高中数学椭圆超经典知识点+典型例题讲解

学生姓名性别男年级高二学科数学

授课教师

上课时

间2014年12月13

日

第（）次课

共（）次课

课时：课时

教学课题椭圆

教学目标

教学重点

与难点

选修2-1椭圆

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形.

讲练结合一.椭圆的定义

１．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是

2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是

3.已知椭圆22

169

x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有

和

；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，

；

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为

，。

圆的标准方程；

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆的的简单几何性质

（1）对称性

对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换

成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），

A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长

和短半轴长。

（4）离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因

此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

注意：

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1），，； （2），

，

；

（3）

,

，；

讲练结合四．焦点三角形

1．椭圆22

1925

x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。

2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少21F PF ∆的面积的最大值是多少

3．设点P 是椭圆22

12516

x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面

积为 。

讲练结合六.最值问题

1.椭圆2

214

x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，

最小值为_____

2、椭圆22

12516

x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为

_____，最小值为 ___

3、已知椭圆2

214

x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最

小值 。

4.设F 是椭圆

32

2x ＋

24

2y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使

|PA|+2|PF|最小,求P 点坐标 最小值 .

知识点四：椭圆与（a ＞b ＞0）的区别和联系

标准方程图形

性质焦点，，焦距

范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称

顶点，，轴长轴长=，短轴长=

离心率

准线方

程

焦半径，，

注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

1．如何确定椭圆的标准方程

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义

椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形