抛物线的基本几何特征
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3.已知抛物线的顶点为（3，4），与y轴的交 点为（0，1）求抛物线的解析式.
（几何特征法）
4.已知抛物线 y x2 bx c 经过点A（-1，0）
B（3，0），求它的解析式 （待定系数法）
5.已知 抛物线 y ax2 bx c（a≠0）经过点
A（-2，3）、B（1，6）、C （4，3）， 求它的 解析式。（待定系数法）
移│m│ 个单位；然后再 向 上 （n＞0）平 移 n 个单位或者向下 （n＜0）平移│n│ 个 单位而得到.
二次函数的解析式
1.已知函数 y (k 2)xk2k4 1 是关于x的二次函
数，求k的值并写出函数的解析式（用定义）
2.用一根长为8m的木条，做成一个小长方形 的窗框。若宽为x m，窗户面积为y m 2，求 y与x的函数解析式 （列方程法）
大值为 1 ，它是由抛物线 y 2x2
先向 右 平移 3 个单位，然后再向 上 平
移 1 个 单位而得到.
数学实验室
抛物线 y a(x m)2 n 的几何特征：
当a 0时，抛物线的开口向上
开口的方向 •
当a
0时，抛物线的开口向下
• 顶点（m，n），对称轴 x= m
• 若a＞0，当x＜m时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞0时，函数y随x的增大而减小；
若a＞0，当x=0时，函数y有最小值0； 若a＜0, 当x=0时，函数y有最大值0
（1）抛物线 y 2x2 3 的开口向上 ，顶点（0，-3，）
对称轴 x=0，当x ＜0时，y随着x的增大而减小， 当 x＞0 时，y随着x的增大而增大；当x =0 时， 函数y有最 小 值，最小值为 -3 ，它是由
• 顶点（m，0），对称轴 x=m • 若a＞0，当x＜m时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞m时，函数y随x的增大而增大； • 若a ＜ 0，当x＜m时，函数y随x的增大而增大，
当x ＞m时，函数y随x的增大而减小
• 若a＞0，当x=m时，函数y有最小值0；
若a＜0, 当x=m时，函数y有最大值0.
• 抛物线 y ax2 c的几何特征：
• 抛物线的开口方向 当a 0时，抛物线的开口向上
当a 0时，抛物线的开口向下
• 抛物线的顶点（0，c），对称轴 x=0 • 若a＞0，当x＜0时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞0时，函数y随x的增大而增大； • 若a ＜ 0，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，
对称轴 x=-3 ，当x＜-3 时，y随着x的增大而减小，
当x ＞时-，3 y随着x的增大而增大；当x 时=-，3
函数y有最 值小，最小值为 ，它0 是由抛物线
向 y 平2移x2 个单左位而得3到.
抛物线 y 2(x 3)2 的开口 向 ，顶点（3，0，）
对称轴 x=3 ，当x ＜3 时，y随下着x的增大而增大，
当x
＞时3，y随着x的增大而减小；当x 时=3，
函数y有 最 值大，最大值为 ，它0 是由抛物线
向 y 平2移x2 右个单位而得3 到.
பைடு நூலகம்
数学实验室
• 抛物线 y a(x m)2 的几何特征： • 抛物线的开口的方向 当a 0时，抛物线的开口向上
当a 0时，抛物线的开口向下
当x ＞0时，函数y随x的增大而减小
• 若a＞0，当x=0时，函数y有最小值c；若a ＜0, 当x=0时，函数y有最大值c.
• 它的图像是由抛物线 y ax2 向上 （c＞0）
平移 c 个单位；或者向 下 （c＜0）平移 个单位 │c│ 而得到.
抛物线 y 2(x 3)2 的开口 向上，顶点（-3，0），
抛物线的基本几何特征
1.已知抛物线 y 2x2，它的开口 向上，顶点 （0，，0）
对称轴 x=0，当x ＜0 时，y随着x的增大而减小， 当x ＞时0，y随着x的增大而增大； 当x =0 时，函数y有最小 值，最小值为 0 ，而
抛物线 y 2x2 它的开口向下 ，顶点（0，0），
对称轴x=0 ， 当=x0 时，函数y有最大 值，最大 值为0 ，当＜x 0 时，y随着x的增大而增大，当
x ＞0 时，y随着x的增大而减小。
数学实验室
• 一般的，抛物线 y ax2的几何特征：
当a 0时，抛物线的开口向上 当a 0时，抛物线的开口向下
顶点（0，0），对称轴 x=0 若a＞0，当x＜0时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞0时，函数y随x的增大而增大； 若a＜ 0，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，
当x ＞m时，函数y随x的增大而增大；
• 若a＜ 0，当x＜m时，函数y随x的增大而增大，
当x＞m时，函数y随x的增大而减小；
• 若a＞0，当x=m时，函数y有最小值n；若 a＜0, 当x=m时，函数y有最大值n.
