2018年5月厦门市高三质检数学(文)参考答案
福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学(文)试卷(含答案)
厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ） A ．q ⌝ B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos 2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若复数满足2z i i ⋅=-14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B==（2）因为sin B=，B是锐角，所以cos B=设BC x=，在ABC∆中，2222cosAB BC AB BC B AC+-⋅⋅=即27216x x+-⋅=化简得：290x--=解得x=或x=（舍去）则CD BC BD=-=-=由ADC∠和ADB∠互补，得sin sin sinADC ADB B∠=∠==所以ADC∆的面积11sin22S AD DC ADC=⋅⋅⋅∠==18．解：（1）因为()1555202a aS+==，即158a a+=34a=即124a d+=，①因为358,,a a a为等比数列，即2538a a a=所以()()()2111427a d a d a d+=++，化简得：12a d=②联立①和②得：12a=，1d=所以1na n=+（2）因为()()11112nn nb na a n n+=+=⋅++1112n nn n⎛⎫+=-+⎪++⎝⎭所以111111123233445nT⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112nn n⎡⎤⎛⎫++-+⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=. （ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅ 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-，2y =，所以124y y k +==，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：)4y x =±-.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--= ①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增（2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+ 令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x x ϕ'=-< 所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=， 且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '<所以()()200000max ln 24x x h x h x x x ==-+， 因为005ln 4x x =-得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+= 化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==，2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++， 当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++ ()()22213x x ≥--+=， 当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =. ②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a =-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
厦门市2018-2019学年度第一学期高三年级质量检测文科数学参考答案
(2)由 cos A =
5 得 sin A = 2
5
，································································ 6 分
5
5
所以 sin B=
sin( A + π )=
sin Acos π + cos Asin π=
3 10
. ······························ 8 分
2
2
2
18．本题考查等差、等比数列与解不等式等知识；考查运算求解能力；考查方程思想，化归
与转化思想．满分 12 分．
（1）设{an} 的公差为 d ，{bn} 的公比为 q ，依题意得：
a1 a1
+ +
d =b1q2 2d =b1 +
b1q
+
b1q 2
，即
1+ d 1+ 2d
=4b1 = 7b1
4
2
3
4
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．1+ i ；
14． 3 2 ；
15． 17 ；
16．
1 2
e2
−1,
e
．
16． f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (−∞, ∞) 为单调递增，且 f (1) = 2 .
−2 ≤
f
(ax − ex
+1) ≤
整理得 a2 + b2 − c2 =2ab .由余弦定理得： cos C =
2
， ································ 4 分
2018年5月厦门市高三质检数学(文)参考答案
厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：1~5BDCBA 6~10BCADA 11~12DC12．解：设切点是(,())P t f t ，由()1x f x e -'=+，P 处切线斜率()1tk f t e -'==+，所以P 处切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，整理得(1)(1)t t y e x t e --=+-+，所以(1)(1)1t t t t m n e t e e --+=+-+=-，记()1t t g t e =-，所以1()tt g t e -'=，当1t <，()0g t '<；当1t >，()0g t '>；故min 1()(1)1g t g e==-.二、填空题：1314．215．)+∞16．1005-16．解：法一：因为1211,3,(,3)n n a a a a n n N n -==-=∈≥，所以可求出数列{}n a 为：1，3，6，2，7，1，8， ，观察得：{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-法二：因为{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以212221()()0n n n n a a a a +--+->，因为212n n +>，所以212221n n n n a a a a +-->-，所以2120(2)n n a a n +->≥，又3150a a -=>，所以2120(1)n n a a n +->≥成立。
由{}2n a 是递减数列，所以2220n n a a +-<，同理可得：22210(1)n n a a n ++-<≥，所以212222121,(22),n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨-=-+⎩所以2221n n a a +-=-，所以{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-三、解答题：17．本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差正弦公式、三角形面积公式等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想。
(解析版)福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查
福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将集合中的元素，逐一验证是否属于集合即可.详解：因为集合，所以，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先利用复数模的公式求得，然后两边同乘以，利用复数运算的乘法法则化简，即可得结果详解：,,，在复平面内对应的点，在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，结合函数的单调性，从而可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，由对数函数的性质可得，，，又，在上递增，所以，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4. 如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设小黑色三角形面积为，则整个在图案面积为，黑色部分总面积为，根据几何概型概率公式可得结果.详解：设小黑色三角形面积为，则整个在图案面积为，黑色部分总面积为，由几何概型概率公式可得，在点取自黑色部分的概率是，故选B.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 等差数列的公差为1，成等比数列，则的前10项和为（）A. 50B.C. 45D.【答案】A【解析】分析：根据成等比数列列方程可求得首项，利用等差数列求和公式可得结果.详解：等差数列的公差为1，成等比数列，，即，解得，，故选A.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知拋物线的焦点为，过的直线与曲线交于两点，，则中点到轴的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：将点到焦点的距离转化为到准线的距离，可得，从而求出中点横坐标，进而可得结果.详解：由，得，设，等于点到准线的距离，同理，等于到准线的距离，，，中点横坐标为，中点到轴的距离是，故选B.点睛：与抛物线焦点、准线有关的问题，一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决7. 如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A. B. C. 平面 D. 平面【答案】C【解析】分析：取中点，连接，可证明平面平面，进而可得结果. 详解：取中点，连接，由三角形中位线定理可得，面，由四边形为平行四边形得，面，平面平面，面，平面，故选C.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.8. 如图是为了计算的值，则在判断框中应填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出，即可得到输出条件.详解：由程序框图可知，判断框中，若填，则输出，若填或，直接输出，应填，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 函数的周期为，，在上单调递减，则的一个可能值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由函数的周期为，求得，由结合在上单调递减，即可得结果.详解：由函数的周期为，得，，，或，令，或，，在不是单调函数，不合题意，故，故选D.点睛：本题主要通过已知三角函数的性质求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.10. 设函数若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数恒成立等价于是的最小值，根据分段函数的性质列不等式可得结果.详解：若恒成立，是的最小值，由二次函数性质可得对称轴，由分段函数性质得，得，综上，，故选A.....................................11. 已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】D【解析】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.详解：设正三棱锥外接球的半径为，则，由三视图可得底面边长为，底面正三角形的高为，底面三角形外接圆半径为，由勾股定理得，得，侧视图面积为，故选D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球问题，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接设出球心和半径，列方程求解.12. 设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为，，则__________．【答案】【解析】分析：将平方，把，代入化简，再开平方即可得结果.详解：向量与的夹角为，，，，，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知满足约束条件则的最小值为__________．【答案】2【解析】分析：画出可行域，化为，平移直线，由图可得当直线经过时，有最小值，从而可得结果.详解：画出表示可行域，如图，由，可得，平行直线，由图知，当直线经过时，直线在轴上截距最小，此时最小为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若双曲线的渐近线与圆无交点，则的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：根据圆心到直线的距离大于半径，列不等式，结合可得离心率的取值范围.详解：曲线的渐近线与圆无交点，圆心到直线的距离大于半径，即，，，，即的离心率的取值范围为，故答案为.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用点到直线的距离大于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.16. 已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则__________．【答案】【解析】分析：先判断，可得，，根据等差数列的通项公式可得结果.详解：是递增数列，，，，，又成立，由是递减数列，，同理可得，，，是首项为，公差为的等差数列，故，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，可得所以，从而可得结果；（2）由，可得，可求得，由此以，根据周长为可求得，从而可得结果.详解：（1）因为，由正弦定理得所以所以，且所以.（2）因为，所以，所以，，或解得：或因为，所以所以，所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 在如图所示的四棱锥中，底面为菱形，,为正三角形.（1）证明:；（2）若，四棱锥的体积为16，求的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得，，根据线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理，，结合可得，平面，设，利用棱锥的体积公式列方程解得，由勾股定理可得的长.详解：（1）证明：取中点为,连接∵底面为菱形，,∴为正三角形，∴又∵为正三角形，∴又∵平面,平面，∴平面，∵平面，∴.（2）法一：设，则，在正三角形中，，同理，∴，∴，又∵，平面，平面，∴平面,∴，∴，∵∴∴.法二：设，则，在正三角形中，，同理，∴，∴，又∵，平面，平面，∴平面,∴，∴，连接,∵在中，，∴由余弦定理得，∴在中，.点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19. 