八年级数学期中精选试卷试卷(word版含答案)

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八年级上册数学期中精选试卷试卷(word版含答案)

八年级上册数学期中精选试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE CGA BOG AF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE BGEBF GBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.3．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD ，在△ACF 和△ABD 中，∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)，∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF ⊥BD ；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK【答案】（1）AB⊥CE；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.（2）延长HK于DE交于H，易得△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE，然后证明△DGH≌△DGE，所以∠H=∠E，则∠H=∠B，可得HK=BK.【详解】解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CED，∴∠ECD=∠A，∠B=∠E，BC=DE，AC=CD∵∠B+∠A=90°∴∠B+ECD=90°∴∠BFC=90°，∴AB⊥CE（2）在Rt△ACD中，AC=CD，∴∠ADC=45°，又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°∵CH＝DB，∴CH+CD=DB+CD，即HD=BC，∴DH=DE，在△DGH和△DGE中，DH=DEHDG=EDG=45DG=DG⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DGH≌△DGE（SAS）∴∠H=∠E又∵∠B=∠E∴∠H=∠B，∴HK=BK【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.5．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ∆中，90BAC ︒∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和CE 之间的数量关系为_________________．（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ∆中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆与ACF ∆均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．【答案】（1）DE=CE+BD ；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF 为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而根据AAS 证明△ABD 与△CAE 全等，然后进一步求解即可；（2）根据BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD ，在△ADB 与△CEA 中，根据AAS 证明二者全等从而得出AE=BD ，AD=CE ，然后进一步证明即可；（3）结合之前的结论可得△ADB 与△CEA 全等，从而得出BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF 与△EAF 全等，在此基础上进一步证明求解即可.【详解】（1）∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠ABD ，在△ABD 与△CAE 中，∵∠ABD=∠CAE ，∠BDA=∠AEC ，AB=AC ，∴△ABD ≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，故答案为：DE=CE+BD；（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：∠=∠=∠=，∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE，即：DE=CE+BD，∆为等边三角形，理由如下：（3）DEF由（2）可知：△ADB≌△CEA，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF与△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF与△EAF中，∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.理解：（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；应用：（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=°180-2x可得°180-22x x∴x=36°则∠A=36°；（2）如图所示：（3）如图所示：①当AD=AE时，∵2x+x=27°+27°，∴x=18°；②当AD=DE时，∵27°+27°+2x+x=180°，∴x=42°；综上所述，∠C为18°或42°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.9．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°【解析】【分析】（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，∴∠ABD=∠BAD，∴△ABD为等腰三角形，∴∠BDC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时，【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；③当分割三角形的直线过点A时，此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，最大角的值为132°；综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.10．再读教材:宽与长的比是5-1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22AC BC+=2212+=5．故答案为5．（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．∵AD=5．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=5﹣1．∵BC=2，∴CDBC=51-，∴矩形BCDE是黄金矩形．∵MNDN=15+=51-，∴矩形MNDE是黄金矩形．（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．长GH51，宽HE=35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．【详解】解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得b2+4b+c2−6c+13=0，∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.12．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.13．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个．点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．14．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1）②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3．∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②， ∴②-①，得m-n=3∴m n -的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．15．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0①求a+b+c 的值；②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-【解析】【分析】（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-【详解】（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)故答案为：(x-y)(x+y+1)（2）①22a ac b bc +=+=12k220a b ac bc -+-=()()0a b a b c -++=∵a b∴0a b c ++=②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k2(a 2+ac)= c 2+ac∴2a 2+ac- c 2=0得(2a-c)(a+c)=0∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0∴c=2a ，a 2=4k∵b 2+bc=12k∴b 2+2ba=3a 2则（a −b ）（3a +b ）=0∵a ≠b∴3b a =-同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24kd 2+ad=c 2+ac（d −c ）（a +d +c ）=0∵c d ≠∴0a d c ++=∴3d a =-故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-【点睛】本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是吨，现在小麦的平均每公顷产量是吨；（用含a 、m 的式于表示）（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241n n n --小时．【解析】【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：20m n +，乙的工作效率为：200.5m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨，根据题意可得：100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0，∴原分式方程的解为x ＝4，∴现在平均每公顷产量是4.8吨，答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨，根据题意得：20m m y y a +=+ 解得；y ＝20ma ，经检验：y ＝20ma 是原方程的解，则现在小麦的平均每公顷产量是:202020ma ma a a ++=故答案为:20ma ，2020ma a +；（3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241n n n --小时．【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.17．符号a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请根据这一法则解答下列问题：（1）计算：211111xx x +-；（2）若2121122x xx -=--，求x 的值.【答案】（1）()()111x x +- （2）5 【解析】【分析】（1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；（2）根据定义列式后得到关于x 的分式方程，正确求解即可.【详解】（1）原式2111x x x =--+ ()()()()11111x x x x x x -=-+-+-()()111x x =+-；（2）根据题意得：21222x x x--=-- 解之得：5x =经检验：5x =是原分式方程的解。

青山区2020-2021学年度第一学期期中考试八年级数学试卷(word版含标答)

第 23 题备图
24. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4,0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一个
动点，以 B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰 Rt△ABC.
(1)如图 1,若 OB=3,则点 C 的坐标为
;
(2)如图 2,若 OB=4,点 D 为 OA 延长线上一点，以 D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作
等腰 Rt△BDE,连接 AE,求证:AE⊥AB;
(3)如图 3，以 B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰 Rt△OBF.连接 CF,交 y 轴于点 P,
求线段 BP 的长度.
第 24 题图 1
第 24 题图 2
第 24 题图 3
（）
A.β=
B.β= 2
C.β= 2
D.β= 2 2
第 8 题图
第 9 题图
第 10 题图
10.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,E、F 为 AC、BC 上的动点，且 CF=AE,连接 BE,AF,
当 BE+AF 取得最小值时，则 AE:BF 的值为（）
A.0.5 B.1
A.BE=2EFB.5来自E=3EFC.3BE=2EF
D.BE=4EF
9.如图，在△ABC 中，点 E 和 F 分别是 AC,BC 上一点，EF//AB,∠BCA 的平分线交 AB 于点
D,∠MAC 是 ABC 的外角，若∠MAC= ,∠EFC= ,∠ADC= ,则 , , 三者间的数量关系是
13.若从一个 n 边形的一个顶点出发，最多可以引 8 条对角线，则 n
14.如图，已知∠CAB=∠DAB,要使 ABC≌ ABD,则应添加的一个条件是

数学八年级上册期中精选试卷易错题(Word版含答案)

（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△ 中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ 为等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在和中，
，
∴ （SAS），
∴∠BCE=∠DAC，
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°，
∴∠AFE=60°．
（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
2．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°- (∠BAC+∠BCA)=180°- ×120°=120°，

八年级数学上册期中精选试卷检测题(WORD版含答案)

八年级数学上册期中精选试卷检测题（WORD版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP与△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC与线段PQ垂直.（2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912t t xt =-⎧⎨=⎩，解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时，依题意得3x=32x+2×9，解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.2．已知4AB cm =，3AC BD cm ==.点P 在AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为()t s ．（1）如图①，AC AB ⊥，BD AB ⊥，若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP △与BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”为改“60CAB DBA ∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，34tt xt=-⎧⎨=⎩，解得11tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．3．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t-；（2）3t=；（3）存在，2v=或53v=【解析】【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长；（2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC 时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值．【详解】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时2BP tcm=∵12BC cm=∴()122PC BC BP t cm=-=-故答案为：()122t-（2）∵ABP DCP∆≅∆∴BP CP=∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t = 解得3t =∴3CQ vcm =∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =．综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．4．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12BC ．理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF 为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．7．（1）已知△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，∴∠ABC ＝3∠C.若AB ＝BD ，则180°－x －y ＝2x ，此时有3x ＋y ＝180°，∴∠ABC ＝180°－3∠C. 若AD ＝BD ，则180°－x －y ＝y －x ，此时有y ＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝12∠BDC ＝12∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．8．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒．【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =-解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB∠=∠，∵AB BC AC==，∴ACB∆是等边三角形，∴C B∠=∠，在ACM∆和ABN∆中，∵AC ABC BAMC ANB=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM∆≌ABN∆（AAS），∴CM BN=，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN∆是等腰三角形，∴10CM y=-，302NB y=-，CM NB=，10302y y-=-解得：403y=，故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN∆，此时M、N 运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.9．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．①当t＝2时，求∠AQP的度数．②当t为何值时△PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝43秒或t＝83秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由见解析.【解析】【分析】（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．【详解】解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等边三角形，∴AQ⊥BC，∠B＝60°，∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝43；当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝83；∴当t＝43秒或t＝83秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由如下：如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，则△BQF 是等边三角形，∴BQ ＝QF ，∠BQF ＝∠BFQ ＝60°，∵△ABC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，∠BAC ＝∠BFQ ＝60°，∴∠QFP ＝∠PAC ＝120°，∵PQ ＝PC ，∴∠QCP ＝∠PQC ，∵∠QCP ＝∠B +∠BPQ ，∠PQC ＝∠ACB +∠ACP ，∠B ＝∠ACB ，∴∠BPQ ＝∠ACP ，在△PQF 和△CPA 中，∵BPQ ACP QFP PAC PQ PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PQF ≌△CPA （AAS ），∴AP ＝QF ，∴AP ＝BQ ，∴BQ +CQ ＝BC ＝AC ，∴AP +CQ ＝AC ．【点睛】考核知识点:等边三角形的判定和性质.利用全等三角形判定和性质分析问题是关键.10．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∵BD是△ABC的一条特异线，∴△ABD与△BCD为等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EAC为等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；当CD为特异线时，不符合题意；综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____．【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-．【详解】解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，∴xy=()222()2x y x y +-+=-2，即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++，由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1，∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．13．阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

