离散数学关系运算
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第2版教学课件-关系的运算
4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A为集合，
（1）R在A上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A上的限制R↾ A是R的子关系，而A在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}
4.3.2 限制与像
定理4.3
设R为二元关系，A和B为集合，则有 (1) R↾ (A B) = R↾ A R ↾ B (2) R[A B] = R[A] R[B] (3) R↾ (A B) = R↾ A R↾ B (4) R[A B] R[A] R[B]
证：(3) 对任意的<x, y>， <x, y>∈R↾ (A B) <x, y>∈R∧x∈A B <x, y>∈R∧(x∈A∧x∈B) (<x, y>∈R∧x∈A)∧(<x, y>∈R∧x∈B) <x, y>∈R↾ A∧<x, y>∈R↾ B <x, y>∈R↾ A R↾ B 所以有R↾ (A B) = R↾ A R↾ B。 其他证明略。
例 4.17
设A={a, b, c, d}, R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}, 求R的各次幂。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学基础概念汇总
离散数学基础概念汇总离散数学是数学的一个分支领域，它研究离散化的数学对象和离散化的数学结构。
它与连续数学形成鲜明对比，涉及的内容包括集合论、图论、逻辑、数字逻辑、关系代数等。
在计算机科学、信息技术和其他领域中有广泛的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合及其元素之间的关系和操作。
以下是集合论中常见的基本概念：1. 集合：集合是一组具有共同特征的对象的总体。
例如，{1, 2, 3}就是一个集合，其中包含了元素1、2和3。
2. 元素：集合中的个体被称为元素。
在上述例子中，1、2和3是集合的元素。
3. 包含关系：如果一个集合的所有元素都同时也是另一个集合的元素，则称前者包含于后者。
用符号表示为A ⊆ B，读作“A包含于B”。
4. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含了A和B中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
5. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集是同时属于A和B的所有元素构成的集合。
用符号表示为A ∩ B。
6. 补集：给定一个集合A和它所在的全集U，除去A中所有元素后剩下的元素构成的集合称为A的补集。
用符号表示为A'。
二、图论图论是离散数学中的又一个重要分支，它研究图及其性质和应用。
以下是图论中常见的概念：1. 图：图由节点（顶点）和边组成。
节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
2. 顶点度：有向图中，顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量。
无向图中，顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。
3. 路径：路径是指图中一系列顶点和边的序列。
路径的长度是指路径中边的数量。
4. 连通图：在无向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，则称该图为连通图。
5. 强连通图：在有向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，并且逆向也成立，则称该图为强连通图。
三、逻辑逻辑是离散数学中研究命题、推理和证明的科学。
以下是逻辑中常见的概念：1. 命题：命题是陈述某个事实的句子，每个命题要么是真的，要么是假的。
离散数学运算符常见用途手册
离散数学运算符常见用途手册离散数学是计算机科学中的一个重要分支，它主要研究离散量和离散结构的数学理论。
而在离散数学中，运算符是非常重要的，它们可以使问题变得更加简单直观，极大地提高了计算机程序设计的效率和便捷性。
本文将为大家介绍离散数学中常见的运算符及其用途。
一、逻辑运算符：逻辑运算符是离散数学中最基本的运算符之一，它包括与、或、非三种运算符。
1、与运算符（&）：与运算符表示两个命题同时为真时，整个命题结果才为真。
如果一个经典的案例中要判断一个人是否为男性且年龄在20岁以上，可以使用与运算符对于两个条件进行判断。
male = Trueage = 22if male & age > 20:print("这个人是男性且年龄在20岁以上")上面的例子，如果male为真且age大于20，那么这个人就满足条件，整个命题为真，可以输出相应的结果。
2、或运算符（|）：或运算符表示两个命题中有一个为真，整个命题结果即为真。
在处理二选一的问题时，可以使用或运算符。
x = 6if x == 5 | x == 6:print("x等于5或x等于6")上面的例子，如果x等于5或者x等于6，整个命题为真，可以输出相应的结果。
3、非运算符（~）：非运算符表示取反操作，即将真命题变成假命题，假命题变成真命题。
在判断非某个值的情况时，可以使用非运算符。
flag = Trueif ~flag:print("flag为假")上面的例子，如果flag为真，则非flag即为假，输出相应的结果。
二、集合运算符：在离散数学中，集合是一个非常基本的概念，而集合运算符则是对集合进行运算的工具。
1、并集运算符（∪）：并集运算符表示两个集合的所有元素的集合。
在解决两个集合并集问题时，可以使用并集运算符。
A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}C = A ∪ Bprint(C)上面的例子，将A、B两个集合的并集存储在C中，并输出相应结果{1, 2, 3, 4, 5}。
离散数学 关系的运算
R3 R2 R { a, a , b,b , c,c } Ix
8
四、幂运算的性质
定理 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 (1) Rm∘Rn=Rm+n (2) (Rm)n=Rmn
