对称矩阵与二次型

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第五章对称矩阵与二次型-

解：f
的矩阵为
A
1 2
2 2
0 2
0 2 3
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1 2 0 AE2 2 2 (1 )(2)(5), 1 ,2,5
0 2 3
1 1时， 2
A1E2
0
2 3 2
0 1 2~0 4 0
0 1 0
022，
x1 x2
2x3 2x3
令 x3
1
，则
x1 x2
2 2
，
1
2
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
返回
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当 3 7时，解方程组A7Ex0，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
2
8 2 2 2 4 2 5 4 0 9
4 5 x3 0
5 2 9 0
4 1
5 2 1 0
0 1
1 1 1 0
例如，二次型 f x 1 2 x 2 2 x 4 2 2 x 2 x 3 x 2 x 4 的
1 0 0 0
矩阵
A
0
0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
。
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定义2：f k 1y 1 2 k2y2 2 knyn 2称为二次型的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负)
系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。
f x1,x2,x3 =x122x1x2 2x1x34x224x328x2x3
=x122x1 x2 x3 4x224x328x2x3

第五章三节二次型和对称矩阵的有定性

2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。解
轾 -2 1 犏二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型正定二次型，矩阵A称为正定矩阵正定矩阵。正定二次型正定矩阵
T
推论2 推论实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有定理特征值都是正数。例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。证法1 证法由 AT = A，有

线性代数43二次型与对称矩阵的有定性

1 0, 1 0,..., 1 0 A－1的特征值都大于0，故A－1正定
1 2
n
A 0 0是A的特征值 A 0 0不是A的特征值
证法2 ∵A正定 A : E 即存在可逆矩阵C，使得
A CT E C CTC
A1 (C T C )1 C 1(C T )1 C 1(C 1 )T DT D DT E D
a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n
A
a31
a32
a33
...
a3n
an1 an2 an3 ... ann
定义4.5
A1 a11
A2
a11 a21
a12 a22
a11 A3 a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 ... An A a33
ann 0
a1n a2n ann
0
1
M
0
0
负定的判别：
矩阵A负定
矩阵 (A正) 定.
x1
证： A负定
n
1
∴A ～
2
n
A正定
1
2
正定
n
1 0,2 0,...,n 0
A的所有特征值
准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵E合同.
证充分性:若 A : E 则由于 E 正定, 故A正定.
必要性: 设A正定, 则A的特征值都大于0 1
∵A是实对称矩阵 ∴存在正交矩阵Q,使得 2
cnn
yn
要证 yT B y 0
yT By yT ( C T AC ) y ( (yCTCy)TT ) A (C y) xT Ax 0

二次型矩阵定义

二次型矩阵定义二次型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多应用领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍二次型矩阵的定义、性质和相关应用。

我们来定义什么是二次型矩阵。

二次型矩阵是一个实对称矩阵，它的每一个元素都是二次型函数的系数。

二次型函数是一个关于n个变量的二次多项式，可以表示为：Q(x) = x^T * A * x其中x是一个n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵，x^T表示x的转置。

这个函数表示了一个点x在矩阵A的作用下的变化情况。

二次型矩阵有许多重要的性质。

首先，它是实对称矩阵，即A的转置等于自身。

其次，它的特征值都是实数。

这个性质在许多应用中都非常有用，比如在物理学中表示能量的二次型函数必须是实数。

二次型矩阵还有一个重要的性质是正定性。

一个二次型矩阵A是正定的，当且仅当对于任意非零列向量x，都有x^T * A * x > 0。

这个性质在优化问题中非常有用，因为正定矩阵可以保证目标函数的凸性和最优解的存在性。

二次型矩阵的应用非常广泛。

在机器学习中，二次型矩阵可以用来表示特征之间的相关性，从而帮助我们理解数据的结构和特征的重要性。

在最小二乘法中，二次型矩阵可以用来求解最优拟合线的参数。

在信号处理中，二次型矩阵可以用来表示信号的功率谱密度。

在经济学中，二次型矩阵可以用来表示效用函数和生产函数的特性。

除了上述应用外，二次型矩阵还有许多其他的应用。

在数学中，二次型矩阵可以用来求解线性方程组的特解。

在物理学中，二次型矩阵可以用来表示质心和转动惯量。

在工程中，二次型矩阵可以用来表示结构的刚度和振动特性。

总结起来，二次型矩阵是一个重要的数学概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

通过对二次型矩阵的研究，我们可以更好地理解和解决实际问题。

无论是在理论研究还是实际应用中，二次型矩阵都发挥着重要的作用。

希望本文对读者理解二次型矩阵有所帮助。

3.2 实对称矩阵与实二次型

3.2 实对称矩阵与实二次型
一、实对称矩阵的特征值与特征向量
定理3.6: 实对称矩阵的特征值一定是实数。实对称矩阵的特征值一定是实数。定理
为其任一特征值， λ 证明：实对称，证明：设A实对称， = a + bi为其任一特征值，对应的特征向量为 α + iβ ,
于是有 A(α + iβ ) = ( a + bi )(α + iβ ) 展开，展开， Aα = aα − bβ , Aβ = bα + a β
2 + a n1 x1 x n + a n 2 x 2 x n + a n 3 x 3 x n + L + a nn x n
+ LL
= x1 ( a11 x + a12 x 2 + a13 x 3 + L + a1 n x n )
+ x 2 ( a 21 x1 + a 22 x + a 23 x 3 + L + a 2 n x n )
= ( x1 ,
x2 , L,
a11 a 12 = ( x1 x2 L xn ) a1n
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 为实数） M （其中 a ij 为实数） L L a2 n L ann xn
个标准正交的特征向量。注:求正交矩阵 Q 的关键是求矩阵的n个标准正交的特征向量。求正交矩阵的关键是求矩阵A的个标准正交的特征向量
具体步骤) 实对称矩阵对角化的实现: 具体步骤实对称矩阵对角化的实现: (具体步骤 1）求出 A 的全部特征值）的全部特征值; 2）对于每一个λi ，求出其对应的线性无关的特征向量）求出其对应的线性无关的特征向量, 从而得出矩阵 A 的 n 个线性无关的特征向量η 1 , η 2 ,..., η n . 均为单根时， 3) 当 λ i 均为单根时，将

3.2 实对称矩阵与实二次型

T A a T b T , T A b T a T
两式相减，并注意到 T A T A为一个数量，有 b( T T 为实数。
定理3.7 : 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 9 ) , 对应的特征向量依次为 1 2 3
又 (1,1,3)T ,
(1)将用1 , 2 , 3线性表示; （2）求An
( n N ).
ex4 : 设三阶矩阵 A的特征值为 1， 2,3, 求下列矩阵B的特征值：
( 1 )B A2 2 A I ,
1 2 ( 2) B A , 3
1
( 3) B A*
例5：已知1, 1 , -1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，
1 (1,1,1)T , 2 (2, 2,1)T 是A的对应于1 2 1 的特征向量，
1 , 2的特征向量, 证明: 设A实对称矩阵, 1 , 2为属于不同特征值
于是 A1 11 , A 2 2 2 ,
2 A 1 1 2 1 ,
T T
1 A 2 2 1 2 ,
T T
T T T T T T T 2 A 1 ( 2 A 1 )T 1 A 2 1 A 2 , 1 2 2 1 ,
2
n
例1设
0 1 2 A 2 2 2 0 2 3
100 1 (2) A Q AQ 为对角阵 . (1）求正交矩阵 Q 使得
解：
1 2 ( 1 ) I A 2 2
0 2

