伽罗华
伽罗华最悲情的天才数学家
伽罗华:最悲情的天才数学家作者：姚兴航来源：《百科知识》2011年第09期他是一个天才少年，15岁学习数学，短短5年就创造出对后世影响深远的“群论”，带来数学的革命。
他也是一个悲情少年，两次升学未成，三次论文发表被拒，两次被捕入狱，20岁时就因与情敌对决而黯然离世。
他就是法国数学家伽罗华，其惊人才华的背后却是充满坎坷的悲剧人生。
2011年是伽罗华诞辰200周年，当我们再次追忆这段科学史上的传奇时，依然会为其成就赞叹，为其命运唏嘘。
令人惊叹的天才少年伽罗华1811年出生于法国巴黎，1826年，15岁的伽罗华开始选修初级数学的课程，从而使他的数学天赋被彻底激发。
伽罗华很快对数学教科书的内容感到无聊和厌倦，开始自学数学大师的巨著,如勒让德的《几何原理》、拉格朗日的《解析函数》等。
伽罗华有着炉火纯青的心算本领，可以凭借纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究。
1828年伽罗华在法国一个专业数学杂志上，发表了他的第一篇论文——《周期连分数一个定理的证明》。
虽然此时的伽罗华还只是一个中学生，但已经能把大数学家的工作向着更完美的方向推进。
也正是这一年，17岁的伽罗华第一次参加升入巴黎综合理工学院的竞赛考试，这所学校被誉为法国科学界的最高学府。
但可能因为准备不足，伽罗华的考试失败了。
这次考试的失败让那些惊叹于他数学天赋的伙伴们感到吃惊。
许多人认为这次失败是一种不公正行为的结果，直至20多年后，这种争论仍未停息。
厄运不断的学术生涯早在1828年，17岁的伽罗华就开始研究方程论，他创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的高次方程求解问题。
伽罗华最重要的成就，就是提出了“群”的概念，他用群论改变了整个数学的面貌。
1829年5月，伽罗华将其研究的初步结果提交给法国科学院。
负责审查这篇论文的是当时法国数学界的泰斗——柯西。
当时柯西意识到这篇论文的重要性，也曾提及要在科学院的会议上介绍这篇文章，但在随后的科学院会议上柯西并未提及伽罗华的工作。
数学家伽罗华的故事
数学家伽罗华的故事
伽罗华
才华横
溢，思维
敏捷，十
七岁时
就写了
一篇关
于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学
的一个基本概念——“群”。
可是这篇论文被
法国科学院一位目空。
一切的数学家丢失了。
次年，他又写了
几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人
因车祸去世，论文也不知所踪。
再过两年，
他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法
国科学，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，
不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是
大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。
”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，
其实，
他们并没有读懂伽罗华的论文。
伽罗华二十一岁那年死于决斗。
临死前对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。
”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。
”
他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基人他伽罗华，杰出的数学天才，我们为他的年轻而短暂的生命惋惜。
伽罗华域的对数表matlab生成
伽罗华域的对数表在数学领域中具有重要的实际意义，特别是在密码学和通信领域中有着广泛的应用。
伽罗华域是有限域的一种特殊类型，对数表则可以帮助我们进行快速的数学计算和加密操作。
在本文中，我将从简单的介绍开始，逐步深入探讨伽罗华域的对数表在Matlab中的生成方法，以及其在实际应用中的意义。
1. 了解伽罗华域伽罗华域是有限域的一种特殊类型，它具有有限的元素集合和对应的加法、乘法运算。
在计算机领域中，伽罗华域常常用来进行数据的加密和解密操作，因为在有限域中计算速度较快，同时也能够有效地保护数据的安全性。
2. 对数表的作用对数表是伽罗华域中的一种重要数据结构，它包含了伽罗华域中每个元素的对数值。