为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数与每棵作物的产量之间的关系进行研究，收集了 11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型作为与的回归方程类型，令，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程中的，求关于的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数为何值时，单位面积的总产量的预报值最大？（计算结果精确到0.01)附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，.【答案】（1）10（2）（3）【解析】分析：（1)可疑数据为第10组 ; （2）根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（3）根据（2）的结果并结合条件，可得单位面积的总产量的预报值，变形后利用均值不等式求解即可.详解：（1)可疑数据为第10组 ;（2）剔除数据后，在剩余的10组数据中，，，所以，所以关于的线性回归方程为则关于的回归方程为；（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值当且仅当时，等号成立，此时，即当时，单位面积的总产量的预报值最大，最大值是1.83.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点.当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由得：，由，所以，从而可得椭圆的方程；（2）直线的方程为，则直线的方程为.设由，得，根据韦达定理、弦长公式求出的值，三角形面积公式可得，结合，利用函数的单调性求解即可.详解：（1）由已知得：将代入得，所以，所以所以椭圆；（2）①当直线—条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，.②当两条直线的斜率均存在时，设直线的方程为，则直线的方程为.设由，得，（或：，）用取代得∴又，当且仅当取等号所以所以综上：四边形面积的取值范围是.点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21. 已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）原不等式可化为，即，记，只需即可，分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值，利用最大值不大于零列不等式即可得结果. 详解：（1）依题意，①当时，，所以在上单调递增；②当时，，，且，令得，令得或，此时在上单调递增；在上单调递减综上可得，①时，在上单调递增；②当时，在上单调递增；在上单调递减（2）法一：原不等式可化为，即记，只需即可.①当时，由可知，，所以，命题成立.②当时，显然在上单调递减，所以所以在上单调递减，从而，命题成立.③当时，显然在上单调递减，因为，所以在内，存在唯一的，使得，且当时，即当时，，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数的取值范围是.法二：原不等式可化为，即记，只需即可.可得，令，则所以在上单调递减，所以.时，，从而，所以，所以在上单调递减，所以，原不等式成立②当时，，，所以存在唯一，使得，且当时，，此时，在上单调递增，从而有，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将曲线，曲线消去参数可得普通方程，然后利用即可得的极坐标方程；（2）将分别代入的极坐标方程可得，，，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.详解：（1），∵，故的极坐标方程：.的直角坐标方程：，∵，故的极坐标方程:.（2）直线分别与曲线联立，得到，则，，则，∴令，则所以，即时，有最大值.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 已知函数，其中.（1）求函数的值域；（2）对于满足的任意实数，关于的不等式恒有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）将函数，写成分段函数形式，判断函数的单调性，利用单调性可得函数的值域；（2）先利用作差法证明，再由，利用基本不等式可得，结合（1）可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴∴故.（2）∵，∴，∵，∴，∴.当且仅当时，，∴关于的不等式恒有解即，故，又，所以.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将“任意实数，关于的不等式恒有解”转化为“”是解题的关键.。
福建省厦门市2018届高三质量检查(文)
福建省厦门市2018届高三质量检查数学（文）一、选择题1.已知集合{|11}A x x =-<<，{1,0,1}B =-，则（ ）A.AB B = B.AB A = C.AB =∅ D.{|11}A B x x =-≤≤答案：D解析：∵{|11}A x x =-<<，{1,0,1}B =-，∴{0}AB =，故A ，C 错误；{|11}A B x x =-≤≤，故B 错误，D 正确，故选D.2.已知i 为虚数单位，,a b R ∈，若(2)2a i i b i +=+，则a b +=（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4答案：B解析：∵(2)2a i i b i +=+，∴22ai b i -+=+，解得2a =，2b =-，∴220a b +=-=，故选B.3.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D．2 3答案：B解析：甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，有{象棋，象棋}，{象棋，文学}，{象棋，摄影}，{文学，象棋}，{文学，文学}，{文学，摄影}{摄影，象棋}{摄影，文学}，{摄影，摄影}共九种情形，而这两名同学加入同一个社团有三种情形，∴所求概率为3193P==，故选B.4.已知双曲线的渐近线方程为12y x=±，焦距为）A．221 4xy-=B．2214yx-=C．2214xy-=或2214xy-=D．2214yx-=或2214yx-=答案：C解析：∵双曲线的渐近线方程为12y x=±，∴设双曲线的方程为22(0)4xyλλ-=≠，即2214x yλλ-=，又2c=，∴c=222c a b=+，∴54λλ=+或54λλ=--，∴双曲线的标准方程为2214xy-=或2214xy-=.故选C.5. 设x，y满足约束条件1,1,0,x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y=+的最大值是（）A．1-B．0 C．1D ．2答案：C解析：作出约束条件表示的可行域如图所示，可将目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距最小时，z 取得最小值，∴当平行直线系2z x y =+过点(0,1)A 时，z 取得最小值min 011z =+=.6.把函数()sin 2f x x x =的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2sin g x x =的图象，则ϕ的一个可能值为（ ）A ．3π-B ． 3π C ．6π-D ． 6π 答案：D解析：∵()sin 22sin(2)3f x x x x π==+，()f x 向右平移ϕ个单位长度得到()2sin[2()]2sin(22)33f x x x ππϕϕ=-+=-+的图像，又把所得图像上各点的横坐标伸长为原来2倍，纵坐标不变，得到1()2sin(22)2sin(2)233g x x x ππϕϕ=⨯-+=-+的图像. 又∵()2sin g x x =，∴223k πϕπ-+=，k Z ∈，即6k πϕπ=-，k Z ∈. ∴当0k =时，6πϕ=，故选D.7.已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．ln ||()xx f x e = B ．()ln ||x f x e x =C ．ln ||()x f x x= D ．()(1)ln ||f x x x =-答案：A解析：对于A ：ln ||()xx f x e =， 有ln ,0,()ln(),0,x x x x e f x x x e ⎧>⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩ 1ln ,0,()1ln(),0,x x x x x e f x x x x e ⎧-⎪>⎪⎪'=⎨⎪--⎪<⎪⎩∴当0x >时，设1x x =，()0f x '=，即()f x 在1(0,)x 上单调递增，在1(,)x +∞上单调递减，且在1(,)x +∞上，()0f x '>；当0x <时，有：在(1,0)-上，()0f x <，在(,1)-∞-上，()0f x >，故A 正确；对于B ：()ln ||x f x e x =，若0x >，则()ln ||x f x e x =在(0,)+∞上为增函数，不合题意，故B 不正确；对于C ：ln ||()x f x x=，有()()f x f x -=-，即()f x 在定义域上是奇函数，图像关于原点对称，不合题意，故C 不正确；对于D ：()(1)ln ||f x x x =-，若(0,1)x ∈，则()0f x >，不合题意，故D 不正确.故选A.8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）A ．8πB ．9πC ．163π D ．283π 答案：A解析：由三视图还原得到一个直三棱柱111ABC A B C -，且底面ABC 为等腰直角三角形，2BC =，AB AC ==12BB =，∴ABC ∆，111A B C ∆外接圆的圆心分别为BC ，11B C 的中点M ，N ，∴三棱柱外接球的球心O 为MN 的中点，∴外接球的半径R BO ==∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球O 的表面积为22448S R πππ===，故选A.9.已知0.31()2a =，12log 0.3b =，bc a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<答案：B解析： ∵0.31()(0,1)2a =∈，1122log 0.3og 1b l =>=， ∴1122log 0.3log 0.30.30.30.311[()][()]0.322bc a ====. ∵0.30.310.3()2<，∴c a <，∴c a b <<.故选B. 10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）( 1.732，sin150.2588≈，sin 7.50.1305≈)A ． 3.10?S ≤B ． 3.11?S ≤C ． 3.10?S ≥D ． 3.11?S ≥答案：C解析：由程序框图，输入6n =，第一次循环，136036sin 262S =⨯⨯= 第二次循环，22612n n ==⨯=，136012sin 3212S =⨯⨯=； 第三次循环，221224n n ==⨯=，136024sin 12sin15120.2588 3.1056 3.10224S =⨯⨯==⨯=≥， 此时输出24n =，故选C.11．矩形ABCD 中，BC =，E 为BC 中点，将ABD ∆沿BD 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，BD AE ⊥； ②存在某个位置，BC AD ⊥；③存在某个位置，AB CD ⊥； ④存在某个位置，BD AC ⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C解析：∵矩形ABCD 中，BC =，∴令1AB =，则BC =BD =，过点A ，C 作AM BD ⊥，CN BD ⊥分别交BD 于点M ，N ，AM CN ==，BM MN ND ===， 将ABD ∆沿着BD 所在直线翻折. ①∵点M ，E 分别为BN ，BC 的中点，∴//ME CN ，又CN BD ⊥，∴ME BD ⊥，又AM BD ⊥，ME AM M =，∴BD ⊥平面AEM ，即BD AE ⊥，∴存在某个位置，BD AE ⊥，故①正确.②若存在某个位置，使BC AD ⊥，则BC AD ⊥，BC CD ⊥，ADCD D =， ∴BC ⊥平面ADC ，∴BC AC ⊥，即ABC ∆为直角三角形，且AB 为斜边，与AB BC <矛盾，故②错误.③若存在某个位置，使AB CD ⊥，则AB AD ⊥，AB CD ⊥，ADCD D =， ∴AB ⊥平面ADC ，∴AB AC ⊥，ABC ∆为直角三角形，且BC 为斜边，此时1AB =，BC =1AC =， 故③正确.④若存在某个位置，使BD AC ⊥，则A M B D ⊥，BD AC ⊥，AM AC A =，∴BD ⊥平面AMC ，与BD ⊥平面AEM 矛盾，故④错误，故选C.12.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，2sin a A =，则c 的最大值为（）A ．2B C ．3D ．4答案：A解析：∵1b =，2sin a A =.∴sin sin a A C A =，又∵(0,)A π∈，∴a C =. ∵222cos2a b c C ab +-=，∴22cos C =∴2212sin 1cos 6(1cos2)21c C C C C C =+-=--+7)3C π=-+.∴当3232C ππ+=，即712C π=时，2c 取得最大值，最大值为7+∴max 2c == A.二、填空题13.已知向量(1,21)a x =+，(2,3)b =，若//a b ，则x = ．答案：14解析：∵向量(1,21)a x =+，(2,3)b =，若//a b ，∴13(21)20x ⨯-+⨯=，解得14x =.14.已知cos()4πα-=，则sin 2α= ． 答案： 34- 解析：223sin 2cos(2)2cos ()121244ππααα=---=⨯-=-. 15.若函数1()2sin 22cos 2f x x x m x =-+在(0,)π上单调递增，则m 的取值范围是 ． 答案：(-∞解析： ∵1()2sin 22cos 2f x x x m x =-+， ∴2()2cos22sin 2(12sin )2sin f x x m x x m x '=--=---2222sin 2sin 12(sin )122m m x m x x =-+=-+-， 设sin x a =，(0,1]a ∈，∴2()221g a a ma =-+∴()42g a a m '=-.当0m ≤时，()0g a '>，min ()(0)1g a g >=，∴()0f x '>，()f x 在(0,)π上单调递增.当0m >时，令()0g a '=，则2m a =. （1）当12m ≥，即2m ≥时，()0g a '≤，min ()(1)320g a g m ==-<， ∴()0f x '≥在(0,)π上不恒成立，不合题意.（2）当12m <，即2m <时，()g a '在(0,)2m 上小于0，在(,1)2m上大于0， ∴2min()()122m m g a g ==-.∴当2102m -≥，即0m <≤()0f x '≥，此时()f x 在(0,)π上单调递增，综上所述，m 的取值范围为(-∞.16.已知A ，B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，||AB = ． 答案：解析：设2(,)2t P t ，当APB ∠最大时，PA ，PB 为圆C 的切线，且此时||PC 最小，又圆22:82160C x y x y +--+=，∴圆22:(4)(1)1C x y -+-=，圆心(4,1)C ，1r =，∴||PC ===.令28174t y t =-+，则38y t '=-.∴当2t =时，0y '=；当2t >时，0y '>，当2t <时，0y '<，即48174t y t =-+在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，∴当2t =时，4min282174161754y =-⨯+=-+=，即min ||PC (2,2)P .又||1AC =，∴||2PA ==，||||||22||PA AC AB PC ⋅=⨯==.