二次型矩阵形式

二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。

在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。

首先，我们来定义二次型。

给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。

上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。

一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。

接下来，我们来探讨二次型的性质。

首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。

这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。

实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。

另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。

如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。

正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。

特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。

给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。

特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。

矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。

对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。

实对称矩阵与二次型

实对称矩阵与二次型课后习题详解习题8.11 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为:(1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭(3) 114141411⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (4) 222254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭(5) 324262423-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(6) 744490405-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(7) 0041001441001400⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ (8) 1333313333133331---⎛⎫⎪--- ⎪⎪--- ⎪---⎝⎭解: (1) 221||43(1)(3)12E A λλλλλλλ---==-+=----所以 121,3λλ==11λ=代入 ()0E A X λ-= ,12120|0x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)Tα=-,标准正交化为:11,1)T η=- 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,121200x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 2(1,1)Tα=,标准正交化为:2T η=取Q ⎛= ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 2724||625(25)(25)247E A λλλλλλ---==-=+--+所以 1225,25λλ==-125λ=代入 ()0E A X λ-= ,12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 14(,1)3Tα=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355T Tη==225λ=-代入 ()0E A X λ-= ,12123224024180x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 23(,1)4Tα=-,标准正交化为:24334(,1)(,)5455T Tη=-=-取43553455Q ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,250025TQ AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (3) 11401(1)(4)41||141141411141614E A λλλλλλλλλλ----+----+-=---=--------+-+2325336954(6)(3)(3)4153λλλλλλλλλλλ-+--==--+=--+-++所以 1236,3,3λλλ===-16λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312312354020450x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 1(1,1,1)T α=,标准正交化为:1Tη= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,1231231232400420x x x x x x x x x --=⎧⎪---=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 2(1,2,1)T α=-,标准正交化为:2Tη= 33λ=-代入 ()0E A X λ-= ,12312312344070440x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得基础解系, 3(1,0,1)T α=-,标准正交化为:2(Tη=取0Q ⎫⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭,633TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(4) 222222||254011245245E A λλλλλλλλ-----=--=---- 22242401(1)(1)(1110)29249λλλλλλλλλ---=-=-=--+--(1)(1)(10)λλλ=---所以 1231,10λλλ===121λλ==代入 ()0E A X λ-= ,123123123122024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得基础解系, 12(2,1,0),(2,0,1)T T αα=-=, 正交为:****21121**112522(,)44(2,1,0),(2,0,1)01(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 标准化12254(,351513Tηη⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭310λ=代入 ()0E A X λ-= ,123123123822025402450x x x x x x x x x -+=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=--,标准正交化为:3122(,,)333T η=--取115321532033Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭,1110T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(5)(3)(6)024(3)3242||26226242302147E A λλλλλλλλλλ----+----=--=-------2(3)(6)024(3)2262[57](7)2147λλλλλλλλλ----+---=-+---(7)(7)(2)λλλ=--+所以 1237,2λλλ===-127λλ==代入 ()0E A X λ-= ,12312312342402204240x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 12(1,2,0),(1,0,1)T T αα=-=, 正交为:****21121**114511(,)12(1,2,0),(1,0,1)02(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 标准化1241552,351513Tηη⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32λ=-代入 ()0E A X λ-= ,123123123524028204250x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--=⎨⎪---=⎩得基础解系, 2(2,1,2)T α=--,标准正交化为:3212(,,)333Tη=--取215311532033Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,772TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(6) 744744||49049040514(5)(7)504E A λλλλλλλλλ-----=--=-------3224942111191(1)(7)(13)14(1235)54λλλλλλλλλλ--==-+-=-----+-所以 1231,7,13λλλ===11λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312136440480440x x x x x x x --+=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩得基础解系, 1(2,1,2)T α=-,标准正交化为:1212(,,)333T η=-27λ=代入 ()0E A X λ-= ,123123123044042004020x x x x x x x x x -+=⎧⎪---=⎨⎪-+=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=-,标准正交化为:2122(,,)333Tη=- 313λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312136440440480x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩得基础解系, 3(2,2,1)T α=--,标准正交化为:2221(,,)333T η=--取212333122333221333Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1713T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (7)041014||410140EBE A BE λλλλλλλ-----==----121E B EO OB BE B E B B E λλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以12342121(1)EBO BB B B BEB B Eλλλλλ+++--==---2242224411515153422544441515λλλλλλ---=⋅=-+-- 22(25)(9)λλ=--所以 12335,3,5,3λλλλ===-=-.15λ=代入 ()0E A X λ-= ,134134123124540540450450x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩得基础解系, 1(1,1,1,1)T α=,标准正交化为:11111(,,,)2222Tη= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,134134123124340340430430x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩得基础解系, 2(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:21111(,,,)2222T η=--35λ=-代入 ()0E A X λ-= ,134134123124540540450450x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩得基础解系, 3(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:31111(,,,)2222T η=--13λ=-代入 ()0E A X λ-= ,134134123124340340430430x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩得基础解系, 1(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:11111(,,,)2222T η=--取11112222111122221111222211112222Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,5353TQ AQ ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. (8) 13333133||33133331E A λλλλλ+-+--=-+-+1333133331330443313004433313331λλλλλλλλλλ+-+-+-+--=-+++-+-+1336136044(4)0440043323332λλλλλλλλλλ+-++--==++--+---- 22139(4)04(4)[432]335λλλλλλλ+=++=+----3(4)[8]λλ=+-所以 12344,8λλλλ===-=.4λ=-代入 ()0E A X λ-= ,123412341234123433330333303333033330x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩得基础解系, 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)T T T ααα==-=,标准正交化为:12,(,T Tηη==-3T η=8λ=代入 ()0E A X λ-= ,123412341234123493330393303393033390x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨-+++=⎪⎪-++=⎩得基础解系, 2(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:21111(,,,)2222Tη=--, 取121002 10212Q ⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎭4448T Q AQ -⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭. 2.设,A B 是n 阶实对称矩阵,且.E A E B λλ-=- (1) 证明:存在正交矩阵Q ,使得T B Q AQ =.(2) 设 2332A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 13B ⎛=⎪⎭, 求正交矩阵Q ,使得T B Q AQ =. (1) 证明: 因为,A B 是n 阶实对称矩阵,且特征多项式相同,所以,有完全相同的特征值, 且存在正交矩阵12,Q Q ,使得: 1122,T TQ AQ Q BQ =Λ=Λ 所以1122T T Q AQ Q BQ =.从而有111121121212()()T T T B Q Q AQ Q Q Q AQ Q ----== 取112Q Q Q -=⋅是满足条件的正交矩阵.(2) 解: ,A B 有相同的特征值，特制值为：5，-1 对于2332A ⎛⎫=⎪⎝⎭， 5λ=代入()0E A X λ-=得： 1212330330x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系：1(1,1)α=,标准正交化为:1Tη=, 1λ=-代入()0E A X λ-=得：1212330330x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系：1(1,1)α=-,标准正交化为:2Tη=取1Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭有1151T Q AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭对于13B ⎛=⎪⎭， 5λ=代入()0E A X λ-=得：12124040x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得基础解系：1,1)2T α=,标准正交化为:1(,333T Tη==, 1λ=-代入()0E A X λ-=得：12122020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得基础解系：1()α=,标准正交化为:2T η=取1333333Q⎛⎫⎛⎫-⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有1151TQ AQ⎛⎫= ⎪-⎝⎭由（1）11212111133TQ Q Q Q Q-⎛⎫⎪⎛⎪⎪=⋅===⎪⎪⎭-⎪⎝⎭.3. 