函数图像变换与旋转
高考数学中的函数图像变换及其应用
高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。
本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。
一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。
其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。
对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。
类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。
函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。
二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。
类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。
函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。
三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。
函数的图像和变换
函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。
一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。
2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。
当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。
当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。
3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。
4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。
二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。
以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。
例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。
2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。
例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。
3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。
如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。
几何画板中函数图像的旋转和对称
几何画板中函数图像的旋转和对称利用变换菜单作图对象的平移、旋转、缩放、反射等各种作图，但我们如何让函数图像也能够进行平移、旋转、缩放、反射呢？如果还是按照老方法操作，显然是不成功的，那么该怎么操作呢？下面我们通过一个小实例来看一看做法。
定义域是（a,b）的函数y=x2 的图像绕某一点P旋转和关于某直线l的对称操作步骤：1、图表菜单——定义坐标系，然后用点工具在x轴上做任意两点，并同时选中这两点，点击度量菜单——横坐标，出现两个度量值，在度量结果右键——属性——标签中，设置两个度量值标签分别为a、b（a<b）2、同时选中第一步中的两点，构造——线段，然后继续构造——线段上的点X，然后继续度量——横坐标，设置度量结果的标签为x，然后度量——计算，出现一个计算器窗口，点击刚才的估量结果x，然后点击计算器中的^符号，继续点击2键，然后确定，得到一个计算结果，设置标签为y。
3、按顺序选中度量结果x和y，点击图表——绘制点（x，y）,此时新绘制出来的点处于被选中状态，继续选中X点，构造——轨迹。
至此，定义域为（a,b）的函数y=x2 的图像已经绘制完成，下面看看该如何绕某一点旋转（呵呵，其实非常简单）4、用直尺工具绘制一条线段M N，并在线段上构造一个点K，度量MN两点的距离，再度量MK两点距离，度量——计算，打开计算器，计算(MK/MN)* 360度的结果，注意360度中的单位度的选择方式，选中计算结果，变换菜单——标记角度。
5、用点工具在平面内任意画一个点P，并用选择工具双击点P将其标记为旋转中心，选中在第3步中那个绘制点（x，y）得到的点，变换——旋转，墨认为按标记角度旋转，点击旋转按钮即可。
6、上一步点击了旋转按钮之后，得到一个新的点，这个点处于被选中状态，继续选中X点，构造——轨迹，好了，出现了新的轨迹了感觉怎么样，用鼠标拖动K点，可以改变旋转的角度，当然你也可以改变P点的位置，调整旋转中心的位置。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
数学公式知识：三角函数图像的移动与旋转变形
数学公式知识：三角函数图像的移动与旋转变形引言三角函数是高中数学中重要的内容，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在高中数学中，三角函数的图像的移动与旋转变形也是一个重要的知识点。
本文将深入探讨三角函数图像的移动与旋转变形的概念、方法和实际应用。
