复变函数5.4整函数与亚纯函数
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n 0
c0 c1z cm z (cm 0).
m
(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为: 展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这 样的f(z)为超越整函数).
2. 亚纯函数
定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型 奇点的单值解析函数称为亚纯函数.
定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充 要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外 没有其它类型的奇点.
2
n
证 必要性 设有理函数
P( z ) f ( z) , Q( z )
其中P(z) 与Q(z) 分别为z的m,n次多项式,且彼此 互质.则 (1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点; (2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只 要置 P( z) f () lim ,z 就是f(z)的解析点; z Q( z ) (3) Q(z )的零点必为f(z)的极点. 充分性 若f(z)在扩充z平面上除极点外没 有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是 有限个.因若不然,这些极点在 扩充z平面上的
5.4 整函数与亚纯函数
1.整函数 2.亚纯函数
1. Leabharlann Baidu函数
在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数. 设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立 奇点,且可设 f ( z ) cn z n (0 | z | ). (5.14)
于是显然有 定理5.10 若f(z)为一整函数,则 (1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c. (2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一 个m次多项式
聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设矛盾. 今命f(z)在z平面上的极点为
其级数分别为 1、 2、 、 n则函数
z1 , z2 , , zn
1
g( z) ( z z1 ) ( z z2 ) ( z zn ) f ( z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数. 由此可见,每一有理函数都是亚纯函数. 定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数
c0 c1z cm z (cm 0).
m
(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为: 展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这 样的f(z)为超越整函数).
2. 亚纯函数
定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型 奇点的单值解析函数称为亚纯函数.
定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充 要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外 没有其它类型的奇点.
2
n
证 必要性 设有理函数
P( z ) f ( z) , Q( z )
其中P(z) 与Q(z) 分别为z的m,n次多项式,且彼此 互质.则 (1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点; (2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只 要置 P( z) f () lim ,z 就是f(z)的解析点; z Q( z ) (3) Q(z )的零点必为f(z)的极点. 充分性 若f(z)在扩充z平面上除极点外没 有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是 有限个.因若不然,这些极点在 扩充z平面上的
5.4 整函数与亚纯函数
1.整函数 2.亚纯函数
1. Leabharlann Baidu函数
在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数. 设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立 奇点,且可设 f ( z ) cn z n (0 | z | ). (5.14)
于是显然有 定理5.10 若f(z)为一整函数,则 (1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c. (2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一 个m次多项式
聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设矛盾. 今命f(z)在z平面上的极点为
其级数分别为 1、 2、 、 n则函数
z1 , z2 , , zn
1
g( z) ( z z1 ) ( z z2 ) ( z zn ) f ( z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数. 由此可见,每一有理函数都是亚纯函数. 定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数