设三阶实对称矩阵A的特征值为12311,1,(0,1,1)λλλε=-===是属于1λ的一个特征向量, 求(1) 对应于1的特征向量; (2) 矩阵A解：（1）对应于1的特征向量刚好是和1(0,1,1)ε=正交的向量的全体也就是方程组23x x+=的解得全体，该方程组的基础解系为：23(1,0,0),(0,1,1)T Tεε==-，所以对应于1的全部特征向量为：(1,0,0)(0,1,1),,T Tk l k l+-不全为零.（2）1(0,1,1)ε=标准正交化为1η=12(1,0,0),(0,1,1)T Tαα==-标准正交化为23(1,0,0),(0,T Tηη==取010Q⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭有111TQ AQ-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭1111()1111T TA Q Q Q Q----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0101100011000011010⎛⎫⎛⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎪⎭4.设A是三阶实对称对合矩阵,若()2r A E+=.求A的相似对角形,并求2A E+. 解: 因为三阶实对称对合矩阵A满足:2TA E A A==且,所以T A A E=,即A也是正交矩阵.()2r A E+=说明||0A E+=说明1-是A的一个特征值,而且特征子空间的维数是1维的. 所以1-是单特征根.又A实对称,其特征值均为实数且必定可以对角化, A也是正交矩阵,其特征值只能是1±, 所以其余两个特征值是1(二重根), A的相似对角形为111⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭故2A E+的特征值为3,3,1,且2A E+对称矩阵,相似于331⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭32391A E+==5. 设三阶实矩阵A有三个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.证明: 三阶实矩阵A有三个互相正交的特征向量,故A可以对角化,将这三个向量单位化,得一组由特征向量组成的标准正交基123,,ηηη,取123(,,)Qηηη=,则有1TQ AQ Q AQ-==Λ, Λ是对角线元素是A的特征值组成的对角阵所以11()TA Q Q--=Λ是对称矩阵.6. 证A是n阶投影矩阵,n Rβ∈,令ˆˆ,Aββγββ==-.证明:(1 ) ˆ;γβ⊥(2) ˆβ等于β在()R A上的正交投影.(3) A 正交相似于r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()r r A =. 证明: (1) A 是n 阶投影矩阵,所以2T A A A A ==且ˆ(,)(,)(,)(,)()T T A A A A A A A A γββββββββββββ=-=-=- 20T T T T T A A A A A ββββββββ=-=-=,所以 ˆ;γβ⊥ (2)显然ˆβ()R A ∈,12(,,,)n A ααα=将A 按列分块,1122ˆˆ()()0T T T T T T T T T n n A A A A ααααγββββββαα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,()i R A γαγ⊥∴⊥,因此ˆβ等于β在()R A 上的正交投影. (3) 2T A A A A ==且,所以其特征值只能是 10或,实对称矩阵都可以存在正交矩阵Q 使1T Q AQ Q AQ -=化为对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭属于1的特征向量的个数为()r r E =,属于0的特征向量的个数为n r -,所以A 正交相似于rEO OO ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()r r A =.习题8.21 .写出下列二次型的矩阵:(1) 22123231223(,,)224f x x x x x x x x x =++-(2) 222123412313142334(,,,)24282f x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+-.解: (1) 010122021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 1021024024111013A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2. 写出下列矩阵对应的二次型：(1) 210112023A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(2) 5131171031811012A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭解: (1) 2221231231223(,,)2324f x x x x x x x x x x =++-+(2)2222123412321213142334(,,,)578426222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-++-++. 3．用正交替换法化下列二次型为标准形： (1) 22112269x x x x -+解: (1) 对应的对称矩阵为1339A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭特征多项式21310(10)39λλλλλλ-=-=--A 的特征值为1210,0λλ==110λ=代入()0E A X λ-=121293030x x x x +=⎧⎨+=⎩的基础解系: 11(,1)3T α=-,单位化得:11,1)(3T Tη=-= 20λ=代入()0E A X λ-=121230390x x x x -+=⎧⎨-=⎩的基础解系: 2(3,1)T α=,单位化得:2T Tη==取,Q X AY ⎛== ⎝有2110f y =(2)122322x x x x -对应的对称矩阵为010101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭特征多项式310112(01λλλλλλλλ--=-=+-A的特征值为1230λλλ===1λ=代入()0E A X λ-=1212323000x x x x ⎧-=⎪⎪-++=⎨⎪+=⎪⎩的基础解系:1(1,T α=-,单位化得:1111(1,(,)222T Tη=-=-2λ=代入()0E A X λ-=1212323000x x x x ⎧-=⎪⎪--+=⎨⎪-=⎪⎩的基础解系:2(1T α=-,单位化得:2111((,)2222T Tη=-=- 30λ=代入()0E A X λ-=2132000x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩的基础解系: 3(1,0,1)T α=,单位化得:3T Tη==取11220,1122Q X AY ⎛--⎪== ⎪ ⎪ ⎝有2212f =(3) 2221231213232444x x x x x x x x x ++-++对应的对称矩阵为222212221A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭特征多项式23222222212011221221R R λλλλλλλ+-----++----3222242401(1)(1)(52)23223l l λλλλλλλλλ+----+=+=+-+----55(1)(22λλλ+=+-- A的特征值为12355,,122λλλ+-=== 152λ+=代入()0E A X λ-=得123123123122023220232202x x x x x x x x x ⎧++-=⎪⎪⎪+⎪++=⎨⎪⎪+-++=⎪⎪⎩的基础解系:11,1)T α=-,单位化得:11(,1,1)4T η-=-252λ-=代入()0E A X λ-=得123123123122023220232202x x x x x x x x x ⎧-+-=⎪⎪⎪-⎪++=⎨⎪⎪--++=⎪⎪⎩的基础解系:21,1)T α=-,单位化得:21(1,1)4T η-=- 31λ=-代入()0E A X λ-=123123123322022202220x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩的基础解系: 3(0,1,1)T α=,单位化得:3T η=取()123,,,Q X QY ηηη==有2221235522f y y y +-=--(4) 22221234121314232434264462x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+--+-对应的对称矩阵为1132112332112311A --⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭特征多项式2311321123(1)(7)(1)(3)32112311R R λλλλλλλλ+------+-----所以,12341,7,1,3λλλλ===-=-,分别代入()0E A X λ-=求得的特征向量并标准化得:12341111222211112222,,,1111222211112222ηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭取()1234,,,,Q X QY ηηηη==有2222123473f y y y y =+--4．已知二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++通过正交替换化为标准形22212325,y y y ++求a 的值和所做的正交替换矩阵.解: 由已知条件,有二次型的特征值分别为1231,2,5λλλ===,所以二次型的对应对称矩阵2000303A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式为21232(9)10A a λλλ=-=⋅⋅=从而24,2a a =∴=±2a =时22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++对应对称矩阵200032023A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,11λ=代入()0E A X λ-=:123230220220x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩基础解系: 1(0,1,1)T α=,单位化得:1T η=22λ=代入()0E A X λ-=:123232300002020x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩基础解系: 2(1,0,0)T α=,单位化得: 2(1,0,0)T η=35λ=代入()0E A X λ-=:12323233000220220x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩基础解系:3(0,1,1)T α=-,单位化得: 3(0,T η=取0100,Q X AY⎪⎪==⎪⎪⎭有22212325f y y y=++2a=-时22212312323(,,)2334f x x x x x x x x=+++对应对称矩阵200032023A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,11λ=代入()0E A Xλ-=:12323220220xx xx x-+=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩基础解系:1(0,1,1)Tα=-,单位化得:11,1)Tη=-22λ=代入()0E A Xλ-=:123232300002020x x xx xx x++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩基础解系:2(1,0,0)Tα=,单位化得:2(1,0,0)Tη=35λ=代入()0E A Xλ-=:12323233000220220x x xx xx x++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩基础解系:3(0,1,1)Tα=,单位化得:3Tη=取0100,Q X AY⎪⎪==⎝有22212325f y y y=++5 已知二次型123(,,)f x x x经正交替换化为222123y y y+-，且二次型矩阵对应11λ=的线性无关向量为12(2,1,0),(0,1,1)T Tαα==，求二次型123(,,)f x x x解: 123(,,)f x x x经正交替换化为222123y y y+-,所以特征值为1,1,-1属于1-的特征向量3123(,,)Tk k kα=与12(2,1,0),(0,1,1)T Tαα==正交,故为方程组12312320000k k kk k k++=⎧⎨++=⎩的解:31(,1,1)2Tα=-,单位化:321122(,1,1)(,,)32333T Tη=-=-将12,αα正交化:****211221**11(,)124 (2,1,0),(0,1,1)(2,1,0)(,,1)(,)555T T T Tαηηηαηηη==-=-=-单位化: 1224,,,1)55T Tηη==-取1312,13123TQ Q AQ⎫⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭131121131121223333TA Q Q⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭131121131121223333TA Q Q⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭744999418999481999⎛⎫-⎪⎪⎪=⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭,所以222 1231121322337881161 (,,)999999f x x x x x x x x x x x x=+-+++6. 设A是n阶实对称矩阵，12,,,nλλλ是A的全部特征值，且12nλλλ≤≤≤，证明：对任意n Rα∈有1T T TnAλααααλαα≤≤证明: 因为A是n阶实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q使得12TnQ AQλλλ⎛⎫⎪⎪==Λ⎪⎪⎝⎭对任意nRα∈有11()T T T T TA Q Q Q Qαααααα--=Λ=Λ,记12(,,)T TnQ b b bα=,则2222221122112() T Tn n n Q Q b b b b b b ααλλλλΛ=+++≥+++222222112212()n n n nb b b b b bλλλλ+++≤+++22212()()T T T T T T n b b b Q Q QQ αααααα+++===所以 1T T TnA λααααλαα≤≤7．设A 是n 阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c ，使对任意n R α∈，都有||T T A c αααα≤证明: 由上题,取正实数c 大于A 的所有特征值的绝对值即可.习题8.31 . 