角的概念
角的度量与表示
角的度量与表示 1、角的概念：1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法： 角用“∠”符号表示1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示（顶点必须在中间） 2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
3）角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的度分秒的换算1°=601′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时这个角叫周角。
6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。
【典型例题】例1. 试用适当的方式分别表示图中的每一个角.例2.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算1()6αβ+的结果依次为28°，48°，88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁②有四人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下,其中表述正确的是( )A.西偏南︒20 B ．北偏西︒110C ．南偏西︒70D ．东偏南︒160例 3.（1）3.62°=（2）=)25.25('（3）34.8=(4) 2512'=例4.计算（1） 4859'+5738'（2）78 -4734'56″（3） 12 34'×5 （4） 25.5÷4例5．时钟在8点半时,它的时针和分针所成的锐角是______ 度例6.（1）如图，已知OM BOC AOB ,30,90︒=∠︒=∠平分ON AOC ,∠平分BOC ∠．求M O N∠的度数．（2）如果（1）中α=∠AOB，其它条件不变，求MON∠的度数．（3）如果（1）中β=∠B O C （β为锐角），其它条件不变，求MON∠的度数．（4）以（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？例7.如图，∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB=α，若以OA ，OC ，OD ，OE 为始边的各角之和等于380°，求∠AOB.AOCN B MAOBDE C例8.以AOB∠的顶点O为端点引射线OC，使4:5:=∠∠B O C A O C .（1）若=∠A O B 15°，求AOC ∠与BOC ∠的度数；（2）若AO B ∠=m °，求AOC ∠与BOC∠的度数.* 例9.如图，是一个3×3方格，试求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＋∠9的度数.【初试锋芒】 1、判断题：（1）由两条射线组成的图形叫角.2）角的大小与边的长短有关. 3）一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角. 4）一个钝角减去一个锐角，其差必为一个直角.2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )3．如图，以O 为顶点且小于180º的角有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个4.如右图,在A 、B 两处观测到的C 处的方位角分别是( ) A.北偏东60°,北偏西40° B.北偏东60°,北偏西50° C.北偏东30°,北偏西40° D.北偏东30°,北偏西50°5.（2004湖北省）如右图,将一幅三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则DOBAOC∠+∠的度数为_____________度.6．如右图所示，∠AOB=21°12′，∠B0C=31°42′，求∠C0D 是多少度？7.飞机在飞行时,飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的,如图,用AN(南北线), 与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角,从A 到B 的飞行方向角为35°,从A 到C 的飞行方向角为60°,从A 到D 的飞行方向角为145°,试求AB 与AC 之间的夹角为多少度?AD 与AC 之间的夹角为多少度?并画出从A 飞出且方向角为105°的飞行路线.* 8. 如图，图中共有多少个角【大展身手】1. 0.25°= ′= ″； 2700″= ′=2. ∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____.3.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，下列说法错误的是（ ） A ．∠B 也可以表示为∠ABC B ．∠BAC 也可以表示为∠A C ∠1也可以表示为∠CD 以C 为顶点且小于180º的角有3个ABCOD1 4 72 5 8369AB CDOA BCODAA1B O BA1B ODA 1BODCABOC 1 CA DBN西东1A2A3A4A 5A O (1)1A 2A2000A (5.(2001宁夏)学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C, 电影院在学校的正东方向,公园在学校的南偏西25°方向,那么平面图上的∠CAB 等于( )A.115°B.155°C.25°D.65°6.(哈尔滨市)如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=146°,则∠BOC=___.7. 如图,AB 、CD 相交于点O,OB 平分∠DOE,若∠DOE=60°, 则∠AOC 的度数是_ _. 8．计算下列各题. （1）把83.43°化成度、分、秒. （2）56°32′－30°55′55″’（3）45°27′7″+ 25°55′55（4）把53°12′40″化成度.9．如图所示，指出OA 是表示什么方向的一条线，并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东60°；（2）北偏西70°； （3）西南方向（即南偏西45°）.10.怎样利用三角板画15°,135°的角,请与同伴交流,利用三角板你还能画出哪些角?11.如图,已知O 是直线AD 上的点,∠AOB,∠BOC,∠COD, 三个角从小到大依次相差25度,求这三个角的度数.12.两个相等的钝角有一公共顶点和一条公共边, 并且两个角的另一边所成的角为90°,画出该图形,并求出钝角的大小. 13.过直线MN 上一点引射线OA 和OB ，使OA 、OB 在MN 同侧，已知AOBMOA ∠=∠2，BON ∠比AOB ∠小12，求这三个角的度数.14．时钟在3点半时,它的时针和分针所成的锐角是多少度?再过多少分钟，分针和时针第一次重合？ 15.已知40=∠AOB ，向O点引射线OC，若A O C ∠:COB ∠=2:3，求:OC 与AOB ∠的平分线所成角的度数．一、填空题1、 如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD ，则OD 平分____， OC 平分______，32∠AOB =______=______.2、 把一根小棒OA 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为____， ∠AOD 为____，∠AOE 为____，木棒转到OB 时形成的角为__回答钝角、锐角、直角、平角)3、时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为__由2点到7点半，时针转过的角度为____4∠2，则∠1+∠3=______.5、 已知五角星的五个顶点在同一圆上，且均匀分布，五角星的中心是这个圆的圆心，则圆心与两个相邻顶点的连线，构成的角度为6、 如图5,AOB 为一直线，OC 、OD 、OE 是射线则图中大于0°小于180°的角有___个.7如果一个角的度数为n ，则它的补角为__，余角为______ 8、 ∠α的补角为125°，∠β的余角为37°，则α、β的大小关60° 东南西北AOCADBOC AD B第6OC AE DB 第7题图4系为α___β. 