伽罗华与群论
群论
群论一群的定义群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.说明：本章群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”. （2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G . 定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群. ∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
（但不是有限半群）同理：},{},,{⋅+Q Q ，},,{},,{},,{},,{},,{},,}{,{⋅⋅+⋅⋅+⋅∙∙∙C C C R R R Q},{},,{},,{},,{+⋅⋅+∙∙N N N N 都是可换半群。
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。
哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。
】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。
他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。
我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。
这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。
遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。
伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。
可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。
伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。
让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。
埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。
）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。
数学史简介
尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺 公式”。
根式求解代数方程的问题
• 解决了三次方程和四次方程的求根问题以后，人们自然就 把注意力放到了五次和五次以上方程的求根问题上。然而， 这一问题的困难程度远远超出了人们最初的想象。人们经 过几百年来的努力，仍然无法找到这一问题的解决途径。 于是，人们逐渐就把解决方程求根问题当作了世界性的难 题。
• 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的 方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。 这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全 胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这 个重要发现公之于世。
“卡尔丹诺公式”
• 卡尔丹登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔 纳始终守口如瓶，滴水不漏。后来，冯塔纳终于用一种隐 晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了 卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”， 可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实 践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。
博弈论
• 如果问二战后的50年里对社会科学影响最广泛的是什么理论，不同领 域的学者可能会给出不同的回答，然而大多数学者尤其是经济学家会 认为，对社会科学影响最广泛的理论应该是game theory(博弈论)。
• game theory直译“游戏理论”，而汉语里“游戏”一词有儿戏的味 道，且游戏理论不太严肃，所以把它译为“博弈论”。但将game theory译成“博弈论”雅则雅已，但似乎过于严肃。Game在英语中， 是一个人人熟知的词，指两人或两人以上的群体在确定的规则下的活 动，在这个活动中，每个人都有自己的目标，且每个人都努力达到其 目标。Game的外延较大，从下棋、体育竞赛到企业间的竞争、国家 间的外交活动均叫game。它指称的对象也包括我们汉语所说的“游 戏”。 其实，game theory确实确定我们所认为的一般意义上的 “游戏”，而研究人员也用实际中的游戏试验来丰富或检验博弈论。
数学的由来和发展
数学的由来和发展数学的由来和发展数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学。
那么店铺今天为大家分享的内容是数学的由来和发展，请慢慢欣赏。
数学的由来和发展数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变。
大体上说，凡是研究数和它的关系的部分，划为代数学的范畴；凡是研究形和它的关系的部分，划为几何学的范畴。
但同时数和形也是相互联系的有机整体。
数学是一门高度概括性的科学，具有自己的特征。
抽象性是它的第一个特征；数学思维的正确性表现在逻辑的严密上，所以精确性是它的第二个特征；应用的广泛性是它的第三个特征。
一切科学、技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系。
因此数学是自然科学中最基础的学科，因此常被誉为科学的皇后。
数学在提出问题和解答问题方面，已经形成了一门特殊的科学。
在数学的发展史上，有很多的例子可以说明，数学问题是数学发展的主要源泉。
数学家门为了解答这些问题，要花费较大力量和时间。
尽管还有一些问题仍然没有得到解答，然而在这个过程中，他们创立了不少的新概念、新理论、新方法，这些才是数学中最有价值的东西。
数学概览数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