用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所有结论: (1)121323422x x x x x x -++解: 做非退化线性替换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩2212132312123123422442()2()x x x x x x y y y y y y y y -++=-++++-222222121311333214444()44y y y y y y y y y y =-++=--+++ 222133214()44y y y y =--++做非退化线性替换113113222233331144z y y y z z z y y z z y y z⎧⎧=-=+⎪⎪⎪⎪=→=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩有22212132312342244f x x x x x x z z z =-++=-++验证:021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵21104010001C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1212()11101011002111044010110201110010001001110001001T TT C C AC C ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭400040001-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(2)22121213233226x x x x x x x x --+-解: 配方22121213233226x x x x x x x x --+-2222112323232232()()()36x x x x x x x x x x x =--+-----22221232233223()236x x x x x x x x x x =-+-+--- 2221232233()44x x x x x x x =-+---2212323()(2)x x x x x =-+-+作非退化线性替换112311232232233333132212()2x y y y y x x x y x x x y y y x x y ⎧=+-⎪=-+⎧⎪⎪⎪=+→=-⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩有222212121323123226f x x x x x x x x y y =--+-=-验证:021201110A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵21104010001C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1212()11101011002111044010110201110010001001110001001T TTC C AC C ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭400040001-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(3)121314232434x x x x x x x x x x x x +++++解: 做非退化线性替换1122123344x y y x y y x y x y =+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩121314232434x x x x x x x x x x x x +++++221212312412312434()()()()y y y y y y y x y y y y y y y y -+++++-+-+221213143422y y y y y y y y =-+++2222113434342342()()()y y y y y y y y y y y =++++-+-+ 222213423344()y y y y y y y y =++----2222213423344413()()44y y y y y y y y y =++---+-2222134234413()()24y y y y y y y =++----作非退化线性替换1134113422223343344444321122z y y y y z z z z y y z z y y y z zz y y z ⎧=++=--⎧⎪⎪⎪=⎪=⎪⎪→⎨⎨=-⎪⎪=+⎪⎪=⎪⎪⎩=⎩ 有2222121314232434123432f x x x x x x x x x x x x z z z z =+++++=---验证:1110222111022211102221110222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为 11100110000100001C ⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵2310120100100140001C ⎛⎫-- ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭123111310121100231100111010020010100110014400100010001C C C =⎛⎫--⎛⎫--⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪---- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭111303111111222221110331111112222211101100100122244111000010001222TT C AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10000100001030002⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(4) 22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++配方22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++22212342334()22x x x x x x x x =+++++22222123233424244()22()()x x x x x x x x x x x x =++++++-++222212324244()()()x x x x x x x x =++++-++作非退化线性替换112113423243233242344444y x x x y y y y x x x x y y y x x x y y y x x y =+=-+⎧⎧⎪⎪=++=-⎪⎪→⎨⎨=+=-⎪⎪⎪⎪==⎩⎩22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++的标准形为 22221234y y y y =+-+矩阵验证类似上题.2. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并利用矩阵验算所得结论: (1) 122211n n n n x x x x x x -++++(2) 211ni i j i i j nx x x =≤<≤+∑∑3. 设二次型21211221(,,)()sn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑,证明:12(,,)n f x x x 的秩等于如下矩阵A 的秩,其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭证明:12112211221(,,)()()sn i i in n i i in n i f x x x a x a x a x a x a x a x ==++++++∑11221212121(,,)[(,,,)(,,,)]i si n n i i in i in n a x a x f x x x x x x a a a a x =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 121211()(,,,)s sT T T T T T TT i i i i s i i s A A X A A X X A A X X A A A X A ==⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑T T X A AX =所以,二次型的对称矩阵为T A A ,而()()TR A R A A =,得证.4. 2121(,,)()nn i i f x x x x x ==-∑的秩和正负惯性指数, 其中121()n x x x x n=++解: 由上题,二次型的矩阵为T A A ,故为半正定矩阵,其中,111111111n n n n n A nn nn nnn -⎛⎫--⎪ ⎪- ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 半正定二次型的秩和正惯性指数相同,均为()()1T R A R A A n ==-.5. 证明: 一个二次型可以分解为两个齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.证明: :⇒根据题意,二次型 1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++如果1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b 线性相关, 此时不妨设1212(,,,)(,,,)n n a a a k b b b =根据题意,这两个向量均不可能是0向量. 不妨设10b ≠作非退化线性替换1112222n nn ny b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩二次型化为 2121(,,,)n f x x x ky = (0)k ≠ 此时二次型的秩是1如果1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b 线性无关关, 此时不妨设12120a a b b ≠作非退化线性替换111222112233n nn nn ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩此时二次型化为1212(,,,)n f x x x y y =再作非退化线性替换11221233n ny z z y z z y x y x =-⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩此时二次型化为221212(,,,)n f x x x z z =-所以二次型的秩是2,符号差是0.:⇐二次型的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.所以二次型可以经过非退化线性替换1111122111111221221122222211222211221122n nn nn nn nn n n nn n n n n nn nx c y c y c y y b x b x b x x c y c y c y y b x b x b x x c y c y c y y b x b x b x =+++=+++⎧⎧⎪⎪=+++=+++⎪⎪→⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+++=+++⎩⎩化为221212(,,,)n f x x x y y =-或者2121(,,,)n f x x x y =结论得证.6. 如果把n 实对称矩阵按合同分类,可分为几类?解: 把n 实对称矩阵按合同分类,即看其规范形有多少个即可.而规范形由二次型的秩r 和正惯性指数p 确定0=0r p =，共1类1,=01r p =，共2类 2,=012r p =，，共3类,=012,,r n p n =，，共1n +类所以加起来共有(1)(2)2n n ++类7. 证明: 秩为r 的实对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 证明: 设,()T n n A A R r A r ⨯=∈=则存在可逆矩阵C 使得11110[]00rT TT T rr rr E A C C C E E C C E C C E C ⎛⎫==+=++⎪⎝⎭其中, ii E 是只有第i 行i 列的元素为1, 其余元素都是0的n 阶矩阵.显然, (1,2,,)T ii C E Ci n =是秩是1的对称矩阵.习题8.41 求判断下列二次型是否正定：(1) 222123112132233()9912481306071f x x x x x x x x x x x x ++=-++-+；(2）222123112132233()10824228f x x x x x x x x x x x x ++=+++-+. 解:(1) 对应的对称矩阵为99624613030243071A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,而显然其1阶和2阶顺序主子式均大于零.99130712303024130242490996671A =⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯ 918090863468317440=-=>,故正定.(2) 对应矩阵为10412421412141A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭存在主子式2142540141-=-<-,所以不正定.(或计算0A <,即3阶顺序主子式小于0)2. t 取什么值时,下列二次型是正定的:(1) 2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+ (2) 22212312132342106x x x tx x x x x x +++++ 解: 对应矩阵为1112125t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,顺序主子式均大于0,即2110,111t t t t =->∴-<<21112540,125tA t t t -==-->- 综合上述条件知: 405t -<<(2) 对应矩阵为1543531t A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,顺序主子式均大于0,即2140,224t t t t=->∴-<<2154330105531t A tt t ==-+-,两个不等式联合起来无解.所以, 无论t 取什么值时二次型都不会正定.3. 如果,A B 都是n 阶正定矩阵,那么A B +也是正定矩阵. 证明:对于 0()0T T T X X A B X X AX X BX ∀≠+=+>结论成立.4. 设A 是正定矩阵, 整数1,k >证明: (1) kA 也是正定矩阵;(2) 存在正定矩阵B 使得kA B =证明: (1) A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q 使得11221T n n A Q Q Q Q λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(1,2,)i i n λ>=, 此时211211kk kk k n n A Q Q Q Q λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭特征值都大于零,所以kA 正定 (2) 在(1)中, 存在正交矩阵Q 使得11221T n n A Q Q Q Q λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取T B Q Q ⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎝即可. 5. 设A 是n 阶正定矩阵,证明存在一个上三角矩阵R ,使得TA R R =. 证明: A 是n 阶正定矩阵,故存在可逆矩阵C ,TA C C =,对于C 有QR 分解C QR =,其中Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵,这时:()()T T T T T A C C QR QR R Q QR R R ====6. 设A 是实对称矩阵, 证明当t 充分大之后, tE A + 是正定矩阵. 证明: A 是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q 使得12T n A Q Q λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1122T T n n t ttE Q Q Q Q t λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1T Q Q -=，所以，当12max{,,}n t λλλ>时tE A +的特征值全大于0，故正定.7. 设()ij A a =是n 正定矩阵, 证明: (1) n 元二次型 12(,,,)0n TA Y f y y y Y =其中12(,,,)T n Y y y y =,是负定二次型;(2) 1,nn n A a A -≤这里1||n A -是A 的1n -阶顺序主子式;(3) 1122.nn A a a a ≤证明：(1) 因为1110010001T TT EA Y A E A Y Y A Y Y A Y ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式1000TT A Y A YY A Y-=-所以 1112(,,,)()0T T n TA Y f y y y A Y A Y Y A A Y Y --==-=-所以负定.(2) 将A 分块，利用12(,,,)0n TA Y f y y y Y =负定，11111000n n n n nn n TTTTnnnnnnA A A A A a A a a a ββββββ-----==+≤=(3) 11121122nn n nn n n n nn A a A a a A a a a ----≤≤≤≤8. 设A 是n 阶正定矩阵, β是n 维向量, c 是常数, .T A D c ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明二次函数()2TTp x X AX Xc β=-+在处有最小值,且其最小值1min .T D p A c Aββ-=-+=证明：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在正交矩阵Q 使得12,0T T i n A Q Q Q Q λλλλ⎛⎫⎪⎪==Λ> ⎪ ⎪⎝⎭作线性替换X QY =，令***12(,,,)T n Q b b b β=有()2T T T p X Y Y Y Q c β=Λ-+22**111122n n n n y y b y b y c λλ=+--+**2**222111111()()()()nn n n nnb b b b y yc λλλλλλ=-+-+---求驻点后知：***1121212(,,,)(,,,)T T nn nb b b y y y Q βλλλ-==Λ时，也就是11T X QY Q Q A ββ--==Λ=处最小，代入()2T T p X X AX X c β=-+得111()()2()T T p X A AA A c ββββ---=-+111()2()()TTTTTTDA A c c A Aββββββ---=-+=-=9. 设A 是n 阶实对称矩阵,且0,A <证明:必存在n 维向量0α≠,使0T A αα<.证明： A 是n 阶实对称矩阵,且0,A <说明A 不是半正定矩阵，所以存在非退化线性替换X CY =使得222211()p p r f X y y y y +=++---且0r p ->取012(,,,)(0,0,,0,1,00)Tn Y y y y ==其中第1p +个分量为1，其余是0，此时取0CY α=，显然0α≠,且0TA αα<.10. 设二次型()Tf X X AX =,有n 维向量,αβ使0,0.T T A A ααββ><证明: 必存在n 维向量0,γ≠使0T A γγ=.证明：根据题意，存在非退化线性替换X CY =使得222211()p p r f X y y y y +=++---且0,0p r p >->，取012(,,,)(0,0,,1,1,00)T n Y y y y ==其中第,1p p +个分量是1，其余均为0，此时取0CY γ=，显然0,γ≠使0T A γγ=。

