2018年5月厦门市高三质检数学(文)参考答案

厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：
1~5BDCBA 6~10BCADA 11~12DC
12．解：设切点是(,())P t f t ，由()1x f x e -'=+，P 处切线斜率()1t
k f t e -'==+，所以P 处切线方程为
()()()y f t f t x t '-=-，整理得(1)(1)t t y e x t e --=+-+，所以(1)(1)1t t t t m n e t e e --+=+-+=-
，记()1t t g t e =-，所以1
()t
t g t e -'=
，当1t <，()0g t '<；当1t >，()0g t '>；故min 1
()(1)1g t g e
==-.
二、填空题：13
14．2
15
．)+∞16．1005
-16．解：法一：因为1211,3,(,3)n n a a a a n n N n -==-=∈≥，
所以可求出数列{}n a 为：1，3，6，2，7，1，8， ，观察得：{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.
a =+-⋅-=-法二：因为{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以212221()()0n n n n a a a a +--+->，
因为212n n +>，所以212221n n n n a a a a +-->-，
所以2120(2)n n a a n +->≥，又3150a a -=>，所以2120(1)n n a a n +->≥成立。

由{}2n a 是递减数列，所以2220n n a a +-<，同理可得：22210(1)n n a a n ++-<≥，所以212222121,
(22),
n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨
-=-+⎩所以2221n n a a +-=-，
所以{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-三、解答题：
17．本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差正弦公式、三角形面积公式等基础知识；考查
运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想。

本小题满分12分。

解：（1）因为cos (2)cos()b A a c B π=--，
由正弦定理得sin cos (sin 2sin )(cos )B A A C B =--，------------------------------------------------------2分
所以sin()2sin cos A B C B +=--------------------------------------------------------------------------------------4分所以1
cos 2
B =
，且()0,B π∈---------------------------------------------------------------------------------------5分所以.3
B π
=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）因为23A C π
+=
，所以2311sin sin(
)sin (cos sin ),3222
A A A A A π-=⋅+=23sin cos cos ,A A A ⋅=------------------------------------------------------------------------------------------7分
cos (3cos )0A A A -=，cos 0A =或3
tan A =
解得：6A π=
或2
π
-------------------------------------------------------------------------------------------------------8分因为a b >，所以2
A π
=，---------------------------------------------------------------------------------------------9分
所以，6
C π
=
所以3,22
a c
b a =
=，-------------------------------------------------------------------------------------------------10分因为33a b c ++=2,1, 3.a c b ===----------------------------------------------------------------11分所以13
sin 22
ABC S bc A ∆=
=-----------------------------------------------------------------------------------------12分18．本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积以及平面几何的性质与计算等基础知识；
考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想。

本小题满分12分。

（1）证明：取AB 中点为O ，连接PO ，DO ，BD ，
底面ABCD 为菱形，60o DAB ∠=，∴ABD ∆为正三角形，DA DB =，
∴DO AB ⊥，
--------------------2分
又 PAB ∆为正三角形，
∴PO AB ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------4分
又 DO PO O = ，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD ，
∴AB ⊥平面POD ，-------------------------------------------------------------------------------------------------5分 PD ⊂平面POD ，
∴AB PD ⊥.------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）法一：设=2AB x ，则6PD ，
在正三角形PAB ∆中，3PO x ，同理=3DO x ，
∴222+PO OD PD =，∴PO OD ⊥，
又 PO AB ⊥，DO AB O = ，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，------------------------------------------------------------------------------------------------8分
∴21
233163
P ABCD V -=⨯=，
∴2x =，----------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 AB ∥CD ，AB PD
⊥∴CD PD ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------------11分∴2222(26)4210PC PD CD =+=+=分
法二：设=2AB x ，则=6PD x ，
在正三角形PAB ∆中，3PO x ，同理=3DO x ，
∴222+PO OD PD =，∴PO OD ⊥，
又 PO AB ⊥，DO AB O = ，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，------------------------------------------------------------------------------------------------8分
∴21
233163
P ABCD V -=⨯=，
∴2x =，----------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
连接OC ，
在OBC ∆中，2,4,120o OB BC OBC ==∠=，
∴由余弦定理得222cos1207o OC OB BC OB BC =+-⋅⋅----------------------------------------11分∴在RT POC ∆中，2222(23)(27)210PC PO OC =+=+=.-----------------------------------12分
19．本题主要考查回归分析，函数的最值等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力及应用意识；考
查统计概率思想。