三、解答题17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，1232a a ⋅=，510S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列求数{}n b 的前21n +项和21n T +.答案： （1）12n n a +=； （2）见解析. 解析：（1）由题意得()11513,254510,2a a d S a d ⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩即()1113,222,a a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍去），∴11a =，12d =， ∴数列{}n a 的通项公式111(1)22n n a n +=+-=.（2）由（1）得：∴数列{}n b 的前21n +项和为21n T +为 2121123213521222222n n n n T b b b b ++++=++++=++++++ 23135721(2222)()2222n n ++=+++++++++12223212(12)2222222212222n n n n n n n n n +++++-++=+⋅=-+⋅=+--. 18. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位：分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）； （2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：答案： （1）52； （2）见解析. 解析：（1）由频率分布表可得该校学生的每天平均阅读时间为： 8101211721030507090110505050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 803006007706302202600525050+++++===（分钟）（2）由频数分布表得：“阅读达人”的人数是117220++=（人）， 根据等高条形图完成22⨯列联表如下：()225061218142254.3272030242652K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 由于4.327 6.635<，故没有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关.19.如图，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=，//AF CE ， AF AC ⊥，2AB AF ==，1CE =.（1）求四棱锥B ACEF -的体积； （2）在BF 上有一点P ，使得//AP DE ，求BPPF的值. 答案：（1 （2）12. 解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥. 又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面ACEF .在ABC ∆中，60ABC ∠=，2AB BC ==，设BDAC O =，则2AC =，BO =在梯形ACEF 中，//AF CE ，AF AC ⊥，2AC AF ==，1CE =， ∴梯形ACEF 的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴四棱锥B ACEF -的体积为11333V S BO =⨯⨯=⨯.（2）在平面ABF 内作//BM AF ，且1BM =，连接AM 交BF 于点P ，则点P 满足//AP DE .证明如下： ∵//AF CE ，1CE =，∴//BM CE ，BM CE =，∴四边形BMEC 是平行四边形. ∴//BC ME ，BC ME =，又菱形ABCD 中，//BC AD ，BC AD =，∴//ME AD ，ME AD =， ∴四边形ADEM 是平行四边形 ∴//AM DE ，即//AP DE ， ∵//BM AF ，∴BPMFPA ∆∆，又1BM =，∴12BP BM PF AF ==.20.设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F .直线:(0)l y kx m m =+>与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，||||5OM MF +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(0,1)P ，4PA PB ⋅=-，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标. 答案：（1）221255x y +=； （2）见解析. 解析：（1）设椭圆的右焦点为2F ，连接OM ，则OM 为2AFF ∆的中位线， 即212OM AF =，12MF AF =，∴1||||||||52AF AF OM MF a ++===，∵c e a ==，∴c =b =∴椭圆C 的方程为：221255x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22,1,255y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：222(15)105250k x mkx m +++-=，∴0∆>，1221015km x x k +=-+，212252515m x x k -=+，∴12121222()()()215my y kx m kx m k x x m k +=+⋅+=++=+，2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222525105251515k m k k m m k m m k k k --++-==++， 又(0,1)P ，4PA PB ⋅=-，∴1122121212(,1)(,1)14x y x y x x y y y y -⋅-=+--+=-，∴222222525252+50151515m m k mk k k ---+=+++，整理得：23100m m --=，解得2m =或53m =-（舍去），∴直线l 得方程为2y kx =+. 故直线l 过定点(0,2).21.已知函数2()()32xa af x x e x x =--，a e ≤，其中e 为自然对数的底数. （1）当0a =，0x >时，证明：2()f x ex ≥； （2）讨论函数()f x 极值点的个数. 答案：见解析 解析：（1）依题意得函数()x f x xe =，原不等式可化为2x xe ex ≥，又0x >，只要证0x e ex -≥， 记()(0)x g x e ex x =->，则()(0)x g x e e x '=->，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，函数()g x 单调递增， ∴()(1)0g x g ≥=，即2()f x ex ≥，故原不等式成立.（2）依题意得212()()()3232x xa a f x e ax x x e ax =--+--2(1)(1)(1)x x x e ax ax x e ax x =+--=+-+(1)()x x e ax =+-，记()x h x e ax =-，()x h x e a '=-，（ⅰ）当0a <时，()0xh x e a '=->，()h x 在R 上单调递增，(0)10h =>，11()10a h e a=-<.∴存在唯一01(,0)x a∈，0()0h x =，且当0x x <时，()0h x <；当0x x >，()0h x >.①若01x =-，即1a e =-时，对任意1x ≠-，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增，无极值点.②若01x <-，即10a e-<<时，此时当0x x <或1x >-时，()0f x '>.即()f x 在0(,)x -∞，(1,)-+∞上单调递增；当01x x ≤≤-时，()0f x '≤，即()f x 在0[,1]x -上单调递减，此时()f x 有一个极大值点0x 和一个极小值点1-.③若010x -<<，即1a e<-时，此时当1x <-或0x x >时，()0f x '>.即()f x 在(,1)-∞-，0(,)x +∞上单调递增；当01x x -≤≤时，()0f x '≤，即()f x 在0[1,]x -上单调递减：此时()f x 有一个极大值点1-和一个极小值点0x .（ⅱ）当0a =时，()x f x xe =，∴()(1)x f x x e '=+，显然()f x 在(,1)-∞-单调递减；在(1,)-+∞上 单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点.（ⅲ）当0a e <<时，由（1）可知，对任意0x ≥，()()0x x h x e ax g x e ex =->=-≥，从而()0h x >.而对任意0x <，()0x x h x e ax e =->>，∴对任意x R ∈，()0h x >成立，此时令0()f x '<，得1x <-；令0()f x '>，得1x >-，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；在(1,)-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点.（ⅳ）当a e =时，由（1）可知，对任意0x ≥，()0x x h x e ax e ex =-=-≥，当且仅当1x =时取等号 此时令0()f x '<，得1x <-；令0()f x '>得1x >-，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；在(1,)-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大 值点. 综上可得：当1a e <-或10a e -<<时，()f x 有两个极值点；当1a e=-时，()f x 无极值点；当0a e ≤≤时，()f x 有一个极值点.22.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(1sin )8(0)ρθρ+=>.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0(,)2πρ，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点(1)P --，l 与C 的交点为A ，B ，求11||||PA PB +的最大值. 答案：（1）2228x y +=； （2）43. 解析：（1）把0(,)2Q πρ代入曲线C 可得220(1sin)82πρ+=，即02ρ=， ∴(2,)2Q π化为直角坐标为(0,2)Q ，又直线l 的参数方程cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），∴l 过点|(1)P --，又l 过点(0,2)Q ，∴直线l的普通方程为2y x =+. ∵22(1sin )8ρθ+=可化为22(sin )8ρρθ+=. ∴222x y ρ=+，sin y ρθ=可得222()8x y y ++=， 即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，22(cos 2(sin 1)8t t αα-+-=，化简得22(sin 1)4(sin )60t t ααα+-+=，①22[4(sin )]24(sin 1)ααα∆=--+，12t t +=12260sin 1t t α=>+，故1t 与2t 同号. 1212121212||||||1111||||||||||||||||t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4|sin()|33πα==+，∴6πα=时，4|sin()|33πα+有最大值43. 此时方程①的340∆=>，故11||||PA PB +有最大值43.23.不等式选讲已知函数()|||31|()f x x a x a R =++-∈. （1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()|31|f x x ≤+的解集为M ，且1[,1]4M ⊆，求a 的取值范围.答案： （1）11{|}42x x ≤≤； （2）714a -≤≤.解析：（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =-+-，∴()1|1||31|1f x x x ≤⇒-+-≤.即1,31131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,31311x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1311,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩解得1,314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或11,312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 或1,3.4x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴1143x ≤≤或1132x <≤或∅. ∴原不等式的解集为11{|}42x x ≤≤. （2）∵1[,1]4M ⊆，∴当1[,1]4x ∈时，不等式()|31|f x x ≤+恒成立， 即|||31||31|x a x x ++-≤+在1[,1]4上恒成立. 当11[,)43x ∈时，||1331x a x x ++-≤+，即||6x a x +≤， ∴66x x a x -≤+≤，∴75x a x -≤≤在11[,)43上恒成立， 而当14x =时，7x -取得最大值，5x 取得最小值， ∴max min (7)(5)x a x -≤≤，即7544a -≤≤. 当1[,1]3x ∈时，||3131x a x x ++-≤+，∴||2x a +≤，即22x a -≤+≤， ∴22x a x --≤≤-在1[,1]3上恒成立， 而当13x =时，2x --取得最大值，当1x =时，2x -取得最小值， ∴max min (2)(2)x a x --≤≤-，即713a -≤≤. 综上，a 的取值范围为714a -≤≤.。
福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(文)试题(含答案)
