20112017高考全国卷文科数学坐标系与参数方程汇编
2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程
新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程一、解答题【2018，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y=k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l ，求a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
20122017年高考文科数学真题汇编坐标系和参数方程老师版
学科教师辅导教案 学员姓名 年 级高三 辅导科目 数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2017年 月 日 ： — ：1.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ()2,4- ．2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y x +-=,联立解历年高考试题集锦——坐标系和参数方程3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e 的极坐标方程为23sin ρθ=.(I)写出C e 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.试题解析：(I)由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=，从而有2223x y y +=所以()2233x y +-=(II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则22213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).4、（2015新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1222,2ρρ==.故122ρρ-=，即2MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12.5、（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+=即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a =6、（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭， 即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±． 7、（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.8、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.所以1216||7AB t t =-=.9．（2013江苏理）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x （θ为参数），试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析汇报几何总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，0tantan 602AEB a b ∠==≥=1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，0tantan 602AEB a b ∠==≥=9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AM B ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ．∵e =c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF 的面积为( )．A ．2B ．．．4 答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P ＝y P ＝±S △POF ＝12|OF |·|y P |＝ 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C．3 D．2【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===． 【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）．A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2px =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为 ．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|PA |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2-y 2=8消去x 整理得y 2+-96=0，解得y=y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.k <. 所以k的取值范围是. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ 所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1.故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝4±当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±， 所以|AB ||x 2－x 1|＝187.当k＝4-|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
2012-2017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版
C的极坐标方程为C的直角坐标方程；为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求点ρ=(I)由2：化为普通方程为2=由题意：y x，（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【简解】（I ）直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=. （II ）因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=≤,解得2525a -≤≤12. (2014新标1理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【简解】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255. 13.(2013新标2理) 已知动点P 、Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【简解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为{x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．14、已知点A 的极坐标为(2,)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；。
最新—2017高考全国卷ⅰ文科数学坐标系与参数方程汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
20122017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版.doc
C的极坐标方程为C的直角坐标方程；为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求点ρ=(I)由2：化为普通方程为2=由题意：y x，（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【简解】（I ）直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=. （II ）因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=≤,解得2525a -≤≤12. (2014新标1理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【简解】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255. 13.(2013新标2理)已知动点P 、Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【简解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点． 14、已知点A 的极坐标为(2,)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．2=，15．（2012辽宁）在直角坐标-3）(-3≤≤3) 16．(2013新标1) 已知曲线⎝⎛⎭⎫2，π4⎭⎫，π217．（2013辽宁）⎭⎪⎫－422. ＝2t3解⎨⎪⎧x2＋－＝4，得⎨⎪⎧x1＝0，⎨⎪⎧x2＝2，所以C 与C 交点的一个极坐标为 ⎛⎪⎫4，π，＝12|OA ⎭⎫－π3⎪⎪⎭⎫－π3－32＋ 3. ＝－π12时，＋ 3.＋ 3.23．(2017·全国Ⅲ文，22)在直角坐标系＝m k －2＝＝1k (设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y ＝1k＋消去k 得x －y ＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x －y ＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧－＝4，＋－2＝0，得＝－13，从而＝910，＝110.的极径为 5.24．(2017·江苏，21)在平面直角坐标系中＝t222s22s 从而点P 到直线的距离d ＝|2s2－42s ＋8|5＝－2＋4|，当s ＝2时，d ＝45.。
2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——13.坐标系与参数方程