简单地说，就是研究数和形的科学。
由于和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。
刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。
在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。
伽罗华最悲情的天才数学家
伽罗华:最悲情的天才数学家作者：姚兴航来源：《百科知识》2011年第09期他是一个天才少年，15岁学习数学，短短5年就创造出对后世影响深远的“群论”，带来数学的革命。
他也是一个悲情少年，两次升学未成，三次论文发表被拒，两次被捕入狱，20岁时就因与情敌对决而黯然离世。
他就是法国数学家伽罗华，其惊人才华的背后却是充满坎坷的悲剧人生。
2011年是伽罗华诞辰200周年，当我们再次追忆这段科学史上的传奇时，依然会为其成就赞叹，为其命运唏嘘。
令人惊叹的天才少年伽罗华1811年出生于法国巴黎，1826年，15岁的伽罗华开始选修初级数学的课程，从而使他的数学天赋被彻底激发。
伽罗华很快对数学教科书的内容感到无聊和厌倦，开始自学数学大师的巨著,如勒让德的《几何原理》、拉格朗日的《解析函数》等。
伽罗华有着炉火纯青的心算本领，可以凭借纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究。
1828年伽罗华在法国一个专业数学杂志上，发表了他的第一篇论文——《周期连分数一个定理的证明》。
虽然此时的伽罗华还只是一个中学生，但已经能把大数学家的工作向着更完美的方向推进。
也正是这一年，17岁的伽罗华第一次参加升入巴黎综合理工学院的竞赛考试，这所学校被誉为法国科学界的最高学府。
但可能因为准备不足，伽罗华的考试失败了。
这次考试的失败让那些惊叹于他数学天赋的伙伴们感到吃惊。
许多人认为这次失败是一种不公正行为的结果，直至20多年后，这种争论仍未停息。
厄运不断的学术生涯早在1828年，17岁的伽罗华就开始研究方程论，他创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的高次方程求解问题。
伽罗华最重要的成就，就是提出了“群”的概念，他用群论改变了整个数学的面貌。
1829年5月，伽罗华将其研究的初步结果提交给法国科学院。
负责审查这篇论文的是当时法国数学界的泰斗——柯西。
当时柯西意识到这篇论文的重要性，也曾提及要在科学院的会议上介绍这篇文章，但在随后的科学院会议上柯西并未提及伽罗华的工作。
伽罗华
伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。
虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（école Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。
在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。
伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
Galois小传：1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
天才的童年1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。
现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦生于此，卒年20岁，1811～1832年”。
纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。
伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。
伽罗瓦五次方程根式解
伽罗瓦五次方程根式解？
答：伽罗瓦（Galois）理论是数学中的一个重要分支，它主要研究了代数方程的解的性质，特别是关于哪些类型的代数方程可以用根式求解的问题。
伽罗瓦的工作彻底解决了寻找五次（及更高次）方程的根式解的问题，并证明了一般的五次方程没有根式解。
在详细解释之前，我们需要明确几个概念：
1.根式解：如果一个方程的解可以由方程的系数通过有限次加、减、乘、除以及开方运算得到，那么这个方程就有根式解。
2.群论：伽罗瓦理论的基础是群论，这是一种研究代数结构（如数字集合和它们之间的运算）的数学分支。
3.可解群：在群论中，如果一个群可以通过一系列的子群链（每个子群都是前一个子群的正规子群，并且商群是阿贝尔群）最终降低到平凡子群，那么这个群就是可解的。
现在，我们可以解释为什么一般的五次方程没有根式解：伽罗瓦证明了一个代数方程可以用根式求解当且仅当
其对应的伽罗瓦群是可解的。
对于一般的五次方程，伽罗瓦群是$S_5$（5个元素的对称群），这是一个不可解群。
因此，一般的五次方程没有根式解。
这个结论彻底终结了数学家们长期以来寻找五次方程
根式解的尝试，并开启了现代代数和群论的新篇章。
一到两位数学家的有关资料
一到两位数学家的有关资料伽罗华（Galois,1811-1832,法国）1829年5月，他写出了关于代数方程可解判断的论文，1830年2月修改。
由于审稿人去世，手稿竟被遗失。
1831年他再次修改了论文，但仍未得到公正的评价。
1832年他因为爱情之事与别人进行了决斗，在决斗前夕他整理了他的数学手稿，概括了他的主要成果。
他不幸死于决斗。
到1846年，他的部分文章才得以出版。
1870年，若当（Jordan,1838-1922)才全面的介绍了伽罗华的工作和思想。
伽罗华用群论彻底解决了根式求解高次方程的问题，并由此建立了关于群和域的理论--伽罗华理论，从而开辟了抽象代数的研究领域。
French mathematician who made valuable contributions to number theory algebra before being killed in a duel at the age of 21.康托尔（Cantor,1845-1918,法国）集合（set)论的创始者。
他的名言是：数学的本质在于思考的充分自由。
他的思想使得我们有可能研究超越了感觉想象到的高维和无限维的空间，使数学家可以建立起抽象的纯数学和种种特异的数学来，并且还将促使数学永无止境地向前发展。
但是康托尔的一生并不平坦，1884年他患了精神分裂症，并且以后34年间一直影响着他的生活。
他发病的一个重要原因是他的创见和思想不被当时的许多人（其中甚至包括一些数学界的领袖人物）所理解，反而受到了一些功击和不公正对待。
