高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

a b (x1 x2, y1 y2)
ab ba (a b) c a (b c)
AB BC AC
向量的 减法
三角形法则
a b (x1 x2, y1 y2 )
a b a (b) AB BA,OB OA AB
1. a 是 一 个 向 量 , 满
数
足:| a || || a |
⑶运算律：① a b b a ；② ab a b a b ；③ a b c a c b c ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1x2 y1y2 ． 若 a x, y ， 则 a 2 x2 y2 ， 或 a x2 y2 ． 设 a x1, y1 ， b x2, y2 ， 则
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b ．
⑷运算性质：①交换律： a b b a ；
②结合律： a b c a b c ；③ a 0 0 a a ．
C
⑸坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1 x2, y1 y2 ．
2.
a b | a || b | cos(a, b)
a •b x1x2 y1y2
a•b b•a
(a) •b a • (b) (a •b)
(a b) •c a •c b•c
2
a
|
a
|2
即|a|=
x2 y2
| a •b || a || b |
精品
. 3.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
7.平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，
有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a 1e1 2 e2 ．（不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组
基底）
8.分点坐标公式：设点 是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 x1, y1 ， x2, y2 ，当
(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1 y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的 加法
1.平行四边形法则 2.三角形法则
a
4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
b
⑵坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1 x2, y1 y2 ．
设 、 两点的坐标分别为 x1, y1 ， x2, y2 ，则 x1 x2, y1 y2 ．
乘 向
2. >0 时, a与a 同向;
a (x, y)
量
<0 时, a与a 异向;
=0 时, a 0 .
(a) ()a ( )a a a (a b) a b a // b a b
a • b 是一个数
向
量
1. a 0或b 0 时，
的
数
a•b 0.
量
积
a 0且b 0时，
1.向量的概念
.
向量
(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O. 单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同
MB
1
三角形重心坐标公式：△ABC
的顶点
Ax1 ,
y1 ,
Bx2 ,
y2
, Cx3,
y3
，重心坐标 Gx,
y
：
x
y
x1 x2 x3 3
y1 y2 y3
3
注意：在△ABC 中，若 0 为重心，则 OA OB OC 0 ，这是充要条件．
精品
.
1
2
时，点
的坐标是
x1 x2 1
,
y1 y2 1
．（当
1时，就为中点公式。）
9.平面向量的数量积：
⑴ a b a b cos a 0,b 0, 0 180 ．零向量与任一向量的数量积为 0 ．
⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量，则① a b a b 0 ．②当 a 与 b 同向时，a b a b ；当 a 与 b 反 向时， a b a b ； a a a2 a 2 或 a a a ．③ a b a b ．
⑶坐标运算：设 a x, y ，则 a x, y x, y ．
6.向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a ． 设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，其中 b 0 ，则当且仅当 x1 y2 x2 y1 0 时，向量 a 、 b b 0 共线．
设
P1P =
PP2（或P2P =
1
PP1
）பைடு நூலகம்且
P1 ,
P,
P2
的坐标分别是（x1
,
y1）, (x,
y),
(x2
,
y2
)
，则
y
x
y1 y2 1
x1 x2
B 1
M
推广
1：当
1时，得线段
P1 P2
的中点公式：
y
x
y1 y2 2
x1 x2 2
A P
推广 2： AM 则 PM PA PB （ 对应终点向量）．
a b x1x2 y1y2 0 ．
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ， a x1, y1 ， b x2, y2 ， 是 a 与 b 的 夹 角 ， 则
cos a b x1x2 y1 y2 ．
ab
x12 y12 x22 y22
⑤线段的定比分点公式：（ 0 和 1）
5.向量数乘运算：
⑴实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ． ① a a ；
a b C C
②当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a 0 ．
⑵运算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ．