向量及向量的基本运算
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设 OA a,OB b,试用a,b表示OM,ON, MN
例3: 已知G是△ABC的重心，求证： (1)GA GB GC 0
xG
(2)
yG
x1 y1
x2
3 y2
3
x3 y3
(其中: A(x1, y1), B(x2 , y2 ),C(x3, y3 ))
补 充 1 ： 经 过 OAB 重 心 G 的 直 线 与
OA,OB 分 别 交 于 点 P ， Q ， 设
uuur OP
uuur uuur mOA, OQ
uuur nOB
，m,
n
R
，求
1 n
1 m
的值。
补充2：
若在平面内存在点O, 使得:
OA OB OC ( AB AC )
练习 若 a
2:已知 G 为 GA b GB
ABC的重心, c GC 0
试判断 ABC的形状
题例若型O4uu、三Aur 设:平2ar面ar, 向brbr量，Ou是u基Bur两本个定3a不r理共与br， 线O三uu的Cu点r 非共零ar线向问3量br题，，
求证：A、B、C三点共线；
一平面内所有向 量的一组基底。 推论：如果 e1, e2 是一个平面内的两个不共线向量，
1e1 2e2 1e1 2e2 1 1且2 2
题型一:基本概念问题
例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向错 (2)若 a b ,则a b 错
2
sin C sin B
试判断△ABC的形状.
量点a差指的向b 运b的算的作，终图叫点法做的：向向a量量 b的（可减a以法、表b。有示共为同从起a 点的）终
向量减法有“三角形法则”
（必须起点相同 OA OB BA ）
结论：由同一点 A 为起点的两个已知向量
a, b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD ， 如 果
练习3：设 e1, e2 是不共线的向量,已知向量
AB 2e1 ke2 ,CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2
若A,B,D三点共线,求k的值
例 5：设 OA、 OB 不共线，如点 P、A、B
三点共线，求证： OP =λ OA +μ OB 且
λ+μ=1，λ、μ∈R.反之亦然。
rr ab
rr ab
矩形
；
r a
r b
菱形
；
rr ab
rr ab 且
r a
r b
正方形
4①)实实数数与λ与向向量量的积a的 积是一个向量,记作λ ，a它
的（（时长ⅠⅡ度））0，与当a，0方时aλ向的a0规方a0，定向,λ；方如与的a向下方的是：向a方任与向意的相的方反。向；相当同时；当
③单位向量：模为1个单位长度的向量。a a
e
④任意平一行组向平量行（向共量线都向可量以):方移向到相同同一或直相线反上的。a向//量b。 ⑤向量相经等过向平量移：后长总度可相以等重且合方，向记相为a同的b向量。。相等
做2向）量向的量加加法法。：设求AB两 个a, B向C量 b和 的,则运:算叫 向量加法有“三角形法则”（首尾相接）
练习 4：OP OA （AB AC）， [0， ）如何？
课堂小结：
1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量
2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底
作业:<<走向高考>>P65: 例3 跟踪练习3 P38 :16
28.向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①a向, b,量c ：…既…有来大表小示又，有或方用向有的向量线。段向的量起一点般与用终点
的大写字母表示，如：AB ，或用坐标表示。向量的
大小即向量的模（长度），记作| AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为 0 ，其方向是任
意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别>
得(10到）a的 向b量的A充B要的条坐件标是为| a（||3b,－| 且3）a
//
b
错 ；错
练习1: 化简(1)AB AC BDCD 0
(2)OA OC BO CO BA
题型二:向量的相互表示 例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB 相交于点C，线段BC上有一点M满足: BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
5向实)两量数个b，向与使量非得共零线向b定量=理aa共。线 有且只有一个
证三点共 AB BC且有公共点 B
线方法： AB // BC A, B,C三点共线
6)平面 向量的基本定理
如平：a果面内e1的, 1ee任21是一一向个2量e平2a面,内有其的且中两只不个有共不一线共对的线实向向数量e量1,，1e, 2那叫2么做对，表这示一使这
题型四:判断动点轨迹
例6： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不
共OuuPur线的Ouu三Aur 个（点uu，AuuBuur动ur 点uuAPuuC满uurur足）， [0， ），则
| AB | | AC |
P的轨迹一定通过ABC的（ B ）
A 外心
B 内心
C重心
D垂心
uuur uuur uuur uuur
与“平行四边形法则” ห้องสมุดไป่ตู้起点相同）
说明：（1）a
b
AB
BC
AC
；
2）向量加法满 足交换律与结合律； 0a a0a
3)向量的减法
向量①，相叫反做向a的量相：反与向a 长量度。相记等作、 a方 ,零向向相量反的的
相反向量仍是零向量。 a②与向b量的减差法，：记向作量：aa加上b 的ab相(反b)向。量求叫两做个向
(3)单位向量都相等错 (4) 向量就是有向线段 错
(((567)))两 若 若a相a/等/ bb向，，量bb若//共cc， ，起则 则点,aa则//终cc点错也；对相同对
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则AB CD, B错C DA
(9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB 平移后可能
例3: 已知G是△ABC的重心，求证： (1)GA GB GC 0
xG
(2)
yG
x1 y1
x2
3 y2
3
x3 y3
(其中: A(x1, y1), B(x2 , y2 ),C(x3, y3 ))
补 充 1 ： 经 过 OAB 重 心 G 的 直 线 与
OA,OB 分 别 交 于 点 P ， Q ， 设
uuur OP
uuur uuur mOA, OQ
uuur nOB
，m,
n
R
，求
1 n
1 m
的值。
补充2：
若在平面内存在点O, 使得:
OA OB OC ( AB AC )
练习 若 a
2:已知 G 为 GA b GB
ABC的重心, c GC 0
试判断 ABC的形状
题例若型O4uu、三Aur 设:平2ar面ar, 向brbr量，Ou是u基Bur两本个定3a不r理共与br， 线O三uu的Cu点r 非共零ar线向问3量br题，，
求证：A、B、C三点共线；
一平面内所有向 量的一组基底。 推论：如果 e1, e2 是一个平面内的两个不共线向量，
1e1 2e2 1e1 2e2 1 1且2 2
题型一:基本概念问题
例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向错 (2)若 a b ,则a b 错
2
sin C sin B
试判断△ABC的形状.
