人教版高中数学必修二第四章圆与方程 4.1.1 圆的标准方程

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人教版高中数学必修2-4.1《圆的标准方程》教学设计

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。

人教版数学必修二4.1.1圆的标准方程

探究问题：如何在平面直角坐标系中确定一个圆呢?
圆的基本要素:圆心 ,半径
半径为r,圆心为A的圆:
(a,b)
(x,y)
即:
两边平方
复习: 在平面直角坐标系中,如何确定一条直线?
1.直线上任意的两个不同点
2.直线上一点和倾斜角
3.直线上一点和斜率
标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r 的圆
思考：1：方程与圆是什么关系？2：当圆心为原点时，方程情势是什么？3：由圆的标准方程，能否直接求出其圆心坐标和半径？4：确定圆的标准方程需要什么条件？
练习:圆关于直线对称的圆的方程是( ) B.C.D.
B
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：
数学必修2---4.1.1圆的标准方程
虽然我的知识在你们看起来很高，但我认为人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多。 ——爱因斯坦
教学目标：知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生视察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程及其求法教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
4.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题.
2.点和圆的位置关系:
点: 圆:
圆外：圆上：圆内：
3.求圆的标准方程的方法：

高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程

位置关系点M在圆上点M在圆外点M在圆内
利用距离判断 |CM|＝r |CM|>r |CM|<r
利用方程判断 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2
答案
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题型探究
重点难点个个击破
类型一求圆的标准方程
例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D )
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
问题导知识点一圆的标准方程
新知探究点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？答案圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
答案
知识点二点与圆的位置关系
思考点A(1,1)，B(4,0)，C( 2， 2) 同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2. 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
所以半径为 9－32＋6－52＝ 37，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
解析答案
(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上. 解线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2， ∴圆心坐标为(2,0)，半径 r＝ 5－22＋1－02＝ 10， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.

《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)

2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25

人教版高中数学必修二第四章圆与方程__4.1.1圆标准方程_ppt模板

因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 2 2 2 ( 7 a ) ( 3 b ) r ( 2 a ) 2 ( 8 b) 2 r 2
典型例题
ABC 的三个顶点的坐标分别 A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
例2
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．解：解此方程组，得：
a 2, b 3, r 2 25.
所以， ABC 的外接圆的方程
点M0在圆上
点M0在圆内点M0在圆外
典型例题
ABC 的三个顶点的坐标分别 A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
例2
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 解：设所求圆的方程是（1）
练习：1、写出下列各圆的方程：
2+(y-4)2=5 (x-3) (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
补充练习：写出圆的圆心坐标和半径： (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (2)(x+a)2+y2=a2
(x-8)2+(y+3)2=25
(-1,2) (-a,0)
M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点
不在这个圆上．
的坐
M2
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系

人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的标准方程》ppt参考课件2

小1.结圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 (y b)2
2.圆心
C
①两条直线的交点
（弦的垂直平分线）
②直径的中点
O
3.半径
C
①圆心到圆上一点的距离
②圆心到切线的距离
A
B
x
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
C(2,-8)
解题思路：圆心：两条中垂线的交点半径：圆心到圆上一点
A(5,1) x
B(7,-3)
例2．已知圆的方程是 x2 y2 ，r求2 经过圆上一点
M x的0切, y线0 的方程．
y
解：设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1
由题意：k
k1
y k1 0
x0

1
k
练习
求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
(3)、(x 2)2 (y 3)2 m2 (m 0)
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

人教版高中数学必修2第四章圆与方程-《4.1.1圆的标准方程》教案

4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-,|CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). ① 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). ②解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m).图2解:建立坐标系如图,圆心在y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52.设点P 2(-2,y 0),由题意y 0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52,解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m).答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2+y 2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程.活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(-+-b a =r+1, ①由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-∙-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36. 点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47). 又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-, 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A组第2、3题.。

