）Ｐ（ ｝ ）Ｇ ＋ｏ ）２ ｛ 一 — 一ｎ ）
一
类亚纯 函数 的分解
熊维玲 ． 涛 邓
（ 西 工 学 院 信 息 与 计算 科 学 系 ， 西 柳 州 ５ ５０ ） 广 广 ４ ０ ６ 摘 要 ： 论非 零 极 点 均 为 二 阶 的 亚 纯 函数 展 开 成 有 理 函 数项 级 数 的 方 法 ， 给 出一 个应 用 例 子． 讨 并
一 ｓｎ ￣ｚ ＝＂ ｉ２ Ｉ Ｔ
例子给出了展开函数为偶函数时， 辅助函数的—种构造方法 ， 而展开函数是奇函数时， 则可直接应用推论 １ 注意 到， 由于任一函数均可分解为一奇函数与偶函数之和， 所以最终可以得到所想要的函数的分解式．
亚纯函数的部分分式
亚纯函数的部分分式亚纯函数（Meromorphic Function）是复变函数理论中一类重要的函数类型，它是复平面上的函数，除去有限个孤立的点处的奇点外，在整个复平面上都是解析的。
亚纯函数可以表示为整式的比例，即一个多项式除以另一个多项式。
在复变函数理论中，我们可以将亚纯函数表示为其部分分式形式。
部分分式展开是一种将有理函数表示为更简单的分式和形式的方法。
亚纯函数没有零点时，可以唯一地进行部分分式展开。
如果亚纯函数存在有限个零点，则将有理函数表示为部分分式的展开有可能是无穷的。
假设我们有一个亚纯函数f(z)，它是一个多项式g(z)除以另一个多项式h(z)的比值。
我们想将其展开为部分分式。
我们首先将h(z)因式分解为一次因子和多次因子（或者是更高次幂的因子）。
假设h(z)可以被分解为以下形式：h(z) = (z - a1)^n1 某 (z - a2)^n2 某 ... 某 (z - am)^nm其中ai是h(z)的零点，ni是ai的多重度。
接下来，我们将f(z)表示为如下形式：f(z)=g(z)/h(z)然后我们将f(z)展开成以下形式：f(z)=R(z)+P(z)其中R(z)是一个多项式，P(z)是一个真正的亚纯函数。
接下来我们将P(z)展开为部分分式：P(z)=P1(z)+P2(z)+...+Pm(z)其中Pi(z)是关于(z - ai)的有限次多项式：Pi(z) = q1i / (z - ai) + q2i / (z - ai)^2 + ... + qni / (z - ai)^ni这些部分分式的系数qi是通过计算可以得到的。
部分分式展开使得我们能够更好地理解亚纯函数的性质和行为。
通过观察部分分式展开式的形式，我们可以确定亚纯函数的奇点、极点和其它重要的特性。
部分分式展开也在复变函数的积分计算和解析继续等领域中起到重要的作用。
总结起来，亚纯函数的部分分式展开是将一个亚纯函数表示为多项式的比值的和的形式。
亚纯函数差分算子及代数体函数的值分布问题
Finland著名的数学家R.Nevanlinna在亚纯函数值分布理论的建 立过程中有着极大的贡献。二十世纪二十年代,他注意到可以很 形象、自然地刻画亚纯函数增长性的特征函数,以及非常重要的 两个定理:Nevanlinna第一、二基本定理。
Байду номын сангаас
这不仅在亚纯函数值分布研究史上具有着里程碑式的意义,同时 也成为了研究复分析所不可或缺的一个强大的理论工具。函数 的唯一性和分担值之间有着极为紧密的联系。
首先,对于任意一个亚纯函数及其k阶导数的值分布问题。仪洪 勋(见文献[17])在1994年给出了一个值分布定理,并且得到在整 函数情形下的推论。
2015年,曾翠萍(见文献[18])将该定理推广到了涉及差分算子的 有限级亚纯函数中。考虑了形式更为一般的差分算子,将文献 [17]中的k阶导数替换成了 阶差分算子,相应地也得到了在有限 级整函数情形下的一个推论。
早在1926年,Nevan-linna便利用其值分布理论证明了四值定理 和五值定理。在这之后的几十年间,越来越多的数学家们开始涉 足这一领域,并且涌现出了大量有关于亚纯函数或者整函数与分 担值的唯一性结论。
随着Nevanlinna理论不断地深化、成熟和丰富,也在其他众多相 关领域,比如动力系统、复微分方程、解析数论、多复变等方面 得到了极为广泛的推广和应用,极大地推动了数学的发展。近一 个世纪以来,经过国内外众多数学工作者们的深入研究,在亚纯 函数的唯一性理论方面已经给出了很多有趣、简洁、完美的结 果。
定理3.设w(z)是一个v值代数体函数,且Nx(r,w)=0(T(r,w))。如 果w(z)和w’(z)CM分担0,IM分担互异的两个有穷非零复数b1,b2, 那么w(z)= w’(z)。