福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,2,A B x x n n Z =-==∈，则A B ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}0,2 C ．{}1,0,2- D ．∅2.复数z 满足()234i z i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知()33f x x x =+，0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则（ ） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f b f a << D ．()()()f b f a f c <<4.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．13C ．23D ．34 5.等差数列{}n a 的公差为1，125,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．50 B ．50- C ．45 D ．45-6.已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，6AB =，则AB 中点到y 轴的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,C D BC A D 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD D D ．//MN 平面BDP 8.如图是为了计算11111234561920S =++++⨯⨯⨯⨯的值，则在判断框中应填入（ ）A ．19?n >B ．19?n ≥C ．19?n <D ．19?n ≤ 9.函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为π，()12f π=，()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ的一个可能值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π10.设函数()()21,1,ln ,1,x a x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞ 11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256π，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A ．32B ．2C ．4D ．6 12.设函数()x f x x e -=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的切线，则m n +的最小值是（ ）A ．1e- B ．1 C ．11e - D ．311e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为90︒，1,2a b ==，则a b -= ． 14.已知,x y 满足约束条件1,3,1,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为 ．15.若双曲线22220,1()0:x y C a b a b -=>>的渐近线与圆()2221x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为 ．16.已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1,3n n a a n n N n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()cos 2cos b A a c B π=--. （1）求B ；（2）若1,sin sin 2a b A C >=，ABC ∆的周长为33+，求ABC ∆的面积. 18.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒,PAB ∆为正三角形.（1）证明:AB PD ⊥； （2）若62PD AB =，四棱锥的体积为16，求PC 的长. 19.为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行研究，收集了 11块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令21,i i ii u x y υ==，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到υ关于u 的线性回归方程u υβα=+中的0.03β=，求y 关于x 的回归方程； （3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01)附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ni ii n ii u nu unuυυβ==-⋅=-∑∑，u αυβ=-，30 5.48≈.20.过椭圆2222:1()0x E b b y a a +>>=的右焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与E 交于,A B 两点，直线2l 与E 交于,C D 两点.当直线1l 的斜率为0时，42,22AB CD ==. （1）求椭圆E 的方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数()2ln 1f x x ax x =++-，()()11,x g x x e a R -=-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()()2a f x ax g x ⎡⎤-≤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BDCBA 6-10: BCADA 11、12：DC二、填空题13. 5 14. 2 15.23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭16.1005- 三、解答题17. 解：（1）因为()()cos 2cos b A a c B π=--， 由正弦定理得()()sin cos sin 2sin cos B A A C B =-- 所以()sin 2sin cos A B C B +=所以1cos 2B =，且()0,B π∈所以3B π=.（2）因为23A C π+=，所以2311sin sin sin cos sin 3222A A A A A π⎛⎫⎛⎫-=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23sin cos cos A A A ⋅=，()cos 3sin cos 0A A A -=，cos 0A =或3tan 3A =解得：6A π=或2π 因为a b >，所以2A π=所以，6C π=所以3,22a cb a ==因为33a b c ++=+，所以2,1,3a c b === 所以13sin 22ABC S bc A ∆==.18.（1）证明：取AB 中点为O ,连接,,PO DO BD ∵底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒, ∴ABD ∆为正三角形，DA DB = ∴DO AB ⊥又∵PAB ∆为正三角形， ∴PO AB ⊥又∵,DO PO O PO ⋂=⊂平面POD ,DO ⊂平面POD ， ∴AB ⊥平面POD ， ∵PD ⊂平面POD ， ∴AB PD ⊥.（2）法一：设2AB x =，则6PD x =，在正三角形PAB ∆中，3PO x =，同理3DO x =， ∴222PO OD PD +=，∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21233163P ABCD V x x -=⨯⨯=，∴2x =，∵//,AB CD AB PD ⊥ ∴CD PD ⊥ ∴()2222264210PC PD CD=+=+=.法二：设2AB x =，则6PD x =，在正三角形PAB ∆中，3PO x =，同理3DO x =， ∴222PO OD PD +=， ∴PO OD ⊥，又∵,PO AB DO AB O ⊥⋂=，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ,∴21233163P ABCD V x x -=⨯⨯=，∴2x =，连接OC ,∵在OBC ∆中，2,4,120OB BC OBC ==∠=︒，∴由余弦定理得222cos12027OC OB BC OB BC =+-⋅⋅︒=， ∴在RT POC ∆中，()()22222327210PC PO OC =+=+=.19.解：（1)可疑数据为第10组（2）剔除数据()10,0.25后，在剩余的10组数据中11101600100501010ii uu u =--===∑，1110144441010i i v v v =--===∑所以0.034500.03 2.5v u α=-⋅=-⨯= 所以v 关于u 的线性回归方程为0.03 2.5v u =+ 则y 关于x 的回归方程为212.50.03y x=+ （3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值22.50.03xw x =+12.50.03x x=+1301.8332 2.50.03≤=≈⨯ 当且仅当2.50.03x x=时，等号成立，此时 2.55309.130.033x ==≈， 即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83. 20.解：（1）由已知得：222ABa ==将x c =代入22221x y a b +=得2b y a =±，所以22222222b b CD a ===，所以24b =所以椭圆22:184x y E +=（2）①当直线12,l l —条的斜率为0，另一条的斜率不存在时，114222822ACBD S AB CD =⋅=⨯⨯=. ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+， 则直线CD 的方程为12x y m=-+.设 ()()1122,,,A x y B x y 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，得()222440m y my ++-= ()()22216162321m m m ∆=++=+，2122242122m y y m m ∆+-==++ ()2212242112m AB m y y m +=+-=+（或：12122244,22m y y y y m m --+==++，()()()22212122421142m AB m y y y y m +⎡⎤=++-=⎣⎦+）用1m -取代m 得()222214214211212m m CD m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ ∴()()22224214*********ACBDm m S AB CD m m ++=⋅=⨯⨯++ ()()42422424221252168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++2288225m m=-++又22224m m +≥，当且仅当1m =±取等号 所以[)22224,m m +∈+∞ 所以228648,82925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++ 综上：四边形ACBD 面积的取值范围是64,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解：（1）依题意，()()2121210ax x f x ax x x x++'=++=>①当0a ≥时，()1210f x ax x '=++>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，180a ∆=->，12118118,44a ax x a a----+-==，且120x x >>， 令()()()1220a x x x x f x x--'=>得21x x x <<，令()0f x '<得20x x <<或1x x >，此时()f x 在()21,x x 上单调递增；在()()210,,,x x +∞上单调递减 综上可得，①0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a <时，()f x 在118118,44a a a a ⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 在1181180,,,44a a a a ⎛⎫⎛⎫-+----+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 （2）法一：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤ 记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. ①当0a ≤时，由1x ≥可知ln 10x x +-≥，()110x x e --≥， 所以()0h x ≤，命题成立. ②当102a <≤时，显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减， 所以()()1210h x h a ''≤=-≤所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，命题成立.③当12a >时， 显然()111x h x a xe x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，因为()1210h a '=->，()2212221112222420222a h a a ae a a a -'=+-≤+-=-< 所以在()1,2a 内，存在唯一的()01,2x a ，使得()00h x '=，且当01x x <<时，()0h x '> 即当01x x <<时，()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：原不等式可化为()()20a f x ax g x ⎡⎤--≤⎣⎦，即()()1ln 110x a x x x e -+---≤记()()()1ln 11,1x h x a x x x e x -=+---≥，只需()0h x ≤即可. 可得()21111111x x x e h x a xe a x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()21,11x x e m x a x x -=-≥+，则()()()2122201x x x x e m x x -++'=-<+ 所以()m x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()112m x m a ≤=-. 12a ≤时，()10m ≤，从而()0m x ≤，所以()()110h x m x x ⎛⎫'=+≤ ⎪⎝⎭， 所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10h x h ≤=，原不等式成立 ②当12a >时，()10m >， ()()22121244m 20212121a a a a e a a a a a a a --=-<-=<+++， 所以存在唯一()01,2x a ∈，使得()00m x =，且当01x x <<时，()0m x >，此时()()110h x m x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，()h x 在()01,x 上单调递增， 从而有()()10h x h >=，不符合题目要求，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==， 故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++ 所以13t =，即3sin 3α=±时，OB OA 有最大值433. 23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴223333b c -≤+≤. 当且仅当33b c ==时，()max 233b c +=，∴()max 323b c +=⎡⎤⎣⎦ 关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即223a +≥，故232a ≥-，又0a >，所以232a ≥-.。
福建省厦门市达标名校2018年高考五月仿真备考数学试题含解析
福建省厦门市达标名校2018年高考五月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设02x π≤≤，且1sin 2sin cos x x x -=-，则（ ） A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤2．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭3．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．834．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．1206．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则|||||FA FB FC ++=（ ）.A ．9B ．6C ．38D ．3167．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =，则△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．23 B ．33C ．223D ．2338．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±9．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23B ．2C ．3D ．110．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-212．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
