2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案

2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集为R，集合A={x|<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B的值为（）A。

{x|<x≤1}B。

{x|<x<1}C。

{x|1≤x<2}D。

{x|<x<2}答案】B解析】由题意可得R∩B={x|x<1}，结合交集的定义可得A∩B={0<x<1}，故本题选择B选项。

2.已知幂函数f(x)过点(2,1/4)，则f(x)在其定义域内（）A。

为偶函数B。

为奇函数C。

有最大值D。

有最小值答案】A解析】设幂函数为f(x)=xa，代入点(2,1/4)，即2a=1/4，∴a=-2，f(x)=x-2，定义域为(-∞,0)(0,+∞)，为偶函数且f(x)=x-2∈(0,+∞)，故选A。

3.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上为增函数，则实数m的值为（）A。

B。

C。

1或2D。

2答案】D解析】因为函数f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1，解得m=1或m=2，因为函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以2m-1>0，即m>1/2，m=2，故选D。

4.函数的定义域为（）A。

B。

(-2,1)C。

D。

(1,2)答案】D解析】因为x2-1>0，所以x+2>x2-1+2>1，即x+2>1，x>1-2=-1，所以x2-x+2>0，即x2>x-2x，所以x>-x2+2x=2-x(x-2)，所以函数的定义域为(1,2)。

5.若函数f(x)=（a-1）x-2a（x<2），loga x（x≥2）在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A。

(0,1)B。

(0,2]C。

[2/3,1)D。

(1,+∞)答案】C解析】若函数f(x)=a-1)x-2a（x<2）loga x（x≥2）在R上单调递减，则a-1<0a-1/xlna<0x≥2时，1/xlna<0所以a0，所以0<a<1，即选C。

6.下面各组函数中是同一函数的是（）A。

y=-2x3与y=-x-2xB。

y=x2与y=|x|C。

f(x)=x与g(x)=x2/xD。

f(x)=2x2-1与g(x)=x+1×x-1答案】A23D．2答案】B解析】若a1，则f(a)不存在；若1a0，则f(a)2a3，若0a，则f(a)1log2a。

___(a)4，∴2a34或1log2a4。

解得a1或a18___18故选B．2时，y取到任意小于等于2的值，所以f(x)的值域为(,2]．14．已知函数f(x)log12x1)log1x1)，则f(10)等于_______．答案】log121)解析】将f(x)展开，得到f(x)log12x23x1)，所以f(10)log121)．15．已知函数f(x)x33x23x1，则f(x1)的最高次项系数为_______．答案】1解析】将x1代入f(x)中，得到f(x1)(x1)33(x1)23(x1)1。

展开后得到f(x1)x33x2x2，所以f(x1)的最高次项系数为1．16．已知函数f(x)x sinx，则f(x)在[0,]上的最小值为_______．答案】1解析】因为1sinx1，所以x sinx x1，所以f(x)的最小值为f()1．三、解答题：共2小题，共计30分．17．（15分）已知函数f(x)x3ax2bx c，满足f(1)f(0)f(1)0，且在区间[1,1]内的最大值为2，最小值为 2.1）求实数a，b，c的值；2）求函数f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值.解析】1）因为f(1)f(0)f(1)0，所以f(x)有三个零点，设它们为x1，x2，x3，则f(x)(x x1)(x x2)(x x3)。

所以f(x)的最大值为f(0)x1x2x3，最小值为f(1)x1x2(x1x2)．又因为在区间[1,1]内的最大值为2，最小值为2，所以x1，x2，x3的取值范围为[1,0]和[0,1]。

所以x1x2x3a，x1x2x1x3x2x3b，x1x2x3c，解得a0，b2，c0．2）因为f(x)x32x，所以f(x)在[2,2]上的最大值为f(2)6，最小值为f(2)10．18．（15分）已知函数f(x)x2ax b，且f(1)1，f(0)1，f(1) 3.1）求实数a，b的值；2）若函数g(x)f(x)2x3，则g(x)在[1,1]上的最大值为5，求函数g(x)的解析式.解析】1）因为f(1)1，f(0)1，f(1)3，所以a1，b1．2）因为g(x)f(x)2x3，所以g(1)f(1)1，g(0)f(0)3，g(1)f(1)5。