北京市顺义区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(word版,含答案)

北京市顺义区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学2023.4考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟。

2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将答题卡交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．若分式的值为0，则的值为(A)0(B)1(C) -1(D) 0或12．在平面直角坐标系xOy 中，点A （-3，-2）到y 轴的距离是(A)3 (B)2 (C)-3 (D)-23．函数中，自变量x 的取值范围是(A) (B) (C) (D) 4．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 5．下列关于菱形的描述不正确的是(A) 菱形是特殊的四边形 (B) 菱形是特殊的平行四边形(C) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (D) 有一个角是直角的平行四边形是菱形6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列结论正确的是(A) AH =BH (B) EH =FC (C) BE =CH (D) AF =CH7．列车从甲地出发去往乙地，在乙地停留一段时间后返回，列车与甲地的距离y （单位：km ）与时间x （单位：h ）的对应关系如图所示，下列叙述错误的是(A) 甲乙两地间的距离为720千米(B) 列车在乙地停留了18小时 (C) 列车从乙地返回甲地用了6小时(D) 列车从甲地去乙地的速度为80千米/小时，从乙地返回甲地的速度为120千米/小时1xx-x y =2x >2x <2x ≥2x ≤A8．下面表格中给出了三个变化过程中的两个变量x 和y ，在这三个变化过程中，y 是x 的函数的个数是YX1正方形的面积这个正方形的边长2矩形的面积这个矩形一边的长3多边形的内角和这个多边形的边数(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．计算=___________．10．下图是由射线AB ，BC ，CD ，DA 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4= °．11．学习了四边形之后，若用如图所示的方式表示四边形与特殊四边形的关系，则图中的“A ”表示，“B ”表示．12．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B =73°，则∠A = °，∠D = °．13．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数的图象在第二、三、四象限，则b 的值可以是（写出一个即可）．14．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数的图象经过点P （3，5），则随着x 的增大，y 的值（填“增大”或“减小”）．15．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O ，A ，P ，B 为顶点的四y/ABC D4321梯形四边形B矩形A 平行四边形222a a b ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x b =-+1y kx =+DCBA边形为平行四边形，则点P 的坐标为．16．在平面直角坐标系xOy 中，函数和的图象交于点P ，下面有四个结论：①关于x ，y 的二元一次方程组的解是②关于x 的不等式的解集为③关于x 的方程的解为④当时，上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．计算：．19．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ．求证：BE =DF ．20．已知一次函数．（1）在给定的平面直角坐标系xOy 中，画出一次函数的图象，求出它与x ，y 轴交点的坐标；（2）根据图象，直接写出y ≥0时x 的取值范围，并把图象上对应的部分描粗．y ax b =+y kx =y ax b y kx =+⎧⎨=⎩42x y =⎧⎨=-⎩4ax b +>-0x >0ax b +=8x =4x >ax b kx+<3a a a b b a+--1112mm m m m m-⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭23y x =-+23y x =-+ABCDEF21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过（-1，-3），（1，5）两点，求这个一次函数的表达式．22．如图，线段AB和BC，请在下图中画出平行四边形ABCD，并简述画图的过程及四边形ABCD是平行四边形的依据．（可以使用圆规、直尺、刻度尺、三角尺、量角器等作图工具）23．阅读材料，并完成任务．“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定平行四边形的方法吗？”小禹说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师说：“这个命题是真命题”．要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明，请你在下表中完成相应的任务．已知：求证：四边形ABCD是平行四边形．画图：证明：DCBACB24．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BA ⊥AC 于点A ， AC =6，BD =10，求平行四边形ABCD 的各边长．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线与直线交于点A （2，m ），直线与x 轴交于点B ．（1）求k ，m 的值及△OAB 面积；（2）点P 为直线上一点，若△POB 的面积是△OAB 面积的2倍，直接写出点P 的坐标．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线交AB 边于点E ，交CD 边于点F ．连接EC ，ED ，FA ，FB ．（1）依题意补全图形；（2）①直接写出图中除平行四边形ABCD 外所有的平行四边形（可以标记字母）； ②选择①中的一个平行四边形加以证明．ODCBABD12y x =3y kx =+3y kx =+3y kx =+27．某电器厂生产A 、B 两种家用小电器，若每天生产A 、B 两种电器共60件，这两种电器每件的成本和售价如下表：成本（元）售价（元）A 种电器85105B 种电器7085设每天生产A 种电器x 件，每天获得的利润为 y 元.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果该电器厂每天最多投入成本为4590元，那么每天生产多少件 A 种电器时，所获利润最大？并求出这个最大利润．28．在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点．（1）求b 的值；（2）过点（n ≠1），作垂直于x 轴的直线，交直线于点B ，交直线于点C ．①当时，用等式表示线段PB 与PC 数量关系，并说明理由；②若点在第一象限，且，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．的2y x b =+()1,0A -(),2P n n 2y x b =+2y =12n =(),2P n n PB PC >数学答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案AACBDDBC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．； 10．360； 11．正方形、菱形； 12．107、73； 13．-1（答案不唯一）； 14．增大； 15．（-3，3），（7，3），（3，-3），； 16．①②③．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）17．解：原式……………………………….…….…….………….……2分…………………….…….…….…….…….……….………….….5分18．解：原式…………………………….1分…………………………. 2分 ……………………………………………...……4分……………………………………………………………………….5分19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD =∠BCD ，∠B =∠D ，AB=CD ． ……………………………..…….2分又∵AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∴∠1=∠2．…………………………………...3分∴△ABE ≌△CDF ．…………………………...4分∴ BE=DF ．…………………………………...5分20．解：（1）………………..…….……………………………………2分b4-3a aa b a b=---2ab a=-()()()()()()11111112m m m m m m m m m m ⎛⎫+--=-⋅⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()()()22111112m m m mm m m m m m ⎛⎫+--=-⋅ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()21112m m m m m-=+-g 11m =+12ABCDEF令y =0，则-2x +3=0，，∴一次函数的图象与x 轴交点坐标为，令x =0，则y =3，∴一次函数的图象与y 轴交点坐标为（0，3），…...4分（2）y ≥0时x 的取值范围是．………..……………………………………….5分21．解：（1）设一次函数的表达式为……………………..……………………………1分∵图象经过（-1，-3），（1，5）两点，∴ 解得………………………..………………………4分∴一次函数的表达式为．…………………………………………………...5分 22．………..…….………………………………………3分画图过程：（1）连接线段AC ；（2）用刻度尺量出线段AC 的长，并取线段AC 中点O ；（3）连接线段BO 并延长到点D ，使OD =OB （4）连接线段AD ，CD ．则四边形ABCD 是平行四边形．………………………..………... ……………………5分依据：四边形ABCD 是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．…...6分23．已知：AB ∥CD ，∠B =∠D ， ………...2分求证：四边形ABCD 是平行四边形．画图：证明：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2．…………………………………………………………...3分AB CDODCBA2132x =23y x =-+302⎛⎫ ⎪⎝⎭，23y x =-+32x ≤y kx b =+3,5.k b k b -+=-⎧⎨+=⎩4,1.k b =⎧⎨=⎩41y x =+又∵∠B =∠D ，AC =AC ，∴△ABC ≌△CDA ．…………………………………………………...4分∴ AB=CD ．…………………………………………………………...5分∴四边形ABCD 是平行四边形． …………………………………...6分24．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=AC ，BO=BD ，AB=CD ，AD=BC ．......... ……................…..2分∵AC =6，BD =10， ∴AO=3，BO=5．又∵BA ⊥AC 于点A ，∴在Rt △ABO 中，AB=4，................................ .. .... .... .... . ……... .....…..3分∴在Rt △ABC 中，BC=................................ .. .... .... .... .... .....…..4分∴CD=4，AD=.．....... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..............…..6分25．（1）∵直线与直线交于点A （2，m ），∴，，A 点坐标为（2，1），点A （2，1∴，，.……3分∴B 点坐标为（3，0），OB =3．∴△OAB 的面积=．………..4分（2）点P 的坐标为（1，2）或（5，-2）． …...6分26．（1）…..………………………………………………………1分（2）①平行四边形AECF ，平行四边形EBFD ，平行四边形ENFM ．……………….2分②选择平行四边形EBFD ．证明：∵点O 是对角线BD 的中点， ∴OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，121212y x=3y kx =+122m =⨯1m =123k =+1k =-3y x =-+133122⨯⨯=ODCBA∴AB ∥CD ，∴∠1=∠2，又∵∠BOE =∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF ． ……………………………………………………………..4分∴ BE=DF ．………………………………………………………………………..5分∴四边形EBFD 是平行四边形．………………………………………………….6分27．（1）依题意可列 ……………………….…..2分∴y 与x 之间的函数关系式…………………………………......3分（2）…………………………………………………………...4分解得 …………………………………………………………………………....5分 ∵函数中，y 随x 的增大而增大，∴x =26时，利润y 最大．∴最大利润为元………………………………………..........6分答：每天生产26件 A 种电器时所获利润最大，最大利润是1030元．28．（1）∵直线与x 轴交于点．∴，，.……………………………………………….1分（2）①PB 与PC 数量关系为PB =2PC ．∵过点垂直于x 轴的直线交直线于点B交直线于点C ．∴时，P （，1），C （，2），B （，3），……3分∴PB =2，PC =1，PB =2PC ．.…………………………………5分②n 的取值范围是0<n <2（n ≠1）．.……………………………7分以上评标仅供参考！的()()()10585857060y x x =-+--5900y x =+()8570604590x x +-≤26x ≤5900y x =+5269001030y =⨯+=2y x b =+()1,0A -02b =-+2b =22y x =+(),2P n n 2y x b =+2y =12n =121212。

