《灰色预测》PPT课件
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灰色预测法
则关联系数定义为：
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
第七章 灰色预测法
Yn ( X ( 0) (2), X ( 0) (3), X ( 0) (4),, 通最小二乘法求出 模型中两个参数 , ˆ ( B T B) 1 B T Yn a
5.将求出的参数代入微分 方程并求解 可得如下对一次累加序 列的预测模型:
(3), X
(1)
( 0)
( N )}
2.对原始序列作一次累加 生成X (1) X
(1)
{ X (1), X (2),, X (n)}
(1) (1) (1) k (0)
其中: X (k ) X
i 1
(i ) X (k 1) X
(1)
(0)
(k )
X (1) X
(1)
ç3 0.739411 0.632479 0.726354 1 0.789305 0.682872 0.630645
18
3.求关联度
1 n r0 k 0 k (t ) n t 1
例见Excel操作：
19
例5:求联度：
1 2 3 4 5 6 7 Ø Á ¹ ª ¶ È
ç1 0.475806 0.450157 0.621756 0.746231 0.826601 0.478729 0.335606 0.562126
试建立GM(1,1)模型并进行预测.
29
第一步:作一次累加生成(AGO):
设一次累加生成序列 X (1) X (1) { X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3), X (1) (4), X (1) (5)} 其中: X (1) (k ) X ( 0) (i ) X (1) (k 1) X ( 0) (k )
i 1 k
灰色预测(讲)
一、什么是灰色预测灰色预测是就对灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如：一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。
遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。
人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。
再如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。
世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具有潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
常用的灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
二、灰色预测的步骤若给定原始数据序列)](),......2(),1([)0()0()0()0(n X X X X =可分别从)0(X 序列中,选取不同长度的连续数据作为子序列.对于子序列建立GM(1,1)模型的步骤可以概括为： 第一步：写出原始数据列(0)X(0)(0)(0)(0)(){(1),(2),......,()}X i X X X n =为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
《灰色预测》PPT课件
2 灰色模块预 测思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
图7.3 灰色预测模型的基本思想
12
•1 灰色预测模型的提出
• 来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）
信息
信息
•黑
• 信息未 知
• 黑色系 统
补充 信息
补充
灰色系统理论着重
• 灰 研究系统内部(结构 、参数、总体信特息征
②通过数据的序列生成弱化原始数据序列的 随机性(尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化)；
③ 提出模块预测和累加生成的思想。
14
灰色预测基本模型——GM(1,1) 模型
• 定义7.1 设X (0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
•称
X (1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
X1表示;固定资产投资为资本投入,用变量X2表示,则有网络关系;
X2
W1
X1
•固定资产的投资对GDP的产出有一定的拉动效应;
29
•用适当的固定资产投资率作为国民经济系统扩大再生产的投资.此 时,GDP是前因,固定资产投资为结果,即可以将再生产的投资作为正 反馈项加入网络,综合可得系统的网络模型如下图
,因W此1(s网) 络s图0为0.4.0186995,2可
X2
0.4169/(s+0.08952)
X1
31
•第五步: 优化模型 •系统的发展变化过程是否令人满意,主要反映在闭环系统传递函数的结构 和参数上.根据以上网络图有
W1(s)(x11(s) x12 (s)) x11(s)
•所以整个闭环传递函数为
第六章 灰色预测法
灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围内变化的灰 色量,所以随机过程是一个灰色过程. 灰色系统理论认为,尽管系统表象复杂,数据散乱,信息不充 分,但作为系统,它必然有整体功能和内在规律,必然是有序的. 在处理手法上,对灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分 布,而是通过对杂乱无章的原始数据的整理来寻找数的规律,这 叫数的生成. 对原始数据作累加处理后,便出现了明显的指数规律.通过对生 成数据建立动态模型,来挖掘系统内部信息并充分利用信息进行 分析预测. 灰色预测(grey prediction)是利用灰色系统理论就灰色系统 所作的预测.