• 它的图像由 抛物 线 y ax2向 右 （m＞0）
平移 m 个单位或者向 左 （m＜0）平
抛物线 y 2x2 向 下 平移 3 个单位而得到.
（2）抛物线 y 2x2 3 的开口 向下 ，顶点（0，，3）
对称轴 x=0，当x＜0时，y随着x的增大而增大，
当x ＞0时，y随着x的增大而减小；当x =0 时， 函数y有最大 值，最大值为3 ，它是由抛物线
y 2x2 向 上 平移 3 个单位而得到. 数学实验室
最小值为 ，-它1 是由抛物线 y 2x2
先向左 平移 3 个单位，然后再向 下 平移
1 个单位而得到.
• 抛物线 y 2(x 3)2 1 的开口向下，顶
点(3,1) ，对称轴X=3 ， 当x＜3 时，y随着x 的增大而增大，当x ＞3 时，y随着x的增大 而减小；当x =3 时，函数y有最 大 值，最
• 它的图像是由抛物线 y ax2
向 右 （m＞0）平移 m 个单位； 或者向 左 （m＜0）平移│m│ 个单位而得 到.
• 抛物线 y 2(x 3)2 1 的开口向上，顶
点 (-3,-1) ，对称轴 X=-3 ，当x＜-3 时，y随 着x的增大而减小，当x＞-3 时，y随着x的 增大而增大；当x =-3 时，函数y有最 小 值，
1.利用配方法 2.利用顶点坐标公式法 3.利用抛物线的对称性 4.综合应用
辅导资料 p97
6.已知抛物线 y ax2 bx c （a≠0）是由
抛物线 y 2(x 3)2 平移得到，而一元二
次 方程 ax2 bx c 0（a≠0）的两个根
分别为 -1，3 ，求抛物 线的解析式（小综合）
二次函数的解析式
求二次函数解析式的常用方法 （1）定义法 （2）列方程法 （3）几何特征法 （4）待定系数法 （5）综合应用法
如何求抛物线的顶点
1. 已 知抛物线 y 1 x2 x 3 ，求则抛物线的
顶点
4
（两种基本方法）
2. 已知抛物线y= -2（x+1）（x-3），求抛 物线的顶点.（利用对称性）
3. 已知抛物线经过A（-1，3）、B（3，3）、 C（1，5）三点，求抛物线的顶点（. 拓展）
4 . 已知抛物线的对称轴x= -1，且顶点在直 线 y= -x+3上，求抛物线的顶点（. 小综合）
（几何特征法）
4.已知抛物线 y x2 bx c 经过点A（-1，0）
B（3，0），求它的解析式 （待定系数法）
5.已知 抛物线 y ax2 bx c（a≠0）经过点
A（-2，3）、B（1，6）、C （4，3）， 求它的 解析式。（待定系数法）
移│m│ 个单位；然后再 向 上 （n＞0）平 移 n 个单位或者向下 （n＜0）平移│n│ 个 单位而得到.
二次函数的解析式
1.已知函数 y (k 2)xk2k4 1 是关于x的二次函
数，求k的值并写出函数的解析式（用定义）
2.用一根长为8m的木条，做成一个小长方形 的窗框。若宽为x m，窗户面积为y m 2，求 y与x的函数解析式 （列方程法）
大值为 1 ，它是由抛物线 y 2x2
先向 右 平移 3 个单位，然后再向 上 平
移 1 个 单位而得到.
数学实验室
抛物线 y a(x m)2 n 的几何特征：
当a 0时，抛物线的开口向上
开口的方向 •
当a
0时，抛物线的开口向下
• 顶点（m，n），对称轴 x= m
• 若a＞0，当x＜m时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞0时，函数y随x的增大而减小；
若a＞0，当x=0时，函数y有最小值0； 若a＜0, 当x=0时，函数y有最大值0
（1）抛物线 y 2x2 3 的开口向上 ，顶点（0，-3，）
对称轴 x=0，当x ＜0时，y随着x的增大而减小， 当 x＞0 时，y随着x的增大而增大；当x =0 时， 函数y有最 小 值，最小值为 -3 ，它是由
• 顶点（m，0），对称轴 x=m • 若a＞0，当x＜m时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞m时，函数y随x的增大而增大； • 若a ＜ 0，当x＜m时，函数y随x的增大而增大，
当x ＞m时，函数y随x的增大而减小
• 若a＞0，当x=m时，函数y有最小值0；
若a＜0, 当x=m时，函数y有最大值0.
• 抛物线 y ax2 c的几何特征：
• 抛物线的开口方向 当a 0时，抛物线的开口向上
当a 0时，抛物线的开口向下
• 抛物线的顶点（0，c），对称轴 x=0 • 若a＞0，当x＜0时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞0时，函数y随x的增大而增大； • 若a ＜ 0，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，
对称轴 x=-3 ，当x＜-3 时，y随着x的增大而减小，
当x ＞时-，3 y随着x的增大而增大；当x 时=-，3
函数y有最 值小，最小值为 ，它0 是由抛物线
向 y 平2移x2 个单左位而得3到.