本小题满分12分。

解：（1）可疑数据为第10组------------------------------------------------------------------------------------------------2分
（2）剔除数据（10，0.25）后，在剩余的10组数据中
11
10
1
-6001005010
10i i u u u =-==∑=
，1011
1
44441010
i i v v v =--===∑------------------------------------4分
所以ˆ0.034500.03 2.5u v α
=-⋅=-⨯=---------------------------------------------------------------------6分所以v 关于u 的线性回归方程为ˆ0.03 2.5v u =+则y 关于x 的回归方程为2
1
ˆy
2.50.03x
=+------------------------------------------------------------------7分（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值
2
2.5.03ˆ0x
w x +=-----------------------------------------------------------------------------------------8分1
2.5
0.03x x
=
+ 1.833
≤
=
≈-------------------------------------------------------------------10分当且仅当
2.50.03x x =
时，等号成立，此时9.133
x ==≈，即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83-------------------------------12分20．本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线垂直、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运
算求解能力；考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想。

本小题满分12分。

解：（1
）由已知得：AB a =
=--------------------------------------------------------------------------------------1分
将x c =代入22221x y a b +=得2
b y a =±
，所以222b CD a ==24b =---------------------3分所以椭圆22
:184
x y E +=----------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）①当直线12,l l 一条的斜率为0
，另一条的斜率不存在时，
11
822
ACBD S AB CD =
⋅=⨯=．-----------------------------------------------------------------------5分②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+，则直线CD 的方程为1
2x y m
=-
+．设()()1122,,,A x y B x y --------------------------------------------------6分由22
2
280
x my x y =+⎧⎨
+-=⎩,得()
22
2440
m y my ++-=2
2
2
1616(2)32(1)m m m ∆=++=+
，122242
1
22
y y m m -==
++)212212
m AB y m +=-=
+---------------------------------------------------------------------------8分
（或：
)212122221-4-4
+=,,22
2
m m y y y y AB m m m +==
=
+++）
用1m -取代
m
得)222
2
1111212m m CD m m ⎫+⎪
+⎝⎭==++-------------------------------------------------------9
分))()()22
224242211112222121252168252252
ACBD m m S AB CD m m m m m m m m m m m ++∴=⋅=⨯⨯++++++-=⨯=⨯++++2
2
8
8225m m
=-
++-------------------------------------------------------------------------------------------10分
又22
2
24m m +
≥，当且仅当1m =±取等号所以[)
222
24,m m
+∈+∞所以28648,82
925ACBD S m ⎡⎫
=-
∈⎪⎢⎣⎭
++----------------------------------------------------------------------11分综上：四边形ACBD 面积的取值范围是64,89⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
--------------------------------------------------------------12分
21．本题考查导数的运算、函数的单调性、最值等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查分
类讨论，化归与转化等数学思想。