厦门市2018届高三数学一模试卷(文科) 含解析
2018年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|y=lg（3﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜3}2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（1）+f（3）=（）A．3 B．0 C．1 D．24．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？7．实数x，y满足，则z=4x+3y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．248．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若•=12，则∠BAD=（）A．B．C．D．9．当x＞0时，函数f（x）=（ae x+b）（x﹣2）单调递增，且函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．{m|m＜﹣2或m＞2}B．{m|﹣2＜m＜2}C．{m|m＜0或m＞4} D．{m|0＜m＜4}10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α=（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y=x﹣2与圆x2+y2=2a n+2交于A n，B n（n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．[0，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z满足z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），则z的模为．14．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，则S n的最大值为．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．16．∃x0∈（2，+∞），k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1），则正整数k的最小值为．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A （0，0），B （6，0），C 是函数f （x ）图象的一个最高点．a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，满足（a +c ）（sinC ﹣sinA ）=（a +b ）sinB ．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）的单调递减区间．18．为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念． 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2018年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？ K 2=．19．如图，正方形ABCD 的边长等于2，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，BE=2AF=2，EF=．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEF的体积．20．已知函数f（x）=（x2﹣ax+a+1）e x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点，x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1﹣＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆Γ： +y2=1（a＞1）与圆E：x2+（y﹣）2=4相交于A，B两点，且|AB|=2，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N'关于y轴对称，求证：直线MN'过定点，并求该定点坐标．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．2018年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|y=lg（3﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|y=lg（3﹣x）}={x|3﹣x＞0}={x|x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴=，∴双曲线的离心率为e===故选：D．3．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（1）+f（3）=（）A．3 B．0 C．1 D．2【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的图象，求出f（1），f（3）的值，可得答案．【解答】解：由已知中的函数f（x）的图象可得：f（1）=2，f（3）=1，故f（1）+f（3）=3，故选：A4．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【解答】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）==，故选：C．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），∴tanα==﹣，则tan（α﹣）===﹣3，故选：A．6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？【考点】程序框图．【分析】由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选B．7．实数x，y满足，则z=4x+3y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．24【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，4），由z=4x+3y得：y=﹣x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若•=12，则∠BAD=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，∴=+=﹣﹣，=+=﹣﹣若•=12，则•=（﹣﹣）•（﹣﹣）=++•=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12，cos∠BAD=，∴∠BAD=．故选：B．9．当x＞0时，函数f（x）=（ae x+b）（x﹣2）单调递增，且函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．{m|m＜﹣2或m＞2}B．{m|﹣2＜m＜2}C．{m|m＜0或m＞4} D．{m|0＜m＜4}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）=f（﹣2）=0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，即函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）=0，故x＞2时，f（x）＞0，x＜﹣2时，f（x）＞0，故f（2﹣m）＞0，即|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；还原出长方体是长为2，宽为1，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM=，ON=×=；∴外接球的半径满足R2=ON2+AN2=+=，∴外接球的表面积为S=4πR2=4π×=．故选：A．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．【解答】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，∵的最小值为1，∴a2+b2﹣2abcosα≥，α=时，不等式恒成立．故选：C．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y=x﹣2与圆x2+y2=2a n+2交于A n，B n（n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．[0，+∞）D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+na n，代入a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．【解答】解：圆心O（0，0）到直线y=x﹣2，即x﹣y﹣2=0的距离d==2，由d2+=r2，且，得22+S n=2a n+2，∴4+S n=2（S n﹣S n﹣1）+2，+2）且n≥2；即S n+2=2（S n﹣1∴{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n=2a n+2，取n=1，解得a1=2，∴S n+2=（a1+2）•2n﹣1，则S n=2n+1﹣2；∴（n≥2）．a1=2适合上式，∴．令T n=a1+2a2+3a3+…+na n=1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴，两式作差可得：==（1﹣n）•2n+1﹣2，∴，由a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，可得（n﹣1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立，当n=1时，=0；由，知，n=2时，=0，∴当n=2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z满足z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），则z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），∴z（1+i）（1﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，则z=，∴|z|==．故答案为：．14．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，则S n的最大值为30．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，可得3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d，a1．令a n≥0，解得n，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，∴3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d=﹣5，a1=15．∴a n=15﹣5（n﹣1）=20﹣5n，令a n=20﹣5n≥0，解得n≤4．则S n的最大值为S4=S3=3×15+=30．故答案为：30．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】解：由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，∴A1C1=，A1B=，∴AB=，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（2++）×1=，故答案为．16．∃x0∈（2，+∞），k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1），则正整数k的最小值为5．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）【考点】特称命题．【分析】根据题意得出k＞，设f（x）=，其中x＞2；利用导数求出f（x）在x＞2的最小值，即可求出正整数k的最小值．【解答】解：∃x0∈（2，+∞），∴x0﹣2＞0，∴k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1）可化为k＞，设f（x）=，其中x＞2；则f′（x）==；令f′（x）=0，得x﹣4﹣2lnx=0，设g（x）=x﹣4﹣2lnx，其中x＞2；则g′（x）=1﹣=，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数，∴g（x）≥g（2）；且g（2）=2﹣4﹣2ln2=﹣2﹣2×0.6931＜0，g（5）=5﹣4﹣2ln5=1﹣2×1.6094＜0，g（8）=8﹣4﹣2ln8=4﹣6ln2=4﹣6×0.6931＜0，g（9）=9﹣4﹣2ln9=5﹣4ln3=5﹣4×1.0986＞0；∴g（x）在（8，9）内有零点，且在零点处f（x）取得最小值m；∴f（8）==×（3ln2+1）=×（3×0.6931+1）≈4.1＞m，f（9）==×（2ln3+1）=×（2×1.0986+1）≈4.1＞m；∴k≥4.1；即正整数k的最小值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sinC﹣sinA）=（a+b）sinB．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），∴sinφ=0，∴φ=0，且==6，∴ω=，∴f（x）=Msin（x）．∵C是函数f（x）图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sinC﹣sinA）=（a+b）sinB，∴（a+c）（c﹣a）=（a+b）b，整理可得=﹣，即cosC=﹣，∴C=．由题意可得CA=CB，∴∠A=，设AB的中点为D，则CD⊥AB，且点D（3，0），点C（3，M），根据tan∠A=tan===，∴M=，∴f（x）=sin（x）．（Ⅱ）将函数f（x）=sin（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，可得y=sin （x +1）=sin（x+）的图象；再把横坐标伸长为原来的倍， 得到函数g （x ）=sin（•x+）=sin（x+）的图象．令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x ≤4kπ+，故函数g （x ）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k ∈Z ．18．为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念． 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2018年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？ K 2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55）÷（20+40+40+200+200+300）=42.75； （Ⅱ）列联表：K 2==18＞7.879，∴能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．