2019年人教版A数学必修二第4章 4.1 4.1.1 圆的标准方程

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)[自主预习·探新知]1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图4-1-1所示．图4-1-1(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：确定圆的关键是什么？[提示]确定圆的核心关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则1．思考辨析(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆( )(2)若圆的标准方程为(x ＋m )2＋(y ＋n )2＝a 2(a ≠0)，此圆的半径一定是a ( ) [提示] (1)× 不一定，当m ＝0时表示点(a ，b )，当m ≠0时，表示圆． (2)× 圆的半径r ＝|a |.2．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的圆心坐标是( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，－3)D ．(－1，－3)C [由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－3)．选C.]3．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P(3,2)( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内D ．在圆外C [∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4.∴点P (3,2)在圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的内部．选C.][合作探究·攻重难]＋1＝0上的圆的方程. 【导学号：07742271】[解] 法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 法二：(几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. [规律方法] 求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.[跟踪训练]1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1,－2)，C (－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.法二：因为A (0,5)，B (1,－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.12(1)求以线段P 1P 2为直径的圆的标准方程；(2)判断点M (5,3)，N (3,4)，P (3,5)是在圆上、圆内还是圆外.【导学号：07742272】思路探究：(1)先确定圆心与半径再求方程．(2)比较三点到圆心的距离与半径大小．[解](1)设圆心C(a，b)，半径长为r.因为点C为线段P1P2的中点，所以a＝3＋52＝4，b＝8＋42＝6，即圆心坐标为C(4,6)．又由两点间的距离公式，得r＝|CP1|＝(4－3)2＋(6－8)2＝ 5.故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.(2)分别计算点M，N，P到圆心C的距离：|CM|＝(4－5)2＋(6－3)2＝10＞5，|CN|＝(4－3)2＋(6－4)2＝5，|CP|＝(4－3)2＋(6－5)2＝2＜5，所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．[规律方法]判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.[跟踪训练]2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A ．a ＜－1或a ＞1B ．－1＜a ＜1C ．0＜a ＜1D ．a ＝±1B [∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部． ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4.解得－1＜a ＜1.][1．若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值. 【导学号：07742273】思路探究：x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，即点P (x ，y )是圆上的点．而(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点(x ，y )与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解]因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此(x＋1)2＋(y＋1)2表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC|＝(0＋1)2＋(－4＋1)2＝10，所以(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值为|AC|＋r＝10＋2，最小值为|AC|－r＝10－2.(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： ①k ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．[当堂达标·固双基]1．方程(x －1)x 2＋y 2－3＝0所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个点C ．一个点和一个圆D ．一条直线和一个圆D [(x －1)x 2＋y 2－3＝0可化为x －1＝0或x 2＋y 2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．]2．以(2,－1)为圆心，2为半径的圆的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4D [由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，知圆心为(a ，b )，半径为r ，易知答案为D.]3．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围为( ) A ．|a |＜1 B ．a ＜113 C ．|a |＜15D ．|a |＜113D [∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部． ∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2＜1，∴|a |＜113.选D.]4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．x2＋(y－1)2＝1[由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]5．已知圆C的半径为17，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C的标准方程. 【导学号：07742274】[解]∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝17，∴设圆心为(t，t－2)(t为参数)．∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.解得t＝2或t＝－1.∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.。

高中数学人教a版必修二4.1.1《圆的标准方程》

（2）列方程组；
（3）求系数；
y
（4）代入系数写出方程。
几何法圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
O D
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
例3: 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，-2)，且圆心C在直线l： x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
解：因为A(1,1),B(2，-2),所以AB的中点
①待定系数法；②代入法（几何法）.
课后练习课后习题
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
A(5,1)
三个点可以确定一个圆，三
O
角形有唯一的外接圆．
x
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程。
D
B(7,-3)
C(2,-8)
解：设圆方程为 (x a)2 (y b)2 r 2. y
(5 a)2 (1 b)2 r 2 ,
则 (7 a)2 (3 b)2 r 2 ,
判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上．
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 ( y 3)2 25
左右两边相等，点 M 1 的坐标适合圆的方程，所以点 M 1 在这个

人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程PPT全文课件

4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
标是方程组的解
x -14
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
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小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
a2 (510aa)225(1b2b)22br12 r2
aa22 ((72144aaaa14))0a422a498b((1b20b83b21362bb6b1))b02206940rr22rr
2.点与圆的位置关系
3.求三角形外接圆的方法： ①待定系数法 ②几何法
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随堂检测： 1.说出下列圆的方程：