9
关系运算的矩阵表示
10
某关系R的关系图为：
1 2 3
4 5
6
a
b d
c
则R的关系矩阵为：
0 0 0 0
1 1 0 0
0 1 0 0 M R 0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 1 0 11
思考：
写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、 空关 系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。
关系矩阵（matrix of relation）。
设R A×B， A=｛a1, a2, …, am｝,
B=｛b1, b2, …, bn｝， 那么R的关系矩阵 MR为一m×n矩阵，它的第i , j分量rij 只
取值0或1， 而
1 rij 0
当且仅当iRbj 当且仅当 ai Rbj
求R1， R∘S ， S∘R 。 利用图示（不是关系图）方法求合成
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
3
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
离散数学关系的运算
关系的对称闭包
定义2.18 设R和R是集合A上的关系，如果满足： （1）R是对称的； （2）R R； （3）对A上任何包含R的自反关系R都有RR。
则将R称为R的对称闭包，记作s(R)。
逆运算的性质
定理2.5 对于任意集合A和B，设R是集合A到B的关系，则有： (R-1)-1 = R。
逆运算的性质
定理2.6 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么 (R◦S)-1 = S-1◦R-1。
逆运算的性质
定理2.7 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么：
①计算R-1、S-1、(R-1)-1、(S-1)-1、(R◦S) -1和S-1◦R-1；
解 ① 根据逆运算和复合运算的定义，有 R-1 = {<a, 1>, <c, 2>, <b, 3>, <b, 4>, <d, 4>} S-1 = {<2, a>, <4, b>, <3, c>, <5, c>, <5, d>} (R-1)-1 = {<1, a>, <2, c>, <3, b>, <4, b>, <4, d>} (S-1)-1 = {<a, 2>, <b, 4>, <c, 3>, <c, 5>, <d, 5>} R◦S = {<1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <3, 4>, <4, 4>, <4, 5>} (R◦S) -1= {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>} S-1◦R-1 = {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>}
离散数学关系的概念性质及运算
例3：设X是一个集合，集合的包含于“”是2X上的二 元关系。
8/25
集合与图论 二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
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集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n，R为X上的任 一二元关系，则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t，s<t，使得Rs=Rt，则
(1)Rs+k=Rt+k，k为非负整数； (2)Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，而k,i为非负整数； (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1}，则对任意的非负的整数 q有RqS。
例15：设R,S是集合X上的两个传递关系，问R∪S 是否是传递关系呢？
17/25
集合与图论
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R11
√
√
√
√
√
R1∩R2 √
√
R1∪R2 √
√
R1R2 ×
√
√
√
√
√ ××
√
√×
R1∘R2 √
×
×
××
18/25
集合与图论 3 关系的合成
定义1 设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元 关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系，记成RS， 并且
显然：R是传递的，当且仅当 ？。 例11： Z上的模n同余关系是不是传递关系？
离散数学关系的运算
使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
即ranR = { y | x (<x,y>R) }。称domR ranR为R的域，记
为fldR 。即fldR = domR ranR 。
例1 设A={1，2，3，4}， R1是A上的二元关系，当a,b∈ A，
且a<b 时， (a,b) ∈ R1 , 求R和它的前域，值域和域。
2021/4/14
3
合成运算的图示方法
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}，
求R1， R∘S ， S∘R 。 利用图示（不是关系图）方法求合成
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
2021/4/14
11
某关系R的关系图为：
1 2 3
4 5
6
a
b d
c
则R的关系矩阵为：
2021/4/14
0 0 0 0
1
1
0
0
0 1 0 0
M
R
0
0
1
0
0 0 0 0
0
0
1
0
12
思考：
写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、 空关 系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
关系的平方怎么算离散数学
关系的平方怎么算离散数学
在离散数学中，关系的平方是指将一个关系R与其自身进行合
