第8章 非正弦周期电流电路
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T
1 U T 1 U 2T T
（0<t<T)
T
0
1 u 2 (t )dt T
T
0
2 Um 2 Um ( t ) dt T T3
O
T
1 t u (t )dt 0 T
T 2
T
0
2 Um 2 Um t3 T Um ( t ) dt ( ) |0 3 T 3 T 3
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
8．1 周期函数的傅立叶级数分解
满足一定条件的周期函数可以分解为傅立叶级数： 1、
f (t ) A0
[a
k 1
k
cos(kt ) bk sin(kt )]
2 ( T为信号f(t)的周期） 其中： T 1 T 1 2 A0 f (t )dt f (t )dt T 0 2 0
U I 5m 5m 0 . 37 86 . 4 A Z5 32.186.4
5C 120
瞬时值叠加：
i i1 i3 i5 0.75 cos(t 88.6 ) 10 cos 3t 0.37 cos(5t 86.4 ) A
22 b 2 2 幅度频谱 A a A a b 幅度频谱 幅度频谱 km k km k k k ------ bb k 相位频谱 相位频谱 kk arctan arctan k ------相位频谱 a ak k
8．3 非正弦周期电流电路的计算
例题8.4： us 60cost 20cos3t 12cos5t V，R = 2Ω， wL = 10Ω 1/wC = 90Ω。求电流i及电源输出的平均功率
i R
解：基波：
L C
+ us -
1 Z1 R j (L ) 2 j80 80 88.6 容性 C U 60 0 1 m I 0 . 75 88 . 6 A 1m Z1 80 88.6
P U 0 I 0 U k I k cos k P0 Pk
k 1 k 1
非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波分量
和各次谐波分量分别产生的平均功率之和
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
例题8.1：求图示锯齿波电压有效值
u Um
解： u(t ) U m t
2 ak T 2 bk T
f (t ) cos(kt )dt f (t ) cos(kt )d (t )
0 0
T
1
2
f (t ) sin(kt )dt f (t ) sin(kt )d (t )
0 0
T
1
2
8．1 周期函数的傅立叶级数分解
T
0
2
0
谐波分析： A cos(kt ) ) k k次谐波 A 次谐波 km km cos(kt k k 周期函数 = 恒定（直流）分量 + 基波分量 + 各次谐波分量
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
一、有效值 任意周期量有效值：
1 I T
1 I T
8．3 非正弦周期电流电路的计算
一般步骤：
（1）将非正弦周期电源分解为傅氏级数： 恒定（直流）分量 + 基波分量+各次谐波分量 （2）分别求直流分量、基波、各次谐波分量单独作用响应
L：相当于短路 注意： 直流 C：相当于开路
L：X Lk kL 交流 1 C ： X Ck kC
3次谐波：
Z 3 R j (3L
I 3m U 3m Z3
1 ) 2 j 0 20 阻性 3C 200 10 0 A 20
8．3 非正弦周期电流电路的计算
5次谐波：Z 5 R j(5L 1 ) 2 j（50 18） 2 j32 32.186.4 感性
（3）各响应分量瞬时表达式叠加 注意：不同频率正弦量的相量不能直接相加
U S1 10 V, u S 2 20 2 costV, iS (2 2 2 cost )A, 10 rad/s 例题8.3： (1)求u及其有效值；(2) 求电流源发出的平均功率。
0 .4 H
2
8．3 非正弦周期电流电路的计算
例题8.2：已知在关联参考方向下某一端口网络的端口 电压： u [50 84.6 cos(t 30 ) 56.6 cos(2t 10 )]V 电流：i [1 0.707 cos(t 20 ) 0.424 cos(2t 50 )]A
求端口电流的有效值以及该一端口网络输入的平均功率。 解：
j4
2
10 F
U S1
百度文库
uS2
(a)
u
iS
2
10V
U0
2A
j10
2
20 A
200 V
U
1
（b） 直流分量作用电路
（ c） 基波分量作用电路
解：直流分量响应 U 0 10 V 2 2A 14 V
1 1 20 V 2A 解得 [ ] U 交流分量响应 (2 j4) j10 1 j10
2、
f (t ) A0
A
k 1
km
cos(kt k )
1 2 其中： A0 1 T2 2 t) dt (t )dt ------平均值 恒定分量 直流分量 Akm a kf ( b f 幅度频谱 k
bk arctan 基波分量 相位频谱 A t 1 ) -----k 1m cos( ak Akm cos(kt k ) ------K k次谐波 次谐波分量