19．如图，正方形ABCD 的边长等于2，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，BE=2AF=2，EF=．（Ⅰ）求证：AC ∥平面DEF ； （Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD ，记AC ∩BD=O ，取DE 的中点G ，连结OG 、FG ，推导出四边形AOGF 是平行四边形，从而AC ∥FG ，由此能证明AC ∥平面DEF ．（Ⅱ）在面ABEF 中，过F 作FH ∥AB ，交BE 于点H ，推导出FE ⊥EB ，从而FE ⊥AF ，三棱锥C ﹣DEF 的体积V C ﹣DEF =V A ﹣DEF =V D ﹣AEF ，由此能求出三棱锥C ﹣DEF 的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD ，记AC ∩BD=O ，取DE 的中点G ，连结OG 、FG ，∵点O 、G 分别是BD 和ED 的中点，∴OGBE ，又AF ，∴OG AF ，∴四边形AOGF 是平行四边形，∴AO ∥FG ，即AC ∥FG ，又AC ⊄面DEF ，FG ⊂平面DEF ，∴AC ∥平面DEF ．解：（Ⅱ）在面ABEF 中，过F 作FH ∥AB ，交BE 于点H ，由已知条件知，在梯形ABEF 中，AB=FH=2，EF=，EH=1， ∴FH 2=EF 2+EH 2，即FE ⊥EB ，从而FE ⊥AF ，∵AC ∥平面DEF ，∴点C 到平面DEF 的距离为AF=BH=2﹣1=1，∠AFE=90°，∴．∴三棱锥C ﹣DEF 的体积V C ﹣DEF =V A ﹣DEF =V D ﹣AEF ===．20．已知函数f （x ）=（x 2﹣ax +a +1）e x ．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点，x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1﹣＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=，令g（t）=，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=[x2+（2﹣a）x+1]e x，令x2+（2﹣a）x+1=0（*），（1）△=（2﹣a）2﹣4＞0，即a＜0或a＞4时，方程（*）有2根，x1=，x2=，函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；（2）△≤0时，即0≤a≤4时，f′（x）≥0在R上恒成立，函数f（x）在R递增，综上，a＜0或a＞4时，函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；0≤a≤4时，函数f（x）在R递增；（Ⅱ）∵f′（x）=0有2根x1，x2且a＞0，∴a＞4且，∴x1＞0，mx1﹣＞0恒成立等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=，令g（t）=，t＞2时，函数g（t）=递增，g（t）＞g（2）=1，∴x2＞1，∴﹣+2x2+1＜2，故m的范围是[2，+∞）．21．已知椭圆Γ： +y2=1（a＞1）与圆E：x2+（y﹣）2=4相交于A，B两点，且|AB|=2，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N'关于y轴对称，求证：直线MN'过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，圆心E到AB的距离为1，求出B坐标代入椭圆方程得a即可．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．【解答】解：（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，∵，圆心E到AB的距离为1，∴，∴，代入椭圆方程得，解得a2=4，∴．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，消去y得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．当直线MN斜率不存在时，直线MN′的方程为x=0，显然过点（0，﹣2）．直线MN'过定点（0，﹣2）选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，求得ρ12﹣2ρ1﹣3=0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=7，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣3=0，直线l的直角坐标方程为y=x．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，由题意设A（ρ1，），B（ρ2，），则ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3=0，即ρ12﹣2ρ1﹣3=0，得ρ1=3或ρ1=﹣1（舍），ρ2=8cos=4，则丨AB丨=丨ρ1﹣ρ2丨=1，C2（4，0）到l的距离为d==2．以AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2．则△PAB的面积的最大值为×1×（4+2）=2+．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵m＞1，∴，作出函数f（x）的图象，如图所示：由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，可得，得m=3．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，∴f（x）的最小值为2．关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，则2＜a2+a﹣4，即a2+a﹣6＞0，即（a+3）（a﹣2）＞0，∴a＜﹣3，或a＞2，实数a的取值范围{a|a＜﹣3，或a＞2 }．2018年3月29日。
精品解析：【全国市级联考】福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(文)试题(解析版)
福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将集合中的元素，逐一验证是否属于集合即可.详解：因为集合，所以，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先利用复数模的公式求得，然后两边同乘以，利用复数运算的乘法法则化简，即可得结果详解：,,，在复平面内对应的点，在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，结合函数的单调性，从而可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，由对数函数的性质可得，，，又，在上递增，所以，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4. 如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设小黑色三角形面积为，则整个在图案面积为，黑色部分总面积为，根据几何概型概率公式可得结果.详解：设小黑色三角形面积为，则整个在图案面积为，黑色部分总面积为，由几何概型概率公式可得，在点取自黑色部分的概率是，故选B.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 等差数列的公差为1，成等比数列，则的前10项和为（）A. 50B.C. 45D.【答案】A【解析】分析：根据成等比数列列方程可求得首项，利用等差数列求和公式可得结果.详解：等差数列的公差为1，成等比数列，，即，解得，，故选A.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知拋物线的焦点为，过的直线与曲线交于两点，，则中点到轴的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：将点到焦点的距离转化为到准线的距离，可得，从而求出中点横坐标，进而可得结果.详解：由，得，设，等于点到准线的距离，同理，等于到准线的距离，，，中点横坐标为，中点到轴的距离是，故选B.点睛：与抛物线焦点、准线有关的问题，一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决7. 如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A. B. C. 平面 D. 平面【答案】C【解析】分析：取中点，连接，可证明平面平面，进而可得结果.详解：取中点，连接，由三角形中位线定理可得，面，由四边形为平行四边形得，面，平面平面，面，平面，故选C.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.8. 如图是为了计算的值，则在判断框中应填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出，即可得到输出条件.详解：由程序框图可知，判断框中，若填，则输出，若填或，直接输出，应填，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 函数的周期为，，在上单调递减，则的一个可能值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由函数的周期为，求得，由结合在上单调递减，即可得结果.详解：由函数的周期为，得，，，或，令，或，，在不是单调函数，不合题意，故，故选D.点睛：本题主要通过已知三角函数的性质求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.10. 设函数若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数恒成立等价于是的最小值，根据分段函数的性质列不等式可得结果.详解：若恒成立，是的最小值，由二次函数性质可得对称轴，由分段函数性质得，得，综上，，故选A.学。
2018年福建省厦门市五一中学高三数学文月考试题含解析
2018年福建省厦门市五一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（）A.13B.12C.11D. 10参考答案：【答案解析】B解析：因为，所以，又，所以，则，所以n=12，选B.【思路点拨】利用等差数列的性质可以得到数列的项与和的关系，利用项的符号即可判断前n项和的符号.2. 如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为参考答案：A试题分析：空间上到两点距离相等的点在线段的垂直平分面上，此平面与正方形相交是一条线段，可排除B，C，又B点到两点的距离显然不相等，又排除D，故选A．考点：空间点的轨迹．3. （5分）（2015?陕西一模）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间角．【分析】：连结A′B，结合几何体的特征，直接求解A′C与BC所成角的余弦值即可．解：如图：正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，连结A′B，则A′C与BC所成角就是直角三角形A′BC中的∠A′CB，A′C与BC所成角的余弦值为：==．故选：C．【点评】：本题考查几何体的特征，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：A要使函数在上单调递增，需有,解得．故选A．5. 若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为（）A．B．C．D．参考答案：B6. 在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（）A．B．C．D．参考答案：C7. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为（）A. 4B. -728C. -729D. 3参考答案：D【分析】先列出数列、的前面的有限项，再观察数列的周期性，运算即可得解.【详解】解：由题意有数列为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,…,即数列为周期为6的数列，则数列为1,1,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,…,观察数列可知数列从第三项开始后面所有数列构成一周期为6的数列，且每一个周期的和为0，所以=，故选D.【点睛】本题考查了阅读能力及数列的周期性，属中档题.8. 设为向量，则“”是“的夹角是锐角”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】规律型．【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“的夹角是锐角”，设夹角为θ，则．当θ=0时，满足，但的夹角是锐角不成立．∴“”是“的夹角是锐角”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数量积的公式是解决本题的关键．9. 已知函数为奇函数,且当时, 则（）A. B. C. D.参考答案：A略10. 复数（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，把的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数的图象，则m的最小值为．参考答案：由题意得，图象按向量平移后，得到函数，函数，因为两个函数的图象相同，所以，所以的最小值为.12. 函数的定义域是．参考答案：13. 将一些正整数按如下规律排列，则10行第3个数为第1行 1 2第2行 2 4 6 8第3行 4 7 10 13第4行 8 12 16 20 24…参考答案：532【考点】F1：归纳推理．【分析】：由题意，10行第3个数为29=512，公差为10，即可得出结论．【解答】解：由题意，10行第3个数为29=512，公差为10，∴10行第3个数为532．故答案为532．【点评】本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，属基础题．14. 极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________．参考答案：1略15. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为参考答案：16. 已知函数又且的最小值等于.则的值为_________．参考答案：试题分析：因为又因为，所以的最小值为；故有.所以答案为：.考点：1.三角恒等变形公式；2.三角函数的图象和性质.17. 表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
厦门市达标名校2018年高考五月仿真备考数学试题含解析