数学八年级上册期中精选试卷试卷(word版含答案)

数学八年级上册期中精选试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO 是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45DAC∴∠=，ACD BCE≌，45PBC DAC∴∠=∠=，∴在Rt BHC中,2242422CH BC=⨯=⨯=，54PC CQ CH===，，3PH QH∴==，6.PQ∴=()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.最小值为：42 2.OE=-2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明BCE CAD≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE∠=︒；（2）由（1）得到60AFE∠=︒，CE AD=则在Rt AHF△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在BCE和CAD中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF =KF ， ∴△AFK 为等边三角形， ∴∠KAF =60°， ∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF = ∴∠AKB =∠AFC =120°， ∴∠BKE =120°﹣60°=60°， ∵∠BPC =30°， ∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CPPF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.4．操作发现：如图，已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB ＝∠EAD ＝120°， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴∠BAD ＝∠ACE ，BD ＝EC ＝4，同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°， ∴∠FEC ＝60°， ∵CF ⊥EF ， ∴∠F ＝90°， ∴∠FCE ＝30°，∴EF ＝12EC ＝2. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F . （1）如图，连接AE ，①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证∆FCG是等边三角形，得GF=FC，再证∆ACG≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AB和AE关于射线AD的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE；②∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，∵ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】【分析】（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ，分别证明△OBD ≌△HCD 和△AOB ≌△FHC ，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA ≌△QBD ，根据全等三角形的性质得到∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，求出 CD ，得到答案；（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点 F ．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ， ∵∠BAO ＝60°， ∴∠ABO ＝30°， ∴AB ＝2OA ＝6，∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°， ∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°， ∴DB ＝DC ，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ）， ∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ）， ∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA 和△QBD 中，BA BDABC DBQBC BQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝23DC，∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12，∴点 C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP交 x 轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝12OF＝32则OP的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案）【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标；（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标；（3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAGOPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP，设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE解之即可．【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：22221068AOAB BO ，∴点A 的坐标为()0,8；（2）∵ABP △是等腰三角形，当BPAB 时，如图一所示：OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；=时，如图二所示：当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0；=时，如图三所示：当AP BP设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：22286x x解之得：73x =∴P 点的坐标是7,03；（3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGAOGP∴EAGOPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，有'8OA OA ，'EAEA∴'FAO FAO，'FAE FAE∴'EAGEAO则有：'OPG EAO∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，∴22228882APAO OP ，设BE x ，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x解之得：425BE x【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．9．如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE ＝BE ．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数；（3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ．【详解】 (1)如图：（2）在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ， ∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠D ∵∠PAC ＝20° ∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60° （3）CE ＋AE ＝BE ．在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ． ∵AD ＝AC ＝AB ，∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°．∴△AME 为等边三角形． ∴AM=AE ，∠MAE=60°， ∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE. 在△AMB 和△AEC 中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．10．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝125故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图此时2t ＝12+6 解得t ＝9；综上所述，点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存在2m n mn +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：（1）()()2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）；（2）求()5602x x x+>的最小值；（3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726x x ++-有最小值，并求出这个最小值.【答案】（1）20xy ，2；（2）153）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019. 【解析】【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；（3）把已知代数式变为926201326x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．【详解】（1）∵0x >，0y >，∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=，∵0x >， ∴221122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭；（2）当x 0>时，2x ，52x 均为正数，∴562x x +≥=所以，562x x+的最小值为（3）当x 3>时，2x ，926x -，2x-6均为正数， ∴92200726x x ++- 92x 6201326x =-++-20132013≥= 2019= 由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92x =时，有最小值．∵x 3> 故当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．12．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.13．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991化简得：2a+c=7①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；∴F（P'）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m'是m的“伴随数”来确定伴随数．14．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝pq．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝3162．请解答下列问题：(1)计算：F（24）；(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝1n ．【答案】(1) 23；(2)1n.【解析】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n . 点睛：本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．15．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，则a 2+b 2+c 2＝．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b ）（a+2b ）长方形，则x+y+z ＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）30；（3）9；（4）x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c ）2；正方形的面积＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元【解析】试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23x 天．根据题意，得201160()12233x x x ++=，解得：x =180．经检验，x =180是原方程的根，∴23x =23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有11()1120180y +=，解得 y =72．需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．17．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+．（1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式．【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-．【解析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩，解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-，由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-，得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.18．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．（1）设乙的速度为x 米/分钟，900900151.2x x+＝，解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ，化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍，即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．19．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1133()144x xx x -++=++ 解得：x =12．经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．20．水蜜桃是无锡市阳山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元购进一批水密桃，很快售完；老板又用3300元购进第二批水蜜桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批水蜜桃每件进价是多少元？（2）老板以每件65元的价格销售第二批水蜜桃，售出80％后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批水密桃的销售利润不少于288元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？(利润=售价-进价)【答案】（1）50；（2）6折．【解析】【分析】（1）根据题意设第一批水蜜桃每件进价是x 元，利用第二批水密桃进价建立方程求解即可；（2）根据题意设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，并建立不等式，求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售价最多打几折.【详解】解：（1）设第一批水蜜桃每件进价是x 元，则有： 20003(5)33002x x ⨯⨯+=，解得50x =，所以第一批水蜜桃每件进价是50元.（2）由（1）得出第二批水密桃的进价为：55元，数量为：33006055=件，设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，则有： 6580606065(180)3300288m ⨯⨯+⨯⨯--≥％％，解得0.6m ≥，即最多打6折.【点睛】本题考查分式方程的实际应用以及不等式的实际应用，理解题意并根据题意建立方程和不等式是解题的关键.五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= ；②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4，若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）①40°②50°【解析】试题分析：（1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；（2）①利用（1）的结论，直接计算出∠ABX+∠ACX的度数；②图（3）利用（1）的结论，根据∠BDC=135°，∠BG1C=67°，计算出相等的角：∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的结论，求出∠A的度数.试题解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：连接AD并延长到M．因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，由于∠BXC=90°，∠A=50°所以∠ABX+∠ACX=∠BXC﹣∠A=90°﹣50°=40°．。

八年级2018-2019学年度上学期期中考试数学试题(word版,含答案)

2018-2019学年度八年级上学期期中考试数学试题第1卷(选择题共42分)注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试卷上。

3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题(本题共14小题．每小题3分，共42分)1．若一个正多边形一个外角是60°，则该正多边形的内角和是 A ．360° B ． 540° C ． 720° D ．900° 2. 若点A (1,1)m n +-与点B （-3,2）关于y 轴对称，则m n +的值是A ．-5B ．-3C ．3D ． 13. 已知三角形三个内角∠A 、∠B 、∠C ，满足关系式∠B+∠C=2∠A ，则此三角形 A. 一定有一个内角为45° B. 一定有一个内角为60° C. 一定是直角三角形 D. 一定是钝角三角形4. 如图，已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件不能判定∆ABC ≌∆DCB 的是A ．∠A=∠DB ．∠ACB=∠DBC C ．AC=DBD ．AB=DC第4题第5题第6题5.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是A．OE是∠AOB的平分线 B.OC=ODC.点C、D到OE的距离不相等 D、∠AOE=∠BOE6.如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S∆ABD=15，则CD的长为A．3 B．4 C．5 D．67. 将一副直角三角板按如图所示位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45° B．60° C．75° D．85°第7题第8题第9题8.如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC②△ACE≌△BDE③点E在∠O的平分线上其中正确的结论是A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. 有①②③9.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则等于∠ACE=A．15° B．30° C．45 D．60°10.将一个n边形变成n+1边形,内角和将A.减少180∘B.增加90∘C.增加180∘D.增加360∘11.如图,△ABC中,∠A=36∘,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是A. ∠C=2∠AB. BD=BCC. △ABD是等腰三角形D. 点D为线段AC的中点第11题第12题第13题12.如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是A. AB=ADB. AC平分∠BCDC. AB=BDD. △BEC≌△DEC13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，则下列四个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD平分∠EDF；④AD垂直平分EF.其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°第14题第17题第18题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15.已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____.16.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是___17.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是______.18. 在△ABC 中,AB=AC,CD=CB,若∠ACD=42∘,则∠BAC=______∘.19. 含角30°的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12l l ，∠1=60°，以下三个结论中正确的是____（只填序号）。

八年级上册数学期中精选试卷易错题(Word版含答案)