概率统计研究的是"随机不确定"现象的历史统计规 律,考察具有多种可能发生的结果的"随机不确定"现 象中每一种结果发生的可能性的大小,其出发点是, 大样本,且对象服从某种典型分布. 灰色系统研究的是"部分信息明确,部分信息未知"的 "小样本,贫信息"不确定性系统,它通过对已知"部分" 信息的生成去开发了解,认识现实世界.着重研究"外 延明确,内涵不明确"的对象.
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
树高在20米至30米
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
X ( 0) = ( x ( 0) (1), x ( 0) (2),
令z
(1)
, x ( 0) (n))
(k ) =
(1)
1 (1) (1) ( x (k ) + x (k 1)) 2
灰色预测模型ppt课件
.
灰色建模实例
北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号
1 2 3 4
年份
1986 1987 1988 1989
Leq 序号
年份
Leq
71.1 5
1990
71.4
72.4 6
1991
72.0
72.4 7
1992
71.6
72.1
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
.
第一步：级比检验，建模可行性分析
.
4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
(k2,3,L,7)，故可以用X ( 0 ) 作满意的GM(1, 1)
建模。
.
第二步： 用GM(1,1)建模
1. 对原始数据 X ( 0 )作一次累加：
k
x(1)(k) x(0)(m) (k1,2,L,7) m1
得：
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )7
.
例2 令原始序列X ( 0 )为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
灰色预测理论详解PPT学习教案
第5页/共59页
灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比
内涵 依据 手段 特点 要求 目标 信息准则
灰色系统 小样本不确定
信息覆盖 生成
少数据 允许任意分布
现实规律 最少信息
数理统计方法 大样本不确定
概率统计 统计 多数据
要求典型分布 历史统计规律
无限信息
模糊法 界限不确定 隶属度函数
边界取值 经验（数据）
&= BT B 1BTY
其中，
B= 则称
z(1) (2) 1
z
(1)
(3)
1
Y n=
... ...
z
(1)
(n)
1
dx(1) ax(1) b dt
x(0)(2)
x
(
0
)
(3)
...
x
(0)
(n
)
为灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。
第12页/共59页
GM（1.1）模型
模型符号含义 GM(1，1) →Grey Model(1阶方程，1个变量)
GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 其中x(0)(k)≥0,k=1,2,...,n X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n))
其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)
累减生成的作用 累减生成可将累第加11生页成/共还59页原为非生成数列,在建模方 程用来获得增量信息。
灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比
内涵 依据 手段 特点 要求 目标 信息准则
灰色系统 小样本不确定
信息覆盖 生成
少数据 允许任意分布
现实规律 最少信息
数理统计方法 大样本不确定
概率统计 统计 多数据
要求典型分布 历史统计规律
无限信息
模糊法 界限不确定 隶属度函数
边界取值 经验（数据）
&= BT B 1BTY
其中，
B= 则称
z(1) (2) 1
z
(1)
(3)
1
Y n=
... ...
z
(1)
(n)
1
dx(1) ax(1) b dt
x(0)(2)
x
(
0
)
(3)
...
