2012年硕士研究生《医学统计学》 多个样本均数比较的方差分析 第一节 方差分析的基本思想及应用条件
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多个样本均数比较的方差分析
Variance — average variation of data
s2
X i X 2
n 1
X
2
i
X i 2
n
n 1
各种符号的意义
❖Xij第i 个组第j 个观察值 ❖ i =1,2,…g （列数） ❖ j =1,2,…ni （行数）
❖
❖ =第i组均数 ❖ =总均数
∑ni=N
方差分析基本思想
4/14/2020
例4-3
如何按随机区组设计，分配5个区组15只小白鼠接
受甲、乙、丙三种抗癌药物实验？
将小白鼠按体重编号，体重相近3只小白鼠配成一 个区组，然后在随机数字表中任选一行一列开始 的两位数作为一个随机数，如从第8行第3列开始 记录，在每个区组内将随机数字按大小排序，各 区组序号为1接受甲组、序号为2接受乙组、序号 为3接受丙组。
第二节 完全随机设计资料方差分析
例4-1
某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按 统一纳入标准选择120名患者，采用完全随机设 计方法将患者等分为4组进行双盲试验。问如何 进行分组？
编号：120名高血脂患者从1开始到120，见表4-2 第1行（P57）
随机数字：从附表15中的任一行任一列开始，如 第5行第7列开始，依次读取三位数作为一个随机 数录于编号下，见表4-2 第2行；
编序号：将全部随机数字从小到大 (数据相同 则按先后顺序）编序号
事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号 61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。
例4-2
某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按 统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随 机设计方法将患者等分为4组（具体分组方法见例 4-1），进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白 作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低 密度脂蛋白含量总体均数有无差别?
第四章 多个样本均数比较的方差分析(研究生)1
3
MS
10.72
F
24.93
P
<0.01
组间（处理组间） 32.16
组内（误差）
总变异
49.94
82.10
116
119
0.430
18
3）确定P值并作出推断结论
以分子的自由度ν 分母的自由度ν
组间
=3为ν 1，
组内
=116为ν 2， ，P ＜0.01。
查方差分析用F界值表，F0.0计的方差分析基本相同， 主要区别在于：F值计算的方差分析表 （ANOVA table）不同。变异来源从组内 变异中分解出单位组变异与误差变异。
25
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5 个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三 种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，实验结果见表4-9。问 三种不同药物的抑瘤效果有无差别？
编号 1 2 随机数 22 17 秩次 5 4 分配组 A A A组 B组 C组 D组 1 7 3 5 2 9 4 6 3 68 15 C 11 13 12 8 4 65 14 C 15 16 14 10 5 81 16 D 17 19 18 20
21
6 7 95 23 20 6 D B
8 9 92 35 19 8 D B
i 1 j 1 g ni
7
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：随机误差 组间变异 SS 组间：随机误差+处理因素
均方(mean square，MS)
MS
10.72
F
24.93
P
<0.01
组间（处理组间） 32.16
组内（误差）
总变异
49.94
82.10
116
119
0.430
18
3）确定P值并作出推断结论
以分子的自由度ν 分母的自由度ν
组间
=3为ν 1，
组内
=116为ν 2， ，P ＜0.01。
查方差分析用F界值表，F0.0计的方差分析基本相同， 主要区别在于：F值计算的方差分析表 （ANOVA table）不同。变异来源从组内 变异中分解出单位组变异与误差变异。
25
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5 个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三 种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，实验结果见表4-9。问 三种不同药物的抑瘤效果有无差别？