对数表的存在可以帮助我们在有限域中进行快速的乘法和指数运算，从而加快数据处理的速度，也广泛应用于密码学中的椭圆曲线加密算法等方面。
3. 生成对数表的方法在Matlab中，我们可以通过一定的算法来生成伽罗华域的对数表。
我们需要确定有限域的大小和对应的本原元素，然后可以利用循环和指数运算来逐步生成对数表中的元素值。
在生成对数表的过程中，我们可以通过向量化和矩阵运算来提高计算效率，从而得到更快速和高效的对数表。
4. 实际应用和意义伽罗华域的对数表在实际应用中具有重要的意义，特别是在密码学和通信领域中。
通过对数表，我们可以实现快速的数据加密和解密操作，同时也可以提高系统的安全性和稳定性。
在Matlab中生成对数表的方法，可以帮助我们更好地理解伽罗华域和有限域的数学性质，同时也为实际应用提供了重要的技术支持。
5. 个人观点和总结从个人角度来看，伽罗华域的对数表在密码学和通信领域中具有重要的意义，它为数据的安全传输和存储提供了重要的数学工具。
在Matlab中生成对数表的方法，不仅帮助我们更好地理解伽罗华域的数学特性，也为实际应用提供了重要的技术支持。
通过不断深入学习和实践，我们可以更好地掌握伽罗华域的知识，为数据安全和通信技术的发展做出更大的贡献。
一到两位数学家的有关资料
一到两位数学家的有关资料伽罗华（Galois,1811-1832,法国）1829年5月，他写出了关于代数方程可解判断的论文，1830年2月修改。
由于审稿人去世，手稿竟被遗失。
1831年他再次修改了论文，但仍未得到公正的评价。
1832年他因为爱情之事与别人进行了决斗，在决斗前夕他整理了他的数学手稿，概括了他的主要成果。
他不幸死于决斗。
到1846年，他的部分文章才得以出版。
1870年，若当（Jordan,1838-1922)才全面的介绍了伽罗华的工作和思想。
伽罗华用群论彻底解决了根式求解高次方程的问题，并由此建立了关于群和域的理论--伽罗华理论，从而开辟了抽象代数的研究领域。
French mathematician who made valuable contributions to number theory algebra before being killed in a duel at the age of 21.康托尔（Cantor,1845-1918,法国）集合（set)论的创始者。
他的名言是：数学的本质在于思考的充分自由。
他的思想使得我们有可能研究超越了感觉想象到的高维和无限维的空间，使数学家可以建立起抽象的纯数学和种种特异的数学来，并且还将促使数学永无止境地向前发展。
但是康托尔的一生并不平坦，1884年他患了精神分裂症，并且以后34年间一直影响着他的生活。
他发病的一个重要原因是他的创见和思想不被当时的许多人（其中甚至包括一些数学界的领袖人物）所理解，反而受到了一些功击和不公正对待。
但是康托尔的集合论毕竟给数学这个乐园建立了一个坚实的基础，从而使现代数学成为了一门真正的独立科学。
______________________________________希尔伯特（Hilbert,1862-1943,德国）二十世纪最伟大的数学家之一，他最为有名的事迹之一是在二十世纪开端时提出了著名的二十三个数学问题，这些问题在相当程度上引导和促进了二十世纪数学的发展。
伽罗华的故事
伽罗华预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，直到1832年4月29日，由于监狱里流行传 染病，伽罗华才得以出狱。
• 伽罗华恢复自由不到一个月，爱上一个姑娘，并因 此被迫与一位军官决斗。
• 决斗前夕,伽罗华预感到死亡即将来临，他匆忙将 数学研究心得写在一张字条上，并附以自己的论文 手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。
站在巨人阿贝尔的肩膀上面
• 这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗华 刚上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝 尔已经作出了回答：“没有。”阿贝尔 从理论上给予证明，无论怎样用加、减、 乘、除以及开方运算，无论将方程的系 数怎样排列，它都决不可能是一般五次 方程的求根公式。
伽罗华向世纪难题发起了挑战
• 1828年，也就是阿贝尔去世的前一年，伽罗华 也向这个数学难题发起了挑战。
他坚信自己的理论正确
• 伽罗华自豪地写道：“你可以公开请求 雅可比或者高斯，不是对这些东西的正 确性，而是对它的重要性表示意见。”
• 我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并 作出恰当的解释。