厦门市达标名校2018年高考五月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A．4πB．16πC ．163πD．323π2．已知集合{}22|A x y x==-，2{|}1B xxx=-+≤，则A B=( )A．[12]-，B．[12]-，C．(12]-，D．2,2⎡⎤-⎣⎦3．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.354．已知函数()()614,7,7xa x xf xa x-⎧-+≤=⎨>⎩是R上的减函数，当a最小时，若函数()4y f x kx=--恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．1(,0)2-B．1(2,)2-C．(1,1)-D．1(,1)25．已知01021:1,log;:,2xp x x q x R e x∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（）A．p q∨是假命题B．p q∧是真命题C．()p q∨⌝是真命题D．()p q∧⌝是假命题6．在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，且||1,||2AB AC==，120BAC∠=︒，则||EB=（）A ．194B ．114C ．32D ．747．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 8．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．33D ．139．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 10．函数()cos 22x x x f x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知2cos(2019)πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ） A ．79 B ．59 C ．59- D ．79- 12．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2018届高三毕业班质量检查测试数学试题(文)有答案AKUKqq
2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则A B =I （ ） A ．{}1,2- B ．{}2,1- C ．{}1,2D ．{}1,2--2.已知向量()1,1AB =u u u r ，()2,3AC =u u u r，则下列向量中与BC uuu r 垂直的是（ ）A ．()3,6a =B ．()8,6b =-C ．()6,8c =D ．()6,3d =-3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n S λ+=+，则λ=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 4.如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．13C ．38 D ．345.若α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sin sin 22παπα+--=（ ） A ．65-B ．45-C ．45D ．656.已知0.30.4a =，0.40.3b =，0.20.3c -=，则（ ） A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a << D ．a b c <<7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．120B ．84C ．56D ．288.某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ） A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．()2421π+B ．()24222π+C ．)2451π+D ．()24232π+-10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ） A ．()263cos5x f x π=+ B ．()53cos 5xf x π=+C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩ D ．()2,08,0x f x x ≤⎧=⎨>⎩11.已知1F ，2F 为双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．7B ．3C ．4D ．512.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z =．14.若x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的取值范围为．15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.若ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于．16.已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S ABCD -内接于球1O .若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos sin 3b C c B a -=. （1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边上一点，且3sin 3BDC ∠=，求BD . 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，133CC =，3BC =，23AC =.（1）试在线段1B C 上找一个异于1B ，C 的点P ，使得1AP PC ⊥，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求多面体111A B C PA 的体积.19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：（2）记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：（i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由） 表一：的类型与X 有关？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，以MF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求点M 的轨迹的方程；（2）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：252NT NA NB =⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）若12a =，证明：()f x 恰有三个零点. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6AOC π∠=.（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； （2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学参考答案及评分细则一、选择题1-5:CDAAC 6-10:ABDBC 11、12：BB 二、填空题13．1 14．[]24， 15．1216．8 三、解答题17．解：（1cos sin C c B -=，得cos sin sin B C C B A -=，因为A B C π++=()cos sin sin B C C B B C -=+，cos sin sin cos sin B C C B B C B C -=，即sin sin sin C B B C -=，因为sin 0C ≠，所以sin B B =，所以tan B =又()0,B π∈，解得23B π=. （2）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 又3a =，7b =，所以222173232c c ⎛⎫=+-⨯⨯-⎪⎝⎭， 整理得()()850c c +-=，因为0c >，所以5c =， 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C =5sin C =，解得sin 14C =. 在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BD aC BDC=∠，因为sin BDC ∠==4514BD =. 18．解：（1）当P 满足11C P B C ⊥时，1AP PC ⊥. 证明如下：在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1C C AC ⊥. 又因为AC BC ⊥，1C C BC C =I ，所以AC ⊥平面11BCC B . 因为1PC ⊂平面11BCC B ，所以1AC PC ⊥. 又因为11C P B C ⊥，且1B C AC C =I ，所以1PC ⊥平面1AB C ，因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP PC ⊥.（2）因为1CC ⊥平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ， 所以111CC B C ⊥.在11Rt B C C ∆中，113B C BC ==，133CC =16B C =. 因为1111Rt Rt B PC B C C ∆∆:，所以111111B P B C B C B C =，所以132B P =. 在11Rt BC C ∆中，11111tan 3CC CB C B C ∠==113CB C π∠=， 所以11111111sin 2B PC S B C B P CB C ∆=⋅⋅∠13393322=⨯⨯=. 因为AC ⊥平面11BCC B ，且23AC = 所以111111939233384A B C P B PC V S AC -∆=⋅=⨯⨯=. 因为1AA ⊥平面111A B C ，且1133AA CC ==1123AC AC ==， 所以1111111111323339332A ABC A B C V S AA -∆=⋅=⨯⨯⨯=. 所以多面体111A B C PA 的体积为11111945944A B C P A A B C V V --+=+=. 19．解：（1）依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为15105408+=. （2）（i ）填写结果如下： 表一：疾病类型患者所在地域Ⅰ型 Ⅱ型 合计 甲地 23 37 60 乙地 17 23 40 合计4060100疾病类型初次患病年龄Ⅰ型 Ⅱ型 合计 低龄 25 15 40 高龄 15 45 60 合计4060100（ii ）根据表二的数据可得：25a =，15b =，15c =，45d =，100n =.则()221002545151514.06340604060K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于210.828K >，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关. 20．解：（1）设点(),M x y ，因为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MF 的中点坐标为21,24x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为以MF 为直径的圆与x 轴相切，所以2124MF y +=， 即212y MF +=， 故2221122y x y +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简得22x y =，所以M 的轨迹E 的方程为22x y =.（2）因为T 是E 上横坐标为2的点，由（1）得()2,2T ，所以直线OT 的斜率为1，因为l OT ∥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，0m ≠. 由212y x =，得y x '=，则E 在T 处的切线斜率为22x y ='=，所以E 在T 处的切线方程为22y x =-. 由,22y x m y x =+⎧⎨=-⎩得2,22,x m y m =+⎧⎨=+⎩所以()2,22N m m ++，所以()()2222222225NTm m m =+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由2,2y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2220x x m --=， 由480m ∆=+>，解得12m >-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122x x m =-.因为,,N A B 在l 上，所以()12NA m =-+，()22NB m -+，所以()()12222NA NB x m x m ⋅=-+⋅-+()()()21212222x x m x x m =-++++ ()()222222m m m =--+++22m =.所以252NTNA NB =⋅. 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2221221ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭. ①当0a ≤时，因为0x >，所以220ax x a -+<，所以()0f x '<， 所以()f x 的单调递减区间为()0,+∞.②当0a >时，令()0f x '=，得220ax x a -+=， 当1a ≥时，2440a ∆=-≤，()0f x '≥， 所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞， 当01a <<时，2440a ∆=->，由220ax x a -+=得1x =，2x =因为01a <<，所以210x x >>，所以，当10,x a ⎛∈ ⎪⎝⎭或1,x a ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当x ∈⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为11a a ⎛⎪⎝⎭. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞； 当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间为11a a ⎛⎪⎝⎭. （2）因为12a =，所以()112ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由（1）知，()f x 的单调递增区间为(0,2，()2++∞，()f x 的单调递减区间为(2+.又()10f =，(12∈-，所以()f x 在(2有唯一零点，且(20f >，(20f +<，因为30e 2-<<-()333311e e 2ln e 2e f ----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3331e e 6702e 22=-+<-<，所以()f x 在(0,2-有唯一零点.又()()33e e 0f f -=->，3e 2>+，所以()f x 在()2+∞有唯一零点.综上，当12a =时，()f x 恰有三个零点. 22．解：（1）依题意，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ， 由1cos ,1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩消去ϕ，得()()22111x y -+-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上式， 得22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，故M 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=.（2）依题意可设()1,A ρα，()2,B ρα，3,6C πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,6D πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 且1234,,,ρρρρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()22cos sin 10ρααρ-++=， 所以()122cos sin ρραα+=+， 同理可得，342cos sin 66ππρραα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以点O 到,,,A B C D 四点的距离之和为()12342cos sin ρρρραα+++=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ((13sin 33cos αα=+ (213sin 3πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为0,6πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即6πα=时，1234ρρρρ+++取得最大值223+ 所以点O 到,,,A B C D 四点距离之和的最大值为223+23．解：（1）由()33g x -≥-，得32a x -≥-， 因为不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，所以0a <，故不等式可化为23x a -≤-， 解得2233x a a+≤≤-， 所以232,234,a a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-.（2）①当0x =时，21x a x -≥-恒成立，所以a ∈R . ②当0x ≠时，21x a x -≥-可化为21x a x-+≤， 设()()210x h x x x-+=≠， 则()31,0,31,02,11, 2.x x h x x xx x ⎧-+<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以当2x =时，()min 12h x =，所以12a ≤. 综上，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
