sinC积分的解法及其应用

本科毕业论文（设计）题目：Sinc积分的解法及其应用

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专业：数学与应用数学

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Sinc积分的解法及其应用

摘要：Sinc积分即

0sin x

dx x

+∞

⎰，是积分学中一个著名的积分，许多积分的计算最后都转化为此积分。在实际生活中也会遇到此积分。由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式计算此积分的结果。本文中，我们将用不同

种方法来计算此积分，从而得到

0sin

2

x

dx

x

π

+∞

=

⎰，进而讨论此积分的应用。关键词：参变量；拉普拉斯变换；留数定理；Fourier变换

The Solution and Application of the Sinc integral

which many integrals can be converted. This integral also appears in real life. Since the antiderivative of the integrand can not be expressed with elementary functions , the value of this integral can not be calculated using Newton - Leibniz formula. In this paper, we shall

we discuss the application of this integral.

Key words:parameter; Laplace transform; residue theorem; Fourier transformation

目录

前言 (1)

一、用多种方法计算sinc积分 (2)

（一）利用二重积分计算 (2)

（二）利用含参变量反常积分的方法计算 (3)

1、由比较判别法的推论 (3)

2、由狄利克雷判别法 (5)

3．利用阿贝尔判别法 (6)

（三）利用无穷级数的方法计算 (7)

（四）利用复变函数理论中留数定理计算 (8)

（五）利用拉普拉斯变换计算 (10)

1．利用拉普拉斯变换计算方法一 (10)

2.利用拉普拉斯变换方法二 (11)

二、应用 (12)

参考文献 (15)

前言

sinc 积分即为0

sin x

dx x

+∞

⎰，是积分学中一个著名的积分，它在自然科学中有着广泛的应用。由于sin x x 在0x =点处无定义，但是因为sin lim 1x x

x

→∞=，所以在0x =点处可

将()sin x f x x =

作连续开拓，也就是当0x =时，令sin 1x x =，则()sin x

f x x

=在)0,+∞⎡⎣连续，又因为函数()sin f x x =在)1,+∞⎡⎣连续，对于1p ∀>，有

1

sin 2p

xdx ≤⎰

，因此

1

sin x dx x +∞

⎰

收敛，从而0sin x dx x +∞⎰收敛。但是对于1x ∀≥有21cos 2sin sin 2

x

x x -≥=

，即sin 1cos 21cos 2222x x x

x x x x -≥=-，所以111sin cos 222x dx x dx dx x x x

+∞+∞+∞≥-⎰⎰⎰，由上述证明即可知1

cos 22x

dx x

+∞

⎰

收敛，但是12dx x +∞⎰发散。所以1sin x dx x +∞⎰发散，因此0sin x dx x +∞⎰也发散，于是可以得知0

sin x

dx x

+∞

⎰

为条件收敛。 由于此积分被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式计算此积分的结果，本文即用不同种方法来计算此积分，从而得到0

sin 2

x dx x π

+∞

=⎰。除此之外，本文还将用此积分来证明傅里叶变换定理。

一、用多种方法计算sinc 积分：

（一） 利用二重积分计算

定理一：设(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈，积分

(),d

c

f x y dy ⎰

存在，则累次积分(),b d

a

c

dx f x y dy ⎰⎰也存在，且

()()(),,,b d d b

a

c

c

a

D

f x y d dx f x y dy dy f x y dx σ==⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

定理二：设(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],y c d ∈，积分

(),b

a

f x y dx ⎰

存在，则累次积分(),d b

c

a

dy f x y dx ⎰⎰也存在，且

()(),,d

b

c

a

D

f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰

⎰

特别地当(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上连续时，则有

()()(),,,b

d d b

a

c

c

a

D

f x y d dx f x y dy dy f x y dx σ==⎰⎰⎰

⎰⎰⎰。

由以上定理知，二重积分0

sin xy I e xdxdy ∞

∞

-=⎰

⎰

可以用两种方法计算，即先对x 求积分

和先对y 求积分，从而得出两种结果，再联立这两种方法便可以得到此积分的计算结果。 因此，先对y 求积分可以得到： 0

sin sin sin xy xy y e x I xdx e dy x dx dx x x ∞

-∞

∞

∞

+∞-=⎡⎤

==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰

⎰ 再求先对x 积分得到的结果： 0

sin xy I dy e xdx ∞

∞

-=⎰⎰

00

1sin xy e dy x d y -∞∞⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

⎰⎰

(

)

1sin cos xy xy x e e xdxdy dy y ∞

∞

-∞-⎡⎤

=-⋅-⎢⎥⎣

⎦

⎰

⎰