向量及其运算

•
•
首页
上页
返回
下页
结束
铃
四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az).
提示： a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b.
>>>
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2.向量与数的乘法 向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模 |a|=|||a|, 它的方向当>0时与a相同, 当<0时与a相反. 当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
模等于 0 的向量叫做零向量, 记作 0 或 0 . 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
首页 上页 返回 下页
原点 y轴 x轴
结束 铃
•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.



因为 - a + b = BD = 2 MD ,
所以
1 MD = (b - a) ; MB = - MD = 1 (a - b) . 2 2


首页
上页
返回
下页
结束
铃
定理1(向量平行的充要条件) 设向量a0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是: 存在 唯一的实数, 使 b=a. >>> 数轴与点的坐标 给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴Ox.
三角形法则
平行四边形法则
c=a+b
首页 上页 返回 下页 结束 铃
•向量的加法的运算规律 (1)交换律a+b=b+a;
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•负向量 与向量 a 的模相同而方向相反 的向量叫做a的负向量, 记为-a. •向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a). •三角不等式 |a+b||a|+|b|, |a-b||a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立.
点 M 、向量 r 与三个有序 x 、 y 、 z 之间有一一对应的关系

M r = OM = xi + yj + zk (x, y, z) . •有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z);
•有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
首页 上页 返回 下页 结束 铃
a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,
a =(ax)i+(ay)j+(az)k.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az).
首页 上页 返回 下页 结束 铃
2.向量与数的乘法 向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模 |a|=|||a|, 它的方向当>0时与a相同, 当<0时与a相反. 当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
OM - OA = (OB- OM ) , 1 OM = (OA+ OB) 从而 1+ x1 + x2 x1 + x2 x1 + x2 =( , , ), 1+ 1+ 1+ 这就是点M的坐标.
因此
首页 上页 返回 下页 结束 铃

wk.baidu.com



五、向量的模、方向角、投影
首页 上页 返回 下页 结束 铃
四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az).
平行四边形法则
三角形法则
利用坐标判断两个向量的平行 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因为 b//a b=a, 即 b//a (bx, by, bz)=(ax, ay, az ), 所以 b//a bx = by = bz . ax ay az
设
则







OP = xi , OQ = yj , OR = zk ,



r = OM = xi + yj + zk .

首页
上页
返回
下页
结束
铃
向量的坐标分解式 任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
| r |= x 2 + y 2 + z 2 .
首页 上页 返回 下页 结束 铃


五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量r=(x, y, z), 作, 则 | r |= x 2 + y 2 + z 2 . 设有点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2), 则





•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 , 就称这两个 向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行. •共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时 , 它们的终点和公 共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
对于轴上任一点 P, 必有唯一的实数 x, 使 OP =xi, 并且 并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x. 实数x称为轴上点P的坐标.
定理证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃

三、空间直角坐标系
空间直角坐标系 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系. z轴 说明： (1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线; (2) 数轴的的正向通常符合 右手规则.
5x - 3 y = a 例 2 例 2 求解以向量为未知元的线性方程组 , 3x - 2 y = b 其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2).
解 如同解二元一次线性方程组, 可得
x=2a-3b, y=3a-5b.
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
AB = OB- OA =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1),

向量的坐标分解式 任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z). •向量 r = OM称为点M关于原点O的向 径.
首页 上页 返回 下页 结束 铃


坐标轴上及坐标面上点的特征 • 坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 点M在zOx面上的点, y=0; 点M在xOy面上的点, z=0. 点M在x轴上, 则y=z=0; 点M在y轴上,有z=x=0; 点M在z轴上的点, 有x=y=0. 点M为原点, 则x=y=z=0.
三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
•卦限 坐标面把空间分成八个部分, 每 一部分叫做卦限, 分别用字母I、II、 III、IV等表示.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
向量的坐标分解式
任给向量 r, 对应有点 M, 使 OM = r . 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有

r = OM = OP+ PN+ NM = OP+ OQ+ OR ,
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 , 就称这两个 向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行. •共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时 , 它们的终点和公 共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、向量概念
向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量. 向量的表示法
•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.
→ •以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB. •向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示.
例如, a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F .
•向量与数的乘积的运算规律 (1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. •向量的单位化 a 设a0, 则向量 是与a同方向的单位向量, 记为ea. |a | 于是a=|a|ea.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1 例 1 在平行四边形 ABCD 中, 设 AB = a , AD = b . 试用
•自由向量 与起点无关的向量 , 称为自由向量 , 简称向量.
首页 上页 返回 下页 结束 铃




•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b.


a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD , 其中 M 是平行四边 形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 于是




a + b =AC = 2AM = -2 MA , MA= - 1 (a + b) ; 2 MC = - MA= 1 (a + b) . 2
首页 上页 返回
下页
结束
铃
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM = MB . 解 由于 解



由于 AM = OM - OA , MB = OB- OM ,







OM - OA , MB = OB- OM ,
§7.1 向量及其运算
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、向量概念
向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量. 向量的表示法
•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示. 有向线段的长度表示方向的大小 , 有向线段的方向表示 向量的方向.
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x, y, z), 作 OM = r , 则

r = OM = OP+ OQ+ OR , 按勾股定理可得
| r |=|OM |= |OP |2 + |OQ |2 + |OR |2 ,





由 OP = xi , OQ = yj , OR = zk , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐标表示式