2018年福建省厦门市五一中学高三数学文期末试题含解析
2018年福建省厦门市五一中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，则P（A）=0.5，P（AB）=0.2，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率．【解答】解：设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，∵开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，∴P（A）=0.5，P（AB）=0.2，∴在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率：P（B|A）===0.4．故选：C．2. 已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A． B．C． D．参考答案：D3. 已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则双曲线的离心率是A． B． C．D．参考答案：C略4. 已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，则a+2b的最小值为( )A．5+B．C．5 D．9参考答案：D【考点】基本不等式．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】a＞0，b＞0，且2a+b=ab，可得a=＞0，解得b＞2．变形a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=ab，∴a=＞0，解得b＞2．则a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4≥5+2×=9，当且仅当b=3，a=3时取等号．其最小值为9．故选：D．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. ．“x=kπ+（k∈Z）“是“tan x=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C6. 若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6参考答案：C略7. 设函数一定正确的是A．B．C．D．参考答案：D8. 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由题意得圆的圆心(0,0)到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B．9. 若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为( )A．B．C．D．参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．点评：本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．10. 已知函数，则（）A. B. 2 C. 4 D. 8参考答案：【知识点】指数函数对数与对数函数B6 B7【答案解析】A f()=-1,f(-1)= 故选A。
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厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：1~5BDCBA 6~10BCADA 11~12DC12．解：设切点是(,())P t f t ，由()1x f x e -'=+，P 处切线斜率()1tk f t e -'==+，所以P 处切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，整理得(1)(1)t t y e x t e --=+-+，所以(1)(1)1t t t t m n e t e e --+=+-+=-，记()1t t g t e =-，所以1()tt g t e -'=，当1t <，()0g t '<；当1t >，()0g t '>；故min 1()(1)1g t g e==-.二、填空题：1314．215．)+∞16．1005-16．解：法一：因为1211,3,(,3)n n a a a a n n N n -==-=∈≥，所以可求出数列{}n a 为：1，3，6，2，7，1，8， ，观察得：{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-法二：因为{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以212221()()0n n n n a a a a +--+->，因为212n n +>，所以212221n n n n a a a a +-->-，所以2120(2)n n a a n +->≥，又3150a a -=>，所以2120(1)n n a a n +->≥成立。
由{}2n a 是递减数列，所以2220n n a a +-<，同理可得：22210(1)n n a a n ++-<≥，所以212222121,(22),n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨-=-+⎩所以2221n n a a +-=-，所以{}2n a 是首项为3，公差为-1的等差数列，故20183(10091)(1)1005.a =+-⋅-=-三、解答题：17．本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差正弦公式、三角形面积公式等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想。
本小题满分12分。
解：（1）因为cos (2)cos()b A a c B π=--，由正弦定理得sin cos (sin 2sin )(cos )B A A C B =--，------------------------------------------------------2分所以sin()2sin cos A B C B +=--------------------------------------------------------------------------------------4分所以1cos 2B =，且()0,B π∈---------------------------------------------------------------------------------------5分所以.3B π=---------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）因为23A C π+=，所以2311sin sin()sin (cos sin ),3222A A A A A π-=⋅+=23sin cos cos ,A A A ⋅=------------------------------------------------------------------------------------------7分cos (3cos )0A A A -=，cos 0A =或3tan A =解得：6A π=或2π-------------------------------------------------------------------------------------------------------8分因为a b >，所以2A π=，---------------------------------------------------------------------------------------------9分所以，6C π=所以3,22a cb a ==，-------------------------------------------------------------------------------------------------10分因为33a b c ++=2,1, 3.a c b ===----------------------------------------------------------------11分所以13sin 22ABC S bc A ∆==-----------------------------------------------------------------------------------------12分18．本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积以及平面几何的性质与计算等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想。
本小题满分12分。
（1）证明：取AB 中点为O ，连接PO ，DO ，BD ，底面ABCD 为菱形，60o DAB ∠=，∴ABD ∆为正三角形，DA DB =，∴DO AB ⊥，--------------------2分又 PAB ∆为正三角形，∴PO AB ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------4分又 DO PO O = ，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD ，∴AB ⊥平面POD ，-------------------------------------------------------------------------------------------------5分 PD ⊂平面POD ，∴AB PD ⊥.------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）法一：设=2AB x ，则6PD ，在正三角形PAB ∆中，3PO x ，同理=3DO x ，∴222+PO OD PD =，∴PO OD ⊥，又 PO AB ⊥，DO AB O = ，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，------------------------------------------------------------------------------------------------8分∴21233163P ABCD V -=⨯=，∴2x =，----------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 AB ∥CD ，AB PD⊥∴CD PD ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------------11分∴2222(26)4210PC PD CD =+=+=分法二：设=2AB x ，则=6PD x ，在正三角形PAB ∆中，3PO x ，同理=3DO x ，∴222+PO OD PD =，∴PO OD ⊥，又 PO AB ⊥，DO AB O = ，DO ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，------------------------------------------------------------------------------------------------8分∴21233163P ABCD V -=⨯=，∴2x =，----------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分连接OC ，在OBC ∆中，2,4,120o OB BC OBC ==∠=，∴由余弦定理得222cos1207o OC OB BC OB BC =+-⋅⋅----------------------------------------11分∴在RT POC ∆中，2222(23)(27)210PC PO OC =+=+=.-----------------------------------12分19．本题主要考查回归分析，函数的最值等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力及应用意识；考查统计概率思想。
本小题满分12分。
解：（1）可疑数据为第10组------------------------------------------------------------------------------------------------2分（2）剔除数据（10，0.25）后，在剩余的10组数据中11101-600100501010i i u u u =-==∑=，1011144441010i i v v v =--===∑------------------------------------4分所以ˆ0.034500.03 2.5u v α=-⋅=-⨯=---------------------------------------------------------------------6分所以v 关于u 的线性回归方程为ˆ0.03 2.5v u =+则y 关于x 的回归方程为21ˆy2.50.03x=+------------------------------------------------------------------7分（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量w 的预报值22.5.03ˆ0xw x +=-----------------------------------------------------------------------------------------8分12.50.03x x=+ 1.833≤=≈-------------------------------------------------------------------10分当且仅当2.50.03x x =时，等号成立，此时9.133x ==≈，即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83-------------------------------12分20．本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线垂直、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想。