x
(0)
(n
)
为灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。
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GM（1.1）模型
模型符号含义 GM(1，1) →Grey Model(1阶方程，1个变量)
GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 其中x(0)(k)≥0,k=1,2,...,n X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n))
其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)
累减生成的作用 累减生成可将累第加11生页成/共还59页原为非生成数列,在建模方 程用来获得增量信息。
灰色预测法PPT
0i X 0i Xˆ 0i i 1,2,..., n
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
No.15-第6章-灰色预测
xˆu(1) (7) fu (6 1) x(1) (6) 1 min 33.0071 xˆu(1) (8) fu (6 2) x(1) (6) 2 min 36.6595 xˆu(1) (9) fu (6 3) x(1) (6) 3 min 40.3119
(4.9445,5.5828,5.3441,5.2669, 4.5640,3.6524)
试计算其一次累加生成序列 x(1) (7), x(1) (8), x(1) (9) 的最高预测值、最低预测值和 基本预测值。
max
max{x(0) (k)}
1n{x(0)(k)}
四、区间预测
最高预测值 最低预测值 基本预测值
xˆs(1) (7) fs (6 1) x(1) (6) 1 max 34.9375 xˆs(1) (8) fs (6 2) x(1) (6) 2 max 40.5203 xˆs(1) (9) fs (6 3) x(1) (6) 3 max 46.1031
X (0) =47343.2,53641.3,57072.6,59746.9,66581.6
(1)级比检验
σ(k) x(k -1) = σ(2), σ(3), σ(4), σ(5)
x(k)
= 0.8826, 0.9399, 0.9552, 0.8973
n5
级比覆盖区域为
2
2
(e n1, en1 ) (0.716531,1.395612)
级比序列都在其覆盖范围内， 可以建立GM(1,1)模型。
【案例6-1】城镇基本医疗参保人数预测
(2)构造累加生成序列 X(1) 47343.2,100984.5,158057.1,217804,284385.6 (3)构造数据矩阵 B 和数据向量 Y 计算 αˆ
第三讲 灰色预测
T
(B B)
T
(1 )
1
B YN
T
其中
X X
(1 )
(1 )
(1 ) X (2) X
(2) (3)
(1 )
(1 )
X
( n 1) X
(1 )
(n)
1 1 1
YN X
(0)
( 2 ), X
(0)
( 3 ), , X
14 1 1
14 2 0.634
14 3 0.4963 14 4 0.352
回总目录 回本章目录
第五步：求关联度
12
1 4
k 0.551
12 k 1
4
13
1 4
k 0.717
13 k 1
4
因素间 相互关系 的评价
生成列为：
X
1
X
1
1, X 1 2, X 1 3,... X 1 n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X
m
k X m1 i , m 1,......,
i 1
k
数据预处理
对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加 次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非 随机序列。
ˆ X k 1 X
ˆ X k 1 X
0
u u 1 u 1 a1 k m 1 a k 1 q m e e 1 a a a1
(k m )
0
14
X2
1
k 0.621 4
(B B)
T
(1 )
1
B YN
T
其中
X X
(1 )
(1 )
(1 ) X (2) X
(2) (3)
(1 )
(1 )
X
( n 1) X
(1 )
(n)
1 1 1
YN X
(0)
( 2 ), X
(0)
( 3 ), , X
14 1 1
14 2 0.634
14 3 0.4963 14 4 0.352
回总目录 回本章目录
第五步：求关联度
12
1 4
k 0.551
12 k 1
4
13
1 4
k 0.717
13 k 1
4
因素间 相互关系 的评价
生成列为：
X
1
X
1
1, X 1 2, X 1 3,... X 1 n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X
m
k X m1 i , m 1,......,
i 1
k
数据预处理
对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加 次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非 随机序列。
ˆ X k 1 X
ˆ X k 1 X
0
u u 1 u 1 a1 k m 1 a k 1 q m e e 1 a a a1
(k m )
0
14
X2
1
k 0.621 4
灰色预测讲座
(k) min{ (k)} P max{ (k)} (k 1,..., 6, P 0.5)
(k) P max{ (k)}
求得(k) ={1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67}
(3) 计算关联度
r
1 6
6
(k )
k 1
=0.67
r=0.67 是满足 P=0.5 时的检验准则 r 0.6 的。
绝对残差序列： (0) =｛0，0.02，0，0.04，0.02，0.01｝
相对残差序列： =｛0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%｝
相对残差不超过 1.19%（平均误差为 0.44％），模型精确度高。
关联度检验
(1) 计算序列 x(0) 与 xˆ (0) 的绝对残差序列 (0) (k)
，
k 1, 2,3 , n 1
2.模型的检验
残差检验 (1)根据预测公式 Xˆ (0) (k 1) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k ) 2.9767e0.043879k ，计算 Xˆ (0) (k ) ，得模型值（ k =1,2, … ,6）
Xˆ (0) (k ) ={2.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71｝ 原始序列： X (0) (k ) ={2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72｝ (2)计算绝对残差和相对残差序列
2000 3.13
2001 3.25