一、三角函数图像的基本概念三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数三种。
它们的函数图像具有一定的规律性。
正弦函数和余弦函数的函数图像都是以原点为对称中心的周期函数，正切函数的函数图像则是单调的无穷函数。
三角函数的函数图像在一定的范围内表现出不同的性质。
这里我们以正弦函数为例，介绍一下三角函数图像的基本概念。
正弦函数的函数图像一般为一条连续的波浪线，波峰为最大值，波谷为最小值。
正弦函数图像的一个完整周期为2π。
正弦函数图像的初始值为0，即正弦函数在x=0处等于0。
正弦函数在[-π/2, π/2]的定义域内为单调递增函数，而在[π/2, 3π/2]的定义域内为单调递减函数。
正弦函数的取值范围为[-1, 1]。
二、三角函数图像的移动在三角函数的图像中，整个图像可以通过平移、伸缩等变形实现位置和形状上的改变。
其中，平移是最基本的操作。
1、平移的定义平移是指将图像沿着横坐标轴或纵坐标轴向左、右、上或下移动一个单位或若干个单位的过程。
平移是一种基本的函数图像变形方式，可以改变函数图像的位置，从而得到新函数的图像。
在平移时可以用向量法和函数式法来处理。
在向量法中，我们可以用位移向量来描述平移的方向和距离；在函数式法中，我们可以直接改变函数中的x或y的数值，从而使函数图像沿着x或y轴移动一定的距离。
2、平移的方法（1）沿x轴正方向平移h个单位可以通过函数表达式y=sin(x-h)来改变函数图像的位置。
函数式y=sin(x-h)的含义是将原来在x=h处的点移动到x=0处。
这种移动方式叫做沿着x轴正方向平移。
（2）沿x轴负方向平移h个单位当对三角函数的图像进行沿x轴负方向平移h个单位的操作时，可以通过函数表达式y=sin(x+h)来改变函数图像的位置。
函数图像的伸缩变换规则
函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。
伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。
2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。
3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。
4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。
二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。
2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。
3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。
4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方式一，平移变换。
（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。
（简记：左加右减，这里的a>0。
）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。
（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。
(简记：左右翻折)（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。
所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。
(简记：上下翻折)（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。
(简记：旋转180度)三，翻折变换。
（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。
（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。
(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。
（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1.y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f （x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价：f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；（x+a）=f（x）周期：|a|（x+a）=-f（x）周期：2|a|（x+a）=（或周期：2|a|（x+a）=f（x-a）周期：2|a|（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|（x+a）=（或）周期：4|a|(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
一次函数图像的平移对称旋转问题
一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。
函数图像变换的四种情况
函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。
1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。
平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。