《线性代数及其应用》第七章对称矩阵和二次型

故
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵；（2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，

第3节二次型和对称矩阵的有定性(12.10)

(2) f ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 − 2y32;
(3) f (z1 , z2 , z3 ) = z12 + z22 .
定理4.6 设 n元二次型 f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = d1 x12 + d2 x22 ⋯ + dn xn2 则二次型 f ( x1, x2 ,⋯, xn ) 正定 ⇔ di > 0 ( i = 1, 2,⋯, n).
例题判断下列二次型是否正定？ (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6x2 x3
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
例题试问 t 为何值时, 二次型
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk 称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
顺序主子式的概念设 A = (aij ) 是一个 n 阶矩阵, 将其如下形式的子式
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk
称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
例题求下列矩阵的所有顺序主子式：
⎛1 1 1⎞
(1)
A
=
⎜ ⎜
1
2
3 ⎟⎟;
⎜⎝ 1 3 5 ⎟⎠
⎛0 1 1⎞
(2)B
=
⎜ ⎜
1
0
3
⎟ ⎟
.

二次型及其矩阵表示

非对称二次型：矩阵不是对称矩阵
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。

二次型与实对称矩阵-例题

第四部分二次型与实对称矩阵一. 矩阵的特征值.设A 是n 阶方阵,若对F ∈0λ,存在非零列向量nF X ∈,使得X AX 0λ=.)())((21n A E λλλλλλλ−−−=−",特征多项式的根.两个公式: n trA λλλ+++="21,n A λλλ"21=.特征向量: 0)(=−X A E i λ的基础解系就是A 的属于i λ的线性无关的特征向量. 二. 二次型.(1) n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=""222422432232222222n nn n n x a x x a x x a x x a x a +++++++"" ∑===n j i jiij a a xx a jiij 1, (n ij a A )(=) AX X T=. A 称为f 的矩阵,是个对称阵.(2) 非退化线性替换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x """"22112222121212121111,CY X =AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∀CYX ACY C Y BY Y Y g T T T ==)(A ⎯→←C AC C B T= 合同. 取T n c c c X ),,,(210"=,有000)(AX X X f T =.对010X C Y −=,有000)(ACY C Y Y g TT =.则)()(00Y g X f = 反之.取0Y ,有)(0Y g ,则令00CY X =,有)(0X f ,则)()(00Y g X f =. (3) 标准形与规范形.AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∃CY X 2222211)(n n x d x d x d Y g +++=".A ⎯→←C),,,(21n d d d diag B "= 合同.AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∃CY X 22221)(r x x x Y g +++=",其中)(A r r =.复数域上.AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∃CY X 221221)(r p p x x x x Y g −−−++=+"",其中)(A r r =.实数域上.相应的矩阵: A ←⎯→C⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rE B . A ←⎯→R⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−000000pr p E E B . (4) 化二次型为标准形与规范形. 配方法和初等变换法.关于初等变换法: 二次型化为标准形与规范形时,二次型的矩阵是合同的.AC C A T →,就来看看B AC C T=的含义.C 可逆,则可以写成初等矩阵的乘积.设s P P P C "21=,则s TTTs TP P AP P P P AC C ""2112=,只要看AP P T 的作用即可,其中P 是一个初等阵.若))((c i P P =,PAP AP P T =相当于第i 行, 第i 列都乘常数c .⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=ni in ii i i T ca ca a c ca ca AP P #""#211.若))(,(c j i P P =,则AP P T相当于第i 列的c 倍加到第j 列后,第i 行的c 倍加到第j 行. 若),(j i P P =,则PAP AP P T=相当于互换i j ,列后,再互换i j ,行.故AC C T的含义就是对A 实施列变换的同时,对A 实施相同的行变换.则得到的矩阵就是AC C T. 而二次型化为标准形,就是矩阵化为对角阵,从而初等变化法化二次型为标准形的过程就是: 对分块阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛E A ,实数列变换,同时对A 的位置实施相应的行变换,把A 的位置化为对角阵D ,则E 的位置化为的矩阵C 就满足D AC C T=.实际上,若假若实施s P P P ,,,21"列变换,则有s P P P E A ,,,21"⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛,若同时A 的位置实施相应的行变换则有s TT T s P P P E A P P P ,,,2112""⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛,即 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛C D C AC C EC AC C C E A C P P P E A P P P T T T s TT T s ,,,2112"". 而求二次型的规范形,如上的过程化为对角阵后,继续化对角阵为对角线元素为0,1(复数域)或者0,1,1−(实数域)的方阵.结论: (1) 任一对称阵都可合同对角化.(2) 复数域上,两个矩阵合同当且仅当秩相等.(3) 实数域上,两个矩阵合同当且仅当秩相等,且正惯性指数相等. (5) 二次型的正定与正定的矩阵. 对实二次型AX X X f T=)(,(1) 若任给0≠X ,有0)(>X f ,且0)(=x f ⇔0=X . 正定二次型,A 正定矩阵. (2) 若任给0≠X ,有0)(≥X f . 半正定二次型,A 半正定矩阵.(3) 若任给0≠X ,0)(<X f ,且0)(=x f ⇔0=X . 负定二次型,A 负定矩阵. (4) 若任给0≠X ,有0)(≤X f . 半负定二次型,A 半负定矩阵.(5) 若存在21,X X ,有0)(,0)(21<>X f X f ,则二次型不定.根据二次型在实数域上的规范形的特点,我们有: （二次型矩阵↔标准形矩阵↔规范形矩阵）正定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀>,0,↔E =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛111%. 半正定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀≥,0,↔⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E . 负定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀<,0,↔E −=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−111%. 半负定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀≤,0,↔⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−000r E . 不定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,存在0,0<>j i d d ,↔⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−0pr pE E ,其中0,0>−>p r p . 特别的: 假设A 是对称阵,则A 正定.⇔AX X X f T =)(正定. ⇔存在可逆阵C ,使得),,,(21n T d d d diag AC C "=,其中i d i ∀>,0.⇔存在可逆阵C ,使得E AC C T =.⇔存在可逆阵C ,使得C C A T =.⇔正惯性指数为n A r ==)(⇔顺序主子式全大于零⇔主子式全大于零⇔特征值全大于零.A 半正定⇔AX X X f T =)(半正定. ⇔存在可逆阵C ,使得),,,(21n T d d d diag AC C "=,其中i d i ∀≥,0.⇔存在可逆阵C ,使得000rTE C AC ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⇔存在矩阵C ,使得C C A T=. ⇔正惯性指数为n A r <=)(⇔主子式全大于等于零⇔特征值全大于等于零. A 负定⇔A −正定. A 半负定⇔A −半正定.三. 实对称阵的性质:(1) 实对称阵可以相似对角化. (2) 实对称阵的特征值皆为实数. (3) 实对称阵属于不同特征值的特征向量正交.施密特正交化:给出nR 中一组基n ααα,,,21",可化为一组标准正交基n e e e ,,,21".过程:n ααα,,,21"→正交基n βββ,,,21"→标准正交基n e e e ,,,21" 11αβ=, 2122111(,)(,)αββαβββ=−, 313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=−−,121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)k k k k k k k k k αβαβαββαβββββββββ−−−−=−−−−".121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n n αβαβαββαβββββββββ−−−−=−−−−".令i ii e ββ1=,则n e e e ,,,21"为标准正交基.并且有311211111113222222333(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)1212(,)101(,,,)(,,,)001001n n n n n αβαβαβββββββαβαβββββαβββαααβββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠""""""""""",121212(,,,)(,,,)n n n e e e ββββββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠""%,则 311211113222233(,)(,)(,)1(,)(,)2(,)121230(,,,)(,,,)0000n n n n n n e e e αβαβαββββαβαβββαββααααααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"""""####".相差一个主对角线全为正的上三角阵. 主轴定理: 任一实二次型都可经正交线性替换化为标准形,即实对称阵都可正交对角化.实对称阵正交对角化的过程: (1) 求特征值:sn s n n A E )()()(2121λλλλλλλ−−−=−"(2) 任给i ,求0)(=−X A E i λ的基础解系: i in i i X X X ,,,21",施密特正交化,化为i in i i ηηη,,,21". (3) 则s sn s s n n ηηηηηηηηη,,,,,,,,,,,,21222211121121""""为A 的n 个线性无关的特征向量,令),,,,,,,,,,,,(21222211121121s sn s s n n Q ηηηηηηηηη""""=,则Q 为正交阵,并且有⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=s n s nn T E E E AQ Q λλλ%2121. 应用:化简直角坐标系下二次曲面的方程.0222222321231312233222211=++++++++++d z b y b x b yz a xz a xy a z a y a x a ,令⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=z y x X ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321b b b β,则02=++d X AX X T T β.对A ,存在正交线性替换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛111z y x C z y x ,化AX X T 为标准形213212211z y x λλλ++,则02=++d X AX X TT β化为:02213212211=++++d CY z y x Tβλλλ,即02221*31*21*1213212211=++++++d z b y b x b z y x λλλ从而再根据321,,λλλ的具体取值,运用配方法后,做适当的移轴和转轴变换,化为标准方程.典型例题:一. 二次型的矩阵和非退化线性替换1. (1) 设)(ij a A =是可逆实对称阵,证明二次型nnn n n n nn n a a a x a a a x a a a x x x x x x x f "####""""2122221211211121210),,,(−−−=的矩阵是*A证明: 二次型的形式分块, X A X X A A X AXA X A XX X f T T T T *110)(===−=−−. 而***)()(A A A T T==,*A 也是实对称矩阵,从而二次型的矩阵是*A . (2) 设)(ij a A =,证明如上的12(,,,)n f x x x "是一个二次型.0()T X f X XA=−.若A 可逆,则**1*()22T TT T A A f X XA A X X A X X X −⎛⎞⎛⎞⎜⎟===+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.若A 不可逆,令1A A tE =+,则存在0δ>,当0t δ<<时,1A 可逆,则**1111()22T TT X A A f X X X X A ⎛⎞⎛⎞⎜⎟==+⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠,其左右两边均为t 的多项式,当0t =时候,等式成立,即**1*()22T TT T A A f X X A A X X A X X X −⎛⎞⎛⎞⎜⎟===+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.2. 二次型()()()()222123122313,,f x x x x x x x x x =++−++的秩为_______.3. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值中有m 个零,t 个正实数,则A 的秩为_____,正惯性指数为______,负惯性指数为_________,符号差为_________. ,,,2n m t n m t t m n −−−+−4. 设()ij A a =是秩为n 的n 阶实对称矩阵,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式(,1,2,,i j n ="),二次型1211(,,,)n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑".(1) 记12(,,,)Tn X x x x =",试写出二次型12(,,,)n f x x x "的矩阵形式; (2) 判断二次型()Tg X X AX =与()f X 规范形是否相同,并说明理由. 解: (1) 因为()r A n =,故A 可逆,且111()()TT A A A −−−==,***()()T T A A A ==,实对称,则111211121121222122221121211(),n n n n TT T n n nn nnnn A A A A A A A A A A A A f X X X X X X A X A A A A A A A A −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠""""######"" 因此,二次型f 的矩阵表示为1,TX A X −,二次型的矩阵为1A −. (2) 因为1,A A −均是可逆的实对称矩阵,且1111()()TT A AAA A −−−−==,所以A 与1A −合同,于是()g X 与()f X 有相同的规范形.