3线性方程组解法课件-(精选、)
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第3章线性方程组的解法
本章探讨大型线性方程组计算机求解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方法。
重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。
3.1 实际案例
3.2问题的描述与基本概念
解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n>40）的求解问题使用价值并不大，因为其计算量太大。实际问题中经常遇到自变量个数n都很大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助计算机的帮助才能求出解。
n 个变元12,,,n x x x ⋯的线性方程组的一般形式为
11112211
211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++
+=⎩ （3.3）
式中，a ij 称为系数，b i 称为右端项，它们都是已知的
常数。如果有***
1122,,,n n x x x x x x ===使方程组（3.3）成立，则称值
***12
,,
,n x x x
为线性方程组的（3.3）的一组解。
本章在不作特别说明的情况下，主要讨论m=n 的线性方程组
11112211
21122222
1122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++
+=⎩
的求解问题，且假设它有唯一解。 线性方程组的矩阵表示
Ax b =
式中A 称为系数矩阵，b 称为右端项。
数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。
直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。
迭代法是一种逐次逼近的方法。
3.3线性方程组的迭代解法
线性方程组迭代解法有Jocobi 迭代法、Seidel 迭代法及Sor 法等
基本思想（与简单迭代法类比） 将线性方程组Ax b =等价变形为
x Bx g =+
以构造向量迭代格式
()
()
1k k x
Bx
g +=+
用算出的向量迭代序列()()1
2
,,
x x 去逼近解。
1. 构造原理
1）Jacobi 迭代法
（1)将线性方程组（3.4）的第i 个变元i x 用其他n-1个变元表出，可得
121)
)n n n n nn n a x a x a x ------- （3.5）
称（3.5）为不动点方程组。
（2）将（3.5）式写成迭代格式(Jacobi 迭代格式
):
（3.6） （3）取定初始向量()
()()
()
(
)
000012,,
,T
n
x
x x x =，代入，可逐次算出向量序列()()
(
)
1
2
,,,k x x x ，这里
()
()()
()
(
)12,,
,T
k k k k n
x
x x x =。
2）Seidel迭代法
Seidel迭代格式
:
3）Sor 法
用Seidel 迭代算出的()
1k x
+与()k x 相减得到差向量
()
()
1k k x x
x +∆=-
采用加速技术做下一步迭代：
(
)
()()()(
)
111k k
k
k x x x x x ωωω++=+∆=-+
得Sor 法的迭代格式
1,2,
,n
式中参数ω称为松弛因子，可以任意选取，当ω =1时，Sor 法就是Seidel 迭代法。
例如对线性方程组
⎪
⎩⎪
⎨⎧=+--=-+-=--2
453821027210321321321.x x x .x x x .x x x
先将其写成不动点方程组
1232133121(7.22)101(8.3)101(4.2)5x x x x x x x x x ⎧
=++⎪⎪
⎪
=++⎨⎪⎪
=++⎪⎩
Jacobi迭代
Seidel迭代
由
()()()() 11
1
k k k
x x x
ωω
++
=-+
得Sor
迭代
2.迭代分析及向量收敛
1） 三种迭代法的向量迭格式
对 Ax=b ，将系数矩阵A 作如下分解
A D L U =--
112212
121212
,0
0000000,00
00nn n n n n a a D a a a a a L U a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