但是康托尔的集合论毕竟给数学这个乐园建立了一个坚实的基础，从而使现代数学成为了一门真正的独立科学。
______________________________________希尔伯特（Hilbert,1862-1943,德国）二十世纪最伟大的数学家之一，他最为有名的事迹之一是在二十世纪开端时提出了著名的二十三个数学问题，这些问题在相当程度上引导和促进了二十世纪数学的发展。
的证明伽罗瓦对五次方程不可解白
伽罗瓦理论是现代数学中的一个重要分支，它探讨了数论中的一个经典问题：五次方程不可解。
该问题在数学史上曾经引起了巨大的争议和困惑，直到19世纪初，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦建立了现代群论和伽罗瓦理论，才最终解决了这一难题。
在本文中，我们将深入探讨伽罗瓦如何证明了五次方程的不可解性，并对其理论进行全面的评估和解读。
1. 伽罗瓦理论的概念和基本原理伽罗瓦理论是群论的一个重要应用领域，它主要研究了有限域与多项式方程的根之间的关系。
在伽罗瓦的理论中，一个多项式方程的可解性与其对应的有限域的结构密切相关。
通过研究方程的对称性和置换群的结构，伽罗瓦理论建立了方程可解性的准则，从而证明了五次及以上的一般多项式方程的不可解性。
2. 伽罗瓦对五次方程不可解的证明伽罗瓦最重要的工作之一是对五次方程不可解性的证明。
他首先通过传统的代数方法证明了五次方程的一般解不存在，并进一步利用了群论的概念，分析了五次方程的置换群，证明了其不可约性和不可解性。
这一成果极大地推动了数学领域的发展，为代数基本定理的证明奠定了坚实的基础。
3. 伽罗瓦理论的深度和广度伽罗瓦理论不仅解决了五次方程不可解性的经典问题，更深刻地影响了数学领域的发展。
它在代数、几何、数论等领域都有着重要的应用，并且从根本上改变了数学家们对可解性和不可解性的认识。
伽罗瓦理论的深度和广度超出了人们的想象，成为了现代数学中不可或缺的一部分。
4. 个人观点和理解作为一个数学爱好者，我对伽罗瓦理论深深着迷。
它不仅解决了一个经典的数学难题，更重要的是，它改变了人们对数学可解性的认识，开拓了数学领域的新视野。
伽罗瓦理论的严谨性和美妙性让我深有感触，我相信它将继续在数学领域发挥重要作用，激发数学家们不断探索未知领域的激情。
总结回顾伽罗瓦理论的证明伽罗瓦对五次方程不可解的经典成果，标志着现代代数学的发展达到了一个新的高度。
通过对多项式方程的深入研究和对称性的探讨，伽罗瓦理论揭示了方程可解性的本质，为数学领域带来了革命性的变革。
简述伽罗瓦对代数学的贡献
简述伽罗瓦对代数学的贡献
与尼尔斯阿贝尔并称为现代群论的创始人，被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。
伽罗瓦是站在巨人的肩膀上完成了群论的工作的，他证明了高于5次的代数方程都没有求根公式。
他创造性地引入了“正规子群”等概念，来研究“可解群”。
法国数学家伽罗瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿贝尔等人的工作启发之下完成的。
他在拉格朗日的基础上提出了“置换群”、“子群”、“正规子群”、“极大正规子群”等全新的数学概念。
伽罗瓦研究根的排列，实际上建立了置换群。
1829-1831年，伽罗瓦发现了代数方程可用根式解的基本定律――伽罗瓦基本定律。
判断根式可解的充要条件。
问题转化为域，建立了子域与子群的对应关系，给出了根式可解得充要条件，开辟了代数学的新纪元。
伽罗华与群论
伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译引言大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。
然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。
的确，在学校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专门学院的教程差不多也有三百多年的历史。
笛卡尔（Descartes）之创造解析学和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。
可是，事实是这样的：数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实地的向前迈进了。
数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣，而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。
哲学家公认：近代数学与基本的宇宙说是有直接关系的。
心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。
的确，谁都要珍重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。
这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。
这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。
伽罗华殁于一百年以前，死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门数学在今日已成为数学中的重要部分了。
自古以来的二十五位大数学家中，他就是其中之一位。
他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了，他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。
数学家小故事
数学奇才——伽罗华 伽罗华 数学奇才