二、选择题9、一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ） A.30° B.60°C.45°D.150°10、两个锐角的和（ ）A.一定是锐角B.一定是钝C.一定是直角D.以上三种情况都有可能 11、互为补角的两个角度比是3∶2，这两个角是A.108 72B.95 85°C.108°80°D.110°70°12、下列各角中是钝角的为（ ）A.41周角B.65平角C.32直角D.31直角13、如图15，图形表示的是（ ） A.直线B.射线C.平角D.周角14、船的航向从正北按顺时针方向转到正南方向，它转了（ ） A.135° B.225° C.180° D.90°15、 有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是（ ） A.互为余角 B.互为补角 C.相等D.以上答案都不对三、解答题16、四个角的和是180°，其中有三个角相等，且都是第四个角的32，求这四个角.17、如图19，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD.图19 图20 18、如图20，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.19、已知一条射线OA,如果从点O 再引两条射线OB 和OC,使∠AOB=60°, ∠BOC=20°,求∠AOC 的度数.20、如图,如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,求∠3是多少度?31221、如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.。
有关角度的基本知识
有关角度的基本知识角度是几何学中一个重要的概念，它在日常生活和科学研究中都扮演着重要的角色。
本文将介绍关于角度的基本知识，包括角的定义、角的度量方式以及常见角的分类和性质。
1. 角的定义角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形。
这个公共的端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。
角通常用大写字母表示，如∠ABC。
2. 角的度量方式角的度量可以通过几种方式进行，最常用的是度和弧度两种单位。
- 度：度是角度的常见度量单位，一个完整的圆周分成360度。
例如，直角是90度，半圆是180度。
- 弧度：弧度是角度的另一种度量单位，用弧长等于半径长度的弧所对应的角来定义。
一个完整的圆周对应的弧度为2π。
例如，直角对应的弧度是π/2，半圆对应的弧度是π。
3. 角的分类和性质根据角的大小和形状，我们可以将角进行不同的分类，并研究它们的性质。
- 锐角：角度小于90度的角称为锐角。
锐角的两条边在顶点处靠近，形状类似于尖角。
- 直角：角度等于90度的角称为直角。
直角的两条边互相垂直，形状类似于一个正方形的内角。
- 钝角：角度大于90度但小于180度的角称为钝角。
钝角的两条边在顶点处分开，形状类似于钝角。
除了按大小分类外，我们还可以按照角的位置进行分类。
- 内角：位于封闭图形内部的角称为内角。
例如，三角形的内角共同构成了三角形的内部结构。
- 外角：位于封闭图形外部的角称为外角。
外角与内角相加等于180度，这是内角与外角的重要性质之一。
此外，还有一些特殊的角值得我们关注：- 顶角：两条直线相交时形成的角称为顶角。
顶角的度数可以根据其它已知角度或线段长度进行计算。
- 对顶角：位于两个交叉的直线上的相对角称为对顶角。
对顶角的度数相等。
综上所述，角是几何学中的基本概念，我们通过度和弧度来度量角的大小。
角可以按照大小和形状进行分类，并且具有一些重要的性质。
理解角的基本知识对于几何学和其它科学领域的研究都具有重要的意义。
通过学习角的概念和性质，我们可以更好地理解和应用几何学在日常生活和科学研究中的实际问题。
角的概念和性质
角的概念和性质角是几何学中的一个重要概念，它是由两条射线共同端点所组成的图形。
在几何学中，角具有许多重要性质和应用，能够帮助我们理解空间的结构和解决实际问题。
本文将对角的概念和性质进行详细探讨。
一、角的概念角由两条射线共同端点所组成，可以理解为一个“开口”的图形。
我们通常用大写字母表示角，例如∠ABC或∠A，其中A为角的顶点，B、C为角的两个端点。
角可以根据其大小进行分类，从而便于我们进行研究和讨论。
根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角指的是小于90度的角，直角指的是等于90度的角，钝角指的是大于90度但小于180度的角。
通过对角的度数进行分析，我们可以更好地理解和描述不同类型的角。
二、角的性质1. 角的度量角的度量通常采用角度来表示，用度(°)作单位。
一个直角的度数为90度。
根据圆的性质，我们可以进一步将一个圆分为360度，即一周。
通过度的概念，我们可以准确地衡量和描述不同角的大小。
2. 角的对立角对立角是指由两个互为对立角的角所组成的一对角。
如果角A和角B的度数之和为180度，那么称它们互为对立角，可以表示为A + B = 180。
对立角有相等的性质，即如果两个角互为对立角，则它们的度数相等。
3. 角的补角和余角补角是指两个角的度数之和为90度，可以表示为A + B = 90。
余角则是指两个角的度数之和为180度，可以表示为A + B = 180。
补角和余角是角度度量中常用的概念，能够帮助我们解决许多几何问题。
4. 角的相等性质如果两个角的度数相等，那么它们互为相等角，可以表示为∠A = ∠B。
相等角具有许多重要的性质，可以帮助我们推导和解决各种几何问题。
5. 角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个度数相等的角的射线。
平分线具有相等的性质，即如果一个角的平分线与另一个角的平分线相交，那么形成的四个角对两两相等。
6. 角的内部和外部角的内部是指位于角两条射线之间的区域，角的外部则是角的旁边区域。
角的定义及相关概念
角的定义及相关概念角是数学中的一个重要概念，是两条射线共享一个起点而形成的图形。
角的定义不仅在数学应用中起着重要的作用，也在生活中有许多实际意义。
首先，我们来看一下角的定义。
角通常用大写字母表示，比如A，B，C等。
一个角由两条射线组成，其中一条射线叫做角的边，另一条射线叫做角的腿。
边是角的起点，腿是角的终点。
两条射线的交点叫做角的顶点。
我们可以用顶点和两个点来表示一个角，例如∠ABC。
值得注意的是，表示一个角时，通常点的位置是顺序排列的，也就是说我们是从边开始画，然后到顶点，最后画到另一条边。
角的大小是通过角的度数来确定的。
角的度数可以用角度或弧度来表示。
角度是平面内角的度量单位，用符号°表示。
一个完整的圆有360°。
当我们讨论角度时，经常会涉及到三种不同类型的角：锐角、直角和钝角。
锐角是指小于90°的角，直角是指等于90°的角，钝角是指大于90°小于180°的角。
锐角和钝角的大小在0°到180°之间，而直角的大小只能是90°。
角的概念在几何图形的测量中起着重要的作用。
比如我们常用角来描述一个多边形的内角和外角。
内角是指凸多边形内部两条边所形成的角，而外角是指凸多边形内部一条边和另一条边的延长线所形成的角。
内角和外角的关系是重要的几何定理之一，即内角和外角相加等于180°。
除了在几何图形的测量中，角的概念还广泛应用于物理学、天文学和建筑学等领域。
在物理学中，角度是测量两个物体或者物体的部分之间的相对旋转程度的一种方法。
在天文学中，角度用于度量天体的位置和运动。
而在建筑学中，角度被用来度量建筑物的朝向和结构。