2002 3.36
2003 3.56
2004 3.72
分析：
这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如 下假设
（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；
（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；
灰色预测模型-2022年学习资料
常见的几种灰生成类型：-1.累加生成算子AGO-2.逆累加生成算子（IAGO-3.均值生成算子MEAN-4 级比生成算子-8
1.累加生成算子AGO-定义它是对原序列中的数据依次累加以得到-生成序列。令x为原序列-X=x1,x2.L ,x n-我们说X四是X0的AGO序列，并记为-X=AGO X0-当且仅当-X0=（x01,x02,L,x n）-并满足xk=∑xm-k=1,2,L,n-m=-9
灰色预测模型灰色预测模型ppt课件
1、-灰色系统介绍-■-灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80-年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长 -的发展。-灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息-未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并-依据信息 盖，通过序列算子的作用探索事物运-动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重-研究“外延明确，-内涵不明确 的对象。-2
3、灰数及其运算-只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰-数，通常记为：“⑧”-例如：-1.头发的多少才 是秃子。应该是个区间范-围。模糊-2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。-3.多么重才算胖子？。-5
灰数的种类：-a、仅有下界的灰数。-有下界无上界的灰数记为：⑧∈[a,∞]-b、仅有上界的灰数。-有上界无 界的灰数记为：⑧∈[∞，b]-c、区间灰数-既有上界又有下界的灰数：⑧∈[a,b]-d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰-数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续-6
灰生成技术-灰色序列生成-是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化-的现实规律的途径，简称灰生成。生成特点-在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与-性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性， 显现其规律性。-灰生成的作用-1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。-2.将摆动序列转换为单调增长序列 以利于灰建模。-3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
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• 其中，z (1) (k) 1 (x(1) (k) x(1) (k 1)) 2
•称
x (0) (k) az (1) (k) b
• 为灰色微分方程。
17
• 定理7.1 设X (0) , X (1) , Z (1)
• 若 aˆ (a, b)T
为参数列，且
如定义7.1和7.2所示：
x(0) (2)
dx(1) (k) ax(1) (k) b dt
• 为白化微分方程，也称为白化方程或者影子方程。
15
G ↑
Grey
GM(1,1)的含义如下:
M ↑ Model
(1, ↑
1阶方程
1) ↑ 1个变量
16
• 定义7.2 设 X (0) , X (1) 如定义7.1所示,
Z (1) (z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
②通过数据的序列生成弱化原始数据序列的 随机性(尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化)；
③ 提出模块预测和累加生成的思想。
14
灰色预测基本模型——GM(1,1) 模型
• 定义7.1 设X (0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
•称
X (1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
• 公理3 最少信息原理
•
灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少
信息”。
10
• 公理4 认知根据原理
•
信息是认知的根据
• 公理5 新信息优先原理
•
新信息对认知的作用大于老信息。
• 公理6 灰性不灭原理
•
“信息不完全”是绝对的
11
7.2 灰色预测模型
灰色预测 模型的基 本思想
1 灰色预测模 型的提出
3
主要内容：
➢ 7.1 灰色系统理论的初步知识 ➢ 7.2 灰色预测模型 ➢ 7.3 灰色预测案例
4
7.1 灰色系统的初步知识
• 1 三种不确定理论的比较分析
•
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对
象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，
借助于隶属函数进行处理。
•
概率论与数理统计研究的是“随机不确定”现象的
2 灰色模块预 测思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
图7.3 灰色预测模型的基本思想
12
•1 灰色预测模型的提出
• 来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）
信息
信息
•黑
• 信息未 知
• 黑色系 统
补充 信息
补充
灰色系统理论着重
• 灰 研究系统内部(结构 、参数、总体信特息征
第七章 灰色预测
•
灰色预测模型是灰色系统理论的主要内容之一，也是
灰色系统理论研究最活跃的领域之一，通过对原始数据序列
进行累加生成能够把数据序列不明显的变化趋势变为具有明
显的增长趋势，从而挖掘出数据序列的规律，然后建立模型，
最后通过累减还原进行数据模拟和预测。无论是在自然科学
领域、工程领域还是社会学领域，灰色预测模型都得到了大
• 部分信)已,知尽息信可息能的发作挥用现。有 已知，部分 信息未知
• 灰色系统
•白
• 信息完 全已知
• 白色系 统
13
灰色预测第一篇论文
邓聚龙,灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用 [J],大自然探索,1984年第3期,37-43.