• 1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪 伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟， 他就离开了人世。数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。人们说，他的死 使数学发展推迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗华。 伽罗华生于离巴 黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向 勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的 课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的 评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。 1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论， 创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的方程来解决问题。伽罗 华最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌。1829年5月， 伽罗华把他的成果写成论文，递交法国科学院，但伴随着这篇杰作而来的是一连串的 打击和不幸。先是父亲因不堪忍受教士诽谤而自杀，接着因他的答辩既简捷又深奥令 考官们不满而未能进入著名的巴黎综合技术学校。至于他的论文，先是被认为新概念 太多又过于简略而要求重写；第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不明； 1831年1月提交的第三份论文又因评阅人不能全部看懂而被否定。 青年伽罗华一方面 追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。在1831年法国的“七月革 命”中，作为高等师范学校新生，伽罗华率领群众走上街头，抗议国王的专制统治， 不幸被捕。在狱中，他染上了霍乱。即使在这样的恶劣条件下，伽罗华仍然继续搞他 的数学研究，并且写成了论文，准备出狱后发表。出狱不久，因为卷入一场无聊的 “爱情”纠葛而决斗身亡。 伽罗华去世后16年，他留存下来的60页手稿才得以发表， 科学界才传遍了他的名字。
08群论的起源与发展
群论的起源与发展（杰出的数学天才——伽罗华）群论起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。
群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
我们今天就主要了解它的发展里程，成长历史。
群论产生的历史背景从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2 + bx + c = 0，接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。
这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。
同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0的根是由系数的函数开四次方所得。
但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，他的工作有力地促进了代数方程论的进步。
但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。
并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。
他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。
相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究。
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。
1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。
并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。
接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1 (x)与q2 (x)满足q1q2 (x) = q2q1 (x)，q1，q2为有理函数。
伽罗瓦
他首先提出了根的置换概念，主意 到每个方程都可以与一个置换群（伽罗 瓦群）联系起来，方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统．这样， 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决，而且他最终以群论为工具， 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答．
伽罗瓦是一位天才的数学家，他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著， 如勒让德德经典著作《几何原理》，拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》， 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作，打 下了坚实的数学基础．
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附 近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤 判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的 青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的 年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创 造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学 家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年， 他就是伽罗华。
中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