2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。
缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。
水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。
缩放会改变函数图像的形状和大小。
3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。
常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。
关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。
翻转会改变函数图像的对称性和方向。
4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。
旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。
旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。
这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。
它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
函数转换公式范文
函数转换公式范文一、函数的平移：1.左右平移：y=f(x±a)表示将原函数图像沿x轴左右平移a个单位。
2.上下平移：y=f(x)±a表示将原函数图像沿y轴上下平移a个单位。
二、函数的伸缩：1. 横向伸缩：y = f(bx) 表示将原函数图像沿y轴压缩为原来的1/b倍，b为正数，b>1时为压缩，b<1时为拉伸。
2. 纵向伸缩：y = af(x) 表示将原函数图像沿x轴压缩为原来的1/a倍，a为正数，a>1时为压缩，a<1时为拉伸。
三、函数的翻转：1.关于x轴翻转：y=-f(x)表示将原函数图像相对于x轴翻转，即纵坐标取相反数。
2.关于y轴翻转：y=f(-x)表示将原函数图像相对于y轴翻转，即横坐标取相反数。
四、函数的复合：1.f(g(x))表示将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入，得到f(g(x))函数。
2.g(f(x))表示将函数f(x)的输出作为函数g(x)的输入，得到g(f(x))函数。
五、函数的反函数：1. y = f(x) 的反函数记为 y = f^(-1)(x) （读作f inverse of x），表示由y = f(x)确定的输出反过来确定x。
六、函数的换元：1.变量替换：通过将函数中的变量替换为其他变量，得到新的函数。
2.坐标变换：通过对坐标轴进行线性变换来转换函数，如以点A(a,b)为中心旋转角度θ后的新坐标。
这些函数转换公式可以在解决数学问题中起到重要的作用。
例如，通过平移可以改变函数图像的位置，通过伸缩可以调整函数图像的大小，通过翻转可以倒置函数图像，通过复合可以得到多个函数的运算结果等。
函数的反函数和换元在求解方程和积分等数学问题中也有广泛的应用。
需要注意的是，在进行函数转换时，应该先对函数进行相应的变换，再进行替换等操作，以保证得到正确的结果。
此外，还需要注意函数转换后的定义域、值域等性质的变化，以便在应用中正确地使用转换后的函数。
函数图像旋转知识点总结
函数图像旋转知识点总结一、概念介绍函数图像是指以坐标轴为基准，在平面上表示函数关系的图像。
一般来说，函数图像是由若干个点连成的曲线或折线。
函数图像旋转则是指通过某种变换，使得原函数图像绕一个特定的点或轴进行旋转，得到一个新的函数图像。
旋转后的函数图像可以是原函数图像的直接旋转，也可以是其镜像。
二、旋转原理函数图像旋转的原理可以通过几何变换和坐标变换进行理解。
在几何变换方面，我们可以通过将平面上的点绕着特定的旋转中心旋转一定的角度，来得到旋转后的点的坐标。
在坐标变换方面，我们可以通过数学公式和矩阵运算，来得到旋转变换所对应的线性变换矩阵。
通过这些方法，我们可以实现函数图像的旋转变换。
三、常见旋转方式在实际应用中，函数图像的旋转有几种常见的方式：1. 绕原点旋转：即函数图像绕坐标原点进行旋转。
这是最简单的一种旋转方式。
2. 绕定点旋转：即函数图像绕特定的点进行旋转。
这种方式通常需要确定旋转中心的坐标，并进行相应的坐标变换。
3. 水平方向旋转：即函数图像在水平方向进行旋转。
这种方式通常需要对函数的自变量进行相应的变换。
4. 垂直方向旋转：即函数图像在垂直方向进行旋转。
这种方式通常需要对函数的因变量进行相应的变换。
以上这些方式都可以通过坐标变换或几何变换来实现，并且可以分别应用于不同类型的函数图像。
四、实际应用函数图像旋转在实际应用中有许多重要的应用：1. 几何形状的变换：函数图像旋转可以用于变换几何形状，比如将一个图形绕其内部或外部的一个点进行旋转，从而得到新的几何形状。
2. 图像处理：函数图像旋转可以用于图像处理，比如将一张图片绕其中心进行旋转，得到一个新的旋转图像。
3. 模拟仿真：函数图像旋转可以用于模拟仿真，比如通过旋转函数图像来模拟实际物体的运动轨迹。
4. 数据可视化：函数图像旋转可以用于数据可视化，比如通过旋转函数图像来表示不同变量之间的关联和趋势。
总之，函数图像旋转是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
旋转函数知识点总结高中
旋转函数知识点总结高中一、定义1. 旋转函数的概念旋转函数是指通过将函数的图像绕坐标系的原点进行旋转，得到新的函数图像。
当原函数图像绕坐标系的原点旋转一定角度后，得到的新函数称为旋转函数。