总结起来，角是由两条射线共享一个起点而形成的图形，其大小通过度数来确定。
角在数学应用中起着重要的作用，不仅在几何图形的测量中被广泛使用，还在物理学、天文学和建筑学等领域发挥着重要的作用。
了解角的定义和相关概念，对我们理解和应用数学知识是具有指导意义的。
角的基本概念
角的基本概念角是几何学中的基本概念之一，它在我们日常生活和数学中都有着重要的应用。
本文将介绍角的定义、角的分类、角的度量以及角的性质。
一、角的定义在几何学中，角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
这个共享的端点被称为角的顶点，两条射线被称为角的边。
角通常用大写字母表示，例如∠ABC，其中A为角的顶点，B和C为角的边。
二、角的分类根据角的大小，角可以被分类为以下三种类型：1.锐角：锐角是指角的大小小于90度（°）。
例如∠ABC = 60°。
锐角的两条边在顶点处靠近，视觉上形成一个尖角。
2.直角：直角是指角的大小等于90度（°）。
例如∠ABC = 90°。
直角的两条边在顶点处垂直相交，视觉上形成一个正方形的内角。
3.钝角：钝角是指角的大小大于90度（°）。
例如∠ABC = 120°。
钝角的两条边在顶点处较为疏远，视觉上形成一个较为扩张的角。
三、角的度量角的度量通常用度（°）作为单位。
一圆周被等分为360个小部分，每个小部分被定义为1度。
根据其大小，角可以进一步度量为以下两个单位：1.弧度：弧度是角度的另一种度量方式，以弧长与半径的比值作为单位。
一个圆的周长为2πr，360度对应的弧度量为2π。
弧度的符号通常用rad表示。
2.百分度：百分度是将角的大小表示为百分比的一种度量方式。
例如，一个直角等于100%，一个全周角等于400%。
四、角的性质角具有以下一些重要的性质：1.余角：两个角的和等于180度。
例如，∠ABC + ∠CBD = 180°。
当两个角的边形成一条直线时，它们互为余角。
2.互补角：两个角的和等于90度。
例如，∠ABC + ∠CBD = 90°。
当两个角的边垂直相交时，它们互为互补角。
3.对顶角：对顶角是指一个角的两边逆时针或顺时针旋转到另一个角的两边上，且两角互为相对的角。
例如，∠ABC和∠CBD是对顶角。
1.1.1角的概念
角的概念1.角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果一条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2.在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，{β|β=α+k·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.终边落在x 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=90°+k·360°,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴的角的集合为：{α|α=180°+k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴负半轴的角的集合为：{α|α=270°+k·360°,k ∈Z }；5.第一象限角的集合为：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k ∈Z }；第二象限角的集合为：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k ∈Z }；第三象限角的集合为：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z }；第四象限角的集合为：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k ∈Z }.一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角可表示为{α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角可表示为{α|2kπ+23π＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }.4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ,k ∈Z ；终边落在x 轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k ∈Z ;终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作： {α|α=2kπ+2π,k ∈Z }; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad;1°=180πrad≈0.017 45 rad ； 1 rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式： l=|α|·r （其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S 扇形=21l·r=21|α|r 2（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.题组一：基础概念．【题目】．在直角坐标系中，作出下列各角：（1）360°（2）－270°（3）390°（4）－540°【解】．【题目】．设集合M={θ|θ为小于90°的角}，N={θ|θ为第一象限的角}，则M∩N 等于( )A．{θ|θ为锐角} B．{θ|θ为小于90°的角}C．{θ|θ为第一象限角} D．以上均不对解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系. （2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.．【题目】．下列各命题正确的是( )A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C．【题目】．下列命题中，正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．锐角都是第一象限角C．第一象限的角都是锐角D．小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答案：B．【题目】．给出下列四个命题：（1）小于90°的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。
小学四年级数学知识点：角的认识知识点
小学四年级数学知识点：角的认识知识点
大家有没有开始学习了呢如果还没有，不能再偷懒，现在就要抓紧时间开始了哦!下面为大家分享角的认识知识点，希望对大家有所帮助。
【角的认识知识点】
1、角的概念。
由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
角是由一个顶点和两条边组成的。
2、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，(像一条直线)，平角等于180°，等于两个直角。
周角：角的两边重合，(像一条射线)，周角等于360°，等于两个平角，四个直角。
3、角的分类：小于90度的角叫做锐角;等于90度的角叫做直角;大于90度小于180度的角叫做钝角;等于180度的角叫做平角;大于180度小于270度叫做优角(此为补充内容);等于360度的角叫做周角。
4、动手画平角、周角。
【练习题--判断对错】
(1)直角都比钝角小，比锐角大
(2)一个角的两条边越长，角越大。
(3)一个角有三个顶点、两条边。
(4)在所有的角中，直角是最大的。
(5)一个直角也有一个顶点两条边。
(6)把一个角放在放大镜下面，这个角变大了。
(7)老师的大三角板上的直角比我的三角板上的直角大.