编号 1 2 随机数 22 17 秩次 5 4 分配组 A A A组 B组 C组 D组 1 7 3 5 2 9 4 6 3 68 15 C 11 13 12 8 4 65 14 C 15 16 14 10 5 81 16 D 17 19 18 20
21
6 7 95 23 20 6 D B
8 9 92 35 19 8 D B
i 1 j 1 g ni
7
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：随机误差 组间变异 SS 组间：随机误差+处理因素
均方(mean square，MS)
第四章 多个样本均数比较的方差分析
X i ， ni :第 i 个实验组的样本均数和样本例数 X 0 ， n0 :对照组的样本均数和样本例数
MS误差 误差均方
检验界值：p707-708附表5(1)\5(2 )。
Dunnett- t 检验与两样本均数比较 t 检验
两样本均数差值的标准误 合并方差 VS 误差均方
自由度ν
ν=n1+n2－2 VS ν误差
组的低密度脂蛋白含量总体均数不等
α=0.05
n 根据例 4-2，X 2.4g =2.72，X 0 =3.43， 2.4g = n0 =30，
MS 误差 =0.43，
误差
=116
骣 ç1 = 0.43? ç ç30 桫 1÷ ÷ =0.17 30 ÷
SX
iX j
2.72 - 3.43 LSD-t = = =-4.18 0.17
次均不犯Ⅰ类错误的概率为 (1- 0.05) ，
总的检验水准变为 1- (1- 0.05) = 0.26 。
6
6
一、LSD-t 检验
（least significant difference）
适用范围：一对或几对在专业上有特 殊意义的样本均数间的比较。
检验统计量LSD-t
LSD - t = Xi - X j SX i Xj
的抑瘤效果两两之间是否有差别？
H0：μi=μj 任两对比较组的总体均数相等 H1：μi ≠μj 任两对比较组的总体均数不相等 α=0.05
将三个样本均数由小到大排列，并编组次：
均数(g) 0.314
组别 C药
0.434
B药
0.614
A药
组次
例数
1
5
误差
2
5
多个样本均数比较的方差分析
多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析第一节方差分析的基本思想及应用条件一、方差分析的基本思想1. 总变异:所有测量值之间总的变异程度2. 组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和，反映间的变异程度存在组间变异的原因：随机误差（个体变异和测量误差）不同处理（处理的不同水平）效果的差异3. 组内变异：同一组内各测量值Xij与其所在组均数的差值的平方和，反映组内个体的变异程度。
存在组间变异的原因：随机误差（个体变异和测量误差）不同处理的不同效果存在组内变异的原因：随机误差方差分析的检验统计量：F值◆组间变异：随机误差和处理的效应◆组内变异：随机误差◆F值越接近于l，越没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒绝H0的理由越充分。
◆当H0成立时，F统计量服从F分布。
◆根据分子自由度ν1和分母自由度ν2，查出特定显著性水准下F分布的界值，作为判断统计量F值大小的标准。
◆根据计算的统计量F值与F界值的相对大小，决定H0成立的可能性。
方差分析的基本思想将总变异分解为两个（如组间变异和组内变异）或多个部分，除随机误差外，各个部分的变异可由某个因素的作用加以解释。
通过比较不同来源的变异（均方），借助F 分布做出统计推断。
若F值大于某个临界值，表示处理组间的效应不同；若F值接近甚至小于某个临界值，表示处理组间效应相同(差异仅仅反映随机误差)。
不同设计类型方差分析的基本思想相同：将处理间平均变异与误差平均变异比较。
不同设计类型方差分析的变异分解项目不同，应结合实际选择具体的方差分析方法二、方差分析的应用条件各样本是相互独立的随机样本，均服从正态分布；相互比较的各样本的总体方差相等，即具有方差齐性（homogeneity of variance）。
第二节完全随机设计资料的方差分析一、完全随机设计采用完全随机化分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应是否相同。
多个样本均数比较的方差分析
SS总SS组间
SS组内
组内
F
MS组间 MS组内
例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳 入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等 分为4组（具体分组方法见例4-1），进行双盲试验。6周后测得 低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低 密度脂蛋白含量总体均数有无差别?