八年级上册数学期中精选试卷易错题（Word 版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12．（1）求m 和n 的值．（2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ．（3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值．【答案】（1）42m n =-⎧⎨=⎩（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化．【解析】【分析】（1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证；（3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明△ABH ≌△CAN ，即可得到结论.【详解】解：（1）由题意()()218122m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩；（2）如图2中，由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），∴AD＝OA ＝4，OB ＝2，∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25，∵AC ＝OC ＝2，∴AC ＝OB ，∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ，∴△DAC ≌△AOB （SAS ），∴∠ADC ＝∠BAO ，∵∠ADC +∠ACD ＝90°，∴∠EAC +∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ，∴S △ADB ＝12•AB •AE ＝12•BD •AF ， ∵AB ＝BD ，∴DE ＝AF ．（3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，∵AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∵G 为射线AD 上的一点，∴AG ∥y 轴，∴∠GAB ＝∠ABC ，∴∠ACB ＝∠EBA ，∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ，即∠ABG ＝∠ACN ，∵∠GAN ＝∠GBO ，∴∠AGB ＝∠ANC ，在△ABG 与△ACN 中，ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ），∴BF ＝CN ，∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，∵OB ＝2∴NB ﹣FB ＝2×2＝4（是定值），即当点H 在GB 的延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化．【点睛】本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．（1）填空：ABC S ∆=______2cm ；（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍，请你求出时间x 的值．【答案】（1）8;(2)见解析；（3）45或4. 【解析】【分析】（1）直接可求△ABC 的面积；（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值．【详解】解：（1）∵S △ABC =12⨯AC×BC ∴S △ABC =12×4×4=8（cm 2）故答案为：8（2）如图：连接CD∵AC=BC ，D 是AB 中点∴CD 平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得：BE=CF∴在△CDF 与△BDE 中BE CF B DCA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF ≌△BDE （SAS ）∴DE=DF（3）如图：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，∵AD=BD ，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°∴△ADN ≌△BDM （AAS ）∴DN=DM当S △ADF =2S △BDE ．∴12×AF×DN=2×12×BE×DM ∴|4-3x|=2x ∴x 1=4，x 2=45综上所述：x=45或4 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．3．综合实践如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为点D E 、，2.5, 1.7AD cm DE cm ==．（1）求BE 的长；（2）将CE 所在直线旋转到ABC ∆的外部，如图②，猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC ∆中，,AC BC D C E =、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE ，证明见解析．【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，再根据2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；(2)先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系．【详解】解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-180BCE BCE a ︒∠+∠=-∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中， ADC E a ACD BCE AC BC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．4．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．5．已知点P 是线段MN 上一动点，分别以PM ，PN 为一边，在MN 的同侧作△APM ，△BPN ，并连接BM ，AN ．（Ⅰ）如图1，当PM ＝AP ，PN ＝BP 且∠APM ＝∠BPN ＝90°时，试猜想BM ，AN 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM ，△BPN 都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM ，AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB 得到图3，当PN ＝2PM 时，求∠PAB 度数．【答案】（1）BM ＝AN ，BM ⊥AN ．（2）结论成立.（3）90°．【解析】【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交∠=︒,因此有BM⊥AN；AN于点C，得出MCN90(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中，AB=AC，∠BAM=∠CAM，AM=AM，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC.（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，∴△MDB≌△MEF（AAS），∵CE ∥BD ，∴∠FCM =∠BGM .在△FCM 和△BGM 中，CM =MG ，∠CMF =∠GMB ，MF =MB ，∴△FCM ≌△BGM （SAS ）.∴CF =BG ，∠FCM =∠BGM .∴CF //BG ，即D 、B 、G 在同一条直线上.在△CFB 和△BGC 中，CF =BG ，∠FCB =∠GBC ，CB =BC ，∴△CFB ≌△BGC （SAS ）.∴BF =CG .∴MC =12CG =12BF =MB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．8．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．9．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n︒，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.10．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°，即可证得AOP ∆是等边三角形.【详解】（1）∵ABC∆为等边三角形∴60BAC∠=︒∵O为BC中点∴1302CAO BAC∠=∠=︒且,90AO BC AOC⊥∠=︒∵OA OD=∴AOD∆中，30D CAO∠=∠=︒∴180120 AOD D CAO∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC∠=∠-∠=︒（2）过O作//OE AB，OE交AD于E ∵//OE AB∴60EOC ABC∠=∠=︒60CEO CAB∠=∠=︒∴COE∆为等边三角形∴OE OC CE==180120AEO CEO∠=︒-∠=︒180120DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=，∵AB AC=，AD AC CD=+∴AD AB BO=+（3）AOP∆为等边三角形证明过程如下：连接,PC PD，延长OC交PD于F ∵P D、关于OC对称∴,90 PF DF PFO DFO=∠=∠=︒在ODF∆与OPF∆中，PF DFPFO DFOOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS∆≅∆∴OP OD=,POC DOC∠=∠∵OA OD=∴AO=OP∴AOP∆为等腰三角形过O作//OE AB，OE交AD于E由（2）得AOE DOC∆≅∆∴AOE DOC∠=∠又∵POC DOC∠=∠∴AOE POF∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE∠=∠∵AB∥OE，∠B=60°∴60COE B∠=∠=︒∴60AOP COE∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形. 【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：（1）()()2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）；（2）求()5602x x x+>的最小值；（3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726x x ++-有最小值，并求出这个最小值.【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019. 【解析】【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；（3）把已知代数式变为926201326x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．【详解】（1）∵0x >，0y >，∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=， ∵0x >，∴221122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭；（2）当x 0>时，2x ，52x均为正数，∴562x x +≥=所以，562x x+的最小值为（3）当x 3>时，2x ，926x -，2x-6均为正数， ∴92200726x x ++- 92x 6201326x =-++-20132013≥= 2019=由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92x =时，有最小值．∵x 3>故当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．12．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．①正数②非负数 ③ 0【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①【解析】【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）材料所给方法进行解答即可；（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答. 【详解】解：（1）281x x +- =2816116x x ++--2(4)17x +-.（2）原式=22118x x -+-- =2(1)9x -- =(13)(13)x x -+-- =(2)(4)x x +-．（3）222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++ =()()221211x y -+-+ ＞11 故答案为①. 【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.13．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】 (1)22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数 (3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++-即mn 也是完美数. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．14．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++【解析】试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解. 试题解析：（1）()2222a ab a a b +=+（2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++15．探究题：观察下列式子：（x 2-1）÷（x -1）=x +1；（x 3-1）÷（x -1）=x 2+x +1；（x 4-1）÷（x -1）=x 3+x 2+x +1；（x 5-1）÷（x -1）=x 4+x 3+x 2+x +1；（1）你能得到一般情况下(1)(1)nx x -÷-的结果吗？（n 为正整数）（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．【答案】（1）12n n x x --++…+1；（2）6421-．【解析】【分析】（1）根据已知的式子可得到的式子是关于x 的一个式子，最高次数是n-1，共有n 项；（2）把2当作x ，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．【详解】由题意可得：（1）()()1211nn n x x xx ---÷-=++ (1)（2）()()234626364641222222212121+++++⋯++=-÷-=-．【点睛】考查了多项式与多项式的除法，观察所给式子，发现运算规律是解题的关键.四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．阅读下面的解题过程：已知2112x x =+，求241x x +的值。

山东省菏泽市郓城县2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题(word版含答案)

2021——2022学年度第一学期八年级数学期中试题（满分120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）1.下列各数中是无理数的是A ．3.1415B ．5C ．13 D ．38 2.下列计算正确的是A ．325B ．326C ．1233 D ．824 3.如果点P （2，y ）在第四象限，则y 的取值范围是A ．y ＜0B ．y ＞0C ．y ≤0D ．y ≥04.如图，在灯塔O 的东北方向8海里处有一轮船A ，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B ，则AB 间的距离为A ．9海里B ．10海里C ．11海里D ．12海里5.如图，在行距、列距都是1的4×4的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于A ．2B ．5C ．7D ．96.如图，这是一所学校的平面示意图，在同一平面直角坐标系中，教学楼A 的坐标为（-3，0），实验楼B 的坐标为（2，0），则图书馆C 的坐标为A ．（0，-3）B ．（-1，-3）C ．（3，0）D ．（-2，0）7.若实数k 、b 满足k+b ＝0，且k ＜b ，则一次函数y ＝kx+b 的图象可能是8.如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离y （单位：km ）与时间x （单位：min ）之间对应关系．根据图象判断下列说法错误的是第4题图第6题图第5题图 A C B D第8题图A ．食堂离小明家0.6km B．小明在图书馆读报用了30minC．食堂离图书馆0.2km D．小明从图书馆回家平均速度是0.02km/min二、填空题（每小题3分，共18分）9.若一个三角形的三边长为m+1，8，m+5，当m＝时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5;10.0.25的算术平方根是;11.在平面直角坐标系中，点A（1，﹣1）和B（1，1）关于轴对称;12.已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1x2（填“＞”“＜”或“＝”）;13.如图，数轴上A、B两点表示的数分别为﹣2和5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是 ;第13题图14.将一次函数y＝-3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为．三、解答题（共78分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.(6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1(1)正方形①的面积S1= cm2，正方形②的面积S2= cm2，正方形③的面积S3= cm2;(2)S1,S2,S3之间存在什么关系?(3)猜想：如果Rt△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a，b，c，那么它们之间存在什么关系?第15题图第16题图16.（6分）学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱?17.（8分）计算：（1）(83)6 （2）(4236)22 （3）(53)(53) （4）2(5325) 18.（7分）已知1(2)a ，5924b ，0(2021)c ，d=|2-5|（1）请化简a,b,c,d 这四个数；（2）根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和m ”和“无理数的和n ”，并比较m 、n 的大小.19.(8分）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为(－2，4)，点B 的坐标为(－4，2)；(2)在第二象限内的格点上找一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出△ABC ，则点C 的坐标是___，△ABC 的周长是____(结果保留根号)；(3)作出△ABC 关于x 轴对称的△A ′B ′C ′.20.(8分）南湖公园有四棵古树A ，B ，C ，D （单位：米).(1)写出A,B,C,D 四点的坐标;(2)为了更好地保护古树，公园管理处决定将如图所示的四边形EFGH 用围栏圈起来，划为保护区，请你计算保护区的面积.21.(8分）一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P(－2，2)，且一次函数的图象与y 轴相交于点Q(0，4)．(1)求出这两个函数的表达式；(2)在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图象；第20题图第21题图第19题图。

福建省厦门市2020-2021学年八年级上学期期中数学试题(word版含答案)