所以g(1)2，g(0)2，g(1)8，又因为g(x)在[1,1]上的最大值为5，所以g(x)的最大值出现在x0处。

所以g(x)x2ax b2x3，代入a1，b1，得到g(x)x2x6．2) 求f(x)的单调增区间；3) 若存在x0使得f(x0)=0，求x0的值。

答案】（1）$g(x)=2^{\frac{x-3}{2}}$，$f(x)=\frac{n-2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}}{m}$；2）$(-\infty,3)$；3）$x_0=3+\log_2\frac{m}{n}$。

解析】1) 由已知得$g(3)=8$，设$g(x)=2^k$，则$2^k=8$，解得$k=3$，所以$g(x)=2^{\frac{x-3}{2}}$。

又因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)$，即$n-2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}=2\cdot2^{\frac{3-x}{2}}-m-2\cdot 2^{-\frac{x-3}{2}}$，整理得$f(x)=\frac{n-2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}}{m+2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}}$。

2) $f'(x)=\frac{-2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}\cdot(m+2\cdot2^{\frac{x-3}{2}})-(-2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}})\cdot(n-2\cdot2^{\frac{x-3}{2}})}{(m+2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}})^2}$，化简得$f'(x)=\frac{4\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}(2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}-n)}{(m+2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}})^2}$。

因为$g(x)$是指数函数，所以$g(x)$在定义域内单调增，所以$2^{\frac{x-3}{2}}$在$(-\infty,3)$单调增。

当$2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}-n>0$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(-\infty,3)$单调增；当$2\cdot2^{\frac{x-3}{2}}-n0$时，即$x>3+\log_2\frac{4}{3}$，$f(x)$单调增。

综上可知，$f(x)$在$(-\infty,3)$单调增。

3) 由$f(x)$的解析式得$f(x)=\frac{n-2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}}{m+2\cdot 2^{\frac{x-3}{2}}}=0$，整理得$2^{\frac{x-3}{2}}=\frac{n}{2}$，代入$g(x)$的解析式中得$2^k=\frac{n}{2}$，解得$k=1$，所以$g(x)=2^{\frac{x-3}{2}}=\sqrt{2n}$。

代入$f(x)$的解析式中得$f(x)=\frac{n-2\sqrt{2n}}{m+2\sqrt{2n}}=0$，整理得$m=4n$。

代入$g(x)$的解析式中得$2^k=\sqrt{2n}$，解得$k=\frac{1}{2}\log_2 2n$，所以$g(3+\log_2\frac{m}{n})=2^{\frac{1}{2}\log_22n+\log_2\frac{m}{n}}=\sqrt{2n}\cdot\frac{m}{n}=\sqrt{8n}=2^ {\frac{5}{2}}$。

因为$f(x)$在$(-\infty,3)$单调增，所以当$f(x_0)=0$时，$x_0=3+\log_2\frac{m}{n}$。

代入得$x_0=3+\log_2\frac{4n}{n}=3+\log_2 4=5$。

1）设$g(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$），由$g(3)=8$得$a^3=8$，解得$a=2$，所以$g(x)=2^x$，$f(x)=\frac{n-2x}{x+1+m}$。

由$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，得$f(0)=0$，即$\frac{n}{m+2}=0$，解得$n=0$。

所以$f(x)=\frac{-2x}{x+1+m}$。

又因为$f(x)+f(-x)=0$，所以$f(x)$是在$\mathbb{R}$上递减的奇函数，即$f(x)y$。

2）由$f(x)$是递减的奇函数，得$f(2t-3)>f(k-t)$，即$\frac{-4t+6}{t-k+3}>\frac{-2k+2t}{t-k+3}$，化简得$2t-30$成立，所以$f(2t-3)>-f(t-k)$，即$\frac{-4t+6}{t-k+3}>-\frac{n-2t}{t-k+3}$，化简得$2t-33t-3$。

综上所述，$k>3t-3$。

因为$t\in[1,4]$，所以$k>9$。