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编13．坐标系与参数方程（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2016·23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =求l 的斜率.（2015·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3:ρθ=. （Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.（2014·23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013·23）已知动点P ，Q 都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.（2012·23）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π. （Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围.（2011·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v，P 点的轨迹为曲线C 2.（Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编13．坐标系与参数方程（逐题解析版）（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2017·22）解析：（1）解法一：设P 点在极坐标下坐标为(),ρθ 由16OM OP ⋅=可得M 点的坐标为16,θρ⎛⎫⎪⎝⎭，代入曲线1C 的极坐标方程，得： 16cos 4θρ=，即4cos ρθ=，两边同乘以ρ，化成直角坐标方程为：224x y x +=，由题意知0ρ>，所以检验得224(0)x y x x +=≠．解法二：设P 点在直角坐标系下坐标为(),x y ，曲线1C 的直角坐标方程为4x =，因为,,O P M 三点共线，所以M 点的坐标为44,y x ⎛⎫⎪⎝⎭，代入条件16OM OP ⋅=得：16=，因为0x >，化简得：224(0)x y x x +=≠．（2）解法一：由（1）知曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，故可设B 点坐标为(4cos ,)θθ，2124cos sin()2sin cos 2sin 223OAB S πθθθθθθθ∆=⋅⋅⋅-=-=-+2s i n (233πθ=--，由22ππθ-≤≤得2OAB S ∆≤2+．解法二：在直角坐标系中，A点坐标为，直线OA0y -=．设点B 点坐标(,)x y ，则点B 到直线OA的距离d =，所以122OABS d ∆=⋅⋅=B 坐标满足方程22(2)4x y -+=，由柯西不等式得：2222(2)(1)2)x y x y⎤⎤⎡⎤-++-≥--⎣⎦⎦⎥⎦，即42)4x y-≤--≤，即44y-+≤-≤+由OABS∆=2OABS∆≤+（2016·23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(+6)+=25x y.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinx ty tαα=⎧⎨=⎩（t为参数），l与C交于A，B两点，AB=求l的斜率.（2016·23）解析：⑴整理圆的方程得2212110x y+++=，由222cossinx yxyρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知，圆C的极坐标方程为212cos110ρρθ++=．(2)记直线的斜率为k，则直线的方程为0kx y-=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014kk=+，整理得253k=，则k=．（2015·23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinx ty tαα=⎧⎨=⎩（t为参数，t≠0）其中0απ≤<，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:2sinρθ=，C3:ρθ=.（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.（2015·23）解析：（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220x y y+-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y+-=.联立222220x y yx y⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得xy=⎧⎨=⎩或32xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2C与3C交点的直角坐标为(0,0)和3)2.（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为(,0)Rθαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此A的极坐标为(2sin,)αα，B的极坐标为,)αα，所以|||2sin|4|sin()|3ABπααα=-=-，当56πα=时，||AB取得最大值，最大值为4.（2014·23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2014·23）解析：（Ⅰ）设点M (x , y )是曲线C 上任意一点，∵2cos ρθ=，∴222x y x +=， 即：22(1)1x y -+=，∴C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数，0ϕπ≤≤)．（Ⅱ）设点D (1+cos φ, sin φ)，∵C 在D 处的切线与直线l：2y =+垂直，∴直线CD和l的斜率相同，∴sin tan cos ϕϕϕ==0ϕπ≤≤，3πϕ∴=，∴sin 21cos 2ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点D的坐标为3(,22.（2013·23）已知动点P ，Q 都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点. （2013·23）解析：（Ⅰ）依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．（Ⅱ）M点到坐标原点的距离d =＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0， 故M 的轨迹过坐标原点．（2012·23）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π. （Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围.（2012·23）解析：（Ⅰ）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （Ⅱ） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12c o s (33s i n )P A P B P C P D ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.（2011·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v，P 点的轨迹为曲线C 2.（Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.（2011·23）解析：（I ）设P (x , y )，则由条件知(,)22x yM . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||AB ρρ-==。
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学坐标系与参数方程汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程一、解答题【 2021 ，22】在直角坐标系 x 3cos , 为参数〕，直线 l 的参数方程为xOy 中，曲线 C 的参数方程为 sin 〔 y , x a 4t ,y 1 〔 t 为参数〕．t ,〔1〕假设a 1 ，求 C 与 l 的交点坐标； 〔 2〕假设 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a ．xOy 中，曲线 C 1 x a cost, 【 2021，23】在直角坐标系 的参数方程为 1 (t 为参数， a 0) ．在以坐标y asin t , 原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 : 4 cos ．〔Ⅰ〕说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程； 〔Ⅱ〕直线 C 3 的极坐标方程为，其中 0 满足 tan 0 2，假设曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．【 2021 ， 23】在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x =2 22，圆 C2： x 1 y 21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .〔 I〕求 C1， C2的极坐标方程；〔 II 〕假设直线 C3的极坐标方程为R ，设C2与C3的交点为 M ,N ，求C2MN 的面积 .4【 2021， 23】曲线 C ：x2y21，直线 l ：x 2 t 〔 t 为参数〕 .4 9 y 2 2t(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔Ⅱ〕过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o的直线，交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.【 2021， 23】曲线 C1的参数方程为x 4 5cost,x 轴的正半轴为y 5(t 为参数 )，以坐标原点为极点，5sin t极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝ 2sin θ.(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标 (ρ≥0,0 θ≤＜2π)．【 2021， 23】曲线 C1x 2cos的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，y 3sin极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2 。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—13.坐标系与参数方程
