振动与波习题课

b
c
O
a
.
b
c X t
a 0
b

2
3 c 2
10.如图（a）为t=0时的波形曲线,经0.5s后波形变为（b） 求（1）波动方程 Y (a) (b) u
（2）P点的振动方程
解：O处的振动方程为 0.1
yo A cos(t )
由图得A=0.1 =/2 =4m
( 2k 1) 2 2 1 1 2 ( 2k 1) 4 r1 [ ] 2 ( 2k 1) 2 ( 2k 1)
Y
u=0.08m/s P . 0.02
X yo A cos(t ) -0.04 0.04 P点的振动方程 2 1 T u 0.08 令x=0.02 u 2 2 3 4 y P 0.04 cos(4t ) T 2 x y 0.04 cos[4 ( t ) ] 0.08 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2 2 1 B.同方向不同频率：拍 拍频为：
A. 同方向同频率：
2 1 2 2
C.两个相互垂直同频率的振动：椭圆 D.两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图 5.平面简谐波波动方程：
u 0.84m / s 取 /3
故得波动方程为
17 / 3
O a b
u
X
x y 0.1cos[7 ( t ) ]( m ) 0.84 3
13.题中图a表示一水平轻绳，左端D为振动器，右端 固定于B点。t0时刻振动器激起的简谐波传到O点。其 波形如图b所示。已知OB＝2.4m，u=0.8m/s. 求：（1） 以为计时零点，写出O点的谐振动方程；（2）取O 点 为原点，写出向右传播的波动方程；（3）若B 处有 半波损失，写出反射波的波动方程（不计能量损失）。 2 D O 解：（1）由 B u 2 2 y(cm) 得 u 80 4 40 4
（2）P点振动方程 x= /2
y P A cos[ 2u
X
x y A cos[ ( t ) 2 ] u 2 2u x A cos[ (t 2 ) ] u 2 2u
( t 2) ] 2


8.图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图 求（1）波动方程 （2）P处质点的振动方程 解：设原点处质点的振动方程为
b 0
c

2
d
7.如图所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形图 求（1）波动方程 （已知A、u、） y u A.P O
（2）P点处质点的振动方程 解：设原点处质点的振动方程为
yo A cos(t )
t=2s时O点位相
波动方程
t 2 2 2
D O y(cm)
4
-40 -20
B
y0 4 cos(4t
x(cm)

2
)( cm )
o
x ) （SI制），传到隔 14. 有一平面波y 2 cos 600 ( t 330 板的两个小孔A、B上，A、B 两点的间距1， 若A、B
传出的子波传到C点恰好相消。求C点到A点的距离。
x ) 解： y 2 cos 600 ( t 330 x 2 cos 2 (300t ) 1.1 所以， 1.1m 相消条件：r2 r1 ( 2k 1) 2
2.描写振动的基本物理量及其关系 A.振幅： A B.圆频率、频率和周期： , , T 2 T 1 C.初相位： 由系统决定圆频率： 由初始条件确定 A和
k
：
2
2 v0
m
A
x
2 0
v0 arctg( ) x 0
！！简谐振动可以用旋转矢量表示
A
r1 r2
C
B
k=0,1,2….
（1）
2 由几何关系有： r2
r 1
2 1
A
r1
C
(r2 r1 )( r2 r1 ) 1 r2 B 1 2 r2 r1 （2） r r ( 2k 1) 2 1 r2 r1 ( 2k 1) 2
所以
由（1）、（2）式可得：
得yO A cos