研究出发点
① 通过对数据序列的映射处理,为微分拟合 建模提供中间信息；
量的成功应用，这充分显示出灰色预测理论的实用性。
1
灰色系统理论诞生于 20 世纪 80 年代初期，它是由中国学者邓聚龙教授创 立的，是一种以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不 确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有 价值的信息，实现对系统运行规律的正确描述和有效控制。
历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确
定”现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，
大样本，且对象服从某种典型分布。
•
5
•
灰色系统研究的是“部分信息已知，部分
信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性系统，
它通过对已知“部分”信息的生成去开发了解、
认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明
确”的对象。
6
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
表7.1 三种不确定性理论的比较
灰色系统
概率论与数理统计 模糊数学
Байду номын сангаас
贫信息不确定 随机不确定
认知不确定
灰色朦胧集
康托集
模糊集
信息覆盖
映射
映射
灰序列生成
频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律
2
据不完全统计，SCI,EI,ISTP,SA,MR,MA 等国际权威性检索机构跟踪、摘引 中国学者的灰色系统论著 8000 多次；据中国科学引文数据库（CSCD）发布的信 息（《中国科学时报》，1997 年 11 月 26 日），华中理工大学邓聚龙教授的灰色 系统理论被引用 533 次，居全国第一。中国国家科技部编撰出版的《中国科学 技术蓝皮书（第 8 号）》把灰色系统理论作为中国学者创立的软科学新方法加以 肯定。中国科协主持编撰的《管理科学与工程学科（2007-2008）发展报告》把 灰色系统理论作为我国管理科学与工程学科的创新性成果之一重点介绍。许多 重要的国际会议，如不确定性系统建模国际会议，系统预测控制国际会议，IEEE 系统、人、控制国际会议等都把灰色系统理论列为讨论专题。
灰色系统理论经过将近 30 年的发展，已经基本建立起一门新兴学科的结构 体系。其内容主要包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论 体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色空间为依托的分析体系，以 灰色模型为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、 优化为主体的技术体系。灰色系统理论不仅建立了比较完善的理论体系，而且 在农业、地质、经济、管理、医疗、教育等众多领域得到了广泛应用,因此赢得 国内外学术界的关注和肯定。
认知表达
小样本
大样本
凭借经验
7
图7.1 人口控制 2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
8
图7.2 大树的高度
树高在20米至30米
9
• 2 灰色系统的基本原理
• 公理1 差异信息原理
•
差异即信息，凡信息必有差异。
• 公理2 解的非唯一性原理
•
信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是
灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。
•称
x (0) (k) az (1) (k) b
• 为灰色微分方程。
17
• 定理7.1 设X (0) , X (1) , Z (1)
• 若 aˆ (a, b)T
为参数列，且
如定义7.1和7.2所示：
x(0) (2)
dx(1) (k) ax(1) (k) b dt
• 为白化微分方程，也称为白化方程或者影子方程。
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G ↑
Grey
GM(1,1)的含义如下:
M ↑ Model
(1, ↑
1阶方程
1) ↑ 1个变量
16
• 定义7.2 设 X (0) , X (1) 如定义7.1所示,
Z (1) (z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
②通过数据的序列生成弱化原始数据序列的 随机性(尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化)；
③ 提出模块预测和累加生成的思想。
14
灰色预测基本模型——GM(1,1) 模型
• 定义7.1 设X (0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
•称
X (1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
• 公理3 最少信息原理
•
灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少
信息”。
10
• 公理4 认知根据原理
•
信息是认知的根据
• 公理5 新信息优先原理
•
新信息对认知的作用大于老信息。
• 公理6 灰性不灭原理
•
“信息不完全”是绝对的
11
7.2 灰色预测模型
灰色预测 模型的基 本思想