(8)长方形有4个直角。
(9)三角板上最多可以有3个直角。
(10)三角板上有3个角，其中最大的那个角是钝角。
角的知识点总结
角的知识点总结在我们的数学学习中，角是一个非常重要的概念。
它不仅在几何图形中频繁出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
接下来，让我们一起系统地总结一下关于角的知识点。
一、角的定义角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
二、角的表示方法1、用三个大写字母表示，如∠AOB，其中 O 为顶点，A、B 分别为角的两条边。
需要注意的是，顶点字母必须写在中间。
2、用一个大写字母表示，如∠A，但要注意的是，当顶点处有多个角时，不能用这种方法。
3、用一个数字表示，如∠1。
4、用一个希腊字母表示，如∠α。
三、角的度量1、角的度量单位是度、分、秒。
1 度＝ 60 分，1 分＝ 60 秒，1 周角＝ 360 度，1 平角＝ 180 度。
2、我们通常使用量角器来测量角的度数。
四、角的分类1、锐角：小于 90 度的角。
2、直角：等于 90 度的角。
3、钝角：大于 90 度小于 180 度的角。
4、平角：等于 180 度的角。
5、周角：等于 360 度的角。
五、角的比较1、度量法：用量角器测量出角的度数，然后比较大小。
2、叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较大小。
六、角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
例如，如果 OC 是∠AOB 的平分线，那么∠AOC ＝∠BOC ＝1/2∠AOB 。
七、余角和补角1、余角：如果两个角的和等于 90 度（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。
即∠α ＋∠β ＝ 90°，则∠α 与∠β 互余。
2、补角：如果两个角的和等于 180 度（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。
即∠γ ＋∠θ ＝ 180°，则∠γ 与∠θ 互补。
3、性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。
角的定义与分类
第17讲角知识框架角是初中数学六年级下学期第3章第2节的内容．同学们要理解角、余角和补角的概念，掌握角的表示方法、角的大小的比较的方法，理解两个角的和、差、倍的意义，会用量角器画角，并学会用尺规作角及角的和、差，理解角的平分线的意义，并会用尺规作已知角的平分线，还要掌握角度的单位换算及相关运算．17.1 角的概念与表示1.角的概念角是具有公共端点的两条射线组成的图形．如下左图所示，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．我们还可以这样理解角：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形．如上右图所示，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内．通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示，如下图所示．其中，中图，右图中的阴影部分是角的外部，简称角外．知识精讲2. 角的表示（1）大写英文字母：角一般用三个大写英文字母表示，如下左图所示，记作AOB ∠．其中表示顶点的字母O 必须放在三个字母中间．如果以点O 为顶点的角只有一个，那么这个角可以用表示顶点的字母表示．上左图中，AOB ∠可以记作O ∠．如果以点O 为顶点的角有多个（如上右图所示），那么其中任何一个角都必须用三个大写英文字母表示，而不能记作O ∠．（2）小写希腊字母：有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α，β，γ等；在上右图中，AOC ∠、COD ∠、DOB ∠可以分别记作α∠、β∠、γ∠（或α、β、γ）． （3）数字：有时为了方便，也可以在角的内部标上一个数字，如1，2，3等；如右图所示，AOC ∠、COD ∠、DOB ∠可以分别记作1∠、2∠、3∠． 3. 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例1】如图，分别用三种形式表示图中的角．ABOBA CD OBA C D O1 23北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°例题分析ABCONMO AB 1 2【例2】写出图中射线OA 、OB 表示的方向．（1）OA 表示的方向是____偏_________°； （2）OB 表示的方向是____偏_________°．【例3】如图，点D 在AB 上．（1）图中共有几个角（小于平角的角）？ （2）写出图中能用一个大写字母表示的角．（3）写出图中只能用三个大写字母表示的角（小于平角的角）．【例4】在AOB 的内部引1条射线，一共有几个角？引2条射线呢？引3条射线呢？引4条射线呢？引n 条射线内？O北 AB32° 63°ABCD16.2 角的大小的比较 画相等的角1.角的大小的比较（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小． （2）叠合法：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，两个角的另一条边都落叠合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边” 的位置情况．如图，已知AOB ∠，如果移动EDF ∠，使顶点O 和顶点E 、边ED 与边OA 叠合，边EF 与边OB 在它们的同侧．这时EF 对于AOB ∠而言，有几种可能的位置关系？请完成下列表格：图形 EF 对于AOB ∠的位置符号表示情况一边EF 在AOB ∠的内部 DEF AOB ∠<∠ （或AOB DEF ∠>∠）情况二情况三2.锐角、直角、钝角、平角、周角 0°< 锐角 < 90°， 直角 = 90°， 90°< 钝角 <180°， 平角 = 180°， 周角 = 360°．【例1】根据图形填空：（1）比较角的大小：因为OB 和OB 是公共边，边______在BOD ∠的内部，所以BOC ∠____BOD ∠；A （D ）BO （E ）F知识精讲例题分析因为OA 和OA 是______，边OC 在AOB ∠的内部，所以AOC ∠____AOB ∠． （2）确定角的边的位置：因为OC 和OC 是公共边，BOC AOC ∠<∠，所以边OA 在BOC ∠的______； 因为边OM 与边______叠合，=MON AOC ∠∠，所以边ON 与边__________.【例2】下列说法中正确的是（ ） （A ）锐角都相等； （B ）直角都相等；（C ）钝角都相等；（D ）角的大小与角的边长的长短有关.【例3】判断题：（1）大于90°的角是钝角．（ ） （2）钝角一定大于它的补角．（ ） （3）直线MN 是平角．（ ） （4）角的边越长，角的度数越大．（ ） （5）大于直角的角是钝角．（ ）【例4】如图，已知α∠，用量角器画AOB ∠，使得=AOB α∠∠．【例5】如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使得=COD β∠∠．A BC D ONM如图，已知1∠、2∠，用尺规作图法比较它们的大小．17.3 画角的和、差、倍1.角的和差如图，共有AOB ∠、COB ∠、AOC ∠共3个角，它们有如下等量关系：AOC COB AOB ∠+∠=∠，AOB AOC COB ∠-∠=∠，AOB COB AOC ∠-∠=∠．概括：两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）． 