• 里夏尔帮助伽罗华于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应 用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个 定理的证明》，并说服伽罗华向科学院递送备忘录。1829年，伽罗 华在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国 科学院。 • 1829年7月2日，正当伽罗华准备入学考试时，他的父亲由于受不了 天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的 思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定 进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。 1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。 • 进入师范大学后的一年对伽罗华来说是最顺利的一年，1828年他的 科学研究获得了初步成果。伽罗华写了几篇大文章，并提出自己的全 部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折： 伽罗华的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不
我眼中的伽罗华 近世代数 群论
我对伽罗华的看法有人认为，数学已经是一门古老的学科，笛卡尔创造解析学和牛顿发明微积分，都是十七世纪的事情。
德国著名数学家、物理学家、天文学家高斯曾说过，数学是科学之王，那些被我们熟知的数学大家，也是年老资深，阅历成就无数，历史的厚重让数学给人一种只可远观的感觉。
伽罗华的出现，为数学增添了悲情色彩，也为数学注入了年轻与热情。
在19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一，年轻的伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。
他还漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正 p 边形，p 为质数（所以正十七边形可做图），解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。
这是伽罗华在二十岁就发现的理论，而他此时对数学的研究，仅仅五年。
伽罗华无疑是数学界的奇才，然而回顾他短暂的一生，我们感受到的却是一种天才的孤独与悲哀，论文多次被丢失，遭受牢狱之苦，最终在决斗中结束了他二十一岁年轻的生命，伽罗华的那些卓越超群的思想大大地领先与他同时代人们的思考，以至于在他死后许多年，他的理论也未能为当代数学家所接受。
可以想象在19世纪初，有这样一位年轻人，一次又一次想把自己的思想传播出去却听不到回音，一次又一次送出自己的论文，却都石沉大海。
怀着对数学的热爱，对事业必胜的信念，他坚持着，孤独着。
查阅了许多有关伽罗华的资料，千篇一律。
的确，他充满悲情的生命轨迹已经定格，而人们也对他卓越的数学才能与数学成就给予了高度评价。
第一次知道伽罗华的时候，我是很震撼的，为他天才的数学头脑震撼，更多的是对他生命过早终结的惋惜；当我再次读起他的故事的时候，也是很震撼的，被他天才的数学才能所震撼，被他不羁的人格震撼，如果不那么早陨落，或许数学界将提早进步很多年。
只是历史没有假设，历史也不会因为某个人而改变，就像没有人会因为知道自己会改变历史而改变自己的人生轨迹。
决斗而死的数学家
决斗而死的数学家1832年5月31日清晨，法国首都巴黎近邻的一条道路旁边，默默地躺着一位因决斗而负重伤的青年．当人们把他送进医院后，不到一天，这个青年就离开了人世．他还不到21岁．这个青年就是近代代数学的奠基人、代数奇才，名叫伽罗华．伽罗华，1811年10月25日出生在法国巴黎附近的一个小城市．父亲原来主管一所学校，后来被推选为市长．伽罗华从小就有强烈的好奇心和求知欲，对每一件新鲜事物总要寻根究底，虽然他父母都受过很好的教育，有时也难以回答他的问题．不过，父母总是鼓励他说：“孩子，你问得好，让我们查查书，想一想．” 父母还尽量抽空给伽罗华讲些科学家追求真理的故事．有时已经讲到深夜，父母很疲倦了，而伽罗华还在聚精会神地听，还不断提出问题．就这样，父母在伽罗华幼小心灵中撒下了为科学、为真理而献身的种子．在父母的教导下，伽罗华学习识字、看书，并且逐渐学会自己阅读．有时，他一个人去图书馆看书，看书入了神，直到管理员提醒他：“伽罗华，这儿都下班了，你该回家吃饭了．” 他才恋恋不舍地离开图书馆．伽罗华15岁时进入巴黎的一所公立中学读书，他非常喜欢数学．当时，挪威青年数学家阿贝尔证明了“除了某些特殊的五次和五次以上的代数方程可以用根式求解外，一般高于四次的代数方程不能用根式求解”．这是一个延续了200年的数学难题，被阿贝尔初步解决了．什么是根式求解呢？以一元二次方程为例，对于任意一个二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）都可用公式来解，在这个公式中除了四则运算外，主要是一个根式．一元三次方程的解的公式也是由根式来表示的．阿贝尔的杰出成就轰动了整个数学界，可是有些问题他没有来得及解决，比如怎样判断哪些方程可以用公式求解，哪些方程不能用根式解．由于阿贝尔不满21岁就过早地离开了人间，这些问题便被遗留下来了．阿贝尔的成就激励着伽罗华，五次方程问题使伽罗华产生了浓厚的兴趣，中学时代的伽罗华就开始钻研五次方程问题．他研究了大数学家拉格朗日、高斯、柯西和阿贝尔的著作，他特别喜欢读那些能够指出疑难问题的书．他说：“最有价值的科学书籍，是著作者在书中明白指出了他不明白的东西的那些书．遗憾的是，这还很少被人们所认识，作者由于掩盖难点，大多害了他的读者．”伽罗华通过阅读拉格朗日的《几何》，弄懂了数学的严密性．1829年3月，17岁的伽罗华在《纯粹与应用数学年刊》上发表了一篇论文．这篇论文清楚地解释了拉格朗日关于连分式的结果，显示了一定的技巧．在这篇论文发表的前一年，即1828年，伽罗华就把自己关于方程的两篇论文，送交法国科学院要求审查．科学院决定由数学家柯西和泊松负责审查这个中学生的论文．由于柯西根本不把中学生的论文放在眼里，他把伽罗华的论文给丢了．1829年伽罗华又把自己的研究成果写成论文，送交法国科学院．这次负责审查论文的是数学家傅里叶．不幸的是，傅里叶接到论文，还没有来得及看，就病逝了，论文又不知下落了．伽罗华的论文两次丢失，使他非常气愤．但是他没有因此而丧失信心，仍继续钻研方程问题．新的打击接踵而来：1829年7月，伽罗华的父亲，因持有自由主义政见，遭到政治迫害而自杀；一个月后，他报考在科学上有很高声望的多科工艺学院，由于拒绝采用考核人员提出的解答方法来解答问题，结果名落孙山，第二年再考，仍没有考上．他转而报考高等师范学院，因数学成绩出色，而被该校录取．这期间，他通过《数学科学通报》得知了阿贝尔去世的消息，同时发现阿贝尔最终发表的论文中，有许多结论在他送交法国科学院的论文中曾提出过．伽罗华这一阶段的研究十分重要，最主要的是他完整地引入了“群”的概念，并且成功地运用了“不变子群”的理论．这些理论着重解决了“任意n次方程的代数解问题”；运用这些理论，还可以解决一些多年来没有解决的古典数学问题．由伽罗华引入的“群” 的概念，现在已经发展成近代代数的一个分支——群论．