1 1 2 I 1 0.707 0.4242 1.45A 2 2 P U 0 I 0 U1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2
P [50 1 84.6 0.707 56.6 0.424 cos(30 20 ) cos(10 50 )]W 2 2 2 2 78.42 W
设一端口网络端口电压、电流取关联参考方向
输入平均功率：
1 T
1 P T
[U 0
T
0
1 pdt T
km
uidt
0
T
T
0
U
k 1
cos(kt uk )][ I 0
I
k 0
km
cos(kt ik )]dt
U 0 I 0 U 1 I 1 cos1 U 2 I 2 cos 2
T
0
i 2 dt 方均根
T
0
[I 0
k 1
2 2 I km cos(kt k )] 2 dt I 0 I 12 I 2
非正弦周期量有效值等于它的恒定分量、基波分量和 各谐波分量有效值的平方和的平方根
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
二、平均功率
第8章 非正弦周期电流电路
直流电路：电路中的电压、电流均为直流量 正弦电流电路：电路中的电压、电流均为同频率正弦量 实际直流电源存在纹波，实际正弦电源存在畸变
非正弦周期电流电路： 电路中电压、电流为非正弦、周期量（方波、锯齿波..） 种类： 非正弦周期电源作用的线性电路 直流电源和正弦电源共同作用的线性电路 多个不同频率正弦电源作用的线性电路 正弦电源作用的非线性电路 本章内容：线性、非正弦、周期电流电路的计算
U1 2090 V
2 2 2 2 U U U ( 14 ) ( 20 ) V 24.4V u U0 u1 [14 20 2 cos( t090 P 2U 2U)]V cos(90 0 ) 0 1 1
P 2U 0 2U1 cos(90 0 ) (14 2 20 2cos90 )W 28W (14 2 20 2cos90 )W 28W
输出功率： P U 1 I 1 cos 1 U 3 I 3 cos 3 U 5 I 5 cos 5
1 1 1 60 0.75 cos(88.6 ) 20 10 12 0.37 cos(86.4 ) 2 2 2 0.55 100 0.14 100.7W
1 1 1 2 2 2 P I R ( 0 . 75 10 0.372 ) 2 50.35 2 100 .7W 或者： 2 2 2
本章小结
1、 非正弦周期电流电路有效值和平均功率的计算
2、非正弦周期电流电路计算方法——谐波分析法
1 U T 1 U 2T T
（0<t<T)
T
0
1 u 2 (t )dt T
T
0
2 Um 2 Um ( t ) dt T T3
O
T
1 t u (t )dt 0 T
T 2
T
0
2 Um 2 Um t3 T Um ( t ) dt ( ) |0 3 T 3 T 3
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
8．1 周期函数的傅立叶级数分解
满足一定条件的周期函数可以分解为傅立叶级数： 1、
f (t ) A0
[a
k 1
k
cos(kt ) bk sin(kt )]
2 ( T为信号f(t)的周期） 其中： T 1 T 1 2 A0 f (t )dt f (t )dt T 0 2 0
U I 5m 5m 0 . 37 86 . 4 A Z5 32.186.4
5C 120
瞬时值叠加：
i i1 i3 i5 0.75 cos(t 88.6 ) 10 cos 3t 0.37 cos(5t 86.4 ) A
22 b 2 2 幅度频谱 A a A a b 幅度频谱 幅度频谱 km k km k k k ------ bb k 相位频谱 相位频谱 kk arctan arctan k ------相位频谱 a ak k
8．3 非正弦周期电流电路的计算
例题8.4： us 60cost 20cos3t 12cos5t V，R = 2Ω， wL = 10Ω 1/wC = 90Ω。求电流i及电源输出的平均功率
i R
解：基波：
L C
+ us -
1 Z1 R j (L ) 2 j80 80 88.6 容性 C U 60 0 1 m I 0 . 75 88 . 6 A 1m Z1 80 88.6
P U 0 I 0 U k I k cos k P0 Pk
k 1 k 1
非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波分量
和各次谐波分量分别产生的平均功率之和
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
例题8.1：求图示锯齿波电压有效值
u Um
解： u(t ) U m t
2 ak T 2 bk T
f (t ) cos(kt )dt f (t ) cos(kt )d (t )
0 0
T
1
2
f (t ) sin(kt )dt f (t ) sin(kt )d (t )
0 0
T
1
2
8．1 周期函数的傅立叶级数分解
