吉林大学材料力学第10章 能量法
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材料力学第10章 能量法及其应用
杆件的应变能的计算 1．变形后横截面仍为平面 扭转 拉压变形
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
材料力学能量法
按二种方式加载
(2)先作用 i，再作用 1，P2，…，Pi，…，则 先作用dP 再作用P 先作用 ， ，
(3)由于 1=U2，略去二阶微量，则有 由于U 略去二阶微量， 由于 2.用卡氏定理计算基本变形 用卡氏定理计算基本变形 (1)拉压变形 拉压变形
为分段常量时： 当N(x)为分段常量时： 为分段常量时
广义力及单位广义力共同作用下，结构的变形能： 广义力及单位广义力共同作用下，结构的变形能： (1)先作用单位力 0(=1)，再作用 1，P2，…，Pi，…，结构变形能为： 先作用单位力P 先作用单位力 ，再作用P ， ，结构变形能为：
？U+U0
P1
P2 f
Pn
△1
△2
△n
P1
P2
δ
1
Pn
△1
f
△2 △n
U1= P1δ11/2 + ( P2δ22/2 + P1δ12 )
U1= P1δ11/2 + ( P2δ22/2 + P1δ12 )
作用方式2： 再作用P 作用方式 ：先作用 P2,再作用 1： 再作用
U2= P2δ22/2
两种作用方式结果相同： 两种作用方式结果相同： 功的互等定理： 功的互等定理：
1.证明 证明 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为 广义)， 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为P1，P2，…，Pi，…(广义 ， ， 广义 相应在力方向的位移为d 相应在力方向的位移为 1，d2，…，di…。则变形能是广义力的函数： ， 。则变形能是广义力的函数：
变形能的微分是： 变形能的微分是： (1)同时作用 1，P2，…，Pi+dPi，…，则 同时作用P 同时作用 ， ，
第10章 能量法 (材料力学)
(Energy Method)
T 2 ( ρ) 2 Ip η Vε d Ad x d Ad x l A 2G l A 2G l T 2 T 2l ( ) ρ 2dA 2G I p A 2GI p
Me l Vε 2GI p
2
Me Tl Mel 将 代入上式得 Vε 2 GI p GI p
1 1 1 F 2 l 3 M e 2 l M e Fl 2 Vε F 1 M e 2 ( ) 2 2 EI 96 6 16
共1页 17
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me （1）先加力F后,C 点的位移
l/2 l/2
F
A
C B
Fl 1 48 EI
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F 2l FN l Vε 2 EA 2 EA
当轴力或截面发生变化时:
共1页
2 FNi li Vε i 1 2 E i Ai n
6
(Energy Method)
2 FN ( x )dx 当轴力或截面连续变化时： ε V 0 2 EA( x ) l
l
2
2
2 3
F
B
x
l
14
(Energy Method) 例题2
解：
试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截
F
A C x1 a l x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa ( x1 ) ( x2 )2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
材料力学(能量方法)
代入莫尔积分公式
δy = ∫
0
x2
M ( x1 ) = − Px1 , M ( x2 ) = − Pa
B
x1 1
A
C
AB段 BC段
M ( x1 ) = − Px1 , M ( x2 ) = − Pa
a
M ( x1 ) = − x1 , M ( x2 ) = − a
代入莫尔积分公式
l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 δy = ∫ d x1 + ∫ d x2 0 0 EI1 EI 2 1 a 1 l = ∫0 (− x1 )(−Px1 ) d x1 + EI2 ∫0 (−a)(−Pa) d x2 EI1 2 3 Pa l Pa + = 3EI1 EI 2
a
=0
例2：用单位力法求C点的水平位移。（EI、EA 已知） x2 x2 b 解：1 加单位载荷 A B A B 2 求内力方程 a 3 积分 x1 x1 C F C F=1
BC :
BA :
M ( x1 ) = − Fx1 ;
M ( x1 ) = − x1
M ( x2 ) = − Fa; FN ( x2 ) = − F ;
F1
δ2
F3 F2
δ3
δiβ
Fi β
广义外力的中间值 相应的广义位移中间值 广义力（位移）的相应增量
Fi (δ i )dβ
b 外力在位移增量上作的功为
d W = ∑ ( Fi β + Fi dβ ) • (δ i dβ ) ≈ (