2. 角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．【例1】用一副三角尺可以直接画出30°、45°、60°、90°的角，试利用角的和、差意义，画出15°、75°、105°、135°和150°的角．12知识精讲A BC O例题分析如图，已知1∠、2∠，用量角器画一个角，使它等于1+2∠∠．【例3】如图，根据图形填空：（1）BOC AOD ∠=∠-______-______=______AOB -∠=______DOC -∠； （2）BOD AOD ∠=∠-______=DOC ∠+______．【例4】已知射线OD 平分AOB ∠，40AOD ∠=︒，AOB ∠=______． 【例5】已知35α∠=︒，45β∠=︒，则()12αβ∠+∠=______． 【例6】如图，已知AOB DOC ∠=∠，56AOC ∠=︒，DOB ∠=______．【例7】已知180A B C ∠+∠+∠=︒，::2:3:4A B C ∠∠∠=，求A ∠、B ∠、C ∠的度数． 【例8】两个角的度数之比为3 : 5，且两角之差为40°，求这两个角的度数．1 2A BCDOABC DO尺规作图：如图，已知1∠和2∠，求作12AOB ∠=∠+∠．【例10】尺规作图：如图，已知AOB ∠，求作AOB ∠的平分线OC ．【例11】尺规作图：已知AOB ∠、COD ∠，求作：()12AOB COD ∠-∠．【例12】如图，1215∠=∠=︒，3430∠=∠=︒，求图中所有的角的度数的和．12ABOAB C DOO1 23 417.4 余角、补角1. 余角如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余．其中一个角称为另一个角的余角． 2. 补角如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补．其中一个角称为另一个角的补角． 3. 角的度量度量单位：度（记作：“︒”），分（记作：“'”），秒（记作：“''”）． 角的度量单位度、分、秒的关系：160'︒=，1'60''=． 4. 同角（或等角）的余角相等．同角（或等角）的补角相等．【例1】已知20A ∠=︒，则A ∠的余角=______，补角=______； 已知2634'α∠=︒，则α∠的余角=______，补角=______． 【例2】下列说法正确的是（ ） （A ）180°的角是补角；（B ）110°和90°的角互为补角；（C ）10°、20°、60°的角互为余角；（D ）若90αβ∠=︒-∠，则α∠、β∠互为余角.【例3】如图，90AOC BOD ∠=∠=︒，若3514'AOB ∠=︒，则COD ∠=______．【例4】（1）35°的余角的补角是_____°；（2）若一个角的余角是x °，那么这个角的补角是______°．【例5】 一个角的余角与它的补角互补，则这个角的2倍一定是（ ） （A ）锐角； （B ）钝角； （C ）直角； （D ）平角.知识精讲例题分析ABCDO【例6】单位换算：4415'︒=______°；71.36︒=______°______'______''． 【例7】计算：（1）1244'5324'︒+︒； （2）3325'18''1434'26''︒-︒；（2）3455'41''2︒⨯； （4）1101425'15''2534'45''︒-︒+︒．【例8】一个角的补角比这个角的余角的3倍大14°，求这个角的度数？【例9】已知x 、y 是正整数，1∠的度数等于()35x +︒，2∠的度数等于()32y -︒，且1∠与2∠互为补角，则x 、y 的和是多少？【例10】已知70AOB ∠=︒，BOC ∠与AOB ∠互余．（1）若OP 是AOC ∠的平分线，计算BOP ∠的度数；（2）若BOD ∠与AOB ∠互补，OE 平分COD ∠，画出所有符合条件的图形，并直接写出AOE ∠的度数．AB C DO 17.5 随堂检测1.图中有几个角？怎么表示．2.下列说法一定正确的是（ ）（A ）角是由两条射线组成的图形； （B ）用放大镜看一个角，角的度数变大了； （C ）三条共顶点的射线组成两个角； （D ）平角大于钝角. 3. 如图，在横线上填上适当的角． AOC COD ∠+∠=______； AOC AOB ∠-∠=______；AOB AOD ∠=∠-______-_______．4. （1）13012'∠=︒，24316'∠=︒，则12∠+∠=______；（2）160∠=︒，23316'∠=︒，则12∠-∠=______； （3）11226'∠=︒，则31∠=______；（4）16545'30''∠=︒，则213∠=______．5. 钟面上从3点50分到4点30分，时针转了______°．6. 射线OA 位于南偏东20°方向，射线OB 位于北偏东25°方向，AOB ∠的度数为______．7. 已知α∠的余角为5341'︒，则α∠的补角=______．8. 一个角的补角与它的余角的和是平角的76，求这个角的度数． 9.已知120AOB ∠=︒，自点O 在AOB ∠内部引射线OC ，OD 、OE 分别是AOC ∠、BOC ∠的平分线，求DOE ∠的度数．ABC O10. 如图，已知A 、O 、B 三点共线，120AOC ∠=︒，OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠．（1）图中相等的角有______对，分别是________________________； （2）图中互余的角有______对，分别是________________________； （3）图中互补的角有______对，分别是________________________；11. 如图，已知45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，请问图中不大于90°的角有几个？它们的和是多少？12. 在MON ∠内部引10条射线，则一共多少个角？AB CDEOABC DE O17.6 课后作业1.判断：（1）由两条射线组成的图形叫做角．（ ）（2）所有的角都可以用一个大写英文字母表示．（ ）（3）若12AOC AOB ∠=∠，则OC 平分AOB ∠．（ ）（4）钝角没有余角．（ ）（5）一个角的余角是锐角．（ ） 2. 一副三角尺不能画出的角度是（ ） （A ）15°； （B ）75°； （C ）85°； （D ）105°. 3. 点A 在点B 的北偏东70°方向，则点B 在点A 的______方向． 4. 若2424'A ∠=︒，24.24B ∠=︒，则A ∠______B ∠（填“>”，“=”，“<”）． 5. 已知1∠比2∠大24°，1:23:1∠∠=，12∠+∠=______°． 6. 填空：（1）已知2444'A ∠=︒，则A ∠的余角为______，A ∠的补角为______； （2）一个角的补角比这个角的余角大______； （3）3530'72.4︒+︒=______；（结果用度表示） （4）3612'43''5454'18''︒+︒=______．（结果用度、分、秒表示） 7. 如图，BOC ∠的余角是______；DOE ∠的补角是______．8. 9点15分的时候，分针与时针的夹角为______°． 9.一个角的余角比它的补角的14还少20°，求这个角的度数． 10. 图中一共多少个角？将它们一一表示出来．ABCD EOABC DE F11. 已知27AOB ∠=︒，45AOC BOC ∠=∠，求AOC ∠的度数．12. 如图，已知12∠=∠，34∠=∠．（1）若所有的角的角度和为630°，求AOB ∠的度数； （2）若所有的角的角度和为n °，求AOB ∠的度数；2 ABO1 3 4。
小学二年级数学知识点：角的认识知识点
小学二年级数学知识点：角的认识知识点
小学的学习是一个长期积累的过程，需要在生活中、学习中不断的积累，同学们可以通过角的认识知识点巩固自己所学知识，看自己有哪些知识点还未掌握!