高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程

解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)

人教新课标A版高一数学《必修2》4.1.1 圆的标准方程

拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程
解法1: 设所求方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
x＋y－2＝0 y B(－1，1)
C
O x A(1，－1)
因此所求圆的方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝4.
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程 ∵点C在直线x＋y－2＝0上， x＋y－2＝0 解法2: 设点C为圆心， y ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． B(－1，1) C ∴ | CA | ＝ | CB |. 又∵该圆经过A，B两点， O x A(1，－1) 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
课堂练习
B
课堂练习
B
课堂练习
3.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
归纳小结
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求 a ， b ， r 或直接求出圆心 (a ， b) 和半径 r. 另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率． 2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系 )去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．
方法二: ∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2+(y+3)2=r2. 又∵点P(5，1)在圆上， ∴r2=25. ∴(5－8)2+(1+3)2=r2，故所求圆的方程为(x－8)2+(y+3)2=25.

高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件

求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切，半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．

人教版2017高中数学(必修二)4.1.1 圆的标准方程PPT课件

解得 a<− 2.
5
故实数 a 的取值范围是 �� < - .
2
5
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
求圆的标准方程
【例2】求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0 上的圆的标准方程. 解法一:(直接法) 由题意,得线段AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,
由 3�� + 2��-15 = 0, �� = 7, 解得 �� = -3. 3�� + 10�� + 9 = 0,
所以圆心 C 的坐标为(7,-3). 所以 r=|CB|= 72 + (1 + 3)2 = 65.
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
圆心在 x 轴上 (x-a)2+y2=r2(r≠0) 圆心在 y 轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) 圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0)
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1
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2.圆不是函数的图象剖析:根据函数的知识,对于平面直角坐标系中某一曲线,如果垂直于 x 轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象;否则,不是函数的图象.在平面直角坐标系中,垂直于 x 轴的直线与圆至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.例如,函数 y=b+ �� 2 -(��-��)2 (�� > 0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为 r,位于直线 y=b 上方的半圆;函数 y=b− �� 2 -(��-�� )2 (�� > 0) 的图象是以(a,b)为圆心,半径为 r,位于直线 y=b 下方的半圆.

【高中数学必修二】4.1.1圆的标准方程

的方程，试判断点M(5, -7)、N(1，0)、
Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？
2 2 (x-2) +(y+3) =25
例2:已知圆过点 A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心在直线L:
x-2y –3 =0上，试求圆的标准方程。解法1: 设所求圆的方程为: (x-a)2+(y-b)2=r2 则有 (2 -a)2+(-3 -b)2= r2
2 2
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？ A
A O OA<r O OA=r A O OA>r
从几何角度判断点圆之间的位置关系： A A O O O
A
OA<r OA=r OA>r
点M在圆内点M在圆上点M在圆外
从代数角度判断点圆之间的位置关系：
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0) 和圆C：( x a)2 ( y b)2 r 2 ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆上点M在圆内点M在圆外
例1:已知圆心A(2, -3) ，半径等于5的圆
2 2
1, 0
练一练:
2、根据已知条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径是3： 1 （2）圆心在（ 3，- ），半径为5： 2 （3）经过点（5，1），圆心在点（8，-3）：
1 2 ( x 3) ( y ) 25 2
2
x y 9
2 2
( x 8) ( y 3) 25