二. 二次型的标准形和规范形.1. 化二次型23323121321262),,(x x x x x x x x x x f ++−=为标准形配方法: )69()3(2),,(222121221321321x x x x x x x x x x x x f +−−+−+=2213222121)3(89x x x x x x x +−+−+−=221322221)3(97)94(9x x x x x x +−++−−=,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−==−=213322211394xx x y x y x x y ,即X Y ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1130100194.即Y X ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=13010013194,二次型化为2221237()99g Y y y y =−++. 初等变化法:二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=113101310A ,则⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−1170140011000100025113010001100014049100010001113101310. 2. 求二次型n n n x x x x x x x x x f 212432121),,,(−+++=""的秩和正负惯性指数.解: 作1122123344342121221212n n n n n nx y y x y yx y y x y x x y y xy y −−−−=+⎧⎪=−⎪⎪=+⎪=−⎨⎪⎪=+⎪⎪=−⎩"""",二次型化为2221224232221)(n n y y y y y y Y g −++−+−=−",正=负=n . 3. 秩为n 的n 元实二次型()f X 与()f X −合同,则()f X 的正惯性指数为_________.2n 秩为n ,则正负惯性指数之和为n ,设p q n +=,而()f X −的正负惯性指数为,q p ,但是()f X 与()f X −合同,则,,p q q p ==从而2n p =. 4. 计算实二次型的符号差: 323121321622),,(x x x x x x x x x f −+=解: ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−143112160000002431111220200021000100010313011102521212125212121 5. 求实二次型∑=++=nj i jin xx j i ij x x x f 1,21)(),,,(λ"的秩与符号差.证明秩与符号差与λ无关.二次型的矩阵:⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−++++−+−−+−++−+−++++−+++++−++=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A 212)1(22112)1(22)1(1)1(2)1(221)1(244321)1(32222λλλλλλλλλλλλλλλλ""####"". 21112100110001000010000λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++++−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠""""########""""100010000⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠""###",秩为2,符号差为0. 6. 设A 是n 阶可逆实矩阵,求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=00T AA B 的正负惯性指数. 证明: 合同变换把⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=00TA AB 化简.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛A A EA A A E AA EA A T T TT T 21002100200 A 可逆,则A A T 正定,从而A A T21−负定,而单位阵E 正定,故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−A A E T 00的正负惯性指数都为n ,故B 的正负惯性指数都为n .7. 实数域上n 阶对称矩阵按合同分类有几类?复数域上n 阶对称矩阵按合同分类有几类? 解:根据秩及规范形的特点:分别为2)1(+n n ,1+n . 8. 假设AX X X f T=)(是一个实二次型,若有n 维实向量21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT,证明:存在n 维非零实列向量0X ,使得000=AX X T.证明:对)(X f ,存在非退化线性替换CY X =,使得二次型化为规范形221221)(r p p y y y y Y g −−−++=+"",由于存在21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT,则规范形中,0,0>−>p r p ,从而令T Y )0,,0,1,0,,0,1(0""=,有0)(0=Y g ,令00CY X =,则0)()(00==Y g X f .9. 假设AX X f T =是一个实二次型,且0<A ,证明:存在非零列向量X ,使得0<AX X T.证明: 0<A ,则A 可逆,从而存在非退化线性替换CY X =,化为221221)(n p p y y y y Y g −−−++=+"",并且n p <,即负惯性指数0>,取T Y )1,0,,0(0"=,则01)(0<−=Y g ,令00CY X =,则01)()(00<−==Y g X f .10. 设A 是n 阶反对称实矩阵,证明:(1) 对任意n 维非零实列向量X ,都有0)(>+X A E X T.(2) A E A E −+,可逆.证明: (1) 对反对称矩阵A 及任意非零实列向量X ,都有0=AX X T,从而0)(>=+X X X A E X TT. (2) 设A E +不可逆,则A E +有零特征值,存在非零向量X ,使得0)(=+X A E ,则0)(=+X A E X T矛盾.A 反对称,则A −也反对称.11. 设A 为n 阶对称阵,复二次型AX X T在非退化线性替换下化为22221r y y y +++")(n r <,求齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系.证明: 对A ,存在可逆矩阵P ,使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rT E AP P ,则11000)(−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=P E P A r T ,此时 0=AX 即0000)(11=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−X P E P rT ,即00001=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−X P E r,令Y X P =−1,则0000=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Y E r . 求0000=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Y E r的基础解系即可.即011====r y y y ".此时基础解系为n r r εεε,,,21"++,则0=AX 的一个基础解系为n r r P P P εεε,,,21"++.12. 设AX X X f T=)(是实二次型,若A 的前1−n 个顺序主子式11,,−n P P "非零,求证:经过可逆线性替换,f 可化为下标准形212212211n n n y P P y P P y P f −+++=",其中A P n =. 证明: 归纳法: 1=n ,2111)(x a X f =,假设结论对1−n 阶二次型成立,则对n 阶二次型AX X X f T=)(,对A 分块, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=nn Ta A A ββ1,则1A 的各阶顺序主子式是A 的1−n 个顺序主子式11,,−n P P ", ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−ββββ111100A a A a A A T nn nn T即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ββββββ111111111101010A a A A E a A A E T nn n nn T T n ，并且有)(0111111ββββ−−−=−=A a A A a A A TnnT nn ,则1111−−==−n nTnn P P A A A a ββ.对1A ,应用归纳假设,存在可逆阵1Q ,使得121121111D P P P P P Q A Q n n T=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−%,则 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−−12111111111111001010100n n n n n nn T T n TP P P P PQ A E a A A E Q %ββββ. 令⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−100101111Q A E C n β,则做CY X =,在此替换下,二次型化为212212211n n n y P P y P P y P f −+++=". 设三阶实对称阵A 的顺序主子式为1232,2,3P P P ===−,给出()Tf X X AX =的一个标准形.222123322f y y y =+−. 13. 设A 为n 阶复对称矩阵且秩为r ,证明T T A T=,其中T 是秩为r 的n 阶矩阵.证明:对A ,存在复可逆矩阵C ,使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rT E AC C ,则 1111000000)(000)(−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C E E C C E C A rr T rT ,取1000−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C E T r ,则有T T A T=. 三. 实对称矩阵的正交对角化.1. 用正交线性替换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f −−+++=为标准形.解: 二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=542452222A ,求特征值:)10()1(1004922425424522222−−=−−−−−=−−−−−=−λλλλλλλλλA E . 对1=λ,0)(=−X A E ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−000000221442442221A E , 基础解系:TTX X )1,0,2(,)0,1,2(21=−=.正交单位化: 12,T Te e ==.对10=λ,0)10(=−X A E ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000110102542452228A E ,基础解系, T X )2,2,1(3−=,正交单位化:T e )32,32,31(3−=,则令0Q ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎝,有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1011AQ Q T .令QY X =,则二次型化为 23222110)(y y y Y g ++=.2. 实二次型323121232221321222),,(x x x x x bx x ax x x x x f +++++=经正交替换化为标准形22212y y +,求b a ,.解: 由于22212y y +是经正交线性替换化为的标准形,则0,2,1是二次型矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a b b A 的特征值,从而32=+a ,即1=a ,2(1)0A b =−−=,从而1=b .3. 已知(1,2,2)Tα=−是二次型2221231213234448TX AX ax x bx x x x x x x =++−+−矩阵A 的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.解: 二次型矩阵2224424a A b −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,设(1,2,2)Tα=−是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,则2211244222422a A b λ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠,即81821022a b λλλ+=⎧⎪−=−⎨⎪+=⎩得9,1,4a b λ===,从而122244244A −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.由特征多项式2122244(9)244E A λλλλλλ−−−=−=−−−,可知矩阵A 的特征值为0,0,9.对0λ=,得0AX =的基础解系12(2,1,0),(2,0,1)TTαα==−.Schmidt 正交化,即11βα=,1222111(,)1(2,4,5)(,)5T ααβαααα=−=−.单位化,得1231(1,2,2),2,2),2,4,5)3T T T γγγ=−=−=−,令123(,,)Q γγγ=,则 900T Q AQ ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,做线性替换X QY =,则有二次型化为标准形21()9g Y y =.4. 设实对称阵,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=1111111111111111A ,(1) 求A 的特征根及相应的线性无关的特征向量.(2) 求正交阵Q ,使得AQ Q T是对角阵.解:200002001211123122000220111111111111111111111111−−+−−−−−=−−−−−−−−−−=−−−−−−−−−−=−λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()2()4()2(1131)2(3222+−=−−=+−−−−=λλλλλλλ,得特征值2,24321−====λλλλ. 对21=λ,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−000000000000111111111111111111112A E ,得线性无关的特征向量 T T T X X X )1,0,0,1(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321===.对24−=λ,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−−=−−000011001010311131111311113111132A E ,得特征向量TX )1,1,1,1(4−=. T )0,0,1,1(1=η,T T T )0,1,21,21()0,0,1,1(21)0,1,0,1(2−=−=η,T T T T )1,31,31,31()0,1,21,21(31)0,0,1,1(21)1,0,0,1(3−−=−−−=η令T e )0,0,21,21(1=,T e )0,62,61,61(2−=,T e )23,63,63,63(3−−=,T e )21,21,21,21(4−=,令⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=2123021636202163612121636121Q ,则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=2222AQ Q T . 5. 设0141340A a a −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦,正交阵Q 使得T Q AQ 为对角阵,若Q)1,2,1T ,求,a Q解: 由题意,A 对应于1λ的特征向量为)11,2,1,Tξ=故1.A λ=即1014111322,4011a a λ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可得11,2a λ=−=.对014131,410A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦14131(4)(2)(5)41E A λλλλλλλ−−=−=+−−−,得1232,4,5,λλλ==−= 且对应于12λ=的特征向量为)11,2,1Tξ=.由()20,E A x λ−=1234141710414x x x −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦,得24λ=−的特征向量为()21,0,1T ξ=−.