1831年，伽罗华向法国科学院送交了第三篇论文，论文题目是《关于用根式解方程的可解性条件》．由于论文提出的“置换群”这个崭新的数学概念和方法，连泊松这样著名的数学家也难于看懂和不能理解．于是将论文退了回去，并劝告伽罗华写一份详尽的阐述．可惜，以后由于伽罗华投身政治运动、屡遭迫害，直到死也没完成这项工作．伽罗华刚上大学，就结识了几位共和主义的领导人．他越来越不能容忍学校的苛刻校规，他在一个刊物上发表了激烈抨击校长的文章，为此，被学校开除了．伽罗华失学以后，一方面以替别人补习数学维持生活，一方面投身于火热的民主革命运动．1831年5月和7月，他因参加游行和示威两次被捕入狱．在狱中他继续研究数学，修改关于方程论的论文，研究群论的应用和椭圆函数，半年之后，由于霍乱流行，伽罗华从监牢转到一家私人医院服刑．在医院里，他继续研究，还写了几篇哲学论文，由于传染病继续流行，伽罗华被释放了．但是反对派又设下圈套，以解决爱情争执为借口，让伽罗华与一个反动军官进行决斗．决斗中伽罗华受到致命伤，第二天就死去了．决斗前夕，伽罗华已经预料到了自己的不幸结局．他连夜给朋友们写了几封信，请求朋友把他对高次方程代数解的发现，交给德国著名数学家雅科比和高斯，“恳求他们，不是对这些东西的正确性，而是对它的重要性发表意见．并且期待着今后能够有人认识这些东西的奥妙，作出恰当的解释”．在朋友们的帮助下，伽罗华的最后信件发表在1832年9月号的《百科评论》上，可惜没有引起人们的注意．伽罗华死后14年，法国数学家列维尔，从伽罗华弟弟手里得到了伽罗华生前未公开发表的大部分论文手稿，并把这些手稿发表在自己创办的《数学杂志》上，这才引起数学家的注意．在伽罗华死后38年，法国数学家若当根据他的思想，写了一部巨著《置换及代数方程》，人们终于真正认识了伽罗华．伽罗华短暂的一生给数学留下了瑰宝，正如他给朋友的信中所写的那样：“记住我吧！朋友．为了使祖国知道我的名字，我的生命实在太不够了．除了我的生命，我的一切都已献给了科学，献给了广大群众”．。
第三章 矩阵的秩
Ax = b
b=0,齐次线性方程组 齐次线性方程组 b≠0,非齐次线性方程组 非齐次线性方程组
定理 1 线性方程组 = b有解⇔ r( A) = r( A| b). Ax 证明： 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 r(A)=r 初等行变换 矩阵化为行阶梯形 矩阵化为行阶梯形
推论2 推论2
当
m<n
时，齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am2 x2 +⋯+ amn xn = 0
必有非零解。 必有非零解。
1 A 矩阵， r A中必成立（） 例 已知 为m× n矩阵，且 ( A) = r，则 中必成立（）
丞相买鸡与不定方程 《张丘建算经》是我国南北朝时期写成的一本数 张丘建算经》 学书，距现在有1500多年了，里面共有 个问题， 多年了， 个问题， 学书，距现在有 多年了 里面共有92个问题 其中有一道著名的“百鸡问题” 其中有一道著名的“百鸡问题”： 今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三； 今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三； 鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。 鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡 母雏各几何？ 翁、母雏各几何？
(4)a = b = 0, r( A) = 0.
(1)a ≠ b且a + (n −1)b ≠ 0, r( A) = n.
对于m个方程 个未知数的线性方程组 对于 个方程n个未知数的线性方程组 个方程 a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n xn = b2 ........................................... a x + a x +⋯+ a x = b m n n m m1 1 m2 2
漫谈法国历史上最杰出的十位数学家
漫谈法国历史上最杰出的十位数学家NO10: 韦达 (现代代数符号之父)韦达（François Viète,1540~1603）,法国数学家，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
在欧洲被尊称为“代数学之父”，在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权。
这里提一下中国学生在初中，高中经常学到的韦达定理:韦达定理(Vieta's Theorem）的内容（根与系数的关系）一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中设两个实数根为X1和X2则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根:若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0>0>NO9. 笛卡尔 (解析几何之父)勒内·笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家。
他对现代数学的发展做出了重要的贡献，创立了直角坐标系，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。
他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支，解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
伽罗瓦
伽罗瓦埃瓦里斯特·伽罗华（Eacute;variste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
伽罗华死于一次近乎自杀的决斗，引起了后人的种种猜测。
可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为是数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
伽罗华理论
√
√
σ( 2) = ± 2.
另一方面,
上式也唯一确定了
σ
本身,
因为
F
的任何一个元素都具有形式
√ ϕ( 2),
其中
ϕ
是一个系数为有理数的有理函数. 因此, 我们可以把 Gal(F /Q) 等同于2个元素的置换群
S2. 它只有两个成员
(1, 2), (2, 1).
这个例子有一般性, 即多项式的伽罗华群是它的 n 个根的对称群 Sn 的一个子群.