福建省厦门市2020-2021学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列计算结果正确的是（）A．2a3+a3=3a6B．（﹣a）2•a3=﹣a6C．（﹣12）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣13．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17 4．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°6．已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线．如图所示的正五边形中相邻两条对称轴所夹锐角α的度数为（）A．75°B．72°C．70°D．60°7．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS8．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且2EC AE=，Rt FEG∆的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A ．223aB ．214aC ．25a 9 D ．249a 9．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（）A ．BD ：CDB ．AD ：CDC ．BC ：AD D ．BC ：AC二、填空题 10．如图，已知△ABC ≌△ADE ，D 是∠BAC 的平分线上一点，且∠BAC ＝60°，则∠CAE ＝____．11．如图，△ABC ≌△ADE ，①若△ABC 周长为24，AD =6，AE =9，则BC =______；②若∠BAD =42°，则∠EFC =______．12．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件是_____．13．如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=4，AC=2，且△ABD 的面积为3，则△ACD 的面积为____．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点Ｄ，DE ⊥AB 于点E ，若AB ＝5 cm ，则△BDE 的周长为________．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝_____度．16．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n=______．17．如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_____个．三、解答题18．如图，已知△ABC和直线m，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）19．已知：∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AC=AD20．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB =10，S△ABD=15，求CD的长．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2.23．若x m+n=12，x n=3，（x≠0），求x2m+n的值．24．已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC．试说明：CB=CD．25．如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB 的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE 于N，AE与BD交于F（1）求证：AE=BD；（2）连结MN，仔细观察△MNC的形状，猜想△MNC是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？PQ BC？（3）当t为何值时//参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【详解】A ．不是轴对称图形，故本选项错误；B ．是轴对称图形，故本选项正确；C ．不是轴对称图形，故本选项错误；D ．不是轴对称图形，故本选项错误．故选B ．2．C【详解】A.3336233a a a a +=≠ ，错误；B.2356()a a a a -⋅=≠- ，错误；C.21()42--= ，正确；D.0(2)11-=≠- ，错误.故选C.3．D【详解】试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5，5，6或者5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.故选项D 正确.考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想4．D【详解】试题解析：在△ABD 与△CBD 中， {AD CDAB BC DB DB===，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），故③正确；∴∠ADB=∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，{AD CDADB CDB OD OD=∠=∠=，∴△AOD ≌△COD （SAS ），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC ，∴AC ⊥DB ，故①②③正确；故选D ．考点：全等三角形的判定与性质．5．A【详解】试题分析：∵AB ∥ED ，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE ，∴△ADE 是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB ﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD ，∴∠B=∠ACB ，∠ACD=∠ADC ，在四边形ABCD 中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD ）=12（360°﹣60°）=150°．故选A ．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质；3．多边形内角与外角．6．B【详解】试题分析：根据正五边形的对称性及周角的度数即可求得结果.由图可得360572α=︒÷=︒，故选B.考点：正五边形的对称性点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正五边形的对称性，即可完成.7．C【详解】试题分析：如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，在△EOC 与△DOC 中，，△EOC ≌△DOC （SSS ）．故选C ．考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图．8．D【分析】过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，△EPM ≌△EQN ，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解．【详解】解：如图，过点E 作EP BC ⊥于点P ，EQ CD ⊥于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ︒∠=，又∵90EPM EQN ︒∠=∠=，∴90PEQ ︒∠=，∴90PEM MEQ ︒∠+∠=，∴四边形PCQE 为矩形．在Rt FEG ∆中，90NEF QEN MEQ ︒∠=∠+∠=，∴PEM QEN ∠=∠．∵CA 平分BCD ∠，90EPC EQC ︒∠=∠=，∴EP EQ =，∴四边形PCQE 是正方形．在EPM ∆和EQN ∆中，PEM QEN EP EQ EPM EQN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴EPM EQN ∆∆≌，∴EQN EPM S S ∆∆=，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积．∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC =，又∵2EC AE =，∴EC =， ∴23EP PC a ==， ∴正方形PCQE 的面积为2224339a a a ⨯=， ∴四边形EMCN 的面积为249a ．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM ≌△EQN ．9．A【详解】试题分析：如图，过点B 作BE ∥AC 交AD 延长线于点E ，∵BE ∥AC ，∴∠DBE=∠C ，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴BD BECD AC=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴AB BDAC CD=，∴AB：AC=BD：CD．故选A．考点：角平分线的性质．10．30°【分析】由△ABC≌△ADE可得∠BAC=∠DAE=60°，由D是∠BAC的平分线上一点可得∠BAD=∠DAC=12∠BAC=30°，即可得∠CAE的度数．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵D是∠BAC的平分线上一点，∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=30°，∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．11．9 42°【分析】①根据全等三角形对应边相等可得AB=AD，AC=AE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；②根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，再求出∠CAE=∠BAD，然后根据三角形的内角和定理可得∠EFC=∠CAE．【详解】解：①∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD=6，AC=AE=9，∵△ABC周长为24，∴BC=24-6-9=9；②∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠CAE=∠BAD=42°，∴∠EFC=∠CAE=42°．故答案为：9；42°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD【分析】【详解】①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加条件：∠EDA=∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD （ASA）．故答案为AE=AF或∠EDA=∠FDA．13．．【详解】试题分析：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得出DE=DF，再由AB=4，△ABD的面积为3求出DE的长，由AC=2即可得出△ACD的面积．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为3，∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S△ACD=AC•DF=×2×=．故答案为．考点：角平分线的性质．14．5 cm【详解】∵AD平分∠BAC,∠C=90∘，DE⊥AB，∴CD=DE，在△ACD和△AED中, AD=AD，CD=DE，∴△ACD≌△AED(HL)，∴AC=AE，∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∵AB=5cm，∴△BDE的周长=5cm.故答案为5cm.15．30o【详解】试题分析：根据AB=AC，∠A=40°可得：∠ABC=∠C=70°，根据中垂线的性质可得：∠ABD=∠A=40°，则∠DBC=∠ABC －∠ABD=70°－40°=30°. 考点：(1)、等腰三角形；(2)、线段中垂线16．45【分析】由222()n n n a b ab ⎡⎤=⎣⎦，即可求出()n ab 的大小．【详解】∵2222()()51680n n n n a b ab ab ⎡⎤===⨯=⎣⎦，∴()n ab ==±，故答案为：45．【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用和幂的乘方的逆用，利用平方根的含义解方程，二次根式的化简，熟练掌握上述公式，是解题的关键．17．4【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．【详解】如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形.故答案为4.【点睛】此题考查轴对称图案，解题关键在于利用对称轴找出对称图案即可.18．见解析．【分析】找出点A 、B 、C 关于直线m 的对称点的位置，然后顺次连接即可．【详解】解：如图所示，△A ′B ′C ′即为△ABC 关于直线m 对称的图形．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，准确找出点A、B、C的对称点的位置是解题的关键．19．见解析【分析】由∠3=∠4可得∠ABD=∠ABC，然后即可根据ASA证明△ABC≌△ABD，再根据全等三角形的性质即得结论．【详解】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC，在△ABC和△ABD中，∵∠2=∠1，AB=AB，∠ABC=∠ABD，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题型，证明△ABC≌△ABD是解本题的关键．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．【详解】（1）证明：由于AB=AC，故△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB；∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，∠ADB=90°；∴∠BAD+∠ABC=90°，∠ECB+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ECB，在Rt△AEF和Rt△CEB中∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB，所以△AEF≌△CEB（ASA）（2）∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，故BD=CD，即CB=2CD，又∵△AEF≌△CEB，∴AF=CB=2CD．21．3【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD=12AB•DE=12×10•DE=15，解得DE=3．∴CD=3.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．22．见解析【详解】试题分析：（1）根据轴对称作图作出即可；（2）根据平移的性质作出A 2C 2，在作出△A 2B 2C 2，使A 2C 2=C 2B 2（答案不唯一）．试题解析：（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）线段A 2C 2和△A 2B 2C 2如图所示（符合条件的△A 2B 2C 2不唯一）．考点：轴对称作图；平移的性质．23．48【分析】首先利用同底数幂的除法法则求出m x 的值，然后再利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则计算即可．【详解】∵x m +n =12，x n =3，4m m n n m n n x x x x +-+∴==÷=，()22224348m n m n m n x x x x x +∴=⋅=⋅=⨯=．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方的运算法则计算即可．24．见解析．【分析】连接BD，由AB=AD，根据等边对等角，可得∠ADB=∠ABD，由∠ABC=∠ADC，根据等式的基本性质，可得∠CBD=∠CDB，根据等角对等边，所以CD=CB．【详解】证明：如图，连接BD，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠CBD=∠CDB，∴CD=CB．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，用角相等来求边相等是本题的解题思路．25．（1）详见解析；（2）△MNC是等边三角形，理由详见解析.【分析】（1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形．【详解】（1）证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE ，∠ACE=∠DCB ，在△ACE 与△DCB 中，∵AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）解：△MNC 是等边三角形．理由如下：∵由（1）得，△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM=∠CDN ，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A 、C 、B 三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM 与△DCN 中，∵CAM NDC AC DC ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△DCN ，∴MC=NC ，∵∠MCN=60°，∴△MCN 为等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．26．（1）AP =12-2t ，AQ =t ；（2）当t =4s 时△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形；（3）当t =3s 时,//PQ BC ．【分析】（1）由题意，可知BP =2t ，AP =AB -BP ，AQ =t ．（2）若△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形，则有AP =AQ ，即12-2t =t ，求出t 即可．（3）若//PQ BC ，则有AQ ：AC =AP ：AB ．再由题意可得∠B =30°，AC =6cm ．从而问题可求．【详解】解：（1）∵AB =12，∴由题意得：BP =2t ，AP =AB -BP =12-2t ，AQ =t ．（2）∵△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形，∴AP =AQ ，即12-2t =t ，解得t =4，即当t =4秒时△APQ 是等腰三角形．（3）∵Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，∴∠B =30°．∵当30QPA B ∠=∠=︒时，有//PQ BC ，2,AP AQ ∴=1222,t t ∴-=∴解得t =3．即当t =3秒时，//PQ BC ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和直角三角形的性质等知识点的综合应用能力．。