由()30,E A x λ−=1235141210415x x x −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦,得35λ=的特征向量为()31,1,1T ξ=−.)))3121231231,2,1,1,0,1,1,1,1TTTξξξηηηξξξ====−==−.取()123,,0,Q ηηη⎞⎟==⎟⎠则245T Q AQ ⎡⎤⎢⎥=Λ=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 6. 3阶正定阵A 的3个特征值是,3,3,6已知T)1,1,1(是A 属于6的特征向量, (1) 求属于3的两个特征向量. (2) 求A .解: 根据实对称矩阵的特点,设正交阵112233x y Q x y x y ⎛⎜=⎜⎜⎜⎝,则有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=633AQ Q T ,从而 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++00011321321332211232221232221y y y x x x y x y x y x y y y x x x ,取03=x ,得0Q ⎛⎜=⎜⎜⎜⎝,则341131416114A⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠.7. 设A为实对称可逆矩阵,AXXf T=为实二次型,证明:A为正交阵当且仅当可用正交变换化f为规范形. 证明: ⇐. 由条件, 可用正交变换化f为规范形,即存在正交阵Q,使得DAQQ T=为对角阵,且主对角线上元素为1,1−或0,由于A可逆,故D主对角线上元素为1,1−,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−rnrTEEAQQ.则EQEEQQEEQAA TrnrTrnrT=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−,A为正交阵.⇒.A为实对称可逆且正交,实对称阵的特征值皆为实数,正交阵的实特征值为1,1−,从而若A为正交阵,则存在正交阵Q,使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−rnrTEEAQQ.对二次型f,可用正交变换化为规范形.8. 设3,1,1−是3阶实对称矩阵A的特征值,T)0,1,1(−是A属于3−的特征向量,求A解: 设A属于1的特征向量为21,αα,令T)0,21,21(3−=α,做正交阵),,(321ααα=Q,则有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311AQQ T,设112233x yQ x yx y⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎝⎠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=++=++2121332211232221232221,11yyxxyxyxyxyyyxxx,化简得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+21212331123212321yxyxyyxx取03=x代入得到TT)1,0,0(,)0,21,21(11==αα,则0011200100121030001010A⎞⎞−⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎠.9. 设实二次型123(,,)Tf x x x X AX=经正交变换化成的标准形为2221232f y y y=−−,*A是A的伴随矩阵,且向量(1,1,1)Tα=−满足*Aαα=,求二次型123(,,)f x x x.解: 则存在正交阵Q,使得211TQ AQ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,*Aαα=,从而1Aλ=,则2λ=,即(1,1,1)Tα=−是A对应于特征值2λ=的特征向量,故可设112233x y Q x y x y ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,则222123222123112233123123110,x x x y y y x y x y x y x x x y y y ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=+=⎩,取03=x 代入,得12123x x y y y =−====,代入0Q ⎛⎜⎜=⎜⎜⎝,则211T A Q Q ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, 20111010111100A ⎛−⎛⎞⎛⎞⎜⎜⎟⎜⎟⎜=−=−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎟⎜⎠⎝⎠⎠⎝. 10: 设二次型222123123121323(,,)442f x x x x x x x x x x ax x =++−−+经正交变换化为22212333y y by ++,求,a b 的值及所用正交变换.解: 二次型及其标准形的矩阵1222121A a a −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,33B b ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.且A 与B 合同且相似,迹相等,即 36,3b b =+=−,行列式相等,即218827,a a +−−=−得2,10a a =−=,同时(3)1r E A −=,则2a =−.对3λ=,由(3)0E A X −=,得特征向量12(1,1,0),(1,0,1)TTαα=−=−.正交化11βα=,1222111(,)1(1,1,2)(,)2T ααβαααα=−=−.对3λ=−,由(3)0E A X −−=得特征向量3(1,1,1)Tα=.单位化,有1231,0),2),T T T γγγ=−=−=.令123(,,)Q γγγ=,则333T Q AQ ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,做线性替换X QY =,则有二次型化为标准形222123()333g Y y y y =+−. 四. 矩阵的正定性1. t 取何值时,实二次型是正定的.323121232221321222)(),,(x x x x x x x x x t x x x f −++++=.解: 二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=t t t A 111111,则01>=t P ,0122>−=t P ,0)2()1(23>−+==t t A P,则有2>t . 2. n 阶实对称阵A 正定当且仅当A 的n 个顺序主子式的代数余子式全大于零.证明: 对A ,设k k A p =是A 的k 阶顺序主子式,k A 是前k 行前k 列得到的k 阶矩阵.则对A 进行换行换列的初等变换,使得后k n −行k n −列换到前k 行前k 列,此时矩阵为AP P T,而A 的k 阶顺序主子式的代数余子式就是AP P T的k n −阶顺序主子式,而AP P T与A 合同,从而AP P T正定,故顺序主子式全大于零,即A 的n 个顺序主子式的代数余子式全大于零.3. 实对称阵A 正定,则A 的主对角线上的元素全大于零.证明: 011>a ,考察正定阵),1(),1(i AP i P T,其中),1(i P 是i ,1行的换法初等阵. 4. 正定阵A 的主子式全大于零.把所要考察的k 阶主子式经过行列相同的初等变换,即合同变换,划到前k 行前k 列,所得矩阵为AP P T,正定.5. 设n 阶阵C B A ,,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C B B A D T 正定,证明: T B BA C 1−−也正定. 证明: 首先,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C B B A D T 正定,则D D T =,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛C B B A C BB A T T T T ,从而C A ,都是对称阵.且A 是D 的n 阶顺序主子式,则0>A ,可逆,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−A B BA C B BA C A C B B A TT T 000011, D 与⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−A B BA C T001合同,从而T B BA C 1−−也正定. 6. 下列关于n 阶实对称阵A 的命题等价.(1) A 是正定阵.(2) 存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵B ,使得DB B A T=,其中D 是正定对角阵. (3) 存在主对角线元素全为正的上三角阵C ,使得C C A T=.证明: (1) ⇒(2) : 1=n ,则)(11a A =,成立,假设1−n 成立,对A 分块, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=111A a A Tαα,合同变换: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−αααααααT T T Ta A a a A a A a A 1111111111111110,即 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ααααααT n T n T a A a E a A a E a 11111111111111111101,ααTa A 1111−−也正定,从而存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵(单位上三角阵)1B ,使得111111111)()(D B a A B TT =−−−−αα是一个正定对角阵.则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−11111111111111111100001101)(001D a BE a A a E a B n T n TT αααα是一个正定对角阵.令 111111100101−−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B B E a n α,则B D a B A T ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11100或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=nn Ta A A ββ1,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ββββββ111111111101010A a A A E a A A E T nn n nn T T n , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ββββββ111111111111001001010100A a D B A E a A A E B T nn n nn T T n T .(2) ⇒(3) B d d d B B d d d B DB B A n T n T T 22121⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==%% C C B d d d d d d B Tn n T =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=%%2121(3) ⇒(1) 0)(>==CX CX CX C X AX X TTTT.正定.7 . 设A 是n 阶实对称阵,若A 正定,求证1−A ,mA A ,*都是正定的. 证明：11111)(−−−−−==AA A AA A AT ,正定.由于0>A ,则1*−=A A A 正定.对A ,存在可逆阵P ,使得⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AP P %21,其中0>i d ,则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=m n mm m T d d d P A P %21,正定.8. 若B A ,正定,证明B A +也正定.定义证明.9. 设A 是正定阵,证明c X AX X x f T T ++=β2)(的最小值为ββ1−−A c T ,其中),,,(21n T b b b "=β是n 维实列向量.证明: 证明x Ax x x g TTβ2)(+=的最小值为ββ1−−AT即可,做一个变形:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10)1,()(X AX x g TT ββ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−ββββ1000A A AT T ,则 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−ββββββ111001010A AA E A A ET T T .做替换⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−11011Y A E X β,即 β1−−=A Y X ,即β1−+=A X Y ,代入有ββ1)(−−+=A c AY Y x f T T ,从而最小值ββ1−−A c T .10. 若)(ij a A =与)(ij b B =都是n 阶正定阵,证明)(ij ij b a H =也是正定阵.证明: 对正定阵B ,存在可逆矩阵C ,使得C C B T=,设)(ij c C =,则∑==nk kjki ij c cb 1.∑∑∑∑∑∑∑============nk nj i j kj i ki ij nk nj i j i kj ki ij nj i nk j ikj ki ij nj i jiij ij Tx c x c a x x c c a x x c ca xx b a HX X X f 11,11,1,11,))(()(∑=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nk n kn k k n kn k k x c x c x c A x c x c x c 122112211),,,(#",由于C 可逆,在至少有一个⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n kn k k x c x c x c #2211非零,从而0)(>X f .11. (1) 设∑∑≤<≤=+=nj i jini i n xx x x x x f 11221),,,(",证明:f 正定.证明: 二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=121212112121211"###""A ,1111111111(1)2222222111111000122222211111100022222n n n A +−−+====−""""""#########""", 从而A 的k 阶顺序主子式102k k k P +=>,故f 正定. (2) 判断n 元二次型2112)()1(∑∑==−+ni i ni ix x n 是否正定.12. 设B 是m 阶正定阵,C 是n m ×列满秩实矩阵,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0T C C BA ,证明 (1) CBC T1−是正定阵. (2) 二次型AX X x x x q Tm n =+),,,(21"的正负惯性指数分别为m 与n .证明: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−C B C B C C BT T1000,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−C B C B E C B E C C BE BC E T T T 11100000, 则⎩⎨⎧==≠>⎩⎨⎧⇔==≠>===−−−000000)()(111X X Y Y Y B Y CX B CX CX B C X T TTT,0=CX 只有零解. B 正定,则1B −正定,C 列满秩,则C B C T 1−正定.13. 设TAC D B C⎛⎞=⎜⎟⎝⎠为正定矩阵,其中,A B 分别为m 阶,n 阶对称矩阵,C 为m n ×矩阵, (1) 计算T P DP ,其中10mn E A C P E −⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦;(2) 利用(1)判断矩阵1T B C A C −−是否为正定矩阵,并证明你的结论. 解: (1) 因为110,0m mTT n n E E A C P P E E C A −−⎡⎤⎡⎤−==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦,所以 111110.000mmm T TT T T n n n E A COE E C A A A C A C P DP E B O E E CB C A C B C A C C A −−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2) 因为D 是正定矩阵,P 是可逆矩阵,所以对于任意非零向量X ,有()()0TTTX P DPX PX D PX =>. 任取()00,0,TT X X y y ⎛⎞=≠=⎜⎟⎝⎠,()00,0,T T y P DP y ⎛⎞>⎜⎟⎝⎠所以有()1000,0,0T T A y B C A C y −⎛⎞⎛⎞>⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠即()10,TTyB C A C y −−>所以1T B C A C −−是正定矩阵.14. (1) 已知A 是n 阶可逆矩阵,证明TA A 是对称、正定矩阵.(2) 设()ijn mA a ×=为实矩阵，证明T A A ,TAA 都是半正定矩阵。