区组
编号
1
处理因素(g 个水平)
2
3
…
g
表1 4-7 X 随 11 机区X组21 设计的X31
…
Xg1
试2 验结果X12
X22
X32
…
Xg2
…
…
…
…
…
…
j
X1j
X2j
X3j
…
Xgj
…
…
…
…
…
…
n
X 1n
X 2n
X 3n
…
X gn
变异分解
一．总变异：反映所有观察值之间的变异,记为SS总。
2. 处理间变异：由处理因素的不同水平作用和随机误差产生的变异，记为SS处理。 3. 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异，记为SS区组. 4. 误差变异：完全由随机误差产生的变异，记为SS误差。
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表4-5 完全随机设计方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
总变异 组间 组内
119 82.10
3 32.16 10.72 单 击1此16处 添 加4小9.9标4题 0.43
F 24.93
P <0.01
列方差分析表
三．0确.0定5P值，作出推断结论：
第4章 多个样本均数比较的方差分析
j 1 ni 2
SS组间 ni ( X i X )
2 i 1 i 1
g
g
ni
C
组间 g 1
2014-11-11
14
3 ．组内变异： 在同一处理组中，虽然
每个受试对象接受的处理相同，但测量值 仍各不相同，这种变异称为组内变异（误 差）。组内变异可用组内各测量值Xij与其 所在组的均数的差值的平方和表示，记为 SS组内, 表示随机误差的影响。
3
问题：方差分析产生的原因？ 对于两组样本均数比较，可以考虑应用 t 检验，对两组或两组以上样本均数比较可 考虑应用方差分析 (analysis of variance, ANOVA) 。 方差分析是由英国统计学家Fisher首创， 为纪念Fisher，故方差分析又称 F 检验 （F test）。
组间变异 组内变异
总变异
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10
1.总变异:全部测量值大小不同，这种
变异称为总变异。 总变异的大小可以用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表 示，即各测量值Xij与总均数差值的平方 和，记为SS总。 总变异SS总反映了所有测量值之间总的变 异程度。
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19
方差分析的数理统计原理
假定某单因素方差分析数据，有a个处理或水平， 每个处理组有b个观测数据，如下表所示：
处理1 处理2 „ 处理a X11, X12 , … , X1b X21, X22 , … , X2b „ Xa1, Xa2 , … , Xab
X1
X2
„
Xa
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SS组间 ni ( X i X )
2 i 1 i 1
g
g
ni
C
组间 g 1
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3 ．组内变异： 在同一处理组中，虽然
每个受试对象接受的处理相同，但测量值 仍各不相同，这种变异称为组内变异（误 差）。组内变异可用组内各测量值Xij与其 所在组的均数的差值的平方和表示，记为 SS组内, 表示随机误差的影响。
3
问题：方差分析产生的原因？ 对于两组样本均数比较，可以考虑应用 t 检验，对两组或两组以上样本均数比较可 考虑应用方差分析 (analysis of variance, ANOVA) 。 方差分析是由英国统计学家Fisher首创， 为纪念Fisher，故方差分析又称 F 检验 （F test）。
组间变异 组内变异
总变异
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1.总变异:全部测量值大小不同，这种
变异称为总变异。 总变异的大小可以用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表 示，即各测量值Xij与总均数差值的平方 和，记为SS总。 总变异SS总反映了所有测量值之间总的变 异程度。