八年级上册潍坊数学期中精选试卷测试题(Word版含解析)

八年级上册潍坊数学期中精选试卷测试题（Word 版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ，G 为BE 中点，连接AF ，DG ．（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥；（2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明．【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析.【解析】【分析】(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出.【详解】解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高,∴∠BEA=∠ADB=90°.∵∠ABC=45°,∴△ABD 是等腰直角三角形.∴AD=BD.∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH.∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADE=∠BDF.∴△DAE ≌△DBF.∴BF=AE,DF=DE.∴△FDE是等腰直角三角形.∴∠DFE=45°.∵G为BE中点,∴BF=EF.∴AE=EF.∴△AEF是等腰直角三角形.∴∠AFE=45°.∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,∵点G为BE的中点,BG=GE.∵∠BGM∠EGD,∴△BGM≌△EGD.∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°-∠DBE.∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.∵BD=AD,∴△BDM≌△DAF.∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°.∴∠AHD=90°.∴AF⊥DG.∴AF=2DG,且AF⊥DG【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD ≌△CQP ，理由见解析；②V 7.5Q =（厘米/秒）；（2）点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD ，再根据∠B ＝∠C 证得△BPD ≌△CQP ；②根据V P ≠V Q ，使△BPD 与△CQP 全等，所以CQ ＝BD ＝10，再利用点P 的时间即可得到点Q 的运动速度；（2）根据V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程，设运动x 秒，即可列出方程1562202x x ，解方程即可得到结果. 【详解】（1）①因为t ＝1（秒），所以BP ＝CQ ＝6（厘米）∵AB ＝20，D 为AB 中点，∴BD ＝10（厘米）又∵PC ＝BC ﹣BP ＝16﹣6＝10（厘米）∴PC ＝BD∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 与△CQP 中， BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BPD≌△CQP（SAS），②因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又因为∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ，故CQ＝BD＝10．所以点P、Q的运动时间84663BPt（秒），此时107.543QCQVt（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得156220 2x x，解得x=803(秒)此时P运动了8061603（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.3．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-5．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=25（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中，AB=AC，∠BAM=∠CAM，AM=AM，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC.（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，∴MD=ME.在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF.∵CE∥BD，∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中，CM=MG，∠CMF=∠GMB，MF=MB，∴△FCM≌△BGM（SAS）.∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，CF=BG，∠FCB=∠GBC，CB=BC，∴△CFB≌△BGC（SAS）.∴BF=CG.∴MC=12CG=12BF=MB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．8．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．9．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12BC ，点D 为BC 的中点，AB =DE ，BE ∥AC ．（1）求证：△ABC ≌△DEB ；（2）连结AD 、AE 、CE ，如图2．①求证：CE 是∠ACB 的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.10．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，ABC∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC=>，若ABC∠的角平分线BD交AC于点D，且BD是ABC∆的一条特异线，则BDC∠=度．（2）如图2，ABC∆中，2B C∠=∠，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，求证：AE是ABC∆的一条特异线；（3）如图3，若ABC∆是特异三角形，30A∠=，B为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B的度数．【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∵BD是△ABC的一条特异线，∴△ABD与△BCD为等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EAC为等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；当CD为特异线时，不符合题意；综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____．【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-．【详解】解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，∴xy=()222()2x y x y +-+=-2，即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：（1）写出4()a b +的展开式；（2）利用整式的乘法验证你的结论．【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析【解析】【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.【详解】（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+=()()322333a b a a b ab b ++++4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++432234464a a b a b ab b =++++方法二：()()()422a b a b a b +=+•+=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.13．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，∵当k=-5时，22465N x y x y =-+--，=224649x y x y -+-+-，=22(44)(69)x x y y ++-++，=22(2)(3)x y +-+，=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数，且1x y >+，∴N 是正整数，符合题意，∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），当m=178时，∵178=2⨯89，∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）；当m=279时，∵279=3⨯93=9⨯31，∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.14．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++-＝(8)(3)x x ++ 根据以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．【答案】（1）2(4)17x +- ；（2）(5)(8)x x +-；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．试题解析：解：（1）281x x +-=2228441x x ++--=2(4)17x +-（2）2340x x --=222333()()40222x x -+-- =23169()24x -- =313313()()2222x x -+-- =(5)(8)x x +- （3）证明：222416x y x y +--+=22214411x x y y -++-++=22(1)(2)11x y -+-+∵2(1)x -≥0，2(2)y -≥0，∴22(1)(2)110x y -+-+>．∴x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总是正数．点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2配方是解题关键．15．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a ≠b ，c≠d ，k≠0①求a+b+c 的值；②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-【解析】【分析】（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-【详解】（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)故答案为：(x-y)(x+y+1)（2）①22a ac b bc +=+=12k220a b ac bc -+-=()()0a b a b c -++=∵a b∴0a b c ++=②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k2(a 2+ac)= c 2+ac∴2a 2+ac- c 2=0得(2a-c)(a+c)=0∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0∴c=2a ，a 2=4k∵b 2+bc=12k∴b 2+2ba=3a 2则（a −b ）（3a +b ）=0∵a ≠b∴3b a =-同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24kd 2+ad=c 2+ac（d −c ）（a +d +c ）=0∵c d ≠∴0a d c ++=∴3d a =-故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-【点睛】本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案：方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12S 米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米，根据题意，得：36030030x x=+，解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +≠，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=，方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b=+， ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．17．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x -，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】（1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+-- =(1)6(1)91x x x x ----- =961x x ---；（2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+ =2(2)(2)132x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．18．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①22a b ，②22a b -，③11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．①若m =-n =，求对称式b a a b+的值． ②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b+++的最小值．【答案】（1）①③．（2）①2．②172【解析】试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是①、③；（2）①将等号左边的式子展开，由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b+= a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2222a b ab a b+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b +的最小值是172．试题解析：（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b是对称式， ∴①、③是对称式；（2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，∴a +b =m ，ab =n ，∵m =－n， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-22-－2；②421a a ++421b b+， =a 2+21a +b 2+21b， =（a +b ）2－2ab +()2222a b ab a b +-，=m 2+8+2816m +， =21716m +172， ∵1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172， ∴421a a ++421b b+的最小值是172．点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.19．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______；（2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________；总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________；（3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值．【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-。

八年级数学上册期中精选试卷易错题(Word版含答案)

即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△DMN与△DEN中，
∵ ，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
在△MDN和△EDN中
∵ ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵ ，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DM= DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵ ，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

八年级上册广州数学期中精选试卷测试与练习(word解析版)

八年级上册广州数学期中精选试卷测试与练习（word解析版）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．（4）能力提高：如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=A M，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠F AG＝∠F AD＋∠DAG＝∠F AD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－12∠BAD＝12∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD．（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝12∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.答：此时两舰艇之间的距离为210海里；（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，∴对于四边形AMCD符合探索延伸，则ND=MN，∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，∴MN=ND=10．2．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB=120º，∴CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC ，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．3．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠FAE 的度数；（3）求证：CD=2BF+DE ．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，BF FAFB AFGAF AFG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，在△CGA和△CDA中，GCA DCACGA CDAAG AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．4．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值．（提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH +DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.5．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴=，OC OA∴∠=∠=OAC ACOα180∴∠=∠︒=-，EAC DCBα=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．7．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG=，连接BG ．∵AD是BC边上的中线，∴DC DB=．在ADC和GDB△中，AD DGADC GDBDC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等），∴ADC≌GDB△（SAS）．∴CAD G∠=∠，BG AC=．又BE AC=，∴BE BG=．∴BED G∠=∠．∵BED AEF∠=∠∴AEF CAD∠=∠，即AEF FAE∠=∠∴AF EF=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 8．问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为：90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE=AD，∴AE=AD+DE=BE+2CM，故答案为：AE=BE+2CM．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．9．已知：等边ABC∆中．（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN BN的值．（2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32．【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形，点M 是BC 的中点∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=︒∴30BAM ∠=︒，90AMB ∠=︒∵60AMN ∠=︒∴90AMN BAM ∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM ∠=︒∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠∴在Rt BNM ∆中，2BM BN =在Rt ABM ∆中，2AB BM =∴24AB AN BN BM BN =+==∴3AN BN =即3AN BN=．（2）如下图：过点M 作ME ∥BC 交AC 于E∴∠CME=∠MCB ，∠AEM=∠ACB∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB ∠=∠=︒，120MBN =︒∠∴120CEM MBN ∠==︒∠，60AEM A ∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB ∠=∠∴∠CME=∠MNB ，MN=MC∴在MEC ∆与NBM ∆中CME MNB CEM MBN MC MN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS ∆∆≌∴ME BN =∴AM BN=（3）如下图：过点P 作PM ∥BC 交AB 于M∴AMP ABC =∠∠∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC ==∴60AMP A ==︒∠∠∴AP MP =，180120EMP AMP =︒-=︒∠∠，180120FCP ACB =︒-=︒∠∠ ∴AMP ∆是等边三角形，120EMP FCP ==︒∠∠∴AP MP AM ==∵P 点是AC 的中点 ∴111222AP PC MP AM AC AB BC ====== ∴12AM MB AB == 在EMP ∆与FCP ∆中EMP FCP AEP PFC MP PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS ∆∆≌∴ME FC = ∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+= ∴3322BC BF BE BC BC -==．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．10．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A的坐标为()-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式22m n +-化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°, ∵ABC △为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQC BOA ≅(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6, ∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,∴∠BPD=90°,∵ABD △是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP ,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOB BPD ≅∴AO=BP ,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=3∴m+n=23∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23∴整式2253m n +-3-（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12 EG,∴EN=12 EG,∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM),∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解．【详解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣12（a+b）•b﹣12a2=12a2+12b2﹣12ab=12（a+b）2﹣32ab=12×102﹣32×20=50﹣30=20．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.12．请你观察下列式子：2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……根据上面的规律，解答下列问题：（1）当3x =时，计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为；（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．【答案】（1）201831-；（2）3；（3）2018554- 【解析】【分析】（1）根据已知的等式发现规律即可求解；（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.【详解】（1）∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+故x=3时，201720162015(31)(333-+++…323331)++++=201831-故填：201831-；（2）201720162015222a =+++…322221++++=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，∵2018÷4=504…2，∴20182的个位数为4，∴201821-的个位数为3，故填：3；（3）201720162015555+++…32555+++ =1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54×（201751-） =2018554- 【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.13．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．14．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1）②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3．∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②， ∴②-①，得m-n=3∴m n -的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．15．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360hh+倍.【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x米/分钟，900900151.2x x+＝，解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y米/分，12h +0.5×60＝h y ，化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍，即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．17．符号a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请根据这一法则解答下列问题：（1）计算：211111xx x +-；（2）若2121122x xx -=--，求x 的值.【答案】（1）()()111x x +- （2）5 【解析】【分析】（1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；（2）根据定义列式后得到关于x 的分式方程，正确求解即可.【详解】（1）原式2111x x x =--+ ()()()()11111x x x x x x -=-+-+-()()111x x =+-；（2）根据题意得：21222x x x--=-- 解之得：5x =经检验：5x =是原分式方程的解所以x 的值为5.【点睛】此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.18．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