3-2 实对称矩阵与实二次型

1
0
T
是 1对应的一个特征向量 A. .求
解因为A是实对称矩阵， 1是二重特征值，一定有两个线性无关特征向量，而且都与 3正交；另一方面，与 3正交即满足x1 x 2 0的线性无关解
T T 向量有且只有两个，例（1 1 0）（0 0 1）. (不唯一) 如 ,
存在正交阵Q及实对角阵Λ，使 1 Q T AQ Q 1 AQ Λ. n
2

推论3.8a 任一n阶实对称矩阵A的每个ni重特征值一定有ni个线性无关的特征向量，从而（由Schmidt方法）一定有ni个标准正交的特征向量（总共有n个标准正交的特征向量）.
为规范形 .
（正系数全为1，负系数全为-1）.
其矩阵为 1 1 B
p
r-p 1 1 n-r 0 0
二次型的中心问题是：寻找可逆线性变换（包括正交变换） x=Py 将xTAx化为标准形.
x1
x2
a11 a x n 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n x1 a2n x2 a nn x n
xT Ax x, Ax

其中A [aij ]是实对称矩阵，称为实二次型 f ( x1 , , xn ) 的矩阵. 秩( A) 称为二次型 f 的秩，即秩( . 1
1 2 0 1 2
0 0 1 1 0 0
1 0 0
0 0. 1
注将，正交化得 , , 再将 , ，单位化， 1 2 1 2 1 2 3
可得正交阵 , 而由A QQ T 算出A，结果是一样的 Q .

二次型和对称矩阵的关系

二次型和对称矩阵的关系
二次型和对称矩阵的关系非常密切。

在数学中，对称矩阵是一种
特殊的矩阵形式，它的转置矩阵等于本身。

而二次型则是一种由向量
构成的二次函数，可以用矩阵乘积的形式表示。

在矩阵中，如果一个矩阵A等于它的转置矩阵，即$A^T = A$，
那么称A为对称矩阵。

对称矩阵具有很多重要性质，比如它的特征值
都是实数，且可以通过正交对角化得到它的特征向量。

而二次型则是由一个$n$维向量$x$和一个$n$阶实对称矩阵$A$构
成的二次函数，即$f(x) = x^TAx$。

二次型在许多领域中都有广泛的
应用，比如物理学、统计学和优化等等。

对于任意一个实对称矩阵$A$，我们都可以通过正交变换将其对
角化为对角矩阵$D$，即$A = Q^TDQ$，其中$Q$是正交矩阵。

这样，我
们就可以将二次型表示为$f(x) = x^TAx = x^TQ^TDQx =
(Qx)^TD(Qx)$，即$f(x)$的值仅由$Qx$的分量决定，而且每个分量之
间是相互独立的。

这种分离变量的特性使得计算二次型的值非常方便，同时也为研究二次型提供了极大的方便。

因此，对称矩阵和二次型之间的关系是十分紧密的，它们相互依存、相互辅助，在数学中扮演着非常重要的角色。

第六章-第六章二次型与对称矩阵第三讲

1 -1
A1 =1,
A2
= -
1
=2, 3
A3 = A = 6.
由定理4.5知f 正定.
解法4 用配方法，得
f =(x1-x2)2+2x22+3x32. 得f 的标准形为
f =y12+2y22+3y32.
由定理4.2知f 正定.
定义4.3 对实对称矩阵A, 如果实二次型 f(x)=xTAx正定(或负定、半正定、半负定、不定), 则称A是正定(或负定、半正定、半负定、不定)矩阵
关于正定矩阵的判定：
1o 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A可以合同于一个主对角元全为正数的对角矩阵.
2o 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全大于零.
3o 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式值全大于零.
4o n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A 的正惯性指数p=n.
定理4.3 实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是A的特征值全大于零.
考察实二次型的任意标准形与规范形之间的关系. 易知一个实二次型正惯性指数为p的充分必要条件是它的任意标准形中恰有p个平方项的系数大于零. 因此又有
定理4.4 n元实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数为n.
由定理4.2可知f 正定.
解法2 求二次型f 的矩阵A的特征值. 由
λ- 1 1 0 λE - A = 1 λ - 3 0
0 0 λ- 3
= (λ - 3)(λ2 - 4λ + 2)
可知A的特征值为
λ1=3, λ2=2 + 2, λ3=2 - 2.
由定理4.3知f 正定.
解法3 二次型矩阵A的三个顺序主子式值分别为

3二次型和对称矩阵的正定性.ppt

则称该二次型为正定二次型, 矩阵A为正定矩阵. 例1 二次型f (x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xn2是正定二次
型.因为对任意的 X (x1, x2 ,, xn )T 0,有 f (x1, x2 ,, xn ) 0.
而二次型 f (x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xr2 (r n)不是正定二次型.因为对任意的 X (0,,0, xr1,, xn )T 0,有
证明:
必要性 : 设二次型 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX , ( AT A)正定,
在通过可逆线性替换X CY化成的标准形
d1x12 dk xk2 dn xn2也正定.
根据定理5.6,必有di 0(i 1,2,,n).由此可得二次型的正惯性指数p n.
由于A的各顺序主子式 det Ak 0, k 1,2,, n.
根据归纳假设 , An1为正定矩阵. 所以, 存在n 1阶可逆矩阵 D, 使得DT An1D En1.
令
C1

D 0
则

An11
1
nn
C1T
AC1

DT
A T 1 n1
0 1
充分性 : 设二次型 f (x1, x2 ,, xn )的定惯性指数为 n.
则此二次型通过可逆线性替换可化为规范性
z12 z22 zn2
这是一个正定二次型.根据定理5.5, 原二次型
f (x1, x2,, xn ) X T AX也是正定二次型.
推论1 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于单位矩阵E.即存在可逆矩阵C, 有
记d ann T An11 ,

第六章-第六章二次型与对称矩阵第一讲

1 1 1 1 1 1 1 1
E A 1 1 1 1 ~ 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0
1
1 1
1
0
0
0 0
同解方程组 x1 x2 x3 x4 ,
x1 1 1 1
即
x2 x3 x4
k2
10 0k301 0k40 0 1
，
1
0
令
y1 y2
x1
x2 x3, x2 2x3,
即
x1 y1 y2 y3,
x2
y2 2 y3,
y3
x3,
x3
y3.
所用的可逆线性变换为
x1 1 1 1 y1
x2
0
1
2
y2
.
x3 0 0 1 y3
则该变换把 f 化成标准形为
f y12 y22 .
(1)的左边是一个二次齐次多项式, 从代数学的观点看, 化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式, 使它只有平方项.
现在我们把这类问题一般化, 讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
4.1 二次型概念
定义1.1 n个变量x1 , x2 ,…xn的二次齐次多项
式 f (x1, x2 , , xn ) 称为n元二次型, 实数域上的二次
y=P-1x
(4)
称为(3)式的逆变换.
今后关心的，就是用可逆线性变换化简二次型。
设x=Py是可逆的线性变换, 将二次型化为
f =(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y. 令 B=PTAP, 则B是对称矩阵, yTBy是新变量 y1,y2, …,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩阵A、B间的这种关系称为合同关系.

对称矩阵与二次型

第五章对称矩阵与二次型-

第五章三节二次型和对称矩阵的有定性

线性代数43二次型与对称矩阵的有定性

二次型矩阵定义

3.2 实对称矩阵与实二次型

3.2 实对称矩阵与实二次型

二次型矩阵形式

实对称矩阵与二次型

《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型

第3节 二次型和对称矩阵的有定性(12.10)

二次型及其矩阵表示

二次型与实对称矩阵-例题

3-2 实对称矩阵与实二次型

二次型和对称矩阵的关系

第六章-第六章二次型与对称矩阵第三讲

3二次型和对称矩阵的正定性.ppt

第六章-第六章二次型与对称矩阵第一讲

《线性代数及其应用》第七章对称矩阵和二次型

第3节二次型和对称矩阵的有定性(12.10)