1、角的概念。
由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
角是由一个顶点和两条边组成的。
2、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，(像一条直线)，平角等于180°，等于两个直角。
周角：角的两边重合，(像一条射线)，周角等于360°，等于两个平角，四个直角。
3、角的分类：小于90度的角叫做锐角;等于90度的角叫做直角;大于90度小于180度的角叫做钝角;等于180度的角叫做平角;大于180度小于270度叫做优角(此为补充内容);等于360度的角叫做周角。
4、动手画平角、周角。
练习题
一、填空。
1、一个角是由个顶点和条边组成的。
2、一把三角板有个角，其中直角有个。
3、数一数下面图形分别有几个角。
个角个角个角个角个角
二、判断对错。
1、直角是角中最大的角。
2、直角没有顶点。
3、三角板上的直角和黑板上的直角一样大，所有的直角都一样大。
4、角有3个顶点和3条边。
5、一个角的两条边越长，这个角就越大。
角的初步认识知识点归纳总结
角的初步认识知识点归纳总结角是数学中的一个重要概念，在几何学中有着广泛的应用。
本文将从角的定义、角的度量、角的分类等方面对角进行初步的认识，并进行知识点的归纳总结。
一、角的定义角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形，射线称为角的边，公共端点称为角的顶点。
角可以用字母来表示，例如∠ABC表示以点B为顶点的角。
二、角的度量角的度量可以用角度或弧度来表示。
角度是最常见的度量单位，用°表示，一个圆周的角度为360°。
而弧度是用弧长与半径之比来表示的，用rad表示，一个圆周的弧度为2π rad。
三、角的分类根据角的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种分类。
1. 锐角：角的度数小于90°，是一个尖锐的角。
2. 直角：角的度数等于90°，是一个直立的角。
3. 钝角：角的度数大于90°但小于180°，是一个较为扁平的角。
4. 平角：角的度数等于180°，是一个平直的角。
四、角的性质角有许多重要的性质，其中一些重要的性质如下：1. 直角的两个边互相垂直。
2. 锐角的两个边夹角小于90°。
3. 钝角的两个边夹角大于90°。
4. 平角的两个边互相重合。
五、角的比较可以通过比较角的大小来判断它们的关系，常见的比较方式有以下几种：1. 两个角相等：当两个角的度数相等时，它们可以互相替代，记作∠ABC = ∠DEF。
2. 一个角大于另一个角：当一个角的度数大于另一个角时，记作∠ABC > ∠DEF。
3. 一个角小于另一个角：当一个角的度数小于另一个角时，记作∠ABC < ∠DEF。
六、角的运算角的运算包括加法和减法运算。
对于两个角的加法运算，可以将它们的边相连形成一个新的角，新角的度数等于原来两个角的度数之和。
对于两个角的减法运算，可以将它们的公共边相连形成一个新的角，新角的度数等于原来两个角的度数之差。
七、角的平分线角的平分线是指将角分成两个相等的角的射线。
七年级数学角知识点讲解
七年级数学角知识点讲解在初中数学中，角是一个比较重要的概念，也是很多数学知识点的基础。
本文将为大家详细讲解七年级数学中的角知识点。
1. 角的基础概念角是由两条射线共同固定一个端点而形成的图形。
其中，这个端点称为顶点，两条射线分别为角的两条边。
2. 角的分类按角的大小可以将角分为：（1）锐角：其度数在0度到90度之间。
（2）直角：其度数为90度。
（3）钝角：其度数在90度到180度之间。
（4）平角：其度数为180度。
按角的位置可以将角分为：（1）内角：位于图形内部的角，其两条边位于图形的两边。
（2）外角：位于图形外部的角，其两条边中的一条与图形的一边共线。
3. 角的度数计算角的度数计算有两种方式，一种是通过测量器测量，另一种是通过计算公式计算。
计算公式如下：（1）一周的度数是360度。
（2）一个直角角度是90度。
（3）一个平角角度是180度。
（4）一个钝角度数是180度减去这个角度的补角。
（5）一个锐角度数是90度减去这个角度的余角。
4. 角图形的性质（1）共线定理：如果一条直线上有两个角，那么这两个角的度数之和等于180度。
（2）垂直定理：如果两条直线相交，且形成了四个角，如果其中两个角是相互垂直的，那么这两个角中必有一个是直角。
（3）同旁内角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相等于。
（4）同旁外角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相补角。
通过以上的角知识点讲解，相信大家已经对初中数学中的角有了一定的了解。
在学习角的过程中，要注意理论和实践相结合，多做练习题，加深对角的理解和掌握。
小学四年级数学知识点：角的认识知识点
小学四年级数学知识点：角的认识知识点大伙儿有没有开始学习了呢?假如还没有，不能再偷懒，现在就要抓紧时刻开始了哦!下面为大伙儿分享角的认识知识点，期望对大伙儿有所关心。
【角的认识知识点】1、角的概念。
由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
角是由一个顶点和两条边组成的。
2、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，(像一条直线)，平角等于180°，等于两个直角。
周角：角的两边重合，(像一条射线)，周角等于360°，等于两个平角，四个直角。
3、角的分类：小于90度的角叫做锐角;等于90度的角叫做直角;大于9 0度小于180度的角叫做钝角;等于180度的角叫做平角;大于180度小于27 0度叫做优角(此为补充内容);等于360度的角叫做周角。
4、动手画平角、周角。
【练习题--判定对错】(1)直角都比钝角小，比锐角大(2)一个角的两条边越长，角越大。
(3)一个角有三个顶点、两条边。
(4)在所有的角中，直角是最大的。
(5)一个直角也有一个顶点两条边。
(6)把一个角放在放大镜下面，那个角变大了。
(7)老师的大三角板上的直角比我的三角板上的直角大.(8)长方形有4个直角。
(9)三角板上最多能够有3个直角。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
而对那些专门讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，要紧协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显要，也称得上朝廷要员。
至此，不管是“博士”“讲师”，依旧“教授”“助教”，其今日教师应具有的差不多概念都具有了。
二年级上册角的概念
二年级上册角的概念