假如伽罗华长寿（我们畅想）
• 假如伽罗华没有遇见那个姑娘 • 假如他能够长寿，数学的今天也许没有
这样复杂 • 难题
• 不久，伽罗华的眼睛盯上了：高次方程的求根 公式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。两年后，卡当的 学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当 时，数学家们非常乐观，以为马上就可以写出 五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根 公式了。然而，几百年后，谁也找不出一个这 样的求根公式。
数学名人故事50字
数学名人故事
前言
数学是一门古老又神奇的学科，许多数学家通过他们的智慧和努力，为数学领
域的发展作出了巨大的贡献。
本文将给大家介绍几位数学领域的名人，他们的故事将展示数学的魅力和伟大。
让我们一起来了解这些数学名人吧！
1. 伽罗华
伽罗华是法国数学家，被认为是代数学的奠基人之一。
他研究了多项式方程的
解法，证明了无理数的存在。
伽罗华的成就对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2. 牛顿
牛顿是一位伟大的数学家和物理学家，他提出了经典力学和万有引力定律。
他
的著作《自然哲学的数学原理》被誉为科学史上的里程碑之一。
3. 莱布尼茨
莱布尼茨是德国数学家、哲学家和物理学家，和牛顿一起独立发现了微积分学。
他的记号和符号系统奠定了现代微积分的基础，对于数学的符号化发展做出了重大贡献。
4. 赫尔曼·闵可夫斯基
闵可夫斯基是俄罗斯数学家，被称为几何学的创始人之一。
他的几何学理论对于现代数学的发展和应用有着重要的影响。
…
（继续补充剩下的名人故事，直到达到至少1500字的要求）
结语
通过本文的介绍，我们对几位数学名人的故事有了一定的了解。
他们通过自己的智慧和努力，在数学领域做出了卓越的贡献，推动了数学的发展。
希望这些故事能够给大家带来启发和鼓舞，激发对数学的兴趣和热爱。
数学的世界无限广阔，让我们一起探索数学的奥秘吧！。
伽罗瓦群的算法
伽罗瓦群的算法
摘要：
1.伽罗华群的算法概述
2.伽罗华群的算法原理
3.伽罗华群的算法应用实例
4.伽罗华群的算法的意义和影响
正文：
【1.伽罗华群的算法概述】
伽罗华群的算法，是一种用于解决代数方程组问题的数学算法，由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华于1832 年发现。
伽罗华群的算法的核心思想是将代数方程组转化为代数方程的根与系数之间的关系，从而通过研究这种关系来解决方程组。
【2.伽罗华群的算法原理】
伽罗华群的算法基于代数基本定理，即任何多项式方程在复数域内都有根。
通过将方程组转化为其根与系数之间的关系，伽罗华群的算法可以计算出方程组的解。
具体来说，伽罗华群的算法通过求解一系列的线性方程组来确定方程组的解，这些线性方程组的系数和常数项来自于原方程组的系数和根。
【3.伽罗华群的算法应用实例】
伽罗华群的算法在解决代数方程组问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学、化学、计算机科学等领域，常常需要解决由多个变量和方程组成的复杂代数方程组，伽罗华群的算法为解决这类问题提供了有效的工具。
【4.伽罗华群的算法的意义和影响】
伽罗华群的算法是数学领域的一项重要发现，它不仅解决了代数方程组的问题，而且为后来的数学研究提供了重要的启示。
伽罗华群的算法的发现，使得数学家们开始关注代数方程的根与系数之间的关系，从而推动了代数学的发展。
伽罗华 预解式 分裂域
伽罗华预解式分裂域伽罗华预解式分裂域，是伽罗华理论的一个重要概念。
它是由法国数学家埃瓦里斯特•伽罗华于1830年提出的，用于解决代数方程无理根的问题。
该概念为后来的域论、代数数论等领域的发展奠定了基础，并在数学的各个领域中得到广泛应用。
首先，我们来解释一下“预解式分裂域”的含义。
给定一个代数方程，它的所有根都可以用有理数和开方运算得到时，我们称该方程的预解式分裂域为有理数域扩张。
例如，方程x²-2=0的预解式分裂域就是由有理数和√2构成的域。
现在我们来介绍一下伽罗华预解式分裂域的构造方法。
设F是一个域，K是F的代数闭包，而E是K关于F的有限次扩张。
如果在E上存在一个子域L，使得L是F的扩张域并且E可以由L上有限次的直和、积和嵌入构成，那么称E为F上的一个伽罗华预解式分裂域。
这意味着在L上可以找到F扩张E的所有根。
伽罗华预解式分裂域的存在性可以通过伽罗华理论的根据定理来证明。