人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结

第四章圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋3)2＋(y－1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 23．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝17．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是()A．|a|＜1B．a＜113C．|a|＜1 5D．|a|＜1 139．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．4.1.2 圆的一般方程1．圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是________．2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F ＝________.3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤14．已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( ) A ．3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x ＋2y ＝0 C ．3x －2y ＝0 D ．3x －2y ＋1＝05．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．6．点(2a,2)在圆x 2＋y 2－2y －4＝0的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <15D ．－15<a <17．求下列圆的圆心和半径． (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.8．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( ) A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围； (2)求圆的圆心和半径；(3)求该圆的半径r 的最大值及此时圆的标准方程．4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线y ＝x ＋3与圆x 2＋y 2＝4的位置关系为( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．下列说法中正确的是( )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点3．若直线x ＋y ＝2与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 4．(20XX 年陕西)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定5．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y ＝5 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y ＝5 D ．2x ＋y ＋5＝06．(20XX 年浙江)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 7．已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2 C.7 D．39．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 2时，求直线l的方程．4.2.2 圆与圆的位置关系1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是() A．外离B．外切C．相交D．内切2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为()A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．2x＋y＝03．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是()A．2 B．3C．4 D．54．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是()A．－1 B．2C．3D．06．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 3，求实数a的值．8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．4.2.3 直线与圆的方程的应用1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()A．0或2 B．2C. 2 D．无解3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为() A．y＝3xB．y＝－3xC．y＝3 3xD．y＝－3 3x4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是() A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为()A．1 B．0C．2 2 D．2 2－36．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是() A．a＝－3 B．a＝3C．a＝2 D．a＝－27．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点P (3，1)，则直线AB 的方程为____________．9．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么yx的最大值为( )A.12B.33C.32D. 310．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)．(1)若点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若实数m ，n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，求k ＝n －3m ＋2的最大值和最小值．4.3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系1．点P (－1,0,1)位于( ) A ．y 轴上 B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－2,1，－4) B ．(－2，－1，－4) C ．(2，－1,4) D ．(2,1，－4)3．点P (－4,1,3)在平面yOz 上的投影坐标是( ) A ．(4,1,0) B ．(0,1,3) C ．(0,3,0) D ．都不对4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ 垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是()A．z轴上的两个点B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面D．以上答案都有可能7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()A．(3，－1,5)B．(3,7,4)C．(0，－8,1)D．(7,3,1)8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．10．如图K4-3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD ⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．图K4-3-14．3.2 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为()A. 6 B．6C. 3 D．22．坐标原点到下列各点的距离最大的是()A．(1,1,1) B．(2,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,3,4)3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为() A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝()A．10 B.10C．2 10 D．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝()A.534 B.532C.532 D.1326．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝5，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．第四章圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程 1．C 2.D3．(－2,2) |m | 4.±5 5.(x ＋2)2＋(y －1)2＝26．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.7．解：方法一：设圆心P (a ，b )，则⎩⎨⎧a －3b －10＝0，(a －5)2＋b 2＝(a ＋2)2＋(b －1)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.圆的半径r ＝(a －5)2＋b 2＝(1－5)2＋(－3)2＝5. ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：线段AB 的中点P ′⎝⎛⎭⎫5－22，0＋12，即P ′⎝⎛⎭⎫32，12.直线AB 的斜率k ＝1－0－2－5＝－17. ∴弦AB 的垂直平分线的方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32，即7x －y －10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －10＝0，7x －y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.即圆心P (1，－3)．圆的半径r ＝(1－5)2＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25. 8．D 9.41＋510．解：∵弦AB 的长为2 3，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴|a －2＋3|a 2＋1＝1，∴a ＝0.4．1.2 圆的一般方程 1．(3,0) 2.4 3．B 4.A 5．2 13π 6．A7．