4.2 数域的自同构
设 F 是一个数域. F 的一个自同构是一个1–1对应 σ: F → F , 它“保持”域的运算, 即 对任意的 a, b ∈ F ,
σ(a ± b) = σ(a) ± σ(b), σ(ab) = σ(a)σ(b), σ(a/b) = σ(a)/σ(b).
容易验证, 若 σ1 和 σ2 是自同构, 则它们的复合 σ1 ◦ σ2 也是. 由此不难看出, F 的所有自同 构构成一个群, 其乘法运算就是复合, 单位元素就是恒同同构.
拉格朗日考察了3次方程解法. 对于一般的3次方程
x3 + ax2 + bx + c = 0,
2 LAGRANGE 的研究
3
总可以通过配3次方消掉 x2 项. 所以只需要考虑如下的方程, 不失一般性设为
x3 + px + q = 0.
这个方程可以通过如下方法解出: 首先, 令
p3
x=y− ,
(2)
3y
拉格朗日实际上开辟了一条研究求解代数方程的新路, 但是他没有找到求解一般5次 或更高次方程的方法. 他猜测不存在求解一般高次方程的代数方法. 这个猜测不久便被证 明了.
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伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译引言大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。
然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。
的确，在学校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专门学院的教程差不多也有三百多年的历史。
笛卡尔（Descartes）之创造解析学和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。
可是，事实是这样的：数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实地的向前迈进了。
数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣，而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。
哲学家公认：近代数学与基本的宇宙说是有直接关系的。
心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。
的确，谁都要珍重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。
这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。
这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。
伽罗华殁于一百年以前，死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门数学在今日已成为数学中的重要部分了。
自古以来的二十五位大数学家中，他就是其中之一位。
他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了，他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。
(在决斗的前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。
敬祝他的灵魂安乐！--I 群的重要在讲群论之先，先把群论之所以重要的几个原因之一说一下。
我们都知道数学中一椿要紧的事情是解方程式。
代数方程式可以依他的次数来分类。
一次方程式ax+b=0只要是学过初等代数的小孩子都会解。
他的解答是x=-b/a二次方程式2ax + bx +c =0的解法在初等代数中也有，他的解答是x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a在纪元前数世纪，巴比伦人(Babylonians)已能解这种形式的方程式了。
三次方程式3 2ax + bx +cx +d =0和四次方程式4 3 2ax + bx +cx +dx +e =0的解法已比解一次，二次的方程式难得多了。
直到十六世纪才有了解法。
这法子在每本方程式论的书中都可以找到。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。
向来数学家虽都不会解一般高于四次的方程式，可是都相信一定是可能的。
直到十九世纪，利用群论的道理，才证明了这是不可能的事。
此处读者应该要懂得透澈的是刚才所说的“不可能”三个字。
一个问题之能否解决是要看我们对于解答所加的限制条件而定的，比如x+5=3是能解的，假使我们允许x可以是负数的话，设若我们限定x不能是负数，那末这方程式就不能解了。
同样，假使x表示银圆数，方程式2x+3=10是可解的。
如果x表示人数，这方程式就不能解了，因为x=3.5没有意义。
要三等分任意一角，若只准用直尺与圆规，这是不可能的，但是若许用别的仪器，就可能了。
一个代数式之为可约的(reducible,就是说可以分解因数)或不可约的(irreducible)，要看我们在什么数域(Field)中分解因数而定。
比如：2x + 1在实数域(Field of Real Numbers)中是不可约的，可是在复数域(Field of Complex Numbers)中却是可约的，因为2x + 1 =(x+i)(x-i)----此处的i=√-1.简单的说：我们若单说一个代数式是可约的或是不可约的，而不说出在什么数域内，这话是全然没有意义的。
数学家知道特别说明范围(Environmont)的重要。