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方差分析的数理统计原理
假定某单因素方差分析数据，有a个处理或水平， 每个处理组有b个观测数据，如下表所示：
处理1 处理2 „ 处理a X11, X12 , … , X1b X21, X22 , … , X2b „ Xa1, Xa2 , … , Xab
X1
X2
„
Xa
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医学统计学教学课件-方差分析 PPT
B 组（24h）
11.14 11.60 11.42 13.85 13.53 14.16 6.94 13.01 14.18 17.72
C 组（96h）
合计
10.85
8.58
7.19
9.36 i为组的编号，A，B，C
9.59
8.81 j为组内为个体编号，
8.22 1，2，…，10
9.95
11.26
8.68
与总均数 X 间的差别
2. 组间变异（ between group variation ） 各
组的均数
X
与总均数
i
X
间的差异
3. 组内变异（within group variation )每组的
10个原始数据与该组均数X i 的差异
下面先用离均差平方和(sum of squares of
deviations from mean，SS)表示变异的大小
3. 组内变异
在同一处理组内，虽
然每个受试对象接受的处
理相同，但测量值仍各不
相同，这种变异称为组内
变异。SS组内仅仅反映了随
mi
机误差的影响。也称SS误差
k ni
k
SS组内
(XijXi)2 (ni 1)Si2
i1 j1
i1
组间 ＝Nk
S 组 ＝ ( 7 S . 7 内 8 . 0 6 ) 2 ( 7 4 . 7 8 . 0 1 ) 2 4 ( 8 . 6 9 . 2 8 ) 2 1 5 . 0 1
ni
T3 X 3 j j 1
k ni
X X ij i1 j1
ni
Qi
X
2 ij
j 1
ni
2012医学统计学试题及答案
2012医学统计学试题及答案单选题：1下面的变量中是分类变量的是A.身高B.体重C.年龄D.血型E.血压2下面的变量中是是数值变量的是A.性别B.年龄C.血型D.职业E疗效3.随机事件的概率P为A.P=0B.P=1C.P=-0.5D.–0.5<p<0.5< p="">E.0<p<1< p="">4.用样本作推断,样本应是A.总体中典型的一部分B.总体中任一部分C.总体中随机抽取的一部分D.总体中按比例分配的一部分E.总体中信息明确的一部分5．若以发汞含量大于2.6ug/kg为异常，调查某地1000人中多少人属于异常，这资料可看作A.计量资料B.计数资料C.等级资料D.实验资料E.以上均不对6.统计工作的步骤是:A.作假设、计算统计量、查界值表和作结论B.整理资料、分析资料、假设检验C.统计设计、收集资料、整理和分析资料D.设立对照组、估计样本、重复试验E.统计描述、区间估计、假设检验7.反映计量资料集中趋势的指标是____。
A.标准差B.标准误C.率D.全距E.均数8.编制频数表中错误的做法是____。
A.找出最大值和最小值,计算极差B.定组距,常用等组距,一般分8~15组为宜C.写组段时组段可重叠，如“2～4,4～6,…”D.用划记法计频数E.第一个组段应包括变量最小值，最后一个组段应包括变量最大值9.在描述资料的变异程度时，最宽的范围是___。
A均数标准差B极差C四分位数间距D95%的参考值范围EP5~P95间距10．比较20头河马体重和20只小白鼠体重两组数据变异程度大小宜采用____ A．变异系数(CV)B．方差C．极差(R)D．标准差(S)E．四份位数间距11.对血清滴度资料表示平均水平的最常用统计量是:：A．均数B．中位数C．几何均数D．全距E．标准差12．描述一组偏态分布资料的变异程度时，适宜的统计量是：A．变异系数(CV)B．方差C．极差(R)D．标准差(S)E．四份位数间距13.关于标准正态分布曲线下的面积，错误的是____A.-1.96到1.96间曲线下面积是95%B.1.96到2.58间曲线下面积是2%C.大于1.645的曲线下面积是2.5%D.-1.96到-1.645间曲线下面积是2.5%E.大于1.96的曲线下面积为2.5%14.范围内占正态曲线下面积的____。
多个样本均数比较的方差分析-精选文档