外力总功
∑ F δ )βdβ
i i
W = ∫ d W = (∑
1 Fiδ i ) β dβ = ∑ ( Fiδ i ) 0 2
【材料力学】第十章能量法
即 D 11 后的最终值，所
以是常数。
其中 是与荷载无关的常数。
设各外荷载按相同的比例l，从零开始缓慢增加到最终
值。即加载过程中任一时刻各荷载的大小为：
F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中l 从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
材料力学
中南大学土木工程学院
球形滚珠外表作用均匀的法向压力q时，其内部 任意一点的应力状态相同，均承受三向等值压缩， 即s1= s2= s3 =－q。根据广义胡克定理有
(Dd )q
1 E
[1
( 2
3)]d
q E
(1 2 )d
所以
(DV )F
F E
(1 2 )d
材料力学
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F q
23
五、 (线弹性体)位移互等定理
解：工件解除C处的约束简化为悬
F
臂梁，F、FC作为第一组力。悬 臂梁在C处加单位力1作为第二组 力。 悬臂梁在单位力作用下，分
别求C、B处的挠度。
得
wC
l3 3EI
wB
a3 3EI
(l a)a2 2EI
3l a a2
6EI
A
B
C
a
l FC
1
A
a
B wB
C
wC
l
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组 力引起的位移上所作的功，显然第二组力在第一组力引起的位移上 所作的功为零（C为铰支位移为零）。
（1）考虑物理方程得
F F3l F12l F22l F32l
EA EAcos EAcos EA
（2）、（3）代入上式并化简得F3cos2a =F1
材料力学第十章杆件计算的能量法
力F0，然后与其他广义力一起计算弹性体的应变能，求得
偏导数后，令F0=0，即可求得该点的广义位移：
Δ Vε
F0
F0 0
例 求图示支架中A点的铅垂位移。
解：
FNAB F / sin FNAC F / tan
Vε
F l 2 NAB
Vε
l FN2 (x) dx 0 2EA
l M 2 (x) dx 0 2EI
l
FQ2 (x)
dx
0 2GA
l M x2 (x) dx 0 2GIP
三、应变能的一般计算式
Vε
W
1 2
F1Δ1
1 2
F2Δ2
1 2
FiΔi
1 2
FnΔn
1 2
n i 1
FiΔi
——克拉贝依隆
（B.P.E.Clapeyron）原理。
余功
WC
F1ΔdF
0
W WC F1Δ1
F F1 Wc dF
△
F
W
△
F
o△
△1
d△
余应变能
VC WC
F1ΔdF
0
二、虚力原理
处于平衡状态的弹性体，若在外力作用下产生变形， 则在各外力作用点沿外力作用方向有相应的位移。若保持 位移不变，使力有一微小的改变余功，dWC。
WM
WFM
1（F 2l3 EI 96
M 2l 6
MFl 2 ） 16
M
F
3.标准式
M（2 x）
Vε l
2EI
dx
A θA
l/2
C
△C
l
B
M
x
M
F 2
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第十章
fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。
材料力学第10章能量法介绍
A
（4）能量守恒：W=U
1 1 67 F 2 FvB 2 2 20 EA
67 F vB 20 EA
1.6m C 1.2m
B
F
U vB F
10.2 卡氏 (Castigliano)定理
10.2.1 卡氏第一定理
卡氏定理
1879年，意大利工程师Alerto Castigliano发表了两个 “内功的积分系数定理”—卡氏定理 建立应变能和外力、位移的关系
第一步：加增量dPn 应变能
1 dPn dn 2
n
第二步：施加外荷载。应变能 U ndPn 该步总能量
U 2total
1 U ndPn dPn dn U ndPn 2
3. 应变能与加载次序无关
U1total U 2total
U U dPn U ndPn Pn U n Pn
例10-2
图示悬臂刚架，已知F、a、EI，求应变能和C点竖直位 移（忽略AB杆段的压缩应变能）。
解：
（1）分段写弯矩函数
B
a
x2
F
x1 C
BA段：
M ( x2 ) Fa
a
A
CB段：
M ( x1 ) Fx1
（2）应变能
2 M 2 dx 2 a ( Fx ) dx a ( Fa) dx 1 1 U 2 l 2 EI 0 0 2EI 2 EI 2 F 2a3 3 EI
10.1 杆件的弹性应变能 10.2 卡氏定理 10.3 冲击应力与冲击韧性
功和能
弹性体在外力作用下产生变形，变形过程中外力所 做的功=外力功W 外力功转化为弹性势能存储于杆件内，该弹性势能= 应变能U（内力的功） 能量守恒： U = W
材料力学( 最新 )能量法
U W
• 10-2
杆件变形能的计算
P P
•轴向拉压 •轴力P与轴向变形成正比 •当轴力N沿轴向为变量时
N 2 ( x)dx dU udV dV Pl 2 2 EA N 2 ( x)dx dU 2 EA N 2 ( x)dx U dU l l 2 EA