我们说：一个命辞在什么范围中是对的，在什么范围中是错的，甚而至于在什么范围中是绝对没有意义的。
那末，刚才所说的一般高于四次的方程式不能解究竟是什么意思呢？这个问题的答案是：一般高于四次的方程式不能用根式解的所谓“不能用根式解”是说方程式的根不能用有限次的有理运算（加，减，乘，除）和开方表作方程式的系数之函数。
为要说明这一点，拿一次方程式ax+b=0来看，这方程式的根是x=-b/a;所以x的值可以用a除b而得，这是一个有理运算!二次方程式2ax + bx +c =0的两根是x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a这也可以由有限次的有理运算和开方而得。
同样，一般的三次，四次方程式的根也可用有限次的有理运算和开方表作系数的函数，换句话说：他们可以用根式解(Solvableby Radicals)可是，若论到高于四次的方程式时，这就不再成立了。
当然，这是指一般高于四次的方程式而言，有些特殊的高次方程式还是可以用根式解的。
以后我们将看到怎样用群论的原理来证明一般高于四次的方程式还是可以用根式解的。
我们还可以看到：用群论的道理来证明以直尺，圆规三等分任意角之不可能是何等简单而绮丽，正如应用群论于其他名题一样。
--III 群的重要性质有时一个群的一部分元素自己形成一体，这种群称为约群(Subgroup).例如，前章的(a)例中，一切整数对于加法而言，固然成为一群，若单拿一切偶数来看，对于加法而言，他们也成一群；因为群的四个性质都能适合：1。
两个偶数的和还是偶数。
2。
零是主元素。
3。
一个正偶数的逆元素是一个负偶数，而一个负偶数的逆元素是正偶数。
4。
结合律当然成立。
所以单是偶数全体对于加法而言作成一个群，这群是那个由一切整数对于加法而言作成的群的约群。
仿此，一个置换群（即是以置换作元素的群）也可以有约群。
例如，拿1,(12),(123),(132),(13),(23)六个置换来看，此处1表示那个不动置换(Identity Substitution,即是将x1代作x1,x2代作x2,x3代作x3的置换)。
这六个置换形成一群，因为群的四条性质都成立：1。
这六个中每两个的积还是这六个中的一个置换，比如(12)(123)=(13)(123)(132)=1,(13)(23)=(123)(123)(123)=(132)等等。
2。
主元素是1。
3。
每个元素的逆元素都在这六个元素之中，比如(123)的逆元素是(132) (12)的逆元素是(12)等等。
4。
结合律成立现在从这六个置换中取出1和(12)两个来，这两个也做成一个群，这是原来那个群的约群。
我们很容易证明：约群的元数(Order，即是元素的个数)是原来的群的元数的约数。
一种最重要的约群是不变约群(Invarient Subgroup)。
为要解释这个名词，先得说明变形(Transform)的意义。
设有一个元素(12),我们用另一个元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132) 去左乘他，如此所得的结果是(132)(12)(123)=(23)这个结果(23)就称为(12)应用(123)的变形。
同样，群中一个元素若以另一个元素右乘，再用这另一个元素的逆元素左乘，所得结果称为元素应用另一个元素的变形。
一个约群中任何元素应用原来的群中任何元素的变形，若仍是约群中的元素，这约群就称为原来那个群的不变约群。
不变约群是很重要的，尤其重要的是一种极大不变真约群(Maximal Invarient Proper Subgroup)。
设H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变真约群。
若将G的元数用H的元数去除，H的元数用K的元数去除，。
如此所得诸数，称为群G的组合因数(Composition Factors).假使这些组合因数都是质数，我们就说G是一个可解群(Solvable Group).这里“可解”两个字的意义，容后再说。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素(不是主元素)的乘幂，比如在群1,(123),(132)中，2(123) =(123)(123)=(132)3(123) =(123)(123)(123)=1这群中的元素都是(123)的乘幂，像这种群，称为循环群(Cyclic Group).在一个置换群中，如果每个文字都有一个而且只有一个置换将文字换成其他某一个文字(这个文字也可以和原来那个文字相同)，那末，这个群就称为正置换群(Regular Substitution Group)。
例如方才所说的群1,(123),(132)在1中x1变成x1,在(123)中x1变成x2,在(132)中x1变成，。
所以这是一个循环正置换群(Regular Cyclic Group), 这种群在方程式的应用上很重要，在以后的各章中可以见到。
--II 群是什么数学中的系统(Systom)可以是一部教学的机器(A MathematicalMachine),他的主要成分是(1)元素(Element);(2)一种运算(Operation);例如：(a) (1) 元素是一切整数(正或负或0)(2)运算是加法。
((1)元素是一切有理数(0除外)(2)运算是乘法。
© (1)元素是某几个文字(如x1,x2,x3)的置换(Substitution)(2)运算是将一个转换跟着另一个置换(这个待以后再解释)(d) (1) 元素是下图的旋转，转的度数是60度或是60度的倍数；(该图样子是将一个圆用三条直径分成相同六块)(2)运算是如©中一般，将一个旋转跟着另一个旋转。
从这么一个简单的出发点着手，看去似乎弄不出什么东西来，然而这样讨论下去所得的结果会令人诧异的！这种系统若能满足下列四条性质，就称为群(Group):1.假使两个元素用那规定的运算结合时，所得的结果还是系统中的一个元素。