解：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12. (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.8．C 解析：圆的标准方程是：(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r ＝13.过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．9．解：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)． ∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线的方程，得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简，得2x －3y －6＝0即为所求．10．解：(1)由圆的一般方程，得[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，解得－17<t <1. (2)圆心为⎝⎛⎭⎫－－2(t ＋3)2，－2(1－4t 2)2，即(t ＋3,4t 2－1)，半径r ＝12[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9) ＝－7t 2＋6t ＋1.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167，所以当t ＝37时，r max ＝4 77，故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. 4．2 直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系1．D 2.D 3.D4．B 解析：点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，有a 2＋b 2>1，圆心到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，所以直线与圆O 相交． 5．C 解析：因为点(2,1)在圆x 2＋y 2＝5上，所以切线方程为2x ＋y ＝5.6．4 5 解析：圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|6－4＋3|5＝5，弦长等于252－(5)2＝4 5. 7．解：设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4，所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3.由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3.解得k ＝±3. 8．C9．(1)证明：由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8，得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8，即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －7＝0，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. ∴无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2)．(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，∴最短的弦的斜率为1，故最短弦的方程为x －y －1＝0.∴m ＝－1.10．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34.故当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切． (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.∴直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.4．2.2 圆与圆的位置关系1．B 2.D 3.A4．C 解析：圆化为标准方程，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心O 1(2，－1)，r 1＝2，O 2(－2,2)，r 2＝3.∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴两圆外切．∴公切线有3条．5．D 6.A7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y ＝1a .利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1a ，得⎪⎪⎪⎪1a ＝22－(3)2＝1，解得a ＝1或a ＝－1(舍)． 8．5－2 29．解：(1)将两圆方程C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减，得2x ＋y －5＝0.∴公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 2，圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离为2 5，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 30.10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝20，4x －2y －20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 故对任意实数a ，该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2.①若两圆外切，则2＋5(a －2)2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍)； ②若两圆内切，则|5(a －2)2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55，或a ＝1＋55(舍)．综上所述，a ＝1±55. 4．2.3 直线与圆的方程的应用1．D 解析：该圆的圆心(－a ，a )，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．B 解析：圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2＝m ，m ＝2. 3．C4．C 解析：由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离，则1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1， ∴P 在圆内．5．C 6.A7．A 解析：过原点的直线也满足条件．8．x ＋y －4＝09．D 解析：方法一：∵实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，∵记P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝3上的点，y x是直线OP 的斜率，记为k .∴直线OP ：y ＝kx ，代入圆的方程，消去y ，得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0.直线OP 与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0，∴－3≤k ≤ 3.方法二：同方法一，直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2－0|k 2＋1≤3，∴－3≤k ≤ 3. 10．解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0.解得a ＝4，∴P (4,5)．∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心坐标C 为(2,7)，半径为2 2，∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2.(3)设点(－2,3)的直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆．易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2.∴k ＝2±3. ∴k ＝n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系1．C 解析：点P 的y 轴坐标为0，则点P 在平面xOz 上．2．B 解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．3．B 4.B 5.B 6.C 7.B8．7 8 3 9.510．解：由图知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面ABCD ，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b .由H 为DP 的中点，得H (0,0，b )．E 在底面ABCD 上的投影为AD 的中点，∴E (a,0，b )．同理G (0，a ，b )．F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 的横坐标相同，都是a ，点F 与G 的纵坐标也同为a ，又F 的竖坐标为b ，故F (a ，a ，b )．4．3.2 空间两点间的距离公式1．B 2.C 3.A 4.A 5.C6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球7．解：由题意设A (0，y,0)，则(y －1)2＋4＝5，得y ＝0或y ＝2，故点A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．8．直角解析：因为|AB |2＝9，|BC |2＝9＋36＝45，|AC |2＝36，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形．9.87解析：|AB | ＝(x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB |取得最小值． 10．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |.设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32.显然，此式对任意y ∈R 恒成立．∴y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，∴只要满足|MA |＝|AB |，就可以使得△MAB 是等边三角形． ∵|MA |＝10＋y 2，|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y 2＝20，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