T
0
2
0
谐波分析： A cos(kt ) ) k k次谐波 A 次谐波 km km cos(kt k k 周期函数 = 恒定（直流）分量 + 基波分量 + 各次谐波分量
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
一、有效值 任意周期量有效值：
1 I T
1 I T
8．3 非正弦周期电流电路的计算
一般步骤：
（1）将非正弦周期电源分解为傅氏级数： 恒定（直流）分量 + 基波分量+各次谐波分量 （2）分别求直流分量、基波、各次谐波分量单独作用响应
L：相当于短路 注意： 直流 C：相当于开路
L：X Lk kL 交流 1 C ： X Ck kC
3次谐波：
Z 3 R j (3L
I 3m U 3m Z3
1 ) 2 j 0 20 阻性 3C 200 10 0 A 20
8．3 非正弦周期电流电路的计算
5次谐波：Z 5 R j(5L 1 ) 2 j（50 18） 2 j32 32.186.4 感性
（3）各响应分量瞬时表达式叠加 注意：不同频率正弦量的相量不能直接相加
U S1 10 V, u S 2 20 2 costV, iS (2 2 2 cost )A, 10 rad/s 例题8.3： (1)求u及其有效值；(2) 求电流源发出的平均功率。
0 .4 H
2
8．3 非正弦周期电流电路的计算
例题8.2：已知在关联参考方向下某一端口网络的端口 电压： u [50 84.6 cos(t 30 ) 56.6 cos(2t 10 )]V 电流：i [1 0.707 cos(t 20 ) 0.424 cos(2t 50 )]A
求端口电流的有效值以及该一端口网络输入的平均功率。 解：
j4
2
10 F
U S1
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uS2
(a)
u
iS
2
10V
U0
2A
j10
2
20 A
200 V
U
1
（b） 直流分量作用电路
（ c） 基波分量作用电路
解：直流分量响应 U 0 10 V 2 2A 14 V
1 1 20 V 2A 解得 [ ] U 交流分量响应 (2 j4) j10 1 j10
2、
f (t ) A0
A
k 1
km
cos(kt k )
1 2 其中： A0 1 T2 2 t) dt (t )dt ------平均值 恒定分量 直流分量 Akm a kf ( b f 幅度频谱 k
bk arctan 基波分量 相位频谱 A t 1 ) -----k 1m cos( ak Akm cos(kt k ) ------K k次谐波 次谐波分量
1 1 2 I 1 0.707 0.4242 1.45A 2 2 P U 0 I 0 U1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2
P [50 1 84.6 0.707 56.6 0.424 cos(30 20 ) cos(10 50 )]W 2 2 2 2 78.42 W
设一端口网络端口电压、电流取关联参考方向
输入平均功率：
1 T
1 P T
[U 0
T
0
1 pdt T
km
uidt
0
T
T
0
U
k 1
cos(kt uk )][ I 0
I
k 0
km
cos(kt ik )]dt
U 0 I 0 U 1 I 1 cos1 U 2 I 2 cos 2
T
0
i 2 dt 方均根
T
0
[I 0
k 1
2 2 I km cos(kt k )] 2 dt I 0 I 12 I 2
非正弦周期量有效值等于它的恒定分量、基波分量和 各谐波分量有效值的平方和的平方根
8．2 非正弦周期量的有效值和平均功率
二、平均功率
第8章 非正弦周期电流电路
直流电路：电路中的电压、电流均为直流量 正弦电流电路：电路中的电压、电流均为同频率正弦量 实际直流电源存在纹波，实际正弦电源存在畸变
非正弦周期电流电路： 电路中电压、电流为非正弦、周期量（方波、锯齿波..） 种类： 非正弦周期电源作用的线性电路 直流电源和正弦电源共同作用的线性电路 多个不同频率正弦电源作用的线性电路 正弦电源作用的非线性电路 本章内容：线性、非正弦、周期电流电路的计算
U1 2090 V
2 2 2 2 U U U ( 14 ) ( 20 ) V 24.4V u U0 u1 [14 20 2 cos( t090 P 2U 2U)]V cos(90 0 ) 0 1 1
P 2U 0 2U1 cos(90 0 ) (14 2 20 2cos90 )W 28W (14 2 20 2cos90 )W 28W
输出功率： P U 1 I 1 cos 1 U 3 I 3 cos 3 U 5 I 5 cos 5
1 1 1 60 0.75 cos(88.6 ) 20 10 12 0.37 cos(86.4 ) 2 2 2 0.55 100 0.14 100.7W
1 1 1 2 2 2 P I R ( 0 . 75 10 0.372 ) 2 50.35 2 100 .7W 或者： 2 2 2
本章小结
1、 非正弦周期电流电路有效值和平均功率的计算
2、非正弦周期电流电路计算方法——谐波分析法