2. 旋转角度旋转函数的角度通常是以角度制或者弧度制来表示的。
在解析几何中，我们通常使用弧度制来表示旋转角度。
3. 旋转函数的表示旋转函数通常用一般的函数表示，并且写成y=f(x)，表示原函数，而旋转函数则写成y=f(θ)，表示在旋转角度θ下的新函数。
二、性质1. 旋转函数的图像特点（1）原函数图像的对称性：旋转函数的图像通常是原函数图像的对称图形，旋转后的图形与原图形关于对称轴对称。
（2）原函数图像的形状：旋转函数的形状与原函数有一定的关系，通常会发生拉伸、压缩或者错位的现象。
2. 旋转函数的基本图形（1）旋转角度为0度时，旋转函数图像与原函数图像重合。
（2）旋转角度为90度时，旋转函数图像与原函数图像关于原点对称。
（3）随着旋转角度的增加，旋转函数图像的形状也会不断变化，旋转函数的图像特点需要具体分析。
3. 旋转函数与反函数如果原函数有反函数，那么旋转函数与反函数的图像也存在一定的关系，旋转函数的性质通常由反函数的性质来决定。
三、应用1. 旋转函数的应用旋转函数在解析几何中有着广泛的应用，可以用来描述旋转体的体积、滚动圆柱的表面积等问题。
在物理学、工程学等领域也有着丰富的应用。
2. 旋转函数的解析通过对原函数的分析，可以得到旋转函数的表达式，进而得到旋转函数的图像特点。
这对于解决实际问题非常有帮助。
3. 旋转函数与几何图形的关系旋转函数的概念可以帮助我们更好地理解在几何图形的旋转变换中会发生哪些变化，从而更好地解决几何题目。
四、总结旋转函数作为高中数学中重要的概念之一，通过本文的总结，我们了解了旋转函数的定义、性质和应用。
通过学习旋转函数，可以更好地理解解析几何中的旋转变换，并应用到实际问题中。
同时，对于进一步学习高等数学和工程数学也具有一定的指导作用。
函数图像旋转45度规律
函数图像旋转45度规律
一次函数旋转45度规律是k变成了(1+k)/(1-k)，(k≠1)。
旋转45度后，x坐标变为根号2/2(x+y)，y坐标变为根号2/2(y-x)，斜率变为(k+1)/(k-1)。
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
一次函数有三种表示方法：
1、解析式法
用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。
2、列表法
把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
3、图像法
用图象来表示函数关系的方法叫做图像法。
设原直线的倾斜角为α,旋转45°后,倾斜角为α-45°。
a=tan(α-45°)=(tanα-tan45°)/(1+tanα*tan45°)
=( tanα-1)/(1+ tanα)
=(k-1)/(1+k)
简介
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。
函数坐标轴变换
函数坐标轴变换
（实用版）
目录
1.函数坐标轴变换的概念
2.函数坐标轴变换的类型
3.函数坐标轴变换的方法
4.函数坐标轴变换的应用
5.总结
正文
1.函数坐标轴变换的概念
函数坐标轴变换，是指将一个函数的图像通过某种方式在坐标轴上进行变换，从而得到一个新的函数图像。
这种变换通常包括对原函数的横纵坐标进行某种操作，从而得到新的横纵坐标，进而得到新的函数图像。
2.函数坐标轴变换的类型
常见的函数坐标轴变换类型有以下几种：
（1）平移变换：将函数图像沿着横轴或纵轴方向进行平移，得到新的函数图像。
（2）缩放变换：将函数图像沿着横轴或纵轴方向进行缩放，得到新的函数图像。
（3）旋转变换：将函数图像沿着某个点进行旋转，得到新的函数图像。
（4）镜像变换：将函数图像沿着某个轴进行镜像，得到新的函数图像。
3.函数坐标轴变换的方法
进行函数坐标轴变换的方法通常有以下几种：
（1）代数方法：通过对原函数的解析式进行代数运算，得到新函数的解析式，从而得到新函数的图像。
（2）几何方法：通过对原函数的图像进行几何变换，得到新函数的图像。
（3）函数图像的平移、缩放、旋转和镜像等操作，也可以通过计算机图形软件进行实现。
4.函数坐标轴变换的应用
函数坐标轴变换在数学、物理等科学领域中有广泛的应用，例如在函数的图像分析、函数的性质研究、物理模型的建立等方面都有重要的作用。
初中数学精品教案：函数图像与旋转
《0311函数图像与旋转》微设计学习目标:1.了解图形旋转的性质；2.通过中考真题解答，探寻利用旋转性质解决与之相关的三角形问题；3.经历拓展变式，学会在图形旋转背景下，进行三角形相似的准确分类.建立良好的逻辑思维. 学习重点：探寻三角形相似分类的方法.学习难点：根据已知条件，找准两个三角形的对应边或对应角，进行有效分类. 学习过程： 一、问题背景函数图像与旋转一直是中考的经典题型，是数形结合思想的拓展与升华。
其中，以三角形旋转为背景考察三角形相似问题一直是中考热点，它对学生旋转变换、分类讨论及运算推理能力要求高，突出了数学核心素养的考察。
本节课我们以一道中考压轴题为例，一起来探寻三角形相似的方法。