2
t
6.一简谐波沿x轴正向传播，t=T/4的波形如图所示，若振动
余弦函数表示，且各点振动的初相取 —到之间，则各点 的初相为: 解：沿波线方向位相逐点落后 由旋转矢量得 Y u
Y
a b . c d X t=0
a
b
c
O
O
d O a
2
t=T/4
P
(2) 某振动振幅为A，周期为T，设t＝T/4时，质 点位移为x= A / 2 ，且向正方向运动。则振动的 3 / 4 初位相为 ________ ,质点返回原点时的最小时 时刻 t _______ 3T / 8
0
5S
T /4
2.余弦波以波速u＝0.5m/s沿x轴正向传播，在 x=1m的P点振动曲线如图a所示。现另有一沿x轴 负向传播的平面余弦波在t=1s时的波形曲线如图
由 t =0, y=0 , v＜0 知： 2 y0 4 cos(4t )( cm )
2
-40
-20
o
x(cm)
（2） 向右传播的波动方程
x y 4 cos[4 ( t ) ]( cm ) 80 2
（3）反射波的波动方程
2OB x y 4 cos[4 ( t ) ] 80 2 x 4 cos[4 ( t ) ]( cm ) 80 2
波动方程
x l y A cos[ ( t ) ] u u
（2）写出距P点为b的Q点的振动方程 Y
l b
Y P u Q O P
b
O
X
Q u
X
x l y A cos[ ( t ) ] u u
将 x l b代入
x y A cos[ ( t ) ] u
b所示，试问这两列波是否是相干波？ 4
y(cm) 1 4 a
2
3
4
t(s) b
y(cm) 1 2 3 4
x(m)
3. 沿X轴负向传播的平面谐波在t＝2秒时的波形 曲线如图所示，波速u＝0.5m/s，则原点O点的振
y0 0.5 cos( t 1) m 动表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。 2
（1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程
（2）写出距P点为b的Q点的振动方程 Y Y
l b
b
O
P u
Q
X
O P
Q
X
l yO A cos[ ( t ) ] u
波动方程
原点的振动方程
u 原点的振动方程
yO A cos(t )
x y A cos[ ( t ) ] u
的振动规律如图 （1）求出P处质点的振动方程
（2）求此波的波动方程
（3）若图中d=/2，求O处质点的振动方程 解： Y O t=0 t=1 O
y
.
=
t=/2 = /2
1
t
y P A cos( t ) 2

d
O P X
（2）波动方程
t时刻原点的振动为 t-d/时刻P点的振动 原点的振动方程为： O
9.如图为沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形图 （ 1）若沿X轴正向传播，确定各点的振动位相 （2）若沿X轴负向传播，确定各点的振动位相 u Y Y
a
a
c
b
O
a
.
b
c X t
a 0
b

2
3 c 2
（2）若沿X轴负向传播，确定各点的振动位相 u Y Y
a
a
将 x b代入
b yQ A cos[ ( t ) ] u
b yQ A cos[ ( t ) ] u
12.一平面简谐波沿x正方向传播，振幅A＝10cm，圆频 1 率 7s 当t=1.0s时，位于x=10cm处的质点a经过 平衡位置向y轴负方向运动。此时,位于x=20cm处的质 点b的位移为5cm, 且向y轴正方向运动。设该波波 长 10cm ，试求该波的波动方程。
y(m)
0.5 -
.P 1
2
t(s)
4.设波源位于坐标原点O，波
源的振动曲线如图，u＝5m/s。 沿X正方向传播。（1）画出 距波源25m处质点的振动曲 线；（2）画出t=3s时的波形 曲线。
y(cm) 2. 2 4 t(s)
y(cm)
2.P 2 4
t(s)
y(cm) 2. 10 20 x(m)
5.一平面简谐波沿X轴负向传播，波长为，P点处质点
同理 得
cos(7 1.4 / u ) 0.5
vb 0
7 1.4 / u / 3
注意a点落后于b点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相 取 / 2时，b点的位相只能取－ / 3（还考虑了 10cm 以及 xb xa 10cm 的条件。）
解：设该波的波动方程为：
求解的关键是求出波速u 及原点的初位相
x y A cos[ ( t ) ] u
O
a
b u
X
方法I：解析法。 由题意知t=1.0s时
x ya 0.1cos(7 7 ) 0 v a 0 u
所以
7 0.7 / u / 2