人教高中数学人教A必修2课件第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程

与方程的方程 1的标准方程第四章4. 14.1.1自主预习课堂探究自主预习课标要求1 •会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2 •能根据所给条件求圆的标准方程.3 •会判断点与圆的位置关系.知识梳理的标准方程(2)以原点为/为半径的圆的标准方程为⑴以C(a,b)为圆心r(i>0)为半径的(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=Q(A)(0,0)(B)(")(C)(0,1)(D)不存在⑷ 1 （B ）血（02 （D ）4(A)x 2+y 2=25 (B)x 2+y 2=5(C)(x-3)2+(y-4)2=25 (D)(x+3)2+(y+4)2=254.（点与圆的位置关系）点（2^3,3）与圆x 2+y 2=25的位置关系是在圆答案:内5.（点与圆的位置关系）若点P （-l,石）在圆x 2+y 2=m 2±,则实数答案:±2 自我检测 1.（圆的标准方程）圆x 2+y 2=1的圆心为（ )A2.（圆的标准方程） (x-l)2+(y+2)2=2 的半径为(3.（圆的标准衣勢点（3,4）且过点（0,0）的圆的方程是（HI （选填“内”、 “上”或“外”）.111课堂探究题型一圆的标准方程【教师备用】1 •确定圆的标准方程的条件是什么？提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定量条件.故所求圆的方程为(x+1)牛(y+2)2=10.【例1 ］已知一个圆经过两个点A(2,-3)和B(・2,・5),且圆心在直线l:x ・2y ・3=0II! 方程.的解:法一设所求圆的标准方程为(x-a) 2+ (y-b) 2=r 2,(2-a)2 + (-3-Z?)2 = r 2, 由已知条件得(-2 -疔+ (-5 - b)2 = r 2,解得＜ ci — 2b — 3 = 0, 所以所求圆的方程为(x+1)牛(y+2)冬10・法二由 A (2, -3), B (-2, -5),得 AB 的中点(0, -4),也二所以AB 的垂直平分线的方程为y+4二-2x,即2x+y+4二0・ x — —1,解方程组 2% + y + 4 = 0, _x — 2y — 3 = 0, 所以心为(-1, -2),半径 r= J(2 +1)?+(-3 + 2)2 二価b = —2. r 2=10.法三设点C是圆心.因为点C在直线1上,所以设点C (2b+3, b) •又因为|CA| = |CB|,所以J(2b + 3-3)?+@ + 3)2 = J(2b + 3 + 2)2 + (b + 5)2 ,解得b=-2,所以圆心C(~l, -2),半径r= ^/10 ,故所求题后反思确走圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径I；其求解的方法:一是待定系数法,二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径•一般地,在解决有关圆的问题时有时利用圆的几何性质作转化较为简捷・即时训练1T ：求圆心在X 轴上，且过点A （5,2）和B （3，・2）的圆的标准方程.AB 中垂线的方程为尸冷（I ）,令 y=0,得 x=4.即圆心坐标C(4, 0),所以 r=|CA| = J(5-4尸+(2-0)，= ^5 ・所以所求圆的方程为（x-4） 2+y ~5・的方程为仗-"+&-川寸（上＞0）・2 = 0, 则 <(5-u)2+(2-/7)2=r 2, (3 —a)2 + (—2 — b)2 = r 2.a = 4, 解得b= 0,r - \/5. 所以所求圆的方程为（x-4F+y 冬5・法二因为圆过A （5, 2）, B （3, -2）两点,所以圆心一定在线段AB 的中垂线上.III 111提示:当(x 0-a)2+(y 0-b)2=r2Bl 点M 在当(x 0-a)2+(y 0-b)2 < 2时,点M 在当(x 0-a)2+(y 0-b)2 > 2时,点M 在题型二点与的位置关系【教师备用】判断点与圆的位置关系1 •在平面几何中,点与圆有哪几种位置关系？提示:在圆内，在圆上，在圆外・2 •在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？提示:利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断.III • •■ l¥i外、圆上、内.±;外・0’ Q = J(2-4)2 +(-3 + 7)，=2 >/5 <5,所以点 M 在上，点N 在圆外，点Q 在圆内. 【例2】已知A(-151)5B(-25-6)5C(65O).⑴求Z\ABC 的外接圆方程.(-l-a)2 + (l-b)2 = r\ 由题意得 < (~2 — a)2 + (―6 —/?)2 =尸,解得 a=2, b =—3, r =5, (6 —G )2 + (0 —b)2 = F (2)设圆心为V ,因为|0‘ M| = ^/[2-(-3)]2+[-3-(-3)]2 =5, |0,N| = J(2-5)2+(-3-2)2 二府 >5,题后反思111(2)试判断M(-3,-3),N(5,2),Q(4r 7)是在⑴所求圆的圆上, 内还是圆外. 皿亍解：⑴设所求的标准方程为(x-a) 2+(y-b) Jr ：故外接圆方程为(x-2F+(y+3)2=25・距离与半径作比较即可.(2)代数法:把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小，并得出结论•即时训象知I圆N的标准方程为(x・5)2+(y・6)2=a2(a>0)・⑴若点M(6,9)在圆上求半径a;⑵若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外，求a的范题型三与圆有关的最值问题【例3】已知圆心在X轴上的圆C与x轴交于两点A(1,O)5B(55O).(1)求此圆的标准方程；⑵设P(x5y)为圆C上任意一点，求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.M 解：⑴由题意，结合图⑴可知圆心为(3f0)f r=2f 所以圆C的标准方程为(x・3)2+y2=4・(2)如图⑵所示,过点C作CD垂直于直线x-y+1二0,垂足为D.氓2血，又P (x, y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2,结合图形易知点P到直lai由点到直线的距离公式可得| CD |二题后反思一般地，求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题，常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的数学思想・x 2+y 2=l 上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值所以圆x 2+y 2=l 上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是d-l=4・答案：4解析:圆心到直线的距离为d= 卜25| 即时训练3-1:[【备用例2】(基础)设点P(x,y)是x2+(y+4)2=4±任意一点,则的最大值为■■■解析:因为点P(X, y)是圆x2+ (y+4) M上的任意一点，因此&¥-1)2 + (y —1)2表示点(I, 1)与该圆上点的距离.易知点(1,1)在I X2+ (y+4) =4外,结合图易得1)2+0 —1)2的最大值为J(l-0)2+(1 + 4)2 +2二届+2・答案:\/26 +2【备用例3】(拔高)如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2 m,水面宽12 m，当水面下降1 m后冰面宽多少m?12m------------«lO 解:如图，拱顶0为坐标原点，设圆的半径为:r m,II I 心C(0, -r),即圆的方程为x2+ (y+r) 2=r2.将A点的坐标(6, -2)代入方程①解得"10.所以的方程为x2+(y+10)2=100.②当水面下降1 m后,可设点N的坐标为(xo, -3)(Xo>O),将心的坐标(知-3)代入方程②，解得X。