二、例题解析（2019·广东） 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线837433832-+=x x y 与x 轴交于点A,B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点.点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ,△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE .（1）求点A,B.D 的坐标；（2）求证：四边形BFC E 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1△x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM △x 轴，点M为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）. △求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； △直接回答这样的点P 共有几个？图1 图21.思路探寻问题1：解方程求得点A ，B 坐标，配方法求得点D 坐标；在这个前提下，要证明四边形BFCE 是平行四边形有哪些方法？（意图：引导学生回顾平行四边形的判定.）问题2：根据已知条件是否可以求出旋转角和OC 的长？ （意图：让学生经历计算，发现EC 和BF 的关系.) 问题3：除了利用相似来求OC 长，还有它法吗？(意图：引导学生自主发现可通过求直线DF 的解析式达到目的.) 问题4：分析可知△DD 1A 与△PMA 有一对对应角相等，可如何判定他们相似？ (意图：引导学生根据两边对应成比例及夹角相等这一性质来分类， 来判定或依据DD AD MA PM A D DD MA PM 1111==）2. 解法展示（1）)32,3(),0,7(),0,1()1)(7(8383743383)1(2----+=-+=D B A x x x x y 得由 (2)思路1思路2（3）思路1)83743383,,32,4902111111111-+====∴︒=∠=∠x x x P D D A D AD DD MA PM D D A D MA PM A DD PAM A DD PMA A DD PAM （可设由条件可知或相似，与△∵△中，与△依题意可知△337),(13218374338311),(1231837433832121121211-==∴=--+⇒=-==∴=--+⇒=x x x x x D D A D MA PM x x x x x A D D D MA PM B P 舍，舍，点左侧时，在当35-，)舍(1（舍）3-，)舍(1之间时，在当21112111==⇒===⇒=x x DD AD MA PM x x AD DD MA PM AB P（舍）35-，)舍(1（舍）3-，)舍(1右侧时，在当21112111==⇒===⇒=x x DD AD MA PM x x AD DD MA PM A P .3337-11-35-个共，，的横坐标为综上，点P （3）思路2])1)(7(83,[）设-+m m m P 1)1)(7(83-=-+=⇒m AM m m PM 78318)1)(7(3+=--+=⇒m m m m AMPM3.方法归纳讨论三角形相似时要先研究已知三角形的边和角，再找两个三角形的共性，最后确定分类标准.当图形较复杂时，要简化图形.4.拓展延伸（2019·岳阳24题改编）如图，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1： x x y 37312+=的图象上，点A 的横坐标为－4，点B 的纵坐标为－2．（点A 在点B 的左侧）将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A′OB′，抛物线F 2：经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线F 2于点C ，连接A′C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA′C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 简解：），（和联立由4-843-4121-)1,2('),4,4(')2,1(),4,4(C x x y x y B A B A 2OB'→+==--→----若以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA′C 相似则△AOD 必有一个钝角135°，故点O 与点A′是对应顶点．所以点D 在x 轴或y 轴正半轴上．).8,0)(0,8)(0,4()4,0(、点坐标为可得和根据D CA'ODO A'OA O A'OD C A'OA == 三、解后反思。
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函数图像变换与旋转
一.平移变换：
1.y=f （x ）→y=f(x±a )(a>0) 原图像横向平移a 个单位（左+右-）
2.y=f （x ）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b 个单位（上+下-）
3.若将函数y=f （x ）的图像右移a ，上移b 个单位，得到函数y=f （x-a ）+b
二．对称变换：
1.y=f （x ）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y 轴对称；
对比：若f=（-x ）=f （x ） 则函数自身的图像关于y 轴对称；
2.y=f （x ）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x 轴对称；
3.y=f （x ）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；
对比：若f （-x ）=-f （x ） 则函数自身的图像关于原点对称；
4.y=f （x ）→y=f -1
（x ） 原图像与新图像关于直线y=x 对称；
5.y=f （x ）→y=f -1（-x ） 原图像与新图像关于直线y=-x 对称；
6.y=f （x ）→y=f（2a-x ） 原图像与新图像关于直线x=a 对称；