成运算得到的新关系R^2。
假设R是集合A上的一个二元关系，即
R⊆A×A。
那么R的平方R^2定义为R^2={(x,z) | 存在y∈A使得(x,y)∈R 且(y,z)∈R}。
换句话说，R^2中的元素(x,z)是由R中
的元素(x,y)和(y,z)组合而成的。
要计算关系R的平方R^2，需要遍历R中的所有元素，找出满
足定义条件的元素对。
具体步骤如下：
1. 遍历关系R中的每一个元素(x,y)。
2. 对于每个元素(x,y)，再次遍历关系R中的每一个元素(y,z)。
3. 如果存在元素对(y,z)使得(x,y)∈R 且(y,z)∈R，则将元
素对(x,z)加入到关系R^2中。
需要注意的是，计算关系的平方时要考虑元素的顺序，即(x,y)
和(y,z)的顺序不能颠倒，因为关系是有序对的集合。
此外，还可以用矩阵的方式来表示关系的平方。
如果关系R可以用一个布尔矩阵M_R表示，那么R的平方R^2可以通过计算矩阵M_R与自身的矩阵乘法来得到。
总之，计算关系的平方需要按照定义逐对元素进行组合，并且需要考虑元素的顺序。
这样就可以得到关系R的平方R^2。
离散(关系的运算)
t ( R ) R i =R∪R2∪R3
i 1
={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c> }
定理3.8.5 设A是含有n个元素的集合, R是 A上的二元关系,
则存在一个正整数k≤n，使得
t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rk
n
wij ( rik skj )
k 1
式中∧代表逻辑乘,满足0∧0=0 , 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1. ∨代表逻辑加,满足0∨0=0 , 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1.
例4. 设集合A={ 1, 2, 3, 4 }, B={ 2, 3, 4}, C={ 1, 2, 3 }
离散数学(Discrete Mathematics)
3-7 关系的运算
一、 复合关系 (Compound Relations)
定义3.7.1 设 R 是由X 到Y 的关系, S 是由Y 到Z 的关系, 则 RS 称为R 和 S 复合关系, 表示为 RS ={ <x,z> | xX∧zZ∧(y)(yY∧xRy∧ySz) } 两个关系的合成运算可以推广到多个. 例如: RSP、 R S P Q 等. 且合成运算满足结合律.即: ( P R )Q= P( RQ ) 关系R自身合成n次可以记为: RR ‥‥R=R(n)
1 0 0
RS={< 1, 1 >, < 2,1 >, < 2, 3 > ,< 3, 2 >,<4,1> }
离散数学关系的运算
离散数学关系的运算离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
其中，关系是离散数学中一个重要的概念。
关系的运算是指对不同关系进行操作，从而得到新的关系。
在离散数学中，常见的关系运算包括并集、交集、差集、补集和复合运算。
1. 并集：对于两个关系R和S，它们的并集R∪S是包含了两个关系的所有元素的集合。
即R∪S={x | x∈R 或 x∈S}。
并集运算可以合并两个关系中的元素，得到新的关系。
2. 交集：对于两个关系R和S，它们的交集R∩S是同时属于R和S的元素的集合。
即R∩S={x | x∈R 且 x∈S}。
交集运算可以得到两个关系中共同拥有的元素。
3. 差集：对于两个关系R和S，它们的差集R-S是属于R但不属于S的元素的集合。
即R-S={x | x∈R 且 xS}。
差集运算可以得到在R中存在但不在S 中的元素。
4. 补集：对于一个关系R，它的补集R'是所有不属于R的元素的集合。
即R'={x | x不属于R}。
补集运算可以得到关系R的补集。
5. 复合运算：对于两个关系R和S，它们的复合运算RS是通过将R的元素的后继者与S的元素的后继者进行连接得到的新关系。
即RS={(a,c) | 对于某个b∈B, (a,b)∈R 且 (b,c)∈S}。
复合运算可以通过连接两个关系的元素来构建新的关系。
这些关系运算在离散数学中具有重要的应用，常用于描述集合、图、逻辑等离散结构之间的关系。
对于每种关系运算，都有相应的运算规则和性质。
熟练掌握关系运算可以帮助我们更好地理解和分析离散结构中的关系。
离散数学-关系-1
二元关系的复合运算
定理3-6.4 设R，S，T是A上的二元关系, 则 ⑴ R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T; ⑵ (R∪S)∘T=R∘T∪S∘T ⑶ R∘(S∩T)⊆R∘S∩R∘T; ⑷ (R∩S)∘T⊆R∘T∩S∘T
证明：仅证明⑶，类似地可证明⑴、⑵和⑷。 <x,y>∈R∘(S∩T)⇒(∃z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈S∩T) ⇒(∃z)(<x,z>∈R∧(<z,y>∈S∧<z,y>∈T)) ⇒(∃z)((<x,z>∈R∧<z,y>∈S)∧(<x,z>∈R∧<z,y>∈T)) ⇒(∃z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈S)∧(∃z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈T) ⇒<x,y>∈R∘S∧<x,y>∈R∘T ⇒<x,y>∈R∘S∩R∘T
二元关系的复合运算
定义3-6.1 设X，Y，Z是集合，R⊆X×Y，S⊆Y×Z，集合
⎨<x,z>⏐x∈X∧z∈Z∧(∃y)(y∈Y∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S)⎬
叫做R和S的复合关系。记为R∘S,R∘S⊆X×Z, R∘S是X到Z的二元关系。
例2 X=⎨1,2,3,4,5⎬，X上的二元关系R和S定义如下：
~R = X×Y-R ⊆X×Y，即~R是X到Y的二元关系。 由以上结论可以得到：
(R－S)⊆X×Y和(S－R)⊆X×Y，从而 (R－S)∪(S－R)⊆X×Y，所以 R⊕S=(R－S)∪(S－R)⊆X×Y，即R⊕S是X到Y的二元关系。
离散数学的基本概念和运算
离散数学的基本概念和运算离散数学是数学的一个重要分支，它研究离散结构和离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学关注的是离散的、离散的事物，如整数、图形、逻辑、集合等。