9年3月24日
2019年3月24日
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2019年3月24日
方差分析的应用条件
①各组样本是相互独立的随机样本且来 自正态总体。 ②各组总体方差相等，即方差齐性（ homoscedasticity）。 上述两个条件与两均数比较的t检验的 应用条件是相同的。实际上，当组数为 2时，方差分析与两均数比较的t检验是 等价的，且对同一资料有。
2019年3月24日
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2019年3月24日
方差分析的结果只能说明多组间是否有 差别，有时我们更关心哪两组间有差别( 如本例更关心两个切痂组的ATP含量是 否有差别)。这时可进行多个均数的两两 比较，详见本章第四节。
2019年3月24日
多个样本均数比较的方差分析
前章介绍了两样本均数比较的t检验。在医学科 学研究中，常常要通过多个样本均数比较来推 断各处理组间是否存在差别，此时若多次重复 使用t-test ，会使犯第Ⅰ类错误（假阳性错误 ）的概率增大，且脱离了原先的实验设计，将 多个样本均数的同时比较转变为两个样本均数 的多次比较。若采用实验设计所对应的方差分 析同时分析多个样本均数的差别，则可避免以 上问题。
例11-1 为了解烫伤后不同时期切痂对肝脏三磷 酸腺苷（简写为ATP）的影响，将30只雄性大 鼠随机分成3组, 每组10只：A组为烫伤对照组 ，B组为烫伤后24小时(休克期)切痂组，C组为 烫伤后96小时（非休克期）切痂组。全部动物 统一在烫伤后168小时处死并测量其肝脏的 ATP含量，结果见表11-1。这一问题的解决可 以归结为三组ATP总体均数差别的比较。如果 三组ATP的总体均数存在差别，则推论B组和C 组的处理对ATP有影响。
2019年3月24日
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方差分析的应用条件
①各组样本是相互独立的随机样本且来 自正态总体。 ②各组总体方差相等，即方差齐性（ homoscedasticity）。 上述两个条件与两均数比较的t检验的 应用条件是相同的。实际上，当组数为 2时，方差分析与两均数比较的t检验是 等价的，且对同一资料有。
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方差分析的结果只能说明多组间是否有 差别，有时我们更关心哪两组间有差别( 如本例更关心两个切痂组的ATP含量是 否有差别)。这时可进行多个均数的两两 比较，详见本章第四节。
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多个样本均数比较的方差分析
前章介绍了两样本均数比较的t检验。在医学科 学研究中，常常要通过多个样本均数比较来推 断各处理组间是否存在差别，此时若多次重复 使用t-test ，会使犯第Ⅰ类错误（假阳性错误 ）的概率增大，且脱离了原先的实验设计，将 多个样本均数的同时比较转变为两个样本均数 的多次比较。若采用实验设计所对应的方差分 析同时分析多个样本均数的差别，则可避免以 上问题。
例11-1 为了解烫伤后不同时期切痂对肝脏三磷 酸腺苷（简写为ATP）的影响，将30只雄性大 鼠随机分成3组, 每组10只：A组为烫伤对照组 ，B组为烫伤后24小时(休克期)切痂组，C组为 烫伤后96小时（非休克期）切痂组。全部动物 统一在烫伤后168小时处死并测量其肝脏的 ATP含量，结果见表11-1。这一问题的解决可 以归结为三组ATP总体均数差别的比较。如果 三组ATP的总体均数存在差别，则推论B组和C 组的处理对ATP有影响。
[预防医学]多个样本均数比较的方差分析
![[预防医学]多个样本均数比较的方差分析](https://img.taocdn.com/s3/m/ca45e405fd0a79563d1e7241.png)
0.54
0.23
3
0.43
0.34
0.28
4
0.41
0.21
0.31
5 均数
0.68 0.614
0.43 0.434
0.24 0.314
29
h
方差分析的步骤
1、建立检验假设，确定检验水准
H01：3种药物作用后小白鼠肉瘤重量的
总体均数相同；
1 2 3
H11： 3种药物作用后小白鼠肉瘤重量
的总体均数不全相同。
s s 误 差 s s 总 s s 处 理 s s 区 组