量点a差指的向b 运b的算的作，终图叫点法做的：向向a量量 b的（可减a以法、表b。有示共为同从起a 点的）终
向量减法有“三角形法则”
（必须起点相同 OA OB BA ）
结论：由同一点 A 为起点的两个已知向量
a, b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD ， 如 果
练习3：设 e1, e2 是不共线的向量,已知向量
AB 2e1 ke2 ,CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2
若A,B,D三点共线,求k的值
例 5：设 OA、 OB 不共线，如点 P、A、B
三点共线，求证： OP =λ OA +μ OB 且
λ+μ=1，λ、μ∈R.反之亦然。
rr ab
rr ab
矩形
；
r a
r b
菱形
；
rr ab
rr ab 且
r a
r b
正方形
4①)实实数数与λ与向向量量的积a的 积是一个向量,记作λ ，a它
的（（时长ⅠⅡ度））0，与当a，0方时aλ向的a0规方a0，定向,λ；方如与的a向下方的是：向a方任与向意的相的方反。向；相当同时；当
③单位向量：模为1个单位长度的向量。a a
e
④任意平一行组向平量行（向共量线都向可量以):方移向到相同同一或直相线反上的。a向//量b。 ⑤向量相经等过向平量移：后长总度可相以等重且合方，向记相为a同的b向量。。相等
做2向）量向的量加加法法。：设求AB两 个a, B向C量 b和 的,则运:算叫 向量加法有“三角形法则”（首尾相接）
练习 4：OP OA （AB AC）， [0， ）如何？
课堂小结：
1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量
2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底
作业:<<走向高考>>P65: 例3 跟踪练习3 P38 :16
28.向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①a向, b,量c ：…既…有来大表小示又，有或方用向有的向量线。段向的量起一点般与用终点
的大写字母表示，如：AB ，或用坐标表示。向量的
大小即向量的模（长度），记作| AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为 0 ，其方向是任
意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别>
得(10到）a的 向b量的A充B要的条坐件标是为| a（||3b,－| 且3）a
//
b
错 ；错
练习1: 化简(1)AB AC BDCD 0
(2)OA OC BO CO BA
题型二:向量的相互表示 例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB 相交于点C，线段BC上有一点M满足: BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
5向实)两量数个b，向与使量非得共零线向b定量=理aa共。线 有且只有一个
证三点共 AB BC且有公共点 B
线方法： AB // BC A, B,C三点共线
6)平面 向量的基本定理
如平：a果面内e1的, 1ee任21是一一向个2量e平2a面,内有其的且中两只不个有共不一线共对的线实向向数量e量1,，1e, 2那叫2么做对，表这示一使这
题型四:判断动点轨迹
例6： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不
共OuuPur线的Ouu三Aur 个（点uu，AuuBuur动ur 点uuAPuuC满uurur足）， [0， ），则
| AB | | AC |
P的轨迹一定通过ABC的（ B ）
A 外心
B 内心
C重心
D垂心
uuur uuur uuur uuur
与“平行四边形法则” ห้องสมุดไป่ตู้起点相同）
说明：（1）a
b
AB
BC
AC
；
2）向量加法满 足交换律与结合律； 0a a0a
3)向量的减法
向量①，相叫反做向a的量相：反与向a 长量度。相记等作、 a方 ,零向向相量反的的
相反向量仍是零向量。 a②与向b量的减差法，：记向作量：aa加上b 的ab相(反b)向。量求叫两做个向
(3)单位向量都相等错 (4) 向量就是有向线段 错
(((567)))两 若 若a相a/等/ bb向，，量bb若//共cc， ，起则 则点,aa则//终cc点错也；对相同对
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则AB CD, B错C DA
(9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB 平移后可能