2011年—2018年新课标全国卷文科数学试题分类汇编13．坐标系与参数方程（逐题解析版）（2018·新课标Ⅰ，文22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=（I ）求2C 的直角坐标方程；（II ）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。
（2018·新课标Ⅱ，文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()12，，求l 的斜率．（2018·新课标Ⅲ，文22） [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．(1)α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．（2017·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．（2017·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2017·新课标Ⅲ，22）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（2016·新课标Ⅰ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．（2016·新课标Ⅱ，23）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB，求l 的斜率.（2016·新课标Ⅲ，23）在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)。
2012-2017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版
第1页（共 10 页）学科教师辅导教案
学员姓名
年级高三辅导科目数学授课老师
课时数2h 第次课授课日期及时段 2017年月日
：—：1.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
线1C 的极坐标方程为cos
sin 2，曲线2C 的参数方程为222x
t y t （t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为2,4．
2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x
t C y t （t 为参数,且0t ）,其中0,
在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中
,曲线23:2sin ,:23cos .C C （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.
试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y ,22230x y x ,联立解
历年高考试题集锦——坐标系和参数方程。
2011年—2017年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——14.坐标系与参数方程
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编14．坐标系与参数方程（逐题解析版）（2017·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．（2017·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2017·新课标Ⅲ，）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（2016·新课标Ⅰ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．（2016·新课标Ⅱ，23）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =l 的斜率.（2016·新课标Ⅲ，23）在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)。
2012-2017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版
学科教师辅导教案 学员姓名 年 级高三 辅导科目 数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2017年 月 日 : - ：1。
(2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,则1C 与2C 交点的直角坐标为 ()2,4- ．2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ),其中0απ≤<,在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I)求2C 与3C 交点的直角坐标； (II ）若1C 与 2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.试题分析：(I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y x +-=,联立解历年高考试题集锦——坐标系和参数方程3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=.（I)写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.试题解析：（I ）由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=，从而有2223x y y +=所以()2233x y +-=(II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则22213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0)。
2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—坐标系与参数方程
新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编——坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
历年高考文科数学汇编坐标系与参数方程
坐标系与参数方程1、（2018.22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．2、（2017.22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a..17d =当4a ≥-时，d=8a =；当4a <-时，d.=16a =-. 综上，8a =或16a =-.3、（2016.22）在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 解：⑴ cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数） ∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程4、（2015.22） 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）。
（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。
【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 析一、解答题【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．【解析】（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．曲线C 的标准方程是2219x y +=，联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则P 到l距离d ==，其中3tan 4ϕ=． 依题意得：max d =，解得16a =-或8a =．【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=,∴1a =【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.解析：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN |=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 225当()sin 1θα+=时，||PA 25.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）。
（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。
【解析】（1）曲线1C 的参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x 化为直角坐标方程为22149x y +=， 曲线2C 的极坐标方程2=ρ化为 直角坐标方程为224x y +=，因为点A 的极坐标为（2，3π）， 所以点B 的极坐标为（2，56π），点C 的极坐标为（2，43π），点D 的极坐标为（2，116π），因此点A 的直角坐标为（1，3），点B 的直角坐标为（3-，1），点C 的直角坐标为（－1），点D，－1）。
（2）设P （2cos ϕ，3sin ϕ），则2222||||||||PD PC PB PA +++2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ=-++++-2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ++++-++2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ=-++++-2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ++++-++220sin 32ϕ=+[32,52]∈。
因此2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[32，52]。
【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩.从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=.。