误差 Nng1
36
h
(2)计算各离均差平方和SS、自由度DF、 均方MS及F 值
6.812 C 3.0917
15
SS总 = 3.6245 - 3.0917 = 0.5328
37
h
3 .0 7 2 2 .1 7 2 1 .5 7 2 S S 处 理 555 3 .0 9 1 7 0 .2 2 8 0
F0.05,3,100=2.70 < F P < 0.05
结论：在＝0.05水准处，拒绝H0，4组总体
均数的差别具有统计学意义（统计学结论）； 高血脂患者服用不同药物后对低密度脂蛋白 含量有影响（医学专业结论）。
25
h
方差分析的步骤
表4-2 表4-1资料的方差分析表
变异来源
SS DF MS
F
P
组间
9
h
各部分变异的关系
SS总=SS组间+SS组内
10
h
变异分解
❖ 变异各部分的自由度：
总N1
组间k1
组 内 1 2 3N k
11
多个样本均数比较的方差分析ppt文档
X2
μ2
水平 3 X31 X32 ┇ X3n 3 n3
X3
μ3
合计
N=Σ ni
X X ij N
μ
总变异 = 组间变异 + 组内变异
表 糖尿病患者、IGT异常及正常人的
载脂蛋白测定结果
糖尿病
IGT
正常人
85.70
96.00
144.00
105.20
124.50
117.00
…
…
…
111.00
99.00
=2384.03 ▪ SS组内= SS总- SS组间=7881.87-2384.03=5497.84
表 完全随机设计资料的方差分析表
159.00
106.50
120.00
115.00
均数
105.45(11) 102.39(9) 122.80(10) X=110.3
全部实验结果存在三种不同的变异
▪ 总变异：全部实验数据大小不等。变异的 大小用观察值与总均数的离均差平方和表 示，记为SS总
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等， 变异的大小用各组均数与总体均数的离均差 平方和表示，记为SS组间。 组内变异：各处理组内部观察值也大小不 等，可用各处理组内部每个观察值与组均数 的离均差平方和表示。记为SS组内。
IGT 96.00 124.50 … 99.00 120.00 102.39(9)
正常人 144.00 117.00 … 159.00 115.00 122.80(10) X=110.3
2. 分析计算步骤
▪ 建立检验假设和确定检验水准
H0: 三种人载脂蛋白的总体均数相等，即
m1 m2 m3
H1: 三种人载脂蛋白的总体均数不全相等 =0.05
μ2
水平 3 X31 X32 ┇ X3n 3 n3
X3
μ3
合计
N=Σ ni
X X ij N
μ
总变异 = 组间变异 + 组内变异
表 糖尿病患者、IGT异常及正常人的
载脂蛋白测定结果
糖尿病
IGT
正常人
85.70
96.00
144.00
105.20
124.50
117.00
…
…
…
111.00
99.00
=2384.03 ▪ SS组内= SS总- SS组间=7881.87-2384.03=5497.84
表 完全随机设计资料的方差分析表
159.00
106.50
120.00
115.00
均数
105.45(11) 102.39(9) 122.80(10) X=110.3
全部实验结果存在三种不同的变异
▪ 总变异：全部实验数据大小不等。变异的 大小用观察值与总均数的离均差平方和表 示，记为SS总
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等， 变异的大小用各组均数与总体均数的离均差 平方和表示，记为SS组间。 组内变异：各处理组内部观察值也大小不 等，可用各处理组内部每个观察值与组均数 的离均差平方和表示。记为SS组内。
IGT 96.00 124.50 … 99.00 120.00 102.39(9)
正常人 144.00 117.00 … 159.00 115.00 122.80(10) X=110.3
2. 分析计算步骤
▪ 建立检验假设和确定检验水准
H0: 三种人载脂蛋白的总体均数相等，即
m1 m2 m3
H1: 三种人载脂蛋白的总体均数不全相等 =0.05
多组均数间比较的方差分析
二、
完全随机设计的单因素方 差分析