在计算机科学、信息技术以及其他许多领域中，离散数学都担当着重要的角色。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和运算，以帮助读者更好地理解和应用离散数学。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合以及集合之间的关系和运算。
集合是指一组元素的事物的整体，元素可以是任何事物，比如数字、字母、人或其他对象。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的元素的集合，补集表示在给定参考集合中不属于某个特定集合的元素的集合。
二、逻辑逻辑是离散数学的另一个重要内容，它研究命题、逻辑运算和推理。
在离散数学中，命题是指能够判断真假的陈述句。
逻辑运算包括与、或、非、异或等。
与运算表示两个命题同时为真时结果为真，或运算表示两个命题中至少有一个为真时结果为真，非运算表示对命题的否定，异或运算表示两个命题中仅有一个为真时结果为真。
推理是利用逻辑规则从已知命题中得出新的结论的过程，常见的推理方法有直接证明、反证法和归纳法。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和边组成的图形结构。
图形是由节点（或顶点）和边组成的抽象化模型，节点表示某个对象，边表示节点之间的关系。
图论研究图形的性质、特征和算法。
常见的图形类型有无向图和有向图，无向图的边没有方向，有向图的边有方向。
图形的表示方法有邻接矩阵和邻接表等。
在计算机科学中，图论广泛应用于网络、路径规划、数据结构等领域。
四、代数系统代数系统是离散数学中的另一个重要概念，它研究运算规则和运算对象之间的关系。
代数系统包括集合、运算和运算规则。
常见的代数系统有代数结构、半群、群、环、域等。
代数结构是指由一组元素和一组运算构成的系统，运算可以是加法、乘法或其他操作。
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实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
MR
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1 0 0
12
7.3 关系的运算
关系的基本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR
<x,y>=<u,v> x=uy=v.
2
笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =
恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.9 Nhomakorabea实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于 关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
注意：
关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集）
关系图适合表示有穷集A上的关系
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7.2 二元关系
定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
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关系的表示
1. 关系矩阵
若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的 关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中
2. 关系图
rij = 1 < xi, yj> R.
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
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7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作<x,y>. 有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
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笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集. A = B =
(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
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性质证明
证明 A(BC) = (AB)(AC)
证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C)
x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}
R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系.
计数: |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以 A上有2n2
个不同的二元关系. 例如 |A| = 3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
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A上重要关系的实例
定义7.5 设 A 为集合, (1) 是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A
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实例
例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC
xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.