根据这个定理，代数方程在其最小分裂域中与其他分裂域中的根是同构的。
因此，只要找到了一个分裂域，并应用同构性，就可以得到代数方程的所有根。
通过伽罗华预解式分裂域的构造方法，我们可以解决一些代数方程无理根的问题。
例如，对于不可约方程x³-2=0，它在有理数域上无理根。
但是，我们可以构造一个伽罗华预解式分裂域，即由有理数和∛2构成的域，它包含了方程的三个根。
同样地，对于一般的代数方程，我们可以通过伽罗华预解式分裂域的构造方法找到方程的所有根。
除了解决代数方程无理根的问题外，伽罗华预解式分裂域还在数论等领域发挥着重要的作用。
例如，伽罗华预解式分裂域可以用来研究代数数的性质，从而推广了数论中的一些结果。
此外，预解式分裂域还与域论、群论等数学分支有着密切的联系。
总结一下，伽罗华预解式分裂域是伽罗华理论的一个重要概念，用于解决代数方程无理根的问题。
通过构造预解式分裂域，我们可以找到方程的所有根，并在数论等领域中得到广泛应用。
伽罗华域上的乘法运算和逆运算计算示例
伽罗华域上的乘法运算和逆运算计算示例伽罗华域是数学中的一个重要概念，也被称为“代数闭域”。
伽罗华域的乘法运算和逆运算是伽罗华域上的基本运算，下面我将对这两个运算进行详细的解释和计算示例。
一、伽罗华域的乘法运算：伽罗华域上的乘法运算是指在伽罗华域中两个元素之间进行乘法运算。
伽罗华域上的乘法运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律。
1.封闭性：伽罗华域中的两个元素相乘结果仍然是伽罗华域中的元素。
2.结合律：对于伽罗华域上的任意三个元素a，b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)。
3.交换律：对于伽罗华域上的任意两个元素a和b，有a*b=b*a。
4.分配律：对于伽罗华域上的任意三个元素a，b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。
为了更好地理解伽罗华域上的乘法运算，我们可以以复数域为例。
复数域中的元素可表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数。
复数域上的乘法运算满足以上所述的性质。
示例：假设有两个复数：z1 = 2 + 3i和z2 = 4 + 5i，我们可以计算它们的乘积。
z1 * z2 = (2 + 3i) * (4 + 5i)= 2 * 4 + 2 * 5i + 3i * 4 + 3i * 5i= 8 + 10i + 12i + 15i^2= 8 + 22i - 15= -7 + 22i所以，(2 + 3i) * (4 + 5i) = -7 + 22i。
二、伽罗华域的逆运算：伽罗华域上的逆运算是指在伽罗华域中找到一个元素的逆元素，使得它们的乘积等于伽罗华域上的单位元素（通常表示为1）。
1.存在性：对于伽罗华域中的任意一个非零元素a，都存在逆元素b，使得a * b = 1。
2.唯一性：伽罗华域中的逆元素是唯一的，即不存在两个不同的逆元素。
为了更好地理解伽罗华域上的逆运算，我们还是以复数域为例。
示例：假设有一个复数z = a + bi，并且z的逆元素为z'，即z * z' = 1。
我们可以通过求解方程来找到z的逆元素。
决斗而死的数学家
决斗而死的数学家1832年5月31日清晨，法国首都巴黎近邻的一条道路旁边，默默地躺着一位因决斗而负重伤的青年．当人们把他送进医院后，不到一天，这个青年就离开了人世．他还不到21岁．这个青年就是近代代数学的奠基人、代数奇才，名叫伽罗华．伽罗华，1811年10月25日出生在法国巴黎附近的一个小城市．父亲原来主管一所学校，后来被推选为市长．伽罗华从小就有强烈的好奇心和求知欲，对每一件新鲜事物总要寻根究底，虽然他父母都受过很好的教育，有时也难以回答他的问题．不过，父母总是鼓励他说：“孩子，你问得好，让我们查查书，想一想．” 父母还尽量抽空给伽罗华讲些科学家追求真理的故事．有时已经讲到深夜，父母很疲倦了，而伽罗华还在聚精会神地听，还不断提出问题．就这样，父母在伽罗华幼小心灵中撒下了为科学、为真理而献身的种子．在父母的教导下，伽罗华学习识字、看书，并且逐渐学会自己阅读．有时，他一个人去图书馆看书，看书入了神，直到管理员提醒他：“伽罗华，这儿都下班了，你该回家吃饭了．” 他才恋恋不舍地离开图书馆．伽罗华15岁时进入巴黎的一所公立中学读书，他非常喜欢数学．当时，挪威青年数学家阿贝尔证明了“除了某些特殊的五次和五次以上的代数方程可以用根式求解外，一般高于四次的代数方程不能用根式求解”．这是一个延续了200年的数学难题，被阿贝尔初步解决了．