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第4章圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．
1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点
时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是________________．
2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外⇔________；点P 在圆上⇔________；点P 在圆内⇔________．
一、选择题
1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12
的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆内
C ．在圆外
D ．不能确定
2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )
A ．在圆内
B ．在圆上
C ．在圆外
D ．无法判断
3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( )
A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1
B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1
C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1
D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1
5．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )
A ．一条射线
B ．一个圆
C ．两条射线
D ．半个圆
6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13
B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13
C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52
D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52
二、填空题
7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．
8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．
三、解答题
10．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．
11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
能力提升
12．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．
第四章圆与方程
§4．1圆的方程
4．1．1圆的标准方程
答案
知识梳理
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2
2．d >r d ＝r d <r
作业设计
1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin 2θ＋cos 2θ＝1>12
，所以点在圆外．] 2．B [点M (5，－7)到圆心A (2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．]
3．D [(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]
4．B [两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y ＝x 的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1．]
5．D [由y ＝9－x 2知，y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9．∴选D ．]
6．A [设直径的两个端点为M (a,0)，N (0，b )，
则a ＋02＝2⇒a ＝4，b ＋02
＝－3⇒b ＝－6．所以M (4,0)，N (0，－6)．
因为圆心为(2，－3)，
故r ＝(2－4)2＋(－3－0)2＝13．
所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．]
7．(x －4)2＋(y －1)2＝26
解析圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半．
8．5＋ 2
解析点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．
9．[0,2]
解析由题意知l 过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k ≤2．
10．解因为A (1,1)和B (2，－2)，
所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫32
，－12，直线AB 的斜率k AB ＝－2－12－1
＝－3，因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭
⎫x －32，即x －3y －3＝0．圆心C 的坐标是方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0的解．解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，y ＝－2.所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆心为C 的圆的半径长
r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5．
所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25．
11．解设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)．
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |a |＝r a －3b ＝0
(6－a )2＋(1－b )2＝r 2．
解得a ＝3，b ＝1，r ＝3或a ＝111，b ＝37，r ＝111．
所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112．
12．解由题意得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l 的距离为d ＝|3－1－5|2
＝32－62，
则圆C上的点到直线l距离的最大值为32－
6
2＋2，最小值为32－
6
2－2．
13．解设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4．
|P A|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y．
∵－2≤y≤2，∴72≤|P A|2＋|PB|2＋|PC|2≤88．
即|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72．。