抛物线 y 2(x 3)2 的开口 向 ，顶点（3，0，）
对称轴 x=3 ，当x ＜3 时，y随下着x的增大而增大，
当x
＞时3，y随着x的增大而减小；当x 时=3，
函数y有 最 值大，最大值为 ，它0 是由抛物线
向 y 平2移x2 右个单位而得3 到.
பைடு நூலகம்
数学实验室
• 抛物线 y a(x m)2 的几何特征： • 抛物线的开口的方向 当a 0时，抛物线的开口向上
当a 0时，抛物线的开口向下
当x ＞0时，函数y随x的增大而减小
• 若a＞0，当x=0时，函数y有最小值c；若a ＜0, 当x=0时，函数y有最大值c.
• 它的图像是由抛物线 y ax2 向上 （c＞0）
平移 c 个单位；或者向 下 （c＜0）平移 个单位 │c│ 而得到.
抛物线 y 2(x 3)2 的开口 向上，顶点（-3，0），
抛物线的基本几何特征
1.已知抛物线 y 2x2，它的开口 向上，顶点 （0，，0）
对称轴 x=0，当x ＜0 时，y随着x的增大而减小， 当x ＞时0，y随着x的增大而增大； 当x =0 时，函数y有最小 值，最小值为 0 ，而
抛物线 y 2x2 它的开口向下 ，顶点（0，0），
对称轴x=0 ， 当=x0 时，函数y有最大 值，最大 值为0 ，当＜x 0 时，y随着x的增大而增大，当
x ＞0 时，y随着x的增大而减小。
数学实验室
• 一般的，抛物线 y ax2的几何特征：
当a 0时，抛物线的开口向上 当a 0时，抛物线的开口向下
顶点（0，0），对称轴 x=0 若a＞0，当x＜0时，函数y随x的增大而减小，
当x ＞0时，函数y随x的增大而增大； 若a＜ 0，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，
当x ＞m时，函数y随x的增大而增大；
• 若a＜ 0，当x＜m时，函数y随x的增大而增大，
当x＞m时，函数y随x的增大而减小；
• 若a＞0，当x=m时，函数y有最小值n；若 a＜0, 当x=m时，函数y有最大值n.
• 它的图像由 抛物 线 y ax2向 右 （m＞0）
平移 m 个单位或者向 左 （m＜0）平
抛物线 y 2x2 向 下 平移 3 个单位而得到.
（2）抛物线 y 2x2 3 的开口 向下 ，顶点（0，，3）
对称轴 x=0，当x＜0时，y随着x的增大而增大，
当x ＞0时，y随着x的增大而减小；当x =0 时， 函数y有最大 值，最大值为3 ，它是由抛物线
y 2x2 向 上 平移 3 个单位而得到. 数学实验室
最小值为 ，-它1 是由抛物线 y 2x2
先向左 平移 3 个单位，然后再向 下 平移
1 个单位而得到.
• 抛物线 y 2(x 3)2 1 的开口向下，顶
点(3,1) ，对称轴X=3 ， 当x＜3 时，y随着x 的增大而增大，当x ＞3 时，y随着x的增大 而减小；当x =3 时，函数y有最 大 值，最
• 它的图像是由抛物线 y ax2
向 右 （m＞0）平移 m 个单位； 或者向 左 （m＜0）平移│m│ 个单位而得 到.
• 抛物线 y 2(x 3)2 1 的开口向上，顶
点 (-3,-1) ，对称轴 X=-3 ，当x＜-3 时，y随 着x的增大而减小，当x＞-3 时，y随着x的 增大而增大；当x =-3 时，函数y有最 小 值，
1.利用配方法 2.利用顶点坐标公式法 3.利用抛物线的对称性 4.综合应用
辅导资料 p97
6.已知抛物线 y ax2 bx c （a≠0）是由
抛物线 y 2(x 3)2 平移得到，而一元二
次 方程 ax2 bx c 0（a≠0）的两个根
分别为 -1，3 ，求抛物 线的解析式（小综合）
二次函数的解析式
求二次函数解析式的常用方法 （1）定义法 （2）列方程法 （3）几何特征法 （4）待定系数法 （5）综合应用法
如何求抛物线的顶点
1. 已 知抛物线 y 1 x2 x 3 ，求则抛物线的
顶点
4
（两种基本方法）
2. 已知抛物线y= -2（x+1）（x-3），求抛 物线的顶点.（利用对称性）
3. 已知抛物线经过A（-1，3）、B（3，3）、 C（1，5）三点，求抛物线的顶点（. 拓展）
4 . 已知抛物线的对称轴x= -1，且顶点在直 线 y= -x+3上，求抛物线的顶点（. 小综合）