' 4
1 1 U b P 3 P4 4 3 2 2
P3
P 4
A
B
1'
' 2
3
4
• 10-4
P 1
互等定理
P 2
A
P3
P 4
B
' 4 4
1
' 1
2
' 2
3
' 3
1 1 1 1 ' U1 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 1' P2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' U 2 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 3 P4 4 1 3 3 2 2 2 2
U1 U 2
P 1' P2 2' P3 3' P4 4' 1
•功的互等定理
P P P P
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
•第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等 于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功
' 当P2和P4等于零时 P 1' P3 3 1
V wA ε FP
FP2l 3 x 2dx 0 6 EI
l
FP l 3 wA () 3EI
材料力学 第10章 能量法
§10.3 互等定理
1.先在1点作用F1
A 1 1 U1 F1 11 F2 22 F1 12 2 2
F1 1
11 12
2.先在2点作用F2
21 22 F2
F2 2
B
1 外力功： F2 22 2
再在1点作用F1
A
F1 1
12 11
22 21
F2 2
V W
弹性范围内应变能可逆
第十章 能量法
§10.2 弹性应变能的计算
一、线弹性问题的应变能 线弹性体的应变能等于每一外力 与其相应位移乘积的二分之一的总和 即：
1 3
F1 F2
2
F3
1 1 1 U W F1 1 F2 2 F3 3 2 2 2
变形能是外力或位移的二次函数
例1
求图示简支梁的变形能，并求yC
a A F b C B
解： 1.求支反力 2.列弯矩方程
Fb x1 AC段： M x1 l Fa M x x2 CB段： 2 l
RA = Fb l
x1
x1
l
x2
RB = Fa l
例1
求图示简支梁的变形能，并求fC
a A F b C B
解： 1.求支反力 2.列弯矩方程
3. 梁 应变能
Vε W M e d
ε1 0 0
1
应变能密度 vε d 式中， Me为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力， 为线应变。 应变能和应变能密度之间的关系为
Vε vε d x d y d z vε dV
V V
式中，V 为体积。
例 题 3-1
Me
材料力学能量法范文
材料力学能量法范文材料力学能量法是一种分析和计算物体的力学行为的方法，它基于能量守恒定律。
在这种方法中，物体或结构的变形和应力被视为能量的转化和传递过程。
通过确定系统的动能和势能，并将其与外部力和内部能力作为输入参数，可以计算系统的平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的应用十分广泛，特别在工程领域中，例如结构分析、疲劳分析、材料强度计算和复杂系统的模拟等。
这种方法的基本原理是通过对物体的动能和势能之间的转化过程的考虑，来得到物体的平衡状态和力学性能。
在材料力学能量法中，物体的动能是由其质量和速度决定的，而势能是由物体的形变和应力分布决定的。
物体的动能包括其线性运动的动能和旋转运动的动能。
线性运动的动能可以通过物体的质量和速度平方的乘积来计算，而旋转运动的动能可以通过物体的惯性矩和角速度平方的乘积来计算。
物体的势能包括其弹性势能和塑性势能。
弹性势能是由物体的形变和应力分布引起的，而塑性势能是由物体在塑性变形时的能量损失引起的。
弹性势能可以通过弹性模量和物体的形变量的乘积来计算，而塑性势能可以通过材料的塑性应变和应力的乘积来计算。
在材料力学能量法中，系统的总能量是系统动能和势能的总和。
根据能量守恒定律，系统的总能量在无外部能量输入的情况下保持不变。
通过计算系统各个部分的动能和势能，可以确定系统的能量平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的优点是可以考虑到物体的整体行为，并对动能和势能之间的转化过程进行分析。
它可以用来解决复杂的力学问题，并提供物体的应力和变形的直观理解。
此外，它还可以与其他力学方法相结合，例如有限元分析和基于能量的优化方法。
然而，材料力学能量法也有一些限制。
它通常只适用于小变形和较简单的物体形状，而对于大变形、非线性材料和复杂几何形状的物体，其精确性可能会降低。
此外，对于一些实际工程问题，由于存在其他影响因素，如温度和湿度等，材料力学能量法可能需要进一步修正和扩展。
总之，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，它基于能量守恒定律，通过对系统动能和势能之间的转化过程进行分析，来确定物体的平衡状态和力学性能。
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