陕西省渭南市临渭区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(Word版含解析)

2021-2022学年陕西省渭南市临渭区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．36的算术平方根是（）A．6B．﹣6C．±6D．2．下列各数，，，，其中无理数的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．1，，C．，2，D．5，6，74．下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（）A．图象与x轴的交点为（，0）B．图象经过一、二、三象限C．y随x的增大而增大D．图象过点（1，﹣1）6．已知A点的坐标为（3，a+3），B点的坐标为（a，a﹣4），AB∥y轴，则线段AB的长为（）A．5B．6C．7D．137．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米8．甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离S（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（）A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地kmD．经过0.25小时两摩托车相遇二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．比较大小：3（“＞”“＜”或“＝”）．10．直线y＝2x+1沿y轴向下平移3个单位长度，则所得直线的表达式是．11．在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点Q的坐标是（﹣3，2），则点P关于y轴的对称点R的坐标是．12．已知一次函数y＝kx+b，若y随x的增大而减小，且函数图象与y轴交于正半轴，则点P（k，b）在第象限．13．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程）14．计算：．15．已知点P（2a+1，a+7），若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标．16．已知一次函数y＝﹣x+2的图象过点A（a，﹣6）．（1）求a的值；（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象．17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AC＝2，AB＝1，BC＝x，求代数式（x﹣1）2+2x的值．18．做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4：2：1的长方体，求这个长方体的长、宽、高分别是多少cm？19．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）是该汽车行驶时间t（小时）的一次函数，其关系如下表：t（小时）0123…y（升）100928476…求：（1）该汽车油箱中的剩余油量y（升）与汽车行驶时间t（小时）的函数关系；（2）该汽车行驶了多少小时，油箱中的剩余油量为8升？20．如图，已知正比例函数的表达式为y＝﹣x，过正比例函数在第四象限图象上的一点A 作x轴的垂线，交x轴于点H，AH＝2，求线段OA的长．21．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求∠B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．22．如图是某地火车站及周围的简单平面图．（图中每个小正方形的边长代表1千米）（1）请以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；（2）在（1）中所建的坐标平面内，若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．23．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．（1）求这个正数a以及b的值；（2）求b2+3a﹣8的立方根．24．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）25．轿车和货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示，y1、y2分别表示货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处到甲地的距离．26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求k的值及△AOB的面积；（2）已知点M（3，0），若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB 的面积相等时，求点P的坐标．参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．36的算术平方根是（）A．6B．﹣6C．±6D．【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．解：36的算术平方根是6．故选：A．2．下列各数，，，，其中无理数的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．解：，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数有，，共2个．故选：C．3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．1，，C．，2，D．5，6，7【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．解：A．∵12+22≠32，∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵12+（）2＝（）2，∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵（）2+22≠（）2，∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+62≠72，∴以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．4．下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的乘法、除法和加减运算法则逐一计算即可得出答案．解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．×＝＝，此选项计算正确，符合题意；C．6÷3＝2，此选项计算错误，不符合题意；D．5﹣2＝3，此选项错误，不符合题意；故选：B．5．关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（）A．图象与x轴的交点为（，0）B．图象经过一、二、三象限C．y随x的增大而增大D．图象过点（1，﹣1）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项A符合题意；利用一次函数图象与系数的关系，可判断出选项B不符合题意；利用一次函数的性质，可判断出选项C不符合题意；利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项D不符合题意．解：A．当y＝0时，﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴的交点为（，0），选项A符合题意；B．∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；C．∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；D．当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象过点（1，1），选项D不符合题意．故选：A．6．已知A点的坐标为（3，a+3），B点的坐标为（a，a﹣4），AB∥y轴，则线段AB的长为（）A．5B．6C．7D．13【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，可得a＝3，值根据同一条直线上两点间的距离是大数减小数，可得答案．解：由题意得：a＝3，∴a+3＝6，a﹣4＝﹣1，A（6，3），B（﹣1，3），AB＝6﹣（﹣1）＝7，故选：C．7．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故选：B．8．甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离S（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（）A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地kmD．经过0.25小时两摩托车相遇【分析】根据函数图象中的数据和题意可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：由图可得，甲、乙行驶的路程相等，乙用的时间短，故乙的速度快，故选项A正确；甲的速度为：20÷0.6＝（km/h），则甲行驶0.3h时的路程为：×0.3＝10（km），即经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点，故选项B正确；当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地：×0.5＝（km），故选项C正确；乙的速度为：20÷0.5＝40（km/h），则甲、乙相遇时所用的时间是（小时），故选项D错误；故选：D．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．比较大小：＜3（“＞”“＜”或“＝”）．【分析】把两个数分别平方，再比较即可．解：因为（）2＝5，32＝9，5＜9，所以＜3，故答案为：＜．10．直线y＝2x+1沿y轴向下平移3个单位长度，则所得直线的表达式是y＝2x﹣2．【分析】根据函数图象的平移规则“上加、下减”，即可得出直线平移后的解析式．解：根据平移的规则可知：直线y＝2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1﹣3，即y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．11．在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点Q的坐标是（﹣3，2），则点P关于y轴的对称点R的坐标是（3，﹣2）．【分析】直接利用关于x轴、y轴对称点的性质分析得出答案．解：∵点P关于x轴的对称点Q的坐标是（﹣3，2），∴点P的坐标为（﹣3，﹣2），∴点P关于y轴的对称点R的坐标是（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）．12．已知一次函数y＝kx+b，若y随x的增大而减小，且函数图象与y轴交于正半轴，则点P（k，b）在第二象限．【分析】由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，由一次函数y＝kx+b 的图象与y轴交于正半轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＞0，进而可得出点P（k，b）在第二象限．解：∵一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小，∴k＜0；∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于正半轴，∴b＞0，∴点P（k，b）在第二象限．故答案为：二．13．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为96m2．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m2三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程）14．计算：．【分析】利用绝对值，立方根的意义化简，合并同类二次根式即可得出结论．解：原式＝2﹣﹣﹣1＝1﹣．15．已知点P（2a+1，a+7），若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标．【分析】利用点P到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．解：∵点P的坐标为（2a+1，a+7），且点P到两坐标轴的距离相等，∴2a+1＝a+7或（2a+1）+（a+7）＝0；解得：a＝6或a＝﹣，∴P点坐标为（13，13）或（﹣，）．16．已知一次函数y＝﹣x+2的图象过点A（a，﹣6）．（1）求a的值；（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣6＝﹣a+2，解之即可得出a的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴的交点坐标，经过两点（0，2），（2，0）即可作出一次函数y＝﹣x+2的图象．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象过点A（a，﹣6），∴﹣6＝﹣a+2，∴a＝8．（2）当x＝0时，y＝﹣1×0+2＝2，∴一次函数y＝﹣x+2的图象过点（0，2）；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴一次函数y＝﹣x+2的图象过点（2，0）．经过两点（0，2），（2，0）作一次函数y＝﹣x+2的图象，如图所示．17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AC＝2，AB＝1，BC＝x，求代数式（x﹣1）2+2x的值．【分析】分AC是直角边，根据勾股定理得出x的值，进而代入解答即可．解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵AB＝x，∴x＝，∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝5+1＝6；∴代数式（x﹣1）2+2x的值是6．18．做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4：2：1的长方体，求这个长方体的长、宽、高分别是多少cm？【分析】设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，然后依据底面积为24cm2，列出关于x的方程，然后可求得x的值，最后再求得这个长方体的长、宽、高即可．解：设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x．根据题意得：4x•2x＝24，解得：x＝或x＝﹣（舍去）．则4x＝4，2x＝2．所以这个长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、cm．19．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）是该汽车行驶时间t（小时）的一次函数，其关系如下表：t（小时）0123…y（升）100928476…求：（1）该汽车油箱中的剩余油量y（升）与汽车行驶时间t（小时）的函数关系；（2）该汽车行驶了多少小时，油箱中的剩余油量为8升？【分析】（1）设y＝kt+b，然后根据表格给出的数值即可求出k与b的值．（2）令y＝﹣8代入y与t的函数关系式即可求出t的值．解：（1）设y＝kt+b，由表格可知：b＝100，将t＝1，y＝92代入y＝kt+100，∴k＝﹣8，∴该汽车油箱中的剩余油量y（升）与汽车行驶时间t（小时）的函数关系为y＝﹣8t+100．（2）令y＝8代入y＝﹣8t+100，∴8＝﹣8t+100，∴t＝．答：该汽车行驶了小时，油箱中的剩余油量为8升．20．如图，已知正比例函数的表达式为y＝﹣x，过正比例函数在第四象限图象上的一点A 作x轴的垂线，交x轴于点H，AH＝2，求线段OA的长．【分析】由AH⊥x轴，AH＝2得A点的纵坐标为﹣2，代入y＝﹣x可得A点的横坐标，利用勾股定理即可计算出OA的长．解：∵AH⊥x轴，AH＝2，点A在第四象限，∴A点的纵坐标为﹣2，代入y＝﹣x得﹣2＝﹣x，解得x＝4，∴A（4，﹣2），∴OH＝4，∴OA＝＝＝2．21．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求∠B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，PQ＝＝＝13（cm），即P、Q两点之间的距离为13cm．22．如图是某地火车站及周围的简单平面图．（图中每个小正方形的边长代表1千米）（1）请以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；（2）在（1）中所建的坐标平面内，若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．【分析】（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场A、超市B市场C、文化宫D的坐标．（2）根据点的坐标的意义描出点E．解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣3）．（2）如图，点E即为所求．23．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．（1）求这个正数a以及b的值；（2）求b2+3a﹣8的立方根．【分析】（1）根据题意可得，2x﹣2+6﹣3x＝0，即可求出a＝36，再由题意求出b的值即可；（2）将（1）中所求a、b的值代入b2+3a﹣8，即可求解．解：（1）∵正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，∴2x﹣2+6﹣3x＝0，∴x＝4，∴2x﹣2＝6，∴a＝36，∵a﹣4b的算术平方根是4，∴a﹣4b＝16，∴b＝5；（2）b2+3a﹣8＝25+36×3﹣8＝125，∴b2+3a﹣8的立方根是5．24．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）【分析】（1）设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，则AB＝BG+GA＝9（米），即可得出结论；（2）由题意得CF＝DE＝3米，则GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，再由勾股定理求出BF的长即可．解：（1）不正确，理由如下：由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．（2）由题意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．25．轿车和货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示，y1、y2分别表示货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处到甲地的距离．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得y1与x之间的函数关系式；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车返回时的速度，然后即可计算出相遇处到甲地的距离．解：（1）设y1与x之间的函数关系式是y1＝kx，2k＝90，解得，k＝45，即y1与x之间的函数关系式是y1＝45x；（2）由图象可得，轿车返回时的速度为：90÷（2.5﹣1.5）＝90（千米/小时），设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为ah，45a+90（a﹣1.5）＝90，解得，a＝，45×＝75（千米），即相遇处到甲地的距离是75千米．26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求k的值及△AOB的面积；（2）已知点M（3，0），若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB 的面积相等时，求点P的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，根据直线方程求得点B的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答；（2）分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可．解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得0＝2k+3，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+3．当x＝0时，y＝3．∴B（0，3），∴OB＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴S△AOB＝OA•OB＝×2×3＝3；（2）∵M（3，0），∴OM＝3，∴AM＝3﹣2＝1．由（1）知，S△AOB＝3，∴S△PBM＝S△AOB＝3；①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝AM•OB+•AM•|y P|＝×1×3+×1×|y P|＝3，∴|y P|＝3，∵点P在x轴下方，∴y P＝﹣3．当y＝﹣3时，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3，解得x＝4．∴P（4，﹣3）；②当点P在x轴上方时，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝•AM•|y P|﹣AM•OB＝×1×|y P|﹣＝3，∴|y P|＝9，∵点P在x轴上方，∴y P＝9．当y＝9时，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3，解得x＝﹣4．∴P（﹣4，9）．综上，点P的坐标为（4，﹣3）或（﹣4，9）．。