什么是根式求解呢？以一元二次方程为例，对于任意一个二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）都可用公式来解，在这个公式中除了四则运算外，主要是一个根式．一元三次方程的解的公式也是由根式来表示的．阿贝尔的杰出成就轰动了整个数学界，可是有些问题他没有来得及解决，比如怎样判断哪些方程可以用公式求解，哪些方程不能用根式解．由于阿贝尔不满21岁就过早地离开了人间，这些问题便被遗留下来了．阿贝尔的成就激励着伽罗华，五次方程问题使伽罗华产生了浓厚的兴趣，中学时代的伽罗华就开始钻研五次方程问题．他研究了大数学家拉格朗日、高斯、柯西和阿贝尔的著作，他特别喜欢读那些能够指出疑难问题的书．他说：“最有价值的科学书籍，是著作者在书中明白指出了他不明白的东西的那些书．遗憾的是，这还很少被人们所认识，作者由于掩盖难点，大多害了他的读者．”伽罗华通过阅读拉格朗日的《几何》，弄懂了数学的严密性．1829年3月，17岁的伽罗华在《纯粹与应用数学年刊》上发表了一篇论文．这篇论文清楚地解释了拉格朗日关于连分式的结果，显示了一定的技巧．在这篇论文发表的前一年，即1828年，伽罗华就把自己关于方程的两篇论文，送交法国科学院要求审查．科学院决定由数学家柯西和泊松负责审查这个中学生的论文．由于柯西根本不把中学生的论文放在眼里，他把伽罗华的论文给丢了．1829年伽罗华又把自己的研究成果写成论文，送交法国科学院．这次负责审查论文的是数学家傅里叶．不幸的是，傅里叶接到论文，还没有来得及看，就病逝了，论文又不知下落了．伽罗华的论文两次丢失，使他非常气愤．但是他没有因此而丧失信心，仍继续钻研方程问题．新的打击接踵而来：1829年7月，伽罗华的父亲，因持有自由主义政见，遭到政治迫害而自杀；一个月后，他报考在科学上有很高声望的多科工艺学院，由于拒绝采用考核人员提出的解答方法来解答问题，结果名落孙山，第二年再考，仍没有考上．他转而报考高等师范学院，因数学成绩出色，而被该校录取．这期间，他通过《数学科学通报》得知了阿贝尔去世的消息，同时发现阿贝尔最终发表的论文中，有许多结论在他送交法国科学院的论文中曾提出过．伽罗华这一阶段的研究十分重要，最主要的是他完整地引入了“群”的概念，并且成功地运用了“不变子群”的理论．这些理论着重解决了“任意n次方程的代数解问题”；运用这些理论，还可以解决一些多年来没有解决的古典数学问题．由伽罗华引入的“群” 的概念，现在已经发展成近代代数的一个分支——群论．1831年，伽罗华向法国科学院送交了第三篇论文，论文题目是《关于用根式解方程的可解性条件》．由于论文提出的“置换群”这个崭新的数学概念和方法，连泊松这样著名的数学家也难于看懂和不能理解．于是将论文退了回去，并劝告伽罗华写一份详尽的阐述．可惜，以后由于伽罗华投身政治运动、屡遭迫害，直到死也没完成这项工作．伽罗华刚上大学，就结识了几位共和主义的领导人．他越来越不能容忍学校的苛刻校规，他在一个刊物上发表了激烈抨击校长的文章，为此，被学校开除了．伽罗华失学以后，一方面以替别人补习数学维持生活，一方面投身于火热的民主革命运动．1831年5月和7月，他因参加游行和示威两次被捕入狱．在狱中他继续研究数学，修改关于方程论的论文，研究群论的应用和椭圆函数，半年之后，由于霍乱流行，伽罗华从监牢转到一家私人医院服刑．在医院里，他继续研究，还写了几篇哲学论文，由于传染病继续流行，伽罗华被释放了．但是反对派又设下圈套，以解决爱情争执为借口，让伽罗华与一个反动军官进行决斗．决斗中伽罗华受到致命伤，第二天就死去了．决斗前夕，伽罗华已经预料到了自己的不幸结局．他连夜给朋友们写了几封信，请求朋友把他对高次方程代数解的发现，交给德国著名数学家雅科比和高斯，“恳求他们，不是对这些东西的正确性，而是对它的重要性发表意见．并且期待着今后能够有人认识这些东西的奥妙，作出恰当的解释”．在朋友们的帮助下，伽罗华的最后信件发表在1832年9月号的《百科评论》上，可惜没有引起人们的注意．伽罗华死后14年，法国数学家列维尔，从伽罗华弟弟手里得到了伽罗华生前未公开发表的大部分论文手稿，并把这些手稿发表在自己创办的《数学杂志》上，这才引起数学家的注意．在伽罗华死后38年，法国数学家若当根据他的思想，写了一部巨著《置换及代数方程》，人们终于真正认识了伽罗华．伽罗华短暂的一生给数学留下了瑰宝，正如他给朋友的信中所写的那样：“记住我吧！朋友．为了使祖国知道我的名字，我的生命实在太不够了．除了我的生命，我的一切都已献给了科学，献给了广大群众”．。
伽罗华域计算规则
伽罗华域计算规则伽罗华域是数学中的一个重要概念，它是一个扩域，可以用来解决一些复杂的方程。
在伽罗华域中，有一些计算规则，可以帮助我们更好地理解和应用伽罗华域。