7.y=f （x ）→y=2b-f （x ） 原图像与新图像关于直线y=b 对称；
8.y=f （x ）→y=2b-f （2a-x ） 原图像与新图像关于点（a ，b ）对称； 三．翻折变换：
1. y=f （x ）→y=f(|x|)的图像在y 轴右侧（x>0）的部分与y=f （x ）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称；
2. y=f （x ）→y=|f(x)|的图像在x 轴上方部分与y=f （x ）的图像相同，其他部分图像为y=f （x ）图像下方部分关于x 轴的对称图像；
3. y=f （x ）→y=f(|x+a|)变换步骤：
法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a 右边图像，后去掉直线x=a 左边图像并作关于直线x=a 对称图像y=f （x ）→y=f(x+a )→y=f(|x+a|)
法2:先保留y 轴右边图像，去掉y 轴左边图像，并作关于y 轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f （x ）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)
四．伸缩变换：
1.y=f （x ）→y=af(x)（a>0） 原图像上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变；
2.y=f （x ）→y=f(ax)（a>0） 原图像上所有的横坐标变为原来的1a ，纵坐标不变；
五．对称性：
1.函数自身对称性之轴对称：
（1）.若f （x ）=f （2a-x ）（或f （a+x ）=f （a-x ）或f （-x ）=f （2a+x ））
则函数自身关于直线x=a 对称；
（2）.若y=f （x ）的图像关于直线x =
a+b 2对称 等价于f （a+mx ）=f （b-mx ）等价于 f （a+b-mx ）=f （mx ）；
2.函数自身对称性之中心对称：
（1）.若f （mx+a ）=-f （b-mx ），则函数自身关于点（a+b 2
，0）对称； （2）.若f （mx+a ）+f （b-mx ）=c ，则函数自身关于点（a+b 2，c 2）对称； （3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b （或f （x ）+f(2a-x)=2b 或f （-x ）+f(2a+x)=2b
则函数自身关于点（a,b ）对称；
3.不同函数之间的对称性：
（1）.函数y=f （a+x ），y=f （b-x ）的图像关于直线x =b−a 2对称；
推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；
函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a 对称；
函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a 对称；
特例：函数y=f （a+x ），y=f （a-x ）的图像关于直线x=0对称；
（2）.函数y=f （a+x ），y=-f （b-x ）的图像关于点（b−a 2，0）对称；
特例：函数y=f （a+x ）与y=-f （a-x ）关于原点中心对称
4.抽象函数的对称性：
（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a 轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；
（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);
易知，y=f （x ）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；
六．周期性；
1.f （x+a ）=f （x ） 周期：|a|
2.f （x+a ）=-f （x ） 周期：2|a|
3.f （x+a ）=±1
f （x ）（或−11+f (x )
） 周期：2|a| 4.f （x+a ）=f （x-a ） 周期：2|a|
5.f （x+a ）=-f （x-a ） 周期：4|a|
6.f （x+a ）=1−f （x ）
1+f （x ）（或1+f （x ）
1−f （x ）） 周期：4|a|
7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|
8.若p>0,f(px)=f(px-p 2) 周期：p 2 七．对称性与周期性：
1.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，x=b 对称（a 不等于b ），则f （x ）是周期函数， 且周期T=2|a-b|；
特例：若y=f （x ）是偶函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=2|a|；
2.若y=f （x ）关于点（a ，0），（b ，0）对称，则f （x ）是周期函数，
且周期T=2|a-b|；
3.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，对称中心（b ，0）对称（a 不等于b ）则f （x ）为周 期函数，且周期T=4|a-b|；
特例；若y=f （x ）是奇函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=4|a|；
综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
（另：内同为周期，内反为对称）。