八年级上册期中精选试卷易错题(Word版含答案)

八年级上册期中精选试卷易错题（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明2．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

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八年级数学期中精选试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE CGA BOG AF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE BGEBF GBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴ΔDEF为等腰直角三角形.（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴△ADE≌△CDF，∴S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，∴ S∆ABC=2 S四边形AEDF,∴S四边形AEDF=3.5 .（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC,AD=BD ，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE ，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．4．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形DEF ∆，连接CF .（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；（3）如图3，当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ∆是等边三角形，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF EG =；（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2， ∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE =，∴CD CG CE GE CE CF ==+=+（3）CF =CD +CE ，理由如下：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DFGDE CDFDG DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，∴CF GE==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.5．已知：4590ABC A ACB∆∠=∠=，，，点D是AC延长线上一点，且22AD=+，，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HB MB=，以点B为中心，将线段BH逆时针旋转45，得到线段BQ，连接AQ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB∠=∠；（3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果QA BN=，求线段AB的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB=【解析】【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE⊥AB，根据AAS证得QEB BCM≅，根据HL证得Rt QEA Rt BCN≅，设法证得2AB CD=，设AC BC x==，则2AB x=，22CD x=，结合已知22AD=，构建方程即可求解.【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH是ABM的一个外角，∴ABH BAM AMB∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ∠=∠+∠又∵45HBQ BAM∠=∠=︒∴ABQ AMB∠=∠（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM∠=∠=︒，在QEB和BCM中，QEB BCMQBE BMCQB BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QEB BCM≅(AAS)∴EB CM=，QE BC=，在Rt QEA和Rt BCN中∵QE BC=，Q A BN=∴Rt QEA Rt BCN≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++∵点N 是点M 关于点D 的对称点，∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=设AC BC x ==，则2AB x =，2CD x =，又∵22AD =+，2 2AD AC CD x x =+=+ ∴2222x x +=+ 解得：2x =∴ 22AB =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．已知:三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为BC 的中点.(1)如图,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且BE=AF,求证:△DEF 为等腰直角三角形.(2)若E 、F 分别为AB,CA 延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF 是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD ，构造全等三角形：△BED 和△AFD ．AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD ，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF ，再加上BE=AF ，AD=BD ，可证出：△BED ≌△AFD ，从而得出DE=DF ，∠BDE=∠ADF ，从而得出∠EDF=90°，即△DEF 是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF ≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF 是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,∴AD ⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE ≌△ADF （SAS ）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF 为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．7．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度（2）若2ACB B ∠=∠，①求证：2AB CF =②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD= （用含 ,a b 的式子表示）【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b a b- 【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+，进而得出结论．【详解】解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∵CE 为三角形的角平分线，∴1282ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．故答案为：34；（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ，H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ；②在AHF △和DCF 中，H DCF HF CFAFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+∵ //AH BC ∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-．故答案为：2b a b -．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．8．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）求∠CAM 的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：△ADC ≌△BEC ；（3）当动D在直线．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM12=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，即11603022BAM BAC∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．②当点D在线段AM的延长线上时，如图2．∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．③当点D在线段MA的延长线上时．∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案. 【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.10．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数. 变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数. （1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围. 【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60° 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案. 【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°， ∴∠A 为顶角，∠B 为底角， ∴∠B =1801002-=40°；变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ， ∴当AB=BC 时，∠B =90° ，当AB=AC 时， ∠B =67.5° ，当BC=AC 时 ∠B =45° ；（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数，综上所述：90°≤x ＜180°或x=60° 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc （百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ），若满足a+c=b ，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F （abc ）=ac ．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F （374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数abc ”，若满足b 能被9整除，求证：“欢喜数abc ”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可. 【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数， ∴a +c =b ．∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除， ∴11b 能被99整除，99a 能被99整除， ∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数， ∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2）， ∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.12．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1． ∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0， ∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；（2）若代数式M ＝214a +2a +1，求M 的最小值；（3）已知a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值．【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=122. 【解析】【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）先提取14，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解．【详解】（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2 故答案为：4；（2）M ＝21a 4+2a+1 ＝14（a 2+8a+16）﹣3 ＝14（a+4）2﹣3 ∴M 的最小值为﹣3（3）∵a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c+2＝0， ∴（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+（2c ﹣1）2＝0， ∴a ﹣b ＝0，b ﹣1＝0，2c ﹣1＝0 ∴a ＝b ＝1，1c=2， ∴a+b+c=122.．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．13．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++【解析】试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解. 试题解析：（1）()2222a ab a a b +=+（2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++14．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2﹣4x +1）（x 2﹣4x +7）+9进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y原式＝（y +1）（y +7）+9（第一步）＝y 2+8y +16（第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的； A ．提取公因式法 B ．平方差公式法 C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．15．由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试分解因式：x2＋6x＋8；(2)应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.【解析】【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．【详解】(1)原式=(x+2)(x＋4)；(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【解析】【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时．【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ，由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =，经检验，5x =是原方程的根， ∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.17．阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++(1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++这样，分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式.问题：（1）请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）请将分式4225932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122x x x x x +-=--++. 【解析】【分析】（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；（2）将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，求出m 、n ，整理后即可得到答案. 【详解】（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-， ∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+-∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩，∴22361x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-；（2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩，∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.18．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131xx --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m nx x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --=()(1)(1)m n x m nx x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+．（1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m nx x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式．【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-．【解析】【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解. 【详解】解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩，解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m nx x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m nx x +-++-，由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m nx x +-++-，得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.19．已知分式A=2344(1)11a a a a a -++-÷--. (1) 化简这个分式；(2) 当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和. 【答案】（1）22a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11. 【解析】分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除. 详解：（1）A =2344111a a a a a -+⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭=()()()2113211a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：()()()()()()()()21522512212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ . ∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()1221A B a a -=-+＞0，即A ＞B(3) 24122a A a a +==+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6，又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 , 即：符合条件的所有a 值的和为11. 点睛：比较大小的方法：（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1ab>，则a ＜b ．20．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首。

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