1 灰色预测模 型的提出
3
主要内容：
➢ 7.1 灰色系统理论的初步知识 ➢ 7.2 灰色预测模型 ➢ 7.3 灰色预测案例
4
7.1 灰色系统的初步知识
• 1 三种不确定理论的比较分析
•
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对
象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，
借助于隶属函数进行处理。
•
概率论与数理统计研究的是“随机不确定”现象的
2 灰色模块预 测思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
图7.3 灰色预测模型的基本思想
12
•1 灰色预测模型的提出
• 来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）
信息
信息
•黑
• 信息未 知
• 黑色系 统
补充 信息
补充
灰色系统理论着重
• 灰 研究系统内部(结构 、参数、总体信特息征
第七章 灰色预测
•
灰色预测模型是灰色系统理论的主要内容之一，也是
灰色系统理论研究最活跃的领域之一，通过对原始数据序列
进行累加生成能够把数据序列不明显的变化趋势变为具有明
显的增长趋势，从而挖掘出数据序列的规律，然后建立模型，
最后通过累减还原进行数据模拟和预测。无论是在自然科学
领域、工程领域还是社会学领域，灰色预测模型都得到了大
• 部分信)已,知尽息信可息能的发作挥用现。有 已知，部分 信息未知
• 灰色系统
•白
• 信息完 全已知
• 白色系 统
13
灰色预测第一篇论文
邓聚龙,灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用 [J],大自然探索,1984年第3期,37-43.
研究出发点
① 通过对数据序列的映射处理,为微分拟合 建模提供中间信息；
量的成功应用，这充分显示出灰色预测理论的实用性。
1
灰色系统理论诞生于 20 世纪 80 年代初期，它是由中国学者邓聚龙教授创 立的，是一种以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不 确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有 价值的信息，实现对系统运行规律的正确描述和有效控制。
历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确
定”现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，
大样本，且对象服从某种典型分布。
•
5
•
灰色系统研究的是“部分信息已知，部分
信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性系统，
它通过对已知“部分”信息的生成去开发了解、
认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明
确”的对象。
6
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
表7.1 三种不确定性理论的比较
灰色系统
概率论与数理统计 模糊数学
Байду номын сангаас
贫信息不确定 随机不确定
认知不确定
灰色朦胧集
康托集
模糊集
信息覆盖
映射
映射
灰序列生成
频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律
2
据不完全统计，SCI,EI,ISTP,SA,MR,MA 等国际权威性检索机构跟踪、摘引 中国学者的灰色系统论著 8000 多次；据中国科学引文数据库（CSCD）发布的信 息（《中国科学时报》，1997 年 11 月 26 日），华中理工大学邓聚龙教授的灰色 系统理论被引用 533 次，居全国第一。中国国家科技部编撰出版的《中国科学 技术蓝皮书（第 8 号）》把灰色系统理论作为中国学者创立的软科学新方法加以 肯定。中国科协主持编撰的《管理科学与工程学科（2007-2008）发展报告》把 灰色系统理论作为我国管理科学与工程学科的创新性成果之一重点介绍。许多 重要的国际会议，如不确定性系统建模国际会议，系统预测控制国际会议，IEEE 系统、人、控制国际会议等都把灰色系统理论列为讨论专题。
灰色系统理论经过将近 30 年的发展，已经基本建立起一门新兴学科的结构 体系。其内容主要包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论 体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色空间为依托的分析体系，以 灰色模型为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、 优化为主体的技术体系。灰色系统理论不仅建立了比较完善的理论体系，而且 在农业、地质、经济、管理、医疗、教育等众多领域得到了广泛应用,因此赢得 国内外学术界的关注和肯定。
认知表达
小样本
大样本
凭借经验
7
图7.1 人口控制 2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
8
图7.2 大树的高度
树高在20米至30米
9
• 2 灰色系统的基本原理
• 公理1 差异信息原理
•
差异即信息，凡信息必有差异。
• 公理2 解的非唯一性原理
•
信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是
灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。