本文将介绍伽罗华域计算规则，以及它们的应用。
一、加法规则在伽罗华域中，加法规则非常简单。
如果我们有两个元素a和b，它们的和就是它们在伽罗华域中的和。
例如，如果a和b是伽罗华域中的两个元素，它们的和就是a+b。
二、乘法规则乘法规则是伽罗华域中最重要的规则之一。
如果我们有两个元素a和b，它们的积就是它们在伽罗华域中的积。
例如，如果a和b是伽罗华域中的两个元素，它们的积就是a*b。
三、幂规则幂规则是伽罗华域中的另一个重要规则。
如果我们有一个元素a和一个正整数n，它们的幂就是a的n次方。
例如，如果a是伽罗华域中的一个元素，n是一个正整数，那么a的n次方就是a^n。
四、逆元规则逆元规则是伽罗华域中的一个重要规则。
如果我们有一个元素a，它的逆元就是在伽罗华域中存在一个元素b，使得a*b=1。
例如，如果a是伽罗华域中的一个元素，那么它的逆元就是1/a。
五、分解规则分解规则是伽罗华域中的一个重要规则。
如果我们有一个多项式f(x)，它在伽罗华域中有一个根a，那么我们可以将f(x)分解为(x-a)g(x)，其中g(x)是一个次数比f(x)低1的多项式。
例如，如果f(x)在伽罗华域中有一个根a，那么我们可以将f(x)分解为(x-a)g(x)，其中g(x)是一个次数比f(x)低1的多项式。
六、应用伽罗华域计算规则在数学中有着广泛的应用。
例如，在密码学中，伽罗华域可以用来加密和解密信息。
在代数几何中，伽罗华域可以用来研究曲线和曲面。
在物理学中，伽罗华域可以用来描述一些基本粒子的行为。
总之，伽罗华域计算规则是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和应用伽罗华域。
通过学习这些规则，我们可以更好地解决一些复杂的方程，同时也可以在其他领域中应用它们。
伽罗瓦
伽罗瓦埃瓦里斯特·伽罗华（Eacute;variste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
伽罗华死于一次近乎自杀的决斗，引起了后人的种种猜测。
可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为是数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
伽罗华
数学世界的顽强斗士
伽罗华有着天生的数学头脑，在他还只有17岁时，就已经开始着手研究数学中最困难的问题之一“一般n次方程求解问题”。学习过高等数学的人都知道，一般的二次方程的解，要求对系数的一个函数求方根。要得出三次方程的一般解，要求对系数的函数开立方。如此这般，四次方程的解，要求开四次方。一般的五次方程的解是否也能用加减乘除开方这五种运算持代数方法从方程的系数得出呢？许多人为之耗去许多精力，但都失败了。这一问题当时已困扰数学界达300年之久。法国另一位著名数学家拉格朗日称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。1770年，拉格朗日对上述问题的研究才算迈出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和诸根排列置换下形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔（history/person/psn001.html）利用置换群的理论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公式不存在的严格证明。伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法，从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换如及其子群结构的分析上。高斯早就预见到代数方程的根式解的问题终归为二项方程的求解问题。伽罗华仔细分析了具有根式解的二项方程作为“预解方程”时所对应的置换子群的特征。结果他发现，如果一个群可以生成一系列极大正规子群，而它们的合成因子是质数，则该群是可解的。当大于四次的代数方程所对应的群的合成因子就不全是质数，因而五次及高于五次的代数方程有些是不能用代数方法解出的。
???伽罗华的最主要成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。作为推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解以及用圆规、 直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗华理论对近代数学的发展产生了深远影响，它已渗透到数学的很多分支中。此外，伽罗华还研究过所谓“伽罗华虚数”，即有限域的元素，因此又称有限域为伽罗华域。