完全随机化设计(completely random design)： –在实验研究中，将全部观察对象随机分入k 个组，每个组给予不同的处理，然后观察实 验效应。 –在调查研究中，按某个因素的不同水平分组， 比较该因素的效应。
第 1组
X11 X12 X1 n1
第 2组 · · ·
适用于k-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较。
t Xi X0 SX X
i 0
SX X
i
0
1 1 MS误差 （ ) ni n0
当各组例数相等时, S X i X 0 2MS误差 / n
查Dunnett-t界值表。
（三） SNK-q检验
用于多个样本均数间每两个均数的比较。
2 2 i 1 i 1 j 1 i 1 j 1
=SS组间 SS组内
= 0
总=N-1=（k-1）+（N-k）= 组间+组内 H0：1= 2 = · · · = k F=MS组间/ MS组内 F服从自由度组间=k-1， 组内=N-k 的F分布， 表示为F~F（ 组间， 组内） 若F F （ 组间， 组内） ，P> ，不拒绝H0； 若F F （ 组间， 组内） ，P ，拒绝H0，接受H1。
四、
方差分析的假定条件
1.观察值X ij独立来自正态分布的总体； 2.方差齐性。
方差齐性检验
1.提出检验假设； 2.计算每一组的中位观察值mdi； 3.计算各组内个体观察值与中位观察值之差的 绝对值dij； dij =| Xij - mdi | 4.用dij作单向方差分析。
按区组求和 3（ C）
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例4-1 完全随机化分组方法
1. 120名患者编号
2. 为每个编号的患者取随机数
3. 120个随机数排序
4. 按患者随机数的序号决定组别
例4-1完全随机设计分组结果
编 号
随机数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
958
… 119 120
… 220 634
260 873
373 204 056 930 160 905 886
序 号
分组结果
24
甲
106
丁
39
乙
15
甲
3
甲
114
丁
13
甲
109 108
丁 丁
117
丁
…
…
16
甲
75
丙
二、方差分析的变异分解
例4-2
120名高血脂患者，完全随机等分 为4组，分别使用安慰剂和三个剂量的 降血脂新药。试验6周后测得低密度脂 蛋白。问4个处理组患者的低密度脂蛋 白含量总体均数有无差别?
2012年硕士研究生《医学统计学》
多个样本均数比较的 方差分析 analysis of variance, ANOVA
第一节
方差分析的基本思想及
应用条件
一、方差分析的基本思想
g 个处理组的试验结果 处理分组
1 2 X11 X21 X12 X22
测量值
… … X1j X2j … …
X1n1
统计量
n1 n2
问题：推断g个处理组总体均数有无差别
（一）测量数据的变异
离 均 差 平 方 和 (sum of squares of deviations from mean，SS) ：
SS X ij X X X
g 2 N i 1 j 1 i, j
ni
2
( N 1)S
方差分析的基本思想
将总变异分解为两个（如组间变异和组内变 异）或多个部分，除随机误差外，各个部分的变
异可由某个因素的作用加以解释。通过比较不同
来源的变异（均方），借助F分布做出统计推断。 若F值大于某个临界值，表示处理组间的效应不 同；若F值接近甚至小于某个临界值，表示处理 组间效应相同(差异仅仅反映随机误差)。
不同设计类型方差分析的基本思想相同： 将处理间平均变异与误差平均变异比较。 不同设计类型方差分析的变异分解项目不 同，应结合实际选择具体的方差分析方法。
二、方差分析的应用条件
各样本是相互独立的随机样本，均
服从正态分布；
相互比较的各样本的总体方差相等，
即具有方差齐性（homogeneity of
统计量
n
Xi
X
X2
30
3.43 102.91 367.85