本小题满分12分。

解：（1）依题意，2121
()21ax x f x ax x x
++'=++=(0x >)-----------------------------------------------------1分
①当0a ≥时，1
()210f x ax x
'=
++>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；---------------------------2分②当0a <时，180a
∆=->
，1211,44x x a a
--==
，且120x x >>，令122()()
()0a x x x x f x x
--'=
>得21x x x <<，
令()0f x '<得20x x <<或1x x >，
此时()f x 在21(,)x x 上单调递增；在2(0,)x ，1(,)x +∞上单调递减.---------------------------------------4分综上可得，
①当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
②当0a <时，()f x 在118118(
,44a a
--上单调递增；
在118(0,
4a -，118(,)4a
-+∞上单调递减.--------------------------------------------------------5分
（2）法一：
原不等式可化为2
[()]()0a f x ax g x --≤，即1
(ln 1)(1)0
x a x x x e -+---≤记1
()(ln 1)(1),1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可.
①当0a ≤时，
由1x ≥可知ln 10x x +-≥，1(1)0x x e
--≥，
所以()0h x ≤，命题成立.----------------------------------------------------------------------------------------------6分
②当1
02a <≤
时，显然11
()(1)x h x a xe x
-'=+-在[1,)+∞上单调递减，
所以()(1)210h x h a ''≤=-≤，
所以()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而()(1)0h x h ≤=，命题成立.----------------------------------------8分
③当1
2
a >
时，显然11
()(1)x h x a xe x
-'=+-在[1,)+∞上单调递减，
因为(1)210h a '=->，
221222111
(2)222420222
a h a a ae a a a -'=
+-≤+-=-<所以在(1,2)a 内，存在唯一的0(1,2)x a ∈，使得0()0h x '=，且当01x x <<时，()0h x '>即当01x x <<时，()(1)0h x h >=，不符合题目要求，舍去.---------------------------------------------11分综上所述，实数a 的取值范围是1
(,2
-∞.------------------------------------------------------------------------12分法二：
原不等式可化为2
[()]()0a f x ax g x --≤，即1
(ln 1)(1)0
x a x x x e -+---≤记1
()(ln 1)(1),1x h x a x x x e
x -=+---≥，只需()0h x ≤即可.
可得211
11()(1)(1)()1
x x x e h x a xe a x x x --'=+-=+-
+，-----------------------------------------------------------6分
令21
()11x x e m x a x x -=-≥+，则212
(22)()0(1)x x x x e m x x -++'=-
<+所以()m x 在[1,)+∞上单调递减，所以1
()(1)2
m x m a ≤=-.------------------------------------------------7分①当12a ≤时，(1)0m ≤，从而()0m x ≤，所以1
()(1)()0h x m x x
'=+≤，
所以()h x 在[1,)+∞上单调递减，
所以()(1)0h x h ≤=，原不等式成立.-------------------------------------------------------------------------------8分②当1
2
a >
时，(1)0m >，221244(12)
(2)0212121
a a e a a a m a a a a a a --=-<-=<+++，
所以存在唯一0(1,2)x a ∈，使得0()0m x =，且当01x x <<时，()0m x >，此时1()(1)()0h x m x x
'=+>，()h x 在0(1,)x 上单调递增，
从而有()(1)0h x h >=，不符合题目要求，舍去.--------------------------------------------------------------11分综上所述，实数a 的取值范围是1(,2
-∞.------------------------------------------------------------------------12分22．本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等知识；考查逻辑推理与运算求解能力；考查化归与转化、
数形结合的思想.本题满分10分。

解:（1）1C ：2
2
44x y +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，
故1C ：()
223sin 14ρθ+=--------------------------------------------------------------------------------------------2分
2C ：()2
224x y -+=，---------------------------------------------------------------------------------------------3分
因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C ：4cos ρθ=---------------------------------------------------------5分（2）分别联立直线l 与曲线12
,C C ()223sin 14
ρθθα
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则22
43sin 1OA α=+，4cos ρθθα=⎧⎨=⎩则2216cos OB α=所以
()2222
4cos 3sin 1OB OA
αα=+----------------------------------------------------------------------------------------7分
()()2244sin 3sin 1αα=-+----------------------------------------------------------------------------------8分
令2
sin t α=,所以
()()2244311284
OB t t t t OA
=-+=-++
所以当13t =
，即sin 3α=时,OB OA
-------------------------------------------------------------10分
23．本题考查绝对值不等式；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化、分类与整合的数学思
想方法.本题满分10分。

解:（1）因为0a >，所以2a -<-----------------------------------------------------------------------------------------1分
所以2,
,()22,2,2,2,a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪
=--+-<<⎨⎪--≥⎩
----------------------------------------------------------------------------4分
故[]()2,2f x a a ∈--+.----------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为()2210,24b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭所以2
2b c bc +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
------------------------------------------------6分
所以()2
1,b c bc +=+所以()2
2
12b c b c +⎛⎫
+≤+ ⎪
⎝⎭
，所以b c +≤
所以b c ≤+≤.当且仅当33b c ==时，(
)max [3]b c +=------------------------------8分
关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解[]max
max ()[3()]f x b c ⇔≥+
即2a +≥
故2a ≥-，又0a >
,所以2a ≥-.-----------------------------------------------10分。