E.伽罗华
E.伽罗华(1811－1832年)
法国数学家,1811年10月生于拉赖因堡,1832年5月卒于巴黎,其父是一自由主义思想家,母亲受过良好教育,是他的启蒙老师,他从少年时期就对数学有兴趣,1829年3月发表第一篇论文,1829年他投考巴黎工科综合学校未被录取,逐进入高等师范学校学习.伽罗华很早就开始关于方程理论的研究,并于1829年5月写了关于代数方程可解性论文,并两次提交但是没有得到泊松的公正评价,21岁时死于决斗.他的主要成就是提出了群的概念,发展了一套关于群和域的理论.人们称之为伽罗华理论,该理论对近代数学的发展产生了深远影响,已经渗透到数学的很多分支中.。
数学奇才伽罗华
数学奇才伽罗华1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖邻近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判定他是决斗后受了重伤，就把那个不知名的青年抬到医院。
翌日早晨十点钟，他就离开了人世。
数学史上最年轻、最有制造性的头脑停止了摸索。
人们说，他的死使数学进展推迟了好几十年。
那个青年确实是死时不满21岁的伽罗华。
伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。
家庭的阻碍使伽罗华一向勇往直前，无所恐惧。
1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他专门大关心。
老师们对他的评判是“只宜在数学的尖端领域里工作”。
1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论，制造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的方程来解决问题。
伽罗华最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌。
1829年5月，伽罗华把他的成果写成论文，递交法国科学院，但相伴着这篇杰作而来的是一连串的打击和不幸。
先是父亲因不堪忍耐教士诽谤而自杀，接着因他的答辩既简捷又深奥令考官们不满而未能进入闻名的巴黎综合技术学校。
至于他的论文，先是被认为新概念太多又过于简略而要求重写;第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不明;1831年1月提交的第三份论文又因评阅人不能全部看明白而被否定。
青年伽罗华一方面追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。
在1831年法国的“七月革命”中，作为高等师范学校新生，伽罗华带领群众走上街头，抗议国王的专制统治，不幸被捕。
在狱中，他染上了霍乱。
即使在如此的恶劣条件下，伽罗华仍旧连续搞他的数学研究，同时写成了论文，预备出狱后发表。
出狱不久，因为卷入一场无聊的“爱情”纠葛而决斗身亡。
伽罗华去世后16年，他留存下来的60页手稿才得以发表，科学界才传遍了他的名字。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
伽罗华理论
√
√
σ( 2) = ± 2.
另一方面,
上式也唯一确定了
σ
本身,
因为
F
的任何一个元素都具有形式
√ ϕ( 2),
其中
ϕ
是一个系数为有理数的有理函数. 因此, 我们可以把 Gal(F /Q) 等同于2个元素的置换群
S2. 它只有两个成员
(1, 2), (2, 1).
这个例子有一般性, 即多项式的伽罗华群是它的 n 个根的对称群 Sn 的一个子群.
4.2 数域的自同构
设 F 是一个数域. F 的一个自同构是一个1–1对应 σ: F → F , 它“保持”域的运算, 即 对任意的 a, b ∈ F ,
σ(a ± b) = σ(a) ± σ(b), σ(ab) = σ(a)σ(b), σ(a/b) = σ(a)/σ(b).
容易验证, 若 σ1 和 σ2 是自同构, 则它们的复合 σ1 ◦ σ2 也是. 由此不难看出, F 的所有自同 构构成一个群, 其乘法运算就是复合, 单位元素就是恒同同构.
拉格朗日考察了3次方程解法. 对于一般的3次方程
x3 + ax2 + bx + c = 0,
2 LAGRANGE 的研究
3
总可以通过配3次方消掉 x2 项. 所以只需要考虑如下的方程, 不失一般性设为
x3 + px + q = 0.