在小学二年级上册，关于“角”的概念通常涵盖了几何学的基本内容。
以下是关于“角”的简要解释：
角（Angle）：角是由两条射线（或线段）共享一个起点所形成的图形部分。
这个起点称为角的顶点，两条射线分别成为角的边。
角可以通过它的顶点和两边的方向来命名，通常使用大写字母表示，如∠ABC。
在二年级上册，学生可能会接触到以下基本概念：
1. 直角（Right Angle）：直角是一个角，其两边是垂直相交的，形成一个90度的角。
像字母"L" 的角就是一个直角。
2. 锐角（Acute Angle）：锐角是小于90度的角。
当两边之间的夹角小于直角时，就是一个锐角。
3. 钝角（Obtuse Angle）：钝角是大于90度但小于180度的角。
当两边之间的夹角大于直角但小于180度时，就是一个钝角。
通过在几何形状中观察、绘制和比较角度，学生可以逐渐理解这些角的概念。
在以后的学习中，他们会进一步探索角度的性质和应用。
注意，这些概念通常在小学数学的初级阶段引入，随着学习的深入，学生会接触更复杂的角度相关内容。
角的基本概念和性质
角的基本概念和性质角是几何学中重要的概念之一，它在我们的日常生活和数学中都有广泛的应用。
本文将介绍角的基本概念和性质，帮助读者深入了解角，并为进一步学习打下基础。
一、角的定义及表示方法在几何学中，角是由两条射线共享同一个起点形成的图形，起点称为角的顶点，而两条射线称为角的边。
通常用大写字母表示一个角，如∠ABC，其中A是角的顶点，B和C是角的边。
我们可以通过顶点和边的起点或终点来表示一个角。
二、角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角是指小于90度的角，直角是指等于90度的角，而钝角是指大于90度但小于180度的角。
根据角的位置，角可以分为四类：零角、平角、半角和全角。
零角是指两条边重叠在一起的角，平角是指两条边成一条直线的角，半角是指两条边可构成一条直线的一半角度，而全角是指两条边可构成一条直线的整个角度。
三、角的性质1. 余角性质：角和它的余角的度数之和等于90度，即∠ABC +∠CBD = 90度。
2. 相邻角性质：相邻角是指有公共顶点和公共边的两个角。
相邻角的度数之和等于一直线的角度，即2个相邻角的和为180度。
3. 对顶角性质：对顶角是指两个相交直线产生的互补角。
对顶角的度数相等，即∠ABC = ∠DBE，∠ABD = ∠CBE。
4. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一条截线所形成的对应角。
同位角有相等的度数，即∠ABC = ∠CDE。
5. 逆角性质：逆角是指在同一直线上的两个互补角。
逆角的度数之和等于180度，即∠ABC + ∠CBD = 180度。
四、角的应用角在几何学中有着广泛的应用，尤其在三角学中特别重要。
例如，在测量天体距离时，我们需要利用角度来计算。
此外，在建筑和工程设计中，角也扮演着重要的角色，例如确定建筑物的方向、绘制地图等。
总结：角是几何学中重要的基本概念，通过两条射线的共同起点构成。
根据角的大小和位置，可将角分为锐角、直角、钝角、零角、平角、半角和全角。
角的概念与性质知识点总结
角的概念与性质知识点总结角是几何学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
它不仅有着独特的概念，还有许多有趣的性质值得我们深入研究。
本文将对角的概念与性质进行总结，并给出相关实例加深理解。
一、角的概念在几何学中，角可以定义为由两条射线共同确定的图形部分。
一条射线称为角的边，其起点称为角的顶点，另一条射线称为角的腿。
角主要有以下几个要素：1. 顶点：角的两条边的交点。
2. 边：由顶点延伸出去的射线。
角可以根据其大小进行分类：1. 零角：边与自身重合，角的度数为0度。
2. 直角：两条互相垂直的射线构成，角的度数为90度。
3. 钝角：度数大于90度但小于180度的角。
4. 锐角：度数小于90度的角。
5. 平角：两条互相平行的射线构成，角的度数为180度。
二、角的性质1. 余角：两个角的度数之和等于180度，其中一个角称为另一个角的余角。
2. 同位角：在两条平行线被一条横切线所切割时，对应位置上的内角以及外角相等。
3. 锐角的余角是钝角，直角的余角是直角，钝角的余角是锐角。
4. 对顶角：指的是由两条交叉的直线所形成的两对相互对立的角，其角度是相等的。
5. 互补角：两个角的度数之和为90度，其中一个角称为另一个角的互补角。
6. 相邻角：指的是共享一个边并且顶点位于同一条直线上的两个角，其度数之和为180度。
三、实例分析为了更好理解角的概念与性质，我们通过两个实例来进行分析。
实例一：在一个直角三角形ABC中，∠ABC是一个直角。
求其余角和对顶角的度数。
解析：根据直角三角形的定义，∠ABC是直角，其度数为90度。
根据余角的概念，余角为90度减去直角的度数，即余角的度数为90度。
由于∠ABC的余角是钝角，所以其余角也是钝角。
对于对顶角，根据对顶角的性质可知，∠ABD和∠BAC的度数和为180度。
由于∠BAC是直角，其度数为90度，所以∠ABD的度数为90度。
实例二：平行线l和m被一条横切线n切割，若∠1的度数为60度，则∠2的度数为多少？解析：根据同位角的性质可知，同位角的度数相等。
角的认识与分类
角的认识与分类在我们的日常生活中，角是不可或缺的几何概念之一。
从几何学的角度来看，角是由两条线段构成，相交点称为顶点。
了解角的基本定义对于我们理解几何问题十分重要。
本文将介绍角的认识与分类，以帮助读者更好地了解角的概念。
一、角的认识1. 基本定义角是由两条线段构成，它们有一个公共的端点，我们称之为顶点。
两条线段分别称作角的两个边。
从某个角的顶点开始，顺时针或逆时针旋转一定角度所形成的图形也是一种角。
角用希腊字母表示，常用的有α、β、γ、θ等。
2. 角的度量为了度量角的大小，在18世纪，数学家将角抽象出来，引入了角度的概念。
角度的度量以圆为标准，将一个圆周平均分成360个部分，每一部分称为一度（°）。
通常用“度”来表示角的大小，例如60°，120°等。
在平面几何中，一个角的大小范围是0到360度之间。
3. 角的性质- 一个角的度数不能为负数或大于360度；- 角的度数不随其所在图形的大小和位置而改变；- 零角是由一条线段本身所组成的，即角的两条边在同一直线上；- 平角是指由两条互相垂直的线段所构成的角，它的度数是180°；- 对于一个角的两条边，边的长度不会影响角的大小。
二、角的分类1. 锐角一个角的度数小于90度时，它被称为“锐角”。
锐角是尖锐的，其顶点的两侧相对边缘越来越接近，但不重合。
锐角反映了两个线段之间的相对位置，例如一个45度锐角是一半的90度直角。
2. 直角当一个角的度数等于90度时，它被称为“直角”。
直角是非常重要的概念，在几何中经常会出现。
例如，矩形就是由四个直角组成的图形。
3. 钝角当一个角的度数大于90度小于180度时，它被称为“钝角”。