降血脂新药 2.42 3.36 4.32 2.34 2.68 2.95 1.56 3.11 1.81 1.77 2.4g 组 1.98 2.63 2.86 2.93 2.17 2.72 2.65 2.22 2.90 2.97 2.36 2.56 2.52 2.27 2.98 3.72 2.80 3.57 4.02 2.31 2.86 2.28 2.39 2.28 2.48 2.28 3.21 2.23 2.32 2.68 4.8g 组 2.66 2.32 2.61 3.64 2.58 3.65 2.66 3.68 2.65 3.02 3.48 2.42 2.41 2.66 3.29 2.70 3.04 2.81 1.97 1.68 0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 7.2g 组 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71 30 1.97 58.99 132.13 30 2.70 80.94 225.54 30 2.72 81.46 233.00
存在组内变异的原因：
随机误差
离均差平方和的分解：
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
均方差：在SS基础上考虑自由度
均方(mean square，MS)
MS组间 SS组间
组间
,
MS组内
SS组内
组内
（二）方差分析的检验统计量：F
MS组间 F , 1 组间 , 2 组内 MS组内
2
1. 总变异: 所有测量值之间总的变
异程度
SS总 X ij X X ij C
g 2 g 2 i 1 j 1 i 1 j 1 ni ni
X C
i, j 2 ij
N
总 N 1
( X ij )
i 1 j 1 g ni 2
其中
C
完全随机化分组方法：
1. 实验单位编号
2. 取随机数
3. 随机数排序 4. 按随机数的序号决定组别
完全随机设计：统计方法选择
1. 正态分布且方差齐同：完全随机设计的单 因素方差分析 (one-way ANOVA)或两独立 样本均数比较的 t 检验（g=2） 2. 非正态分布或方差不齐：数据变换或采用 Wilcoxon秩和检验（非参数方法）
4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)
分 组
安慰剂组
测量值
3.53 4.59 4.34 2.66 3.59 3.13 2.64 2.56 3.50 3.25 3.30 4.04 3.53 3.56 3.85 4.07 3.52 3.93 4.19 2.96 1.37 3.93 2.33 2.98 4.00 3.55 2.96 4.3 4.16 2.59
X1
S1 S2
X 2 n2
X2
…
g
…
Xg1
…
Xg2
…
…
Xgj
…
…
X gng
…
ng
…
Xg
…
Sg
…
…
合计
Xij
N
X S
Xij：第i个处理组第j个观察对象的测量结果
总均数
各处理组均数
X X ij / N
i 1 j 1
g
ni
X i X ij / ni
j 1
ni
总例数
N＝nl+n2+…+ng
variance）。
第二节
完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计
采用完全随机化分组方法，将全 部试验对象分配到 g 个处理组（水平 组），各组分别接受不同的处理，实 验结束后比较各组均数之间的差别有 无统计学意义，推论g个处理因素的效 应是否相同。
例 4-2
某医生为了研究一种降血脂新
药的临床疗效，按统一纳入标准选择 120 名高血脂患者，采用完全随机设计方法将 患者等分为 4 组，分别使用安慰剂和三个 剂量的降血脂新药。
N
( X ij )
i, j
N
2
N
2. 组间变异： 各组均数与总均数的
离均差平方和，反映 X i 间的变异程度。
( X ij )
j 1 ni 2
SS组间 ni ( X i X )
2 i 1 i 1
g
g
ni
C
组间 g 1
存在组间变异的原因：
随机误差（个体变异和测量误差）
不同处理（处理的不同水平）效果的
差异
3. 组内变异：同一组内各测量值Xij与
其所在组均数的差值的平方和，反映组 内个体的变异程度。
g ni
SS组内 ( X ij X i )
i 1 j 1
2
组内 N g
存在组间变异的原因：
随机误差（个体变异和测量误差） 不同处理的不同效果
组间变异：随机误差和处理的效应 组内变异：随机误差 F值越接近于l，越没有理由拒绝H0；反 之，F值越大，拒绝H0的理由越充分。
当H0成立时，F统计量服从F分布。
根据分子自由度1和分母自由度2，查
出特定显著性水准 下F分布的界值，作 为判断统计量F值大小的标准。 根据计算的统计量F值与F界值的相对大 小，决定H0成立的可能性。