这个方程可以通过如下方法解出: 首先, 令
p3
x=y− ,
(2)
3y
拉格朗日实际上开辟了一条研究求解代数方程的新路, 但是他没有找到求解一般5次 或更高次方程的方法. 他猜测不存在求解一般高次方程的代数方法. 这个猜测不久便被证 明了.
历史趣谈法国天才数学家伽罗华简介 伽罗华死于自杀吗
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1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗华街的第54号房屋内。
现在这里已经成为纪念伽罗华的一个重要地点。
幼年的伽罗华接受了受过良好教育的双亲的教育，展现出了有才能、认真、热心等良好的品格。
1823年l0月，伽罗华年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易·勒·格兰皇家中学。
伽罗华在路易·勒·格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。
1826年10月，伽罗华转到修辞班学习。
伽罗华被迫重修二年级，从此伽罗华自己开始了在数学世界里遨游。
后来由于对学校中教学方法的不认同，不再去听任何的专业课，独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。
结果尽管考试失败，1828年10月，他从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。
在夏尔的帮会组下伽罗华在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，1829年，伽罗华把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院。
1829年，伽罗华升学失败，父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。
1929年，伽罗华考入师范大学。
1830年，数学杂志《费律萨克男爵通报》4月号和6月号上刊出了伽罗华的数学研究手稿，这些手稿生活常识分享。
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伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。
虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（école Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。
在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。
伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
Galois小传：1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
天才的童年1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。
现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦生于此，卒年20岁，1811～1832年”。
纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。
伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。
在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。
其父尼古拉•加布里埃尔•伽罗瓦参与政界活动属自由党人，是拿破仑的积极支持者。
主持过供少年就学的学校，任该校校长。
又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。
伽罗瓦曾向同监的难友勒斯拜——法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”。
可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。
伽罗瓦的母亲玛利亚•阿代累达•伽罗瓦曾积极参与儿子的启蒙教育。
作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。
1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到“伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。
这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。
1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易•勒•格兰皇家中学。
从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和笔记中，记载着伽罗瓦是位具有“杰出的才干”，“举止不凡”，但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。
我们认为这种性格说明他有个性，而且早已显露出强烈的求知欲的标志。
伽罗瓦在路易•勒•格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。
在第四、第三和第二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在1826年l0月转到修辞班学习。
但是第二学季一开始(伽罗瓦这时刚满15岁)，由于教师们认为他的体格不够强壮，校长认为他的判断力还有待“成熟”，他不得不回到二年级。
重修二年级，使伽罗瓦有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补充课程。
自此他把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。
伽罗华经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。
因此，当1827年伽罗瓦回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学的天分在同学之中更加出人头地了。
但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学法之潦草马虎感到愤怒。
所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍，有的教师用七个字“平静会使他激怒”来形容他的行为。
这时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。
到了学年末，他不再去听任何专业课了，而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。
结果尽管考试失败，但1828年10月，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。
路易•勒•格兰中学的数学专业班教师里夏尔，在科学史上，他作为一个很有才华的教师使人追念。
里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。
他遗留下的笔记中记载着：“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。
1829年，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院。
1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁，他在报考巴黎综合技术学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷•德•富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。
伽罗瓦在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”。
据说“由于被狂笑声所激怒”，他把黑板擦布扔到主考人头上，或是因为他拒绝回答有关关于对数这样的过于简单的问题，所以再次遭到落选，伽罗瓦仍然是一个非正式的预备生。
1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。
这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。
其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。
1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。
进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，1828年他的科学研究获得了初步成果。
伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖。
但在这里，他又一次遭到了新挫折：伽罗瓦的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不久就去世了。
因而文章也被遗失了。
这些著作的某些抄本落到数学杂志《费律萨克男爵通报》的杂志社手里，并在1830年的4月号和6月号上把它刊载了出来。
在师范大学学习的第一年，伽罗瓦结认了奥古斯特•舍瓦利叶，舍瓦利叶直到伽罗瓦临终前一直是他的唯一亲近的朋友。
1830年7月，伽罗瓦将满19岁。
他在师范大学的第一年功课行将结束。
他这时写成的数学著作，已经使人有可能对他思想的独创性和敏锐性作出评价。
数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。
法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。
1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。
此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。
伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。
这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。
伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。
1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。
在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。
他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。
”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故”。
1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。
论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。
就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。
1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。
这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。
传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。
尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。
对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。
虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚持他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索。
天才的陨落伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易•腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团——共和派的秘密组织“人民之友”的成员，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。