钝角比锐角要“慢”，其两侧相对边缘相互分开，而不是相互靠近。
钝角强调线段之间跨度的宽度，例如一个135度的钝角是一半的270度的横跨的角。
4. 全角一个完整的角，其度数为360度，被称为“全角”。
全角就像一个能围绕一圈的“弧”，它是把一个圆沿圆周分成等长度的部分形成。
角的概念和角度的度量
角的概念和角度的度量一、角的概念1.定义：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角。
2.元素：顶点、边、邻补角、对顶角、内角、外角等。
3.分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
a.角的大小与边的长短无关，只与开口的大小有关。
b.角的度量单位是度，用符号“°”表示。
c.角的度量工具是量角器。
二、角度的度量1.度、分、秒：1度等于60分，1分等于60秒。
2.度量方法：a.用量角器量取角的度数，使量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度即为角的度数。
b.读数时，先读度数，再读分，最后读秒。
3.特殊角的度量：a.30°角：量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度为30°。
b.45°角：量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度为45°。
c.60°角：量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度为60°。
4.角度的补角和余角：a.补角：两个角的和为90°，则这两个角互为补角。
b.余角：两个角的和为180°，则这两个角互为余角。
三、角的计算1.角的和与差：a.角的和：将两个角的度数相加即可得到它们的和。
b.角的差：用减法计算两个角的度数差。
2.角的倍数与分角：a.角的倍数：将角的度数乘以整数倍，得到的角度即为该角的倍数。
b.角的分角：将角的度数除以整数，得到的角度即为该角的分角。
四、实际应用1.计算日常生活中的角度：如门的开启角度、眼镜的度数等。
2.几何图形的制作：如制作直角三角形、等腰三角形等。
3.测量物体的大小：如测量物体的高度、宽度等。
以上就是关于角的概念和角度的度量的知识点总结，希望对你有所帮助。
在学习过程中，要注意理论联系实际，加强练习，提高自己的解题能力。
习题及方法：定义角的概念，并画出一个直角。
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2°角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360°X 2=720° 3周（360°X 3=108。
3°还有
零角一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角）
下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角（各举两例）例如：30°、390°、-330°是第一象限角，- 1 95 °、1 20°是第二象限角,585°、1 1 80 °是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。
90°、0°、-180°都是界限角。
3．终边相同的角
⑴ 观察：390 ，-330 角，它们的终边都与30 °角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：
390°=30°+ 360 °
-330 °=30°-360 °
30°=30°+0X 360 °
对于任意一个角，若其终边与a相同，那么它们之间都相差360°的整数倍。
⑶结论：所有与角a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：
（即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。
）⑷注意以下三点：
（1） a 是任意角；
（2）与a 之间是“ +号”，
如-30 °，应看成+（-30 ）°；
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
三、讲解范例：
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角（1）（2）（3）（4）
解：（1）与终边相同的角的集合是
因为是第一象限角，所以集合中的角都是第一象限的角。
（2）与终边相同的角的集合是
因为是第二象限角，所以集合中的角都是第二象限的角。
（3）与终边相同的角的集合是
因为是第三象限角，所以集合中的角都是第三象限的角。
（4）与终边相同的角的集合是
因为是第四象限角，所以集合中的角都是第四象限的角。
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？
（答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角）
2.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列
各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）420，⑵-75，°（3）855，（4）-510 . °
（答：⑴第一象限角，（2）第四象限角，（3）第二象限角，（4）第三象限角）作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上（图略）
五、小结：
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边相同的角的表示法.严格区分终边相同”和角相等” 界限角”象限角” 小于90°勺角”第一象限角”和锐角”的不同意义.
六、课后作业：
1.下列命题中正确的是（）
A. 第一象限的角一定不是负角
B. 第二象限角一定是钝角
C第四象限角一定是负角
D.若A a+ k 360 °（k € Z），贝y a与B终边相同
2•下列角中，与终边相同的角是（）
A. B. C. D.
3•如果，那么角是（）
A.第一象限角
B.第二象限角C第三象限角D.第四象限角
4•若角a与B终边相同，则一定有（）
A. + B= 180 °B+a[3= 0 °
C. a- [3=k 360 ° k€ Z
D.好[3=k 360 ° k € Z
5.钟表经过4 小时，时针与分针各转了(填度).
6.在直角坐标系中，作出下列各角,并判断各为第几象限角(或界限角).(1)360(2°)720(°3)1080(°4)1440°
参考答案：1.D 2.B 3.C 4.C 5.- 120°- 1440°6.(略)。