概率论与数理统计：6-3样本均值与样本方差的分布

2
Y Yi
2 2 2 1
i 1
的分布
n
2
X Xi
i 1
12
n
2
Y Yi
2
n 1 , i1
2 2
2 n 1,
F F n 1,n 1.
三、大样本总体的抽样分布
定理6.3.1 设X1, X 2, , X n是来自均值为，方差为 2
的总体的一组样本，当n充分大时，近似地有
X
~N
25
故
2 0.75
19
14.56.
例3 若总体X N , 2 ，X1, X 2,
,
X
为
n
其简单随机样本，X为样本均值，S 2为样本方差。
试确定U
n
X
2
及V
n
X
S
2
的分布。
解 由题设可知 X
N
,
2
n
,
故 X N 0,1,
n
从而
X
n
2
n
X
2
U
2 1.
例3 若总体X N , 2 ，X1, X 2,
5 20
所以
Y
20
X 5
2
2 X 5 20
~ 2 1.
例2 设 X ~ N 0, 25, X1, X2,...X20, 是它的一个样本，
2
求
1
P
20
X
2 i
190,
i1
2
Y
20
X 5
的分布。
3
,
使
19S 2
P
25
0.75
解： 3 因为 19S 2 ~ 2 19，
2 分布, t 分布, F 分布.
4.熟练掌握有关单个正态总体的样本均值、 样本方差的分布结论，并加以应用。
课堂提高
例1 设X1, X 2 , X3, X 4来自总体N (0, 2 )的样本，
试确定统计量T X1 X 2 的分布.
X
2 3
X
2 4
解
X1
X2
~
N (0,2 2 ), 于是
X1 X2
例4 设 X ~ N 1, 12 , X1, X2,......Xn 是X 的一个样本
Y ~ N
2
,
2 2
, Y1,Y2,......Yn 是 Y的一个样本。
又 X1, X2,......Xn 与 Y1,Y2,......Yn 相互独立，
求统计量 分析：
n
F
i 1 n
2
X Xi
是X的一个简单随机样本，试确定统计量
n
m Xi
T
i 1
的概率分布。
nm
n
X
2 i
i n 1
解
由题设可知：X1
,
X
2
,
X
相互独立，且
nm
Xi N 0, 2 ,i 1, 2, , n m.
n
基本定理
定理 设随机变量X1, X 2 , , X n 相互独立,且
Xi ~ N ( i , i2 ) (i 1, 2, , n)
则它们的任一确定的线性函数
n
n
n
ci Xi ~ N ( cii ,
ci2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
其中c1, c2 , , cn为不全为零的常数.
一、单个正态总体的抽样分布
求 P X 165 3
解
由题设可知： X ~ N 165,
25 20
,即X
N 165, 1.25,
P X 165 3 PX 168 PX 162
1
3 1.25
3 1.25
2 1 2.68 0.0074
例2 设 X ~ N 0, 25, X1, X2,...X20, 是它的一个样本，
定理6.3.2 设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体 N(, 2)
的样本，则
1 X ~
N
,
2
n
；
n i1
(Xi )2 2
2 n；
2 样本均值X与样本方差S2相互独立；
n
3
n 1 S 2
2
(Xi X )2
i 1
2
2 n 1；
4 X t n 1.
Sn
例1 设 X ~ N 165, 25, X1, X2,...X20 是它的一个样本，
,
2
n
.
（由P126的独立同分布中心极限定理5.2.1推证）
定理的结论说明：不论总体服从何分布，只要其期望
为 ，方差为 2 ，则它的大样本的样本均值 X 均可
近似地看作服从正态分布
N
,
2
n
.
第六章小结
1.掌握统计量的概念及两个常用统计量. 2.掌握分位数的概念及查表方法. 3.掌握三个常用统计分布的定义及性质:
2 2
~
N (0,1)
X 3 与 X 4 独立同分布于N(0,1),于是
2
2
X
2 3
2
X
2 4 2
~
2(2)
由t分 布 的 定 义
X1 X2
2 2 ~ t(2)
X
2 3
X
2 4
2 2
即 X1 X2 ~ t(2)
X
2 3
X
2 4
例2 设总体X ~ N (0, 2 ), ( X1, X 2 , , X nm )
第6.3节 样本均值与样本方差的分布
一、基本定理 二、例题
三、小结
既然统计量是依赖于样本的,而后者又是随 机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的 分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样分布就 是统计量的分布
抽样分布
精确抽样分布
渐近分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
,
X
为
n
其简单随机样本，X为样本均值，S 2为样本方差。
试确定U
n
X
2
及V
n
X
S
2
的分布。
续解 而 n 1 S 2
2
2 n 1,
2
从而
X
n
n 1 S 2
2
n
1
1
Hale Waihona Puke Baidu
n
X
S
2
V
F 1, n 1.
二、两个正态总体的抽样分布
定理6.3.3 设X1, X 2 , , X n1和Y1,Y2 , ,Yn2是分别来自
正态总体N 1, 2 和N 2 , 2 的样本，且它们相
互独立，则1
t
X
Y Sn
1 2
11 n1 n2
~
t n1
n2
2，
其中Sn
n1 1 S12 n2 1 S22 ；
n1 n2 2
*了解*
2
S12 S22
F n1 1, n2 1,其中S12和S22为两总体的样本方差.
2
求
1
P
20
X
2 i
190 ,
i1
2
Y
20
X 5
的分布。
3
,
使
P
19S 2
25
0.75
解： 1由X ~ N 0, 25,可知 X ~ N 0,1，
则
1 25
20 i 1
X
2 i
~
2
5 20 ，
P
20
i1
X
2 i
190
P
1 25
20 i1
X
2 i
190 25
7.6
1
P
1 25
20 i 1
X
2 i
7.6
1 0.995 0.005.
例2 设 X ~ N 0, 25, X1, X2,...X20, 是它的一个样本，
2
求
1
P
20
X
2 i
190 ,
i1
2
Y
20
X 5
的分布。
3
,
使
P
19S 2
25
0.75
解